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期末高频压轴必杀题
一．选择题
1．边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对应数﹣1）开始在
数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处
时停止运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点O
【答案】A
【解答】解：∵2023＝505×4+3，
∴与2023重合的点即是滚动后与3重合的点，
而与1重合的是C，与2重合的是B，与3重合的是A，
∴与2023重合的是A，
故选：A．
2．如图，棱柱的底面是边长为8的正方形，侧面都是长为16的长方形，点D是BC的中
点，在棱柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的食物，需要爬行的最
短路程是s，则s2的值为（ ）
A．784 B．464 C．400 D．336
【答案】C
【解答】解：棱柱展开如图所示，
∵棱柱的底面是边长为8的正方形，侧面都是长为16的长方形，点D是BC的中点，
∴BD＝4，∴AD＝ ＝20，
∴需要爬行的最短路程s是20，
∴s2的值是400．
故选：C．
3.（2021春•鄂州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y＝x+1交x轴于点A，交y
轴于点A ，A ，A ，…在直线l上，点B ，B ，B ，…在x轴的正半轴上，若△A OB ，
1 2 3 1 2 3 1 1
△A B B ，△A B B ，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第10个
2 1 2 3 2 3
等腰直角三角形是A B B ，其点B 的横坐标为（ ）
10 9 10 10
A．512 B．1023 C．2047 D．2048
【答案】B
【解答】解：直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为（﹣1，0），（0，1），
∴OA ＝1，
1
∵△A OB ，△A B B ，△A B B ，…，依次均为等腰直角三角形，
1 1 2 1 2 3 2 3
∴B （1，0），
1
∴A （1，2），
2
∴A B ＝2，
2 1
∴B （3，0），
2
∴A （3，4），
3
∴A B ＝4，
3 2
∴B （7，0），
3……
∴顶点B 的坐标为B （2n﹣1，0），
n n
∴点B 的横坐标为：210﹣1＝1023．
10
故选：B．
4.（2021春•汝阳县期末）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A ，如图所
1
示，依次作正方形A 1 B 1 C 1 O，正方形A 2 B 2 C 2 C 1 ，…，正方形A n B n n C n﹣1 ，使得点A 1 ，
A ，A ，…，在直线l上，点C ，C ，C ，…，在y轴正半轴上，则∁ 点B 的坐标为（
2 3 1 2 3 2021
）
A．（22020，22021﹣1） B．（22021，22021）
C．（22021，22022﹣1） D．（22020，22021+1）
【答案】A
【解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点A 的坐标为（1，0）．
1
∵四边形A B C O为正方形，
1 1 1
∴点B 的坐标为（1，1）．
1
同理，可得出：A （2，1），A （4，3），A （8，7），A （16，15），…，
2 3 4 5
∴B （2，3），B （4，7），B （8，15），B （16，31），…，
2 3 4 5
∴B （2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数），
n
∴点B 的坐标为（22020，22021﹣1）．
2021
故选：A
二．填空题
5．小明用S2＝ [（x
1
﹣3）2+（x
2
﹣3）2+⋯+（x
10
﹣3）2]计算一组数据的方差，那么
x
1
+x
2
+x
3
+⋯+x
10
＝ ．【答案】30
【解答】解：由S2＝ [（x
1
﹣3）2+（x
2
﹣3）2+⋯+（x
10
﹣3）2]，知这10个数据的平
均数为3，
所以x +x +x +…+x ＝3×10＝30，
1 2 3 10
故答案为：30．
6．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＝﹣4，则k的值为
．
【答案】7
【解答】解： ，
①+②得，5（x+y）+4k＝8，
∵x+y＝﹣4，
∴﹣20+4k＝8，
解得k＝7，
故答案为：7．
29．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列
车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之
间的函数关系，根据图象可知，下列结论：①两车出发后4小时相遇；②动车的速度
是普通列车速度的2倍；③两车相遇后，普通列车还需行驶6小时到达目的地；④C
点的坐标是（5，1000），其中正确的有 .（填所有正确结论的序号）
【答案】①②
【解答】解：由图象可得，甲、乙两地相距 1800千米，两车出发后4小时相遇，故①
正确；由图象可知，普通列车到达终点共需12小时，普通列车的速度是：1800÷12＝150（千
米/小时），
动车的速度为：1800÷4﹣100＝450﹣150＝300（千米/小时），
∵300＝2×150，
∴动车的速度是普通列车速度的2倍；故②正确；
∵12﹣4＝8（小时），
∴两车相遇后，普通列车还需行驶8小时到达目的地，故③错误；
由题意可知，m＝1800÷300＝6．
n＝（6﹣4）×450＝900．
∴C（6，900）．故④错误；
故答案为：①②．
7．若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则关于a，b的二元一次方程
组 的解是 ．
答案】
【
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
∴m＝0，n＝ ，
∴关于a，b的二元一次方程组 可变为 ，
解得 ，
故答案为： ．
三．解答题8．在平面直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交
于A、B两点．
（1）求直线l对应的函数解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为等腰三角形，若存在，直接写出点 C坐
