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专题 9.3 随机事件与概率
目录
题型一： 有限样本空间...................................................................................................................5
题型二： 随机事件的关系与运算..................................................................................................7
题型三： 古典概型.........................................................................................................................10
题型四： 相互独立事件判断.........................................................................................................14
题型五： 条件概率.........................................................................................................................19
知识点总结
知识点一、样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω ，ω ，…，ω ，则称样本空间Ω＝
1 2 n
{ω，ω，…，ω}为有限样本空间．
1 2 n
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
知识点二、事件的关系和运算含义 符号表示
B⊇A
包含 若事件A发生，则事件B一定发生
(或A⊆B)
事件B包含事件A，事件A也包含事
相等 A＝B
件B
并事件 A∪B
事件A与事件B至少有一个发生
(和事件) (或A＋B)
交事件 A∩B
事件A与事件B同时发生
(积事件) (或AB)
互斥
事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅
(互不相容)
A∪B＝Ω，
事件A和事件B在任何一次试验中有
互为对立
且仅有一个发生
且A∩B＝∅
知识点三、频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A发生的频率f(A)
n
会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率f(A)估计概率P(A)．
n
知识点四、古典概型
(1)具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本
点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
知识点五、概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有 P ( A )≥0 .
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P ( Ω ) ＝ 1 ， P ( ∅ ) ＝ 0 .
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ 1 － P ( A ) ，P(A)＝ 1 － P ( B ) ．
性质5：如果A⊆B，那么 P ( A )≤ P ( B ) ．
特别地，对任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A ∩ B ) ．
显然，性质3是性质6的特殊情况.
知识点六、事件的相互独立性
(1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 成立，则称事
件A与事件B相互独立，简称为独立. 必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立.
(2)相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与 B，与也都相互独立．知识点七、条件概率与全概率公式
(1)条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件 A发生
的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件 A与B，若P(A)>0，则 P ( AB ) ＝
P ( A )· P ( B | A ) ．
(2)条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝ P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) ；
③设和B互为对立事件，则P(|A)＝ 1 － P ( B | A ) ．
(3)全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝
1 2 n 1 2 n i
1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(A)P(B|A)．
i i
【常用结论与知识拓展】
(1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．
(2)当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事
件互斥是对立的必要不充分条件．
(3)随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验
中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．
(4)若事件A，A，…，A 两两互斥，则P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n 1 2 n(5)两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另
一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
(6)P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事
件A发生的概率．
(7)计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
例题精讲
题型一：有限样本空间
【要点讲解】确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规
律去写，要做到既不重复也不遗漏．
【例1】用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．
设事件 “三个圆的颜色全不相同”，事件 “三个圆的颜色不全相同”，事件
“其中两个圆的颜色相同”，事件 “三个圆的颜色全相同”．
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件 ， ， ， ；
（3）事件 与事件 有什么关系？事件 和 的交事件与事件 有什么关系？并说明理
由．
【解答】解：（1）（红，红，红）、（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、
（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、
（红，蓝，蓝）；（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、
（黄，黄，红）、（黄，黄，黄）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、
（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）；（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、
（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、
（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）、（蓝，蓝，蓝），共27个；
（2） （红，黄，蓝）、（红，蓝，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，蓝，红）、（蓝，
红，黄）、（蓝，黄，红） ；（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，黄，
蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、（红，蓝，蓝）；（黄，红，红）、（黄，红
黄）、（黄，红，蓝）、（黄，黄，红）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、（黄，蓝
黄）、（黄，蓝，蓝）、（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄
红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄） ；
（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，蓝，
红）、（红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，黄，红）、（黄，黄
蓝）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）；（蓝，红，红）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄
黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄） ；
（红，红，红）、（蓝，蓝，蓝）、（黄，黄，黄） ；
（3）由（2）可知 ， ， 与 互斥，
所以事件 包含事件 ，事件 和 的交事件与事件 互斥．
【变式训练1】袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸3次，每次摸
取一个球，考虑摸出球的颜色．
（1）试写出此事件的基本事件空间；
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分不小于5分的概率．
【解答】解：（1） （红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，
红），
（红，黑，黑），（黑，红，黑），（黑，黑，红），（黑，黑，黑） 共8个；
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数通过上一问已经做出是8，
记3次摸球得分不小于5的事件为 ，
则满足条件的事件 （红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红） 共4个，
（A） ．
题型二：随机事件的关系与运算
【要点讲解】互斥事件、对立事件的判定方法：①利用基本概念；②利用集合的观点. 两者
的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件
B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生. 两个事件A与
B是对立事件，仅有前两种情况. 因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.
