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专题 8 极值点偏移问题
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现与函数极值点偏移有
关的函数与不等式问题（如2022高考全国卷甲理22）,已知函数 是连续函数,在区间 内
有且只有一个极值点 ,且 ,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点 ,我
们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值
点 的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”.此类问题背景新颖,教材中又没有涉及,不少同
学望而生畏,本专题给出此类问题的常用解法,共同学们参考.
二、解题秘籍
(一) 通过对称化构造新函数破解极值点偏易问题
【以例及类】已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)已知函数 的图像与 的图像关于直线 对称,证明：当 时, ；
(3)如果 ,且 ,证明： ．
【分析】(1)由 可得 在 上递增,在 上递减；
(2) ,构造函数 , ,由 单调性可
得 时 ；
(3)假设 ,由(2)得 ,即 ,由 在 上递增,可得.
该题的三问由易到难,层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程,直观
展示如下：
该题是这样一个极值点偏移问题：对于函数 ,已知 , ,证明 ．
再次审视解题过程,发现以下三个关键点：
① , 的范围 ；
②不等式 ；
③将 代入（2）中不等式,结合 的单调性获证结论．
小结：用对称化构造的方法求解极值点偏移问题大致分为以下三步：
①求导,获得 的单调性,极值情况,作出 的图像,由 得 , 的取值范围（数形结
合）；
②构造辅助函数（对结论 ,构造 ；对结论 ,构造
）,求导,限定范围（ 或 的范围）,判定符号,获得不等式；
③代入 （或 ）,利用 及 的单调性证明最终结论．
下面给出第(3)问的不同解法
【解析】法一： ,易得 在 上单调递增,在 上单调递减, 时,
, , 时, , 函数 在 处取得极大值 ,且 ,如图所
示.由 ,不妨设 ,则必有 ,
构造函数 ,
则 ,所以 在 上单调递增, ,也
即 对 恒成立.
由 ,则 ,
所 以 , 即 , 又 因 为
,且 在 上单调递减,
,即证
所以
法二：欲证 ,即证 ,由法一知 ,故 ,又因为 在
上单调递减,故只需证 ,又因为 ,
故也即证 ,构造函数 ,则等价于证明 对
恒成立.
由 ,则 在 上单调递增,所以 ,即已证明 对 恒成立,故原不等式 亦成立.
法三：由 ,得 ,化简得 …,
不妨设 ,由法一知, .令 ,则 ,代入式,得 ,反解出
,则 ,故要证： ,即证： ,又因为 ,等价
于证明： …,
构造函数 ,则 ,
故 在 上 单 调 递 增 , , 从 而 也 在 上 单 调 递 增 ,
,即证式成立,也即原不等式 成立.
法四：由法三中式,两边同时取以 为底的对数,得 ,也即 ,从
而 ,
令 ,则欲证： ,等价于证明： …,
构造 ,则 ,又令 ,则 ,由于 对 恒
成立,故 , 在 上单调递增,所以 ,从而 ,故 在
上 单 调 递 增 , 由 洛 比 塔 法 则 知 ：
,即证 即证式成立,也即原不
,
等式 成立.
【例1】（2023届贵州省威宁彝族回族苗族自治县高三数学样卷）已知函数
.
(1)当 时， ，求 的取值范围.
(2)若函数 有两个极值点 ，证明： .
【解析】（1）当 时， 在 恒成立，
令 ， ，
则 ，
函数 在 上单调递减，
，
，
的取值范围是 ．
（2）函数 ， ．则 ，
函数 有两个极值点 ， ，
有两个正实数解 方程 有两个正实数解 函数 与函数 ，
的图象有两个交点．
，令 ，解得 ，
当 时 ，则 单调递增，当 时 ，则 单调递减，
函数 的极大值即最大值为 ．
又 时 ，且当 时， ，又 ，
．
不妨设 ，
要证明 ， ．
令 ， ， ．
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
函数 在 单调递增，， ，即 ，
因此 成立．
(二) 含参函数问题可考虑先消去参数
含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元 的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到：想
尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.
由于可导函数 的极值点是 的零点,也是方程 的实根,所以有些与零点或方程实根有关
的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决.
【一题多解】已知函数 , 为常数,若函数 有两个零点 ,
试证明：
【分析】法一：消参转化成无参数问题：
, 是方程 的两根,也是方
程 的两根,则 是 ,设 ,则 ,从而
,
,此问题等价转化成为【例1】,下略.
法二：利用参数 作为媒介,换元后构造新函数：
不妨设 ,
∵ ,∴ ,
∴ ,欲证明 ,即证 .
∵ ,∴即证 ,∴ 原 命 题 等 价 于 证 明 , 即 证 ： , 令 , 构 造
,利用 单调性求解,下略.
法三：直接换元构造新函数：
设 ,
则 ,
反解出： ,
故 ,转化成法二,略.
