文档内容
专题 9.4 双曲线
题型一 双曲线的定义
题型二 求双曲线的标准方程
题型三 根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围
题型四 双曲线的焦点三角形
题型五 距离和差的最值问题
题型六 双曲线的简单几何性质
题型七 双曲线的离心率
题型八 双曲线的渐近线
题型一 双曲线的定义
例1．（2021秋·高二课时练习）已知 、 是双曲线 的焦点， 是过焦点 的
弦，那么 的值是________．
例2．（2021秋·高三课时练习）（多选）已知 ，满足条件
的动点 的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中， 可以是（ ）
A． B．2 C． D．
练习1．（2023·四川达州·统考二模）设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，过
的直线与C的右支交于P，Q两点，则 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
练习2．（2022秋·高三课时练习）与圆 及圆 都外切的圆P的圆
心在（ ）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条直线上 D．双曲线的一支上练习3．（2021秋·高三课时练习）已知动点 满足 ，
则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
练习4．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点 的距离之差的绝对值等于
的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C： ，点M与曲线C的焦点不重
合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，
则 的值为______．
题型二 求双曲线的标准方程
例3．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛
总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对
称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和
双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023秋·高三课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆 短轴的两个端点为焦点，且过点 ；
(2)经过点 和 ．练习6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）若双曲线C：
其中一条渐近线的斜率为2，且点 在C上，则C的标准方程
为（ ）
A． B． C． D．
练习7．（2023秋·高三课时练习）已知双曲线过点 ，且与椭圆 有公共
焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
练习8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 满足下列条件中
的两个：①实轴长为4；②焦距为6；③离心率 ，则双曲线 的方程为___________.
（写出一个正确答案即可）
练习9．（2023·全国·高三对口高考）离心率为 且过点 的双曲线方程为______.
练习10．（2023·高三课时练习）动圆 过点 ，且与圆 外切，
则动圆圆心 的轨迹方程是______．
题型三 根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围
例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知曲线 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线 表示两条平行线，则
B．若曲线 表示双曲线，则
C．若 ，则曲线 表示椭圆
D．若 ，则曲线 表示焦点在 轴的椭圆例6．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）已知
表示焦点在 轴上的双曲线有 个， 表
示焦点在 轴上的椭圆有 个，则 的值为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
练习11．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）“ ”是“方程 表示双曲
线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
练习12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）对于曲线C：
，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若 ，则曲线C为椭圆 D．若 ，则曲线C为双曲线
练习13．（2023秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）若方程
所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误的是（ ）
A．若C是圆，则 B．若C为椭圆，则
C．若C为双曲线，则 或 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则
练习14．（2023·高三课时练习）若 ，则方程 表示的曲
线只可能是（ ）
A． B．C． D．
练习15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）（多选）当 变化时，
所表示的曲线形状，下列说法不正确的是（ ）
A．当 时，方程表示椭圆
B． 或 是方程表示双曲线的充要条件
C．该方程不可能表示圆
D． 是方程表示直线的充分不必要条件
题型四 双曲线的焦点三角形
例7．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设P是双曲线 右支上的一个动
点， 、 为左、右两个焦点，在 中，令 ， ，则
的值为_________．
例8．（2021秋·高三课时练习）已知点F，F 分别是双曲线 =1的左、右焦点，
1 2
若点P是双曲线左支上的点，且 ，则 的面积为____.
△
练习16．（2022秋·高三课时练习）已知点 分别是双曲线 的下、上焦点，
若点 是双曲线下支上的点，且 ，则 的面积为________.
练习17．（2023春·湖南·高三浏阳一中校联考阶段练习）已知离心率为2的双曲线
的左、右焦点分别为 、 ，过点 作直线与双曲线交于第一
象限内的点P，若 的内切圆半径为b，则直线 的倾斜角为__________．练习18．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别是 ， ，过点 的直线与双曲线的右支交于点
， ，连接 交双曲线的左支于点 ，若 ， ， ，则 的
面积是______．
练习19．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 ，双曲线
的左､右焦点分别为 、 ，点 在双曲线的右支上，且直线 的斜率为 .
若 ，则 __________.