标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设直线l对应的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（1，3），（3，1）代入y＝kx+b，得： ，
解得： ，
∴直线l对应的函数解析式为y＝﹣x+4．
（2）当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
当y＝0时，﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）．
∴S△AOB ＝ OA•OB＝ ×4×4＝8．
（3）存在．理由如下：
分三种情况考虑（如图）：
①当BA＝BC时，OA＝OC ，
1
∵点A的坐标为（4，0），
∴点C 的坐标为（﹣4，0）；
1
②当CA＝CB时，∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
∴OA＝OB，∴点C 的坐标为（0，0）；
2
③当AB＝AC时，∵AB＝ ＝4 ，点A的坐标为（4，0），
∴点C 的坐标为（4+4 ，0），点C 的坐标为（4﹣4 ，0）．
3 4
综上所述：点C的坐标为（﹣4，0），（0，0），（4+4 ，0）或（4﹣4 ，0）．
9．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电
脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A
型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购
进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条
件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b
元；根据题意得
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33 ，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，
33 ≤x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，
即商店购进A型电脑数量满足33 ≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
10．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动
鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于
21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动
鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利
润应如何进货？
【解答】解：（1）依题意得， ＝ ，
整理得，3000（m﹣20）＝2400m，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原分式方程的解，
所以，m＝100；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105﹣95+1＝11，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为 W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000
（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x＝105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x＝95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
11．2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，
立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组
由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的
折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲 （千米）、y乙 （千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 1. 9 小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距
出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过
25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
【解答】解：（1）1.9；
（2）设直线EF的解析式为y乙 ＝kx+b，
∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，
∴ ，
解得 ∴直线EF的解析式是y乙 ＝80x﹣100；
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为80×6﹣100＝380；
∴点C的坐标是（6，380）；
设直线BD的解析式为y甲 ＝mx+n；
∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，
∴ ；
解得 ；∴BD的解析式是y甲 ＝100x﹣220；∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲 得B（4.9，270），
∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
（3）符合约定；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有y乙 ﹣y甲 ＝80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）＝22千米＜25千米，
在点D有y甲 ﹣y乙 ＝100×7﹣220﹣（80×7﹣100）＝20千米＜25千米，
∴按图象所表示的走法符合约定．
12．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲
地的距离为y 千米，出租车离甲地的距离为y 千米，两车行驶的时间为x小时，y 、y
1 2 1 2
关于x的函数图象如图所示：
（1）根据图象，直接写出y 、y 关于x的函数图象关系式；
1 2
（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租