【例2】（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）函数 有两个极值点
．其中 ， 为自然对数的底数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由于 ，
由题知 有两个不同实数根，即 有两个不同实数根．
令 ，则 ，解得 ，故 在 上单调递增，在 上单调
递减，且 时， ， 时， ， ，故 的图象如图所示，当 时， 有两个零点 且 ．则 或 ，故 在 上单
调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 的极大值点为 ，极小值点为 ．
故 有两个极值点时，实数 的取值范围为 ．
（2）由于
若设 ，则上式即为
由（1）可得 ，两式相除得 ，即 ，
由 得
所以 ，令 ，
则 在 恒成立，由于 ，
令 ，则 ，
，
显然 在 递增，
又有 ，所以存在 使得 ，且易得 在 递减， 递增，又有 ，
所以存在 使得 ，且易得 在 递减， 递增，
又 ，则 时， 时， ，所以易得 在 上
递减，在 上递增，则 ，
所以 的取值范围为 ．
(三) 对数平均不等式
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时,等号成立.
【例3】设函数 其图象与 轴交于 两点,且 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： 为函数 的导函数）；
【分析】（1） , 当 时, 在R上恒成立,不合题意
,
当 时,
当 ,即 时, 至多有一个零点,不合题意,故舍去；
,即 时,由 ,且 在 内单调递减,故 在 有且只有一
当
个零点；由令 ,则 ,故
所以 ,即在 有且只有一个零点.
由（1）知, 在 内递减,在 内递增,且
（2）
所以 ,因为 ,
,即 ,所以
,要证： ,只须证 ,即
所以
, ,
故
所以 ,所以
因为 ,所以 ,而
成立,所以
所以
【评注】根据对数平均不等式求解的步骤是：
1.通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出 ,
2.通过等式两边同除以 构建对数平均数 ,
3.利用对数平均不等式将 转化为 后再证明 （或 ）. 两种方法
各有优劣,适用的题型也略有差异.
(四) 一题多解赏析
4】已知 , ．若 有两个极值点 , ,且 ,求证：
【例【分析】解法一
欲证 ,需证 ．
若 有两个极值点 , ,即函数 有两个零点．又 ,所以, , 是方程
的两个不同实根．
于是,有 ,解得 ．
另一方面,由 ,得 ,
从而可得, ．
于是, ．
又 ,设 ,则 ．因此, , ．
要证 ,即证： , ．即：当 时,有 ．构造函数
, ,利用 为 上的增函数求解.
解法二
欲证 ,需证 ．若 有两个极值点 , ,即函数 有两个零点．又
,所以, , 是方程 的两个不同实根．显然 ,否则,函数 为单调函数,
不符合题意．由 ,问题转化为证明 ,构造函数
函数 ,根据 在 上递增,可得 =0,
所以 ,设 ,由 在 上递增可证.
解法三
由 , 是方程 的两个不同实根得 ,令 , ,由于
,因此, 在 , ．
设 ,需证明 ,只需证明 ,只需证明 ,即
,即 ．来源： 微信公众号 中学数学研讨部落
即 , ,故 在 ,故
,即 ．令 ,则 ,因为 , ,
在 ,所以 ,即 ．
解法四设 , ,则由 得 ,设 ,
则 , ．欲证 ,需证 ,把 代入整理得
,构造 证明.
设 , ,则由 得 ,设 ,
则 , ．欲证 ,需证 ,即只需证明 ,即
,设 ,
,故 在 ,因此 ,命题得证．
(五) 2022届高考全国卷甲理22题解析
极值点偏移问题前几年高考曾经考查过，2022年高考全国卷甲理再次考查极值点偏移问题，该题有一定难
度，但用前面介绍的方法可以轻易解决，下面给出两种解法，共同学们参考：
【例5】已知函数 ．
（1）若 ,求a的取值范围；
（2）证明：若 有两个零点 ,则 ．
【解析】解法一：（1）因为 ,
令 ,得
当 单调递减；当 单调递增,
所以 ,
若 ,则 ,即 ,
所以 的取值范围为 .
（2）由（1）知, 单调递减；当 单调递增,
若 有两个零点 ,则一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设
要证 ,即证 ,
因为 ,即证 ,因为 ,即证
即证 ,
即证 ,
下面证明 时, ,
设 ,则
,
设 ,
所以 ,而 ,
所以 ,所以 ,
所以 在 单调递增
即 ,所以
令
,
所以 在 单调递减,
即 ,所以 ；
综上, ,所以 .
解法二：
（1）因为 ,设 ,则 ,
所以 时 , 递减, 时 , 递增,
,
设 ,则 为增函数, ,
若 ,则 ,即 ,
所以 的取值范围为 .
（2）由（1）知 有两个零点 ,则方程 有两个实根 ,
因为 时 递减, 时 递增,
不妨设 ,
由 得 ,
所以要证 ,即证 ,即证 ,
即证 ,
设 ,即证 ,
设 ,则 ,
所以 为增函数, ,
所以 成立.三、典例展示
【例1】（2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若不等式 有解，求实数t的取值范围；
(3)若函数 有两个零点x，x，证明： ．
1 2
【解析】（1） ，
单调递增；
单调递减；
（2） 有解，
所以 ， ，
，
单调递增，
单调递减；
单调递增；
所以 ，
所以 .