【例2】在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋
中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；
若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按 30天
计）能赚多少钱？
【解答】解：把3只黄色乒乓球标记为 、 、 ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从
6个球中随机摸出3个的基本事件为： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、123，
共20个
（1）事件 摸出的3个球为白球 ，事件 包含的基本事件有1个，即摸出
（E）
（2）事件 摸出的3个球为2个黄球1个白球 ，事件 包含的基本事件有9个，
（3）事件 摸出的3个球为同一颜色 摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球 ，（4） ，
假定一天中有100人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件 发生有10次，不发生90次．
则一天可赚 ，每月可赚1200元
【变式训练1】某中学高一年级有1000名学生，他们选择选考科目的情况如表所示：
科目 物理 化学 生物 政治 历史 地理
人数
300
200
100
200
100
100
从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：
“该生选了物理”； “该生选了化学”； “该生选了生物”；
“该生选了政治”； “收生选了历史”； “该生选了地理”．
（Ⅰ）求 （B）， ．
（Ⅱ）求 ， ．
（Ⅲ）事件 与 是否相互独立？请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ） “该生选了化学”，
由题意得1000名学生中选化学的学生有： （名 ，
（B） ，
“该生选了政治”； “收生选了历史”； “该生选了地理”．
由题意得1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200（名 ，
．
（Ⅱ） “该生选了生物”， “收生选了历史”，由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有： （名 ，
，
“该生选了化学”， “该生选了地理，
由题意得 1000名学生中选化学或地理的学生有：
（名 ，
．
（Ⅲ） “该生选了物理”， “该生选了政治”，
事件 与 相互独立．理由如下：
由题意得选择物理与否与选择政治无关，
选择政治与否与选择物理无关，
事件 与 相互独立．
【变式训练2】掷一枚骰子，观察它朝上的点数．设事件 “点数为1”， “点数
为偶数”， “点数小于3”， “点数大于2”， “点数是3的倍数”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件；
（2）事件 与 ， 与 ， 与 之间各有什么关系？
（3）用集合形式表示事件 ， ， ， ．
【解答】解：（1）设该试验样本总空间为 ，2，3，4，5， ，
， ，4， ， ， ， ，4，5， ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ， ，2， ， ，2，4， ．
题型三：古典概型
【要点讲解】用公式计算古典概型的一般步骤：在计算样本点个数时，常常用计数原理，但当样本点总数较少且无规律时，常用列举法把
所有样本点一一列出，列举要有规律，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.
【例3】从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男
生的概率为
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【解答】解：设2名男同学为 ， ，3名女同学为 ， ， ，
以上 5 名同学任选 2 人总共有 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，10种可能，
选中的2人恰好是一男一女的共有共6种情况，
则选中的2人恰好一男一女的概率是0.6．
故选： ．
【变式训练1】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名
同学中至少有1名女同学的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，选出的2名同学都是男生的概率为 ，
所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．
故选： ．
【变式训练2】将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5， ，先后抛掷两次，将得到的点数分别记为 ， ，记向量 ， 的夹
角为 ，则 为钝角的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：由 可得， ，
所以 ，
因为 为钝角，所以 ，且 不共线，
所以 ，即 ，且 ，
当 时，有 且 ，所以 可取1，3，4，5，6；
当 时，有 ， 可取3，4，5，6；
当 时，有 ， 可取5，6；
当 ， ， 时， ，此时无解．
综上所述，满足条件的 ， 有11种可能，
又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，
所以 为钝角的概率 ．
故选： ．
【变式训练3】在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概
率为
A． B． C． D．
【解答】解：设甲中奖为 事件，乙中奖为 事件，
则 （B） （A） ．
故选： ．
【变式训练4】小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》《诗经》两本书相邻的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架
上，
不同的摆放方法有6种，其中《论语》《诗经》两本书不相邻的情况有2种，
分别为 《论语》，《孟子》，《诗经》 ， 《诗经》，《孟子》，《论语》 ，
《论语》《诗经》两本书相邻的概率为 ．
故选： ．
【变式训练5】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴
赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过40的
素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：不超过40的素数为：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，
共12个数，
其中 ，共3组数，所以其和等于40的概率 ．
故选： ．
【变式训练6】从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则
抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有 种结果，
若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5，
若第一张抽到的是5，共有5种抽法，
若第二张抽到的是5，共有5种抽法，
故抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的共10种抽法，
所以所求概率为 ．
故选： ．
【变式训练7】某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由 0，1，2， ，9中的四个
数字随机组成（如“0013” ．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最
后一个数字是奇数的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，可得验证码的最后一个数字有10种不同结果，其中奇数占5种，
所以收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率 ．
故选： ．
【变式训练8】某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、
有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘
游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，
2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个
转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．两班获胜的概率分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：试验所有的可能结果为： ， ， ， ， ， ， ，
，
， ， ， ，共有12种结果，
其中数字和为偶数的有6种，和为奇数的有6种，
故（1）班代表获胜的概率为 ，（2）班代表获胜的概率为 ．
故选： ．
【变式训练9】从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，考虑到“三角形两边之和
大于第三边”，
可知能构成三角形的情况有“3，5，7”，“3，7，9”和“5，7，9”，3个基本事件，
所有的基本事件有 个，故能构成三角形的概率 ．
故选： ．
题型四：相互独立事件判断
【要点讲解】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较复杂(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，
可从其对立事件入手计算. 判断事件相互独立，一般用定义判断.