车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．
【解答】解：（1）设y ＝k x，由图可知，函数图象经过点（10，600），
1 1
∴10k ＝600，
1
解得：k ＝60，
1
∴y ＝60x（0≤x≤10），
1
设y ＝k x+b，由图可知，函数图象经过点（0，600），（6，0），则
2 2
，
解得：∴y ＝﹣100x+600（0≤x≤6）；
2
（2）由题意，得
60x＝﹣100x+600
x＝ ，
当0≤x＜ 时，S＝y ﹣y ＝﹣160x+600；
2 1
当 ≤x＜6时，S＝y ﹣y ＝160x﹣600；
1 2
当6≤x≤10时，S＝60x；
即S＝ ；
（3）由题意，得
①当A加油站在甲地与B加油站之间时，（﹣100x+600）﹣60x＝200，
解得x＝ ，
此时，A加油站距离甲地：60× ＝150km，
②当B加油站在甲地与A加油站之间时，60x﹣（﹣100x+600）＝200，
解得x＝5，此时，A加油站距离甲地：60×5＝300km，
综上所述，A加油站到甲地距离为150km或300km．
13．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A
地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间
x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地之间的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出
甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．【解答】解：（1）x＝0时，甲距离B地30千米，
所以，A、B两地的距离为30千米；
（2）由图可知，甲的速度：30÷2＝15千米/时，
乙的速度：30÷1＝30千米/时，
30÷（15+30）＝ ，
×30＝20千米，
所以，点M的坐标为（ ，20），表示 小时后两车相遇，此时距离B地20千米；
（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，
①若是相遇前，则15x+30x＝30﹣3，
解得x＝ ，
②若是相遇后，则15x+30x＝30+3，
解得x＝ ，
③若是到达B地前，则15x﹣30（x﹣1）＝3，
解得x＝ ，
所以，当 ≤x≤ 或 ≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+6分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段AB
绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．连接BC交x轴于点D．
（1）求点C的坐标；（2）P为x轴上的动点，连接PB，PC，当|PB﹣PC|的值最大时，求此时点P的坐标．
（3）点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B、D、E、F为顶点的四边形是平行四边
形，请直接写出点F的坐标；
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
∴OA＝2，BO＝6，
过点C作CH⊥x轴于H，
∵∠CAD+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴∠AHC＝∠BOA＝90°，
由旋转得AB＝AC，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴CH＝OA＝2，AH＝BO＝6，
∴OH＝AH﹣OA＝4，
∴点C的坐标为（4，﹣2）；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接BC'延长交x轴于点P，则点P就是所求的最大
值点，
∴C'（4，2），
设直线BC'的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴y＝﹣x+6，
∴P（6，0）；
（3）∵A（﹣2，0），C（4，﹣2），B（0，6），
可求直线AC的解析式为y＝﹣ x﹣ ，直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
∴D（3，0），
设E（t，﹣ t﹣ ），F（x，0），
①以BD为平行四边形的对角线时，
∴ ，
解得 ，
∴F（23，0）；
②当BE为平行四边形的对角线时，
∴ ，
解得 ，
∴F（13，0）；
③当BF为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
∴F（﹣17，0）；
综上所述，点F的坐标为（﹣17，0）或（13，0）或（23，0）．15.如图，已知点A（2，﹣5）在直线l ：y＝2x+b上，l 和l ：y＝kx﹣1的图象交于点B，
1 1 2
且点B的横坐标为8．
（1）直接写出b、k的值；
（2）若点Q是直线l 上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标．
2
【答案】（1） b＝﹣9，k＝1 （2）点Q的坐标为（ ，﹣ ）
【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，
解得：b＝﹣9，
∴直线l 的解析式为y＝2x﹣9，
1
将x＝8代入y＝2x﹣9中，
解得：y＝7，∴点B的坐标为（8，7），
将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得
7＝8k﹣1，
解得：k＝1，
综上：b＝﹣9，k＝1；
（2）过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作
EG⊥FG于G，
∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，
∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，
∴∠EQG＝∠QAF，
∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴EQ＝QA，
在△EGQ和△QFA中，
，
∴△EGQ≌△QFA（AAS），
∴EG＝QF，QG＝AF，
设Q（a，a﹣1），
∵A（2，﹣5），
∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，
∴点E坐标（2a+4，1），把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，
得4a+8﹣9＝1，解得：a＝ ，
∴点Q的坐标为（ ，﹣ ）．