（3） 有两个零点x，x，
1 2
有两个根x，x， 不妨设 ，由（1）可知两根也是 与 的两个交点，
1 2且 ， ，于是 ，由于 在 单调递减，故 等价于 ．
而 ，故 等价于 ．①
设 ，则①式为 ．
因为 ．
设 ，
当 时， ，故 在 单调递增，
所以 ，从而 ，因此 在 单调递增．
又 ，故 ，故 ，于是 ．
【例2】（2024届浙江省名校协作体高三上学期7月适应性考试）已知函数 有两个零
点 .
(1)证明： ；
(2)求证：① ；② .
【解析】（1）由 ，当 时 ， 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
所以 ，
当 时 ， ，所以 ，
若 ，即 时，则 时 ，此时 在 上不存在零点，
要使 有两个零点，故 .（2）①要证 ，不妨设 ，则证 ，
因为 在 上单调递增，即证 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，即 ，得证；
②引理1：当 时 ：
证明：当 时 ，得证.
利用引理1： ，所以 ①，
引理2： ：
证明：令 ，
则 ，当 时 ， 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
利用引理2，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ②，
由①，②知： .
【例3】（2023届江苏省常州市高三上学期期末）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 存在两个零点 ， ，求a的取值范围，并证明： .
【解析】（1）因为函数的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上递增；当 时，由 得， ，
时， ， 递增；
时， ， 递减.
综上，当 时， 在 上递增；
当 时， 在 上递增，在 上递减.
（2）由（1）知， 且 ，解得 ，
当 时， ，所以 在 上存在唯一零点，记为 ；
因为 ，所以 ，因为 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上递减，
所以 ，即 ，
所以 在 上存在唯一零点，记为 ，
因为a的取值范围是 .
因为 ，令 ，
则 ，得 ，
所以 ，
要证 ，只要证 ，只要证 ，设 ， ，
则 ，所以 在 上递增，
所以 ，得证．
【例4】（2023届江西省九江第一中学高三上学期12月月考）已知函数 有两个极值点
， .
(1)求 的取值范围；
(2)证明： .
【解析】（1） ,
有两个极值点 ， ，则 在 上有两个实数根 ， ，
所以 在 上有两个实数根 ， ，
则 解得 ，
故 的取值范围为 ，
（2）由（1）知 ，且 ，
，
令 ， ，令 在 上恒成立，
所以 在 单调递减，故 ，
因此 在 单调递减，故 ，
故 ，得证.
【例5】（2023届广东省高三上学期第一次联考）已知函数 ， ．
(1)若 ，判断函数 的单调性；
(2)若函数 的导函数 有两个零点 ，证明： ．
【解析】 (1)若 ，则 ，
所以 ，
由 ，得 ；
由 ，得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
(2)因为函数 ，所以 ，
所以 ．
若函数 有两个零点 ，
则方程 的判别式 ，
，
所以 ．
又 ，所以 ，即 ，，
欲证 ，只需证 ，
即证 ．
设 ，其中 ，
由 ，得 ．
因为 ，所以 ，
由 得 ；由 得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ，
从而 成立．
四、跟踪检测
1.（2023届河北省部分高中高三三模）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 为函数 的导函数， 有两个零点 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围；（ⅱ）证明： ．
2．（2023届云南师大附中高考适应性月考）已知函数 ，且 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，函数 有三个零点 ， ， ，且 ，试比较 与2的大
小，并说明理由．
3．（2024届四川省绵阳市高中高三突击班诊断性考试）已知函数 在其定
义域内有两个不同的极值点.
(1)求 的取值范围；
(2)记两个极值点为 ，且 . 若 ，证明： .
4．（2023届海南省海口市海南华侨中学高三模拟测试）已知函数 （ ）有两个零点.
(1)求实数 的取值范围；
(2)设函数 的两个零点分别为 ， ，证明： .
5．（2023届湖南省常德市第一中学高三下学期5月月考）已知函数
(1)求 的单调区间;
(2)若存在实数 ，使得方程 有两个不相等的实数根 ，求证：
6．（2023届北京市通州区高三考前查漏补缺）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
7．（2023届安徽省皖江名校高三最后一卷）已知函数 有两个极值点 ，且.
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，证明：
8．（2024届山东省新高考质量检测联盟高三第一次质量检测）已知函数 有三个
零点.
(1)求 的取值范围；
(2)设函数 的三个零点由小到大依次是 .证明： .
9．（2023届海南省海口市等5地高三上学期12月期末）已知函数
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 有两个不同的零点 ， ，证明： ．
10．（2023届江苏省镇江中学高三三模）已知函数 .
(1)若 有两个极值点 .求实数 的取值范围.
(2)在（1）的条件下，求证： .
11．（2023届福建省宁德市五校教学联合体高三下学期3月质量监测）已知函数 ，其中
为实数， 为自然对数底数， .
(1)已知函数 ， ，求实数 取值的集合；
(2)已知函数 有两个不同极值点 、 ，证明