【例4】“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件 ，“抛掷一颗骰子，结果向
上的点数大于1且小于5”记为事件 ，则
A．事件 ， 互斥 B．事件 ， 对立
C．事件 ， 相互独立 D．事件 与 不相互独立
【解答】解：由题意可知：事件 ， ，事件 ，3， ，
样本空间 ，2，3，4，5， ，
则 ，
因为 ，所以事件 ， 不互斥，更不可能对立，故 、 错误；
因为 ，则 ，
可得 ，
所以事件 ， 相互独立，事件 与 相互独立，故 正确， 错误．
故选： ．
【变式训练1】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件 “第一次点数为偶数”，
事件 “第二次点数为3的倍数”，则
A． 与 是互斥事件 B． 与 是互为对立事件
C． （A） （B） D． （A） （B）
【解答】解：依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷 2次的基本事件有 件，事件
的基本事件有 件，事件 的基本事件有 件，事件 的基本事件有
件，事件 的基本事件有 件，所以 ， ， ， ，
故 （A） （B）， （A） （B），
所以 与 不是互斥事件，更不是对立事件，
故 错误， 正确．
故选： ．
【变式训练2】存在两个事件 和 ，且 （A） ， （B） ，若 与 是两
个①事件，则 （A） （B）；若 与 是两个②事件，则
（A） （B）；其中
A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立
C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥
【解答】解：由 （A） （B） ，仅当 时
（A） （B），
所以 与 是两个互斥事件，
由独立事件的判定知： （A） （B），即 与 是两个独立事件．
故选： ．
【变式训练3】从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不
对立的两个事件是
A．至少有一本政治与都是数学
B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学
D．恰有1本政治与恰有2本政治
【解答】解：从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，
对于 ，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故 错误；
对于 ，至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故 错误；
对于 ，至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故 错误；对于 ，恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立
的两个事件，故 正确．
故选： ．
【变式训练4】抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “两枚骰子的点数之和为偶数”，事
件 “恰有一枚骰子的点数为偶数”，则
A． （A） （B） B． （A） （B）
C． 与 互为对立事件 D． 与 互为互斥但不对立事件
【解答】解：因为事件 “两枚骰子的点数之和为偶数”，
即事件 包括两枚骰子的点数之和为偶数分为两枚骰子都为奇数和偶数，
，
事件 “恰有一枚骰子的点数为偶数”，
即事件 为两枚骰子一枚为奇数，一枚偶数，即两枚骰子的点数之和为奇数．
所以 ，
所以 与 互为对立事件，且 ．
故 ， ， 错误； 正确．
故选： ．
【变式训练5】同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件 表示“两枚骰子的点数之和为
5”，事件 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件 表示“两枚骰子的点数相同”，事
件 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”．则下列说法中正确的是
① 与 互斥
② 与 对立
③ 与 相互独立
④ 与 相互独立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，
所以 与 互斥，因此本序号说法正确；
②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时， 与 同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；
③： ，
显然 （A） （D） ，所以 与 不相互独立，所以本序号说法不正确；
④： ，
显然 （B） （C） ，所以 与 相互独立，所以本序号说法正确．
故选： ．
【变式训练6】已知一个古典概型的样本空间 和事件 ， 如图所示．其中 ，
（A） ， （B） ， ，则事件 与事件
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【解答】解： 一个古典概型的样本空间 和事件 ， 如图所示．
其中 ， （A） ， （B） ， ，
，且 ，
（A） ， （B） ， ，
，
，（A） ，
事件 与事件 是独立事件．
故选： ．
【变式训练7】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件 ，
“第二次向上的点数是奇数”为事件 ，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件 ，
则下列说法正确的是
A．事件 与事件 互为对立事件 B．
C． D．事件 与事件 相互不独立
【解答】解：由事件定义，事件 与事件 可以同时发生，故不互为对立事件， 错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件 的样本点为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， 共18种，
事件 的样本点为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 共有12种，
事件 的样本点为 ， ， ， ， ， 共6种，
所以 ， 错误； ， 正确；
因为 （B） （C），所以事件 与事件 相互独立， 错误．
故选： ．题型五：条件概率
【要点讲解】解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现
“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字
眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率. 若为条件概率，
则进行第二步，计算概率，这里有两种思路. 思路一：缩减样本空间法计算条件概率. 如求
P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的样本点数，再利用公式P(A|B)＝计算；思路二：直
接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|
B)＝计算. 当直接求事件B发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把事件B分
解，然后借助全概率公式间接求出事件B发生的概率.