练习20．（2023·全国·高三对口高考）设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点．
若点P在双曲线上，且 ，则 _________， _________；
题型五 距离和差的最值问题
例9．（2021秋·高二课时练习）设P是双曲线 的右支上的动点，F为双曲线的
右焦点，已知 ， ，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为
________．
例10．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考期中）已知F是双曲线C： 的右
焦点，P是C的左支上一点， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
练习21．（2022·青海西宁·统考二模）设双曲线 的左焦点为 ，点 为双曲线右
支上的一点，且 与圆 相切于点 ， 为线段 的中点， 为坐标原点，则
（ ）A．- B．-1 C．- D．-2
练习22．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期末）已知 ，
，动点 满足 ， ，则 周长的最小值为______，此时
点 的坐标为______.
练习23．（2022秋·河北邢台·高三统考阶段练习）如下图， 地在 地的正东方向 处，
地在 地的北偏东 方向 处，河流的沿岸 （曲线）上任意一点到 的距离比
到 的距离远 ，则曲线 的轨迹方程（以 中点为原点）是___________；现要在
曲线 上选一处 建一座码头，向 两地转运货物，那么这两条公路 的路程
之和最短是___________ .
练习24．（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线 ，其一条渐近
线方程为 ，右顶点为A，左，右焦点分别为 ， ，点P在其右支上，点
，三角形 的面积为 ，则当 取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
练习25．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线 的左焦点F作圆
的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则 的最大值为______．
题型六 双曲线的简单几何性质
例11．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考期中）已知 ，则双曲线
与 的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
例12．（2023·四川凉山·三模）已知以直线 为渐近线的双曲线，经过直线
与直线 的交点，则双曲线的实轴长为（ ）．
A．6 B． C． D．8
练习26．（2023·湖南·校联考模拟预测）过双曲线 的左焦点作直线 交双曲线于
A，B两点，若实数 使得 的直线 恰有3条，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
练习27．（2022秋·内蒙古包头·高三统考期末）若实数m满足 ，则曲线
与曲线 的（ ）
A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等
练习28．（2023·河南安阳·统考三模）以双曲线 的右焦点 为圆心
作圆，与 的一条渐近线相切于点 ，则 的焦距为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
练习29．（2022·全国·高三假期作业）已知点P是双曲线C： 上的动点， ，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习30．（2023·江苏南京·统考二模）（多选）若实数 ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型七 双曲线的离心率
例13．（2022秋·高三课时练习）已知A，B是双曲线 的两个顶点，
P为双曲线上(除顶点外)一点，若直线PA，PB的斜率乘积为 ，则双曲线的离心率
e=_____.
例14．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知双曲线 的
左､右焦点分别为 ，圆 ，过点 作圆 的切线交双曲线的右支于点 ，
点 为 的中点，且 ，则双曲线 的离心率是___________.
练习31．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）已知双曲线 的渐近线与
圆 相切，则 ______；双曲线的离心率为______.
练习32．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）双曲线 （ ，
）的焦距为 ，已知点 ， ，点 到直线 的距离为 ，点
到直线 的距离为 ，且 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．练习33．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点
分别为 ，点 是 的一条渐近线上的两点，且 （ 为坐标原点），
．若 为 的左顶点，且 ，则双曲线 的离心率为_____
练习34．（2023秋·高三课时练习）过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦PQ，点F
2 1
是另一个焦点，若 ，则双曲线的离心率等于________.
练习35．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知 分别为双曲线
的左、右焦点，过 的直线与双曲线左支交于 两点，且
，以 为圆心， 为半径的圆经过点 ，则 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
题型八 双曲线的渐近线
例15．（2023·河北·模拟预测）已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，
， 的一条渐近线过点 ，点 在 上，且 ，则 ______.
例16．（2023·全国·高三对口高考）与 有相同渐近线，焦距 ，则双曲线标
准方程为（ ）
A． B．
C． D．
练习36．（2021秋·高三课时练习）设P是双曲线 右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则 的值为________．
练习37．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为 ， ，点M，N在双曲线C上， .
若 为等边三角形，且 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
练习38．（2023·北京海淀·高三专题练习）与双曲线 渐近线相同，且一个焦点坐
标是 的双曲线的标准方程是__________．
练习39．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为 ， ，点P为第一象限内一点，且点P在双曲
线C的一条渐近线上， ，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
练习40．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分
别为 ，过 作渐近线的垂线交双曲线的左支于点 ，已知 ，则双曲线的渐
近线方程为______．