【例5】已知某音响设备由五个部件组成， 电视机， 影碟机， 线路， 左声道和
右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到
声音，当且仅当 与 至少有一个正常工作， 正常工作， 与 中至少有一个正常工作．
则听不到声音的概率为
A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828
【解答】解：因为 与 中都不工作的概率为 ，故 与 至少有
一个正常工作的概率 ．
同理可得 与 中至少有一个正常工作的概率 ，
结合 正常的概率 ，可得听到声音的概率为 ，
因此，听不到声音的概率为 ．
故选： ．
【变式训练1】已知事件 ， 相互独立， （A） ， （B） ，则A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72
【解答】解：因为事件 ， 相互独立，
所以 （A） （B） ．
所以 （A） （B） ．
故选： ．
【变式训练2】端午节是我国传统节日，甲，乙，丙 3人端午节来广州旅游的概率分别是
，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1人来广州旅游的概
率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率 ，
故这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为： ．
故选： ．
【变式训练3】甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲
在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为 ， ， ，则甲恰好连胜两局的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：设甲第 局胜， ，2，3，
则甲恰好连胜两局的概率 ，
故选： ．
【例6】甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳
成功与否相互之间没有影响，求：
（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
【解答】解：（1）设“甲第 次试跳成功”为事件 ，“乙第 次试跳成功”为事件 ，
依题意得 、 且 、 、2、 相互独立，
“甲第三次试跳才成功”为事件 ，且三次试跳相互独立，
，
即甲第三次试跳才成功的概率为0.032．
（2）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 ， ，
，
即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.94．
（3）设“甲在两次试跳中成功 次”为事件 、1、 ，
“乙在两次试跳中成功 次”为事件 、1、 ，
事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 ，且
、 为互斥事件，
所求的概率为
，
故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.2976．
【变式训练1】甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一
回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为 ，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球．
（1）求第3回合由乙发球的概率；
（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率．
【解答】解：（1）由题可知，第3回合由乙发球的概率为 ；
（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，
甲赢的回合数为2的概率为 ，
甲赢的回合数为3的概率为 ，
故前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为 ．
【变式训练2】在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取三局两胜制，即先
胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜出的概率都为 ，比赛不设平
局，且各局比赛的胜负互不影响．在甲第一局胜出的情况下，甲获得冠军的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得冠军的概率为 ；
②甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得冠军的概率为 ．
故甲获得冠军的概率为 ．
故选： ．
【变式训练3】湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广
大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有
甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条
线路中随机选择一条线路去研学，记事件 为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭中小学
生研学实践基地”，事件 为“甲和乙选择研学线路不同”，则A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，事件 为“甲和乙至少有一所学校选择仙岭中小学生研学实践基
地”，
事件 为“甲和乙选择的研学线路不同”，
可得 ，
又由事件 为“甲和乙至少有一所学校选择仙岭中小学生研学实践基地“，
可得 （A） ，
．
故选： ．
【例7】甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别
各自随机选择其中一项，记事件 ：甲和乙选择的活动各不同，事件 ：甲和乙恰好一人
选择①，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知， ， ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件 ：“取出的
5 个不同的数的中位数是 4”，事件 ：“取出的 5 个不同的数的平均数是 4”，则
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，从7个数中任取5个数，则基本事件总数为 ，
若5个数的中位数是4，需要在1、2、3中任取2个数，在5、6、7中任取2个数，与4一起组成3个数，
则事件 的基本事件有 个，所以 ，
其中5个数的平均数都是4的基本事件有1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，
6，共3种情况，
这3种情况恰好也是 的基本事件，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练2】居民的某疾病发病率为 ，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是
可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果 呈阳性，而没有患该疾病的人其化
验结果 呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
【解答】解：设 “患病”，则 “未患病”， “阳性”，
所以 （A） ， ， ， ，
（B） （A） ，
所以 ，
故某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是0.5．
故选： ．
【变式训练3】已知一个古典概型，其样本空间中共有 12个样本点，其中事件 有6个样
本点，事件 有4个样本点，事件 有8个样本点，则
A． B． C． D．
【解答】解：根据概率计算公式得：（A） ， （B） ， ，
（A） （B） ，
（A） （B） ．
故选： ．
【变式训练4】有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比
乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：甲的名次比乙高，
当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
所以甲的名次比乙高共有 种情况，
甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，
所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为 ．
故选： ．
【例8】五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、
丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，
学生甲、乙相邻出场的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：设“学生甲、乙相邻出场”为事件 ，“学生甲必须在学生乙的前面出场”
为事件 ，
依题意共有 种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有 种，所以 ，
甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有 种，
所以 ，
则 ．
故选： ．
【变式训练1】2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将甲、乙、丙、丁4
名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，
每座体育馆至少派1名志愿者， 表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”； 表示事件
“志愿者乙派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则
A．事件 与 相互独立 B．事件 与 为互斥事件
C． D．
【解答】解：将4名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派1名志愿者，
共有 种安排方案，
志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心，
各有 种方案，
；
志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有 种方案，
；志愿者甲派往黄龙体育中心且乙派往杭州奥体中心，有 种方案，
；
对于 ， （A） （B）， 事件 与 不相互独立，故 错误；
对于 ， ， 事件 与 不是互斥事件，故 错误；
对于 ， ，故 错误；
对于 ， ，故 正确．
故选： ．
【例9】已知 ， ， 为三个随机事件且 （A）， （B）， （C） ，则 ， ，
相互独立是 ， ， 两两独立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： ， ， 相互独立，则满足 （A） （B） （C），
且 （A） （B）， （B） （C）， （A） （C）；
， ， 两两独立则满足 （A） （B）， （B） （C），
（A） （C）；
故而 ， ， 相互独立则有 ， ， 两两独立，但是 ， ， 两两独立不能得出
， ， 相互独立，故 正确．
故选： ．
【变式训练1】在高三复习经验交流会上，共有3位女同学和6位男同学进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件 表示“第 位发言的是女同学”，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意， ， ，
所以 ．
故选： ．
【例10】已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，
不放回的取两次，求：
（1）第一次取到正品的概率；
（2）在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率．
【解答】解：（1）设 “第一次取到正品”， “第二次取到正品”，
所以 （A） ，第一次取到正品的概率为 ；
（2） ，
所以 ，
故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为 ．
【变式训练1】已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的 3个红球和3个
黑球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出 1个球，观察两球的颜色，若两
球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停
止取球，试验结束．
（1）求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；（2）我们知道，当事件 与 相互独立时，有 （A） （B）．那么，当事件
与 不独立时，如何表示积事件 的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命
题： （A） ，其中 表示事件 发生的条件下事件 发生的概率，
且对于古典概型中的事件 ， ，有 ．依据上述发现，求“第2次摸球试
验即结束”的概率．
【解答】解：（1）设甲袋中的三个红球为1，2，3，三个黑球为 ， ， ，
乙袋中的三个红球为4，5，6，三个黑球为 ， ， ，
设第1次摸球对应的样本空间为 ，则 ，
设事件 “第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
， ， ， ， ， ， ，
所以 （C） ，
所以 ；
（2）设两次摸球试验的样本空间为 ，则 ，
在样本空间 中，设事件 “第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件 “第2次摸球取出的两球颜色相同”，
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
且每个可能的结果对应的“第2次摸球中从甲、乙两袋中各一个球”均有36种可能取法，
所以 （A） ，
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，不妨设第1次摸球中甲取出1、乙取出 （其余情况，同理可得），
则第1次摸球结束后，甲袋中红球2个、黑球4个，乙袋中红球4个、黑球2个，
在接下来的第2次摸球中，当甲、乙两袋取出的球颜色相同时，
共有 种取法，
故 ，
所以 ，
因此 ．
【变式训练2】人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最
重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背
后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修
正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验
模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有
9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该
袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设
首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 （先验概率）．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一
从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第
二次试验结束的概率更大．
【解答】解：设试验一次，“取到甲袋”为事件 ，“取到乙袋”为事件 ，“试验结果
为红球”为事件 ，“试验结果为白球”为事件 ，
（1） ；所以试验一次结果为红球的概率为 ．
（2）①因为 ， 是对立事件， ，
所以 ，
所以选到的袋子为甲袋的概率为 ；
②由①得 ，
所 以 方 案 一 中 取 到 红 球 的 概 率 为 ：
，
方 案 二 中 取 到 红 球 的 概 率 为 ：
，
因为 ，所以方案二中取到红球的概率更大．
