文档内容
专题 9-2 圆锥曲线（解答题）
目录
专题9-2圆锥曲线（解答题）................................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：中点弦问题................................................................................................................................1
题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题........................................................................................7
题型三：椭圆，双曲线，抛物线中的参数范围（最值）问题..........................................................17
题型四：椭圆，双曲线，抛物线中定点问题......................................................................................25
题型五：椭圆，双曲线，抛物线中定值问题......................................................................................35
题型六：椭圆，双曲线，抛物线中定直线问题..................................................................................44
................................................................53
题型一：中点弦问题
【典例分析】
例题1．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）已知椭圆 经过点
．
(1)求 的标准方程；
(2)若直线 与 交于 、 两点，且弦 的中点为 ，求直线 的斜率．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）解：依题意可得 ，故椭圆 的标准方程为 ．
（2）解： ，所以，点 在椭圆 内，
若直线 轴，则 的中点在 轴上，不合乎题意，
设点 、 ，由题意可得 ，
则 ，两式相减，得 ．
即 ，所以直线 的斜率 ．
例题2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）动点 与定点
的距离和它到定直线 的距离的比是 ，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知过点 的直线与曲线 相交于两点 ， ，请问点 能否为线段 的中点，
并说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析.
【详解】（1）解：动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比
是
则
等式两边平方可得：化简得曲线C的方程为：
（2）解：点 不能为线段 的中点，理由如下：
由（1）知，曲线C的方程为：
过点 的直线斜率为 ， ，
因为过点 的直线与曲线C相交于两点 ，
所以 ，两式作差并化简得： ①
当 为 的中点时，则 ， ②
将②代入①可得：
此时过点 的直线方程为：
将直线方程与曲线C方程联立得：
，
，无解
与过点 的直线与曲线C相交于两点矛盾
所以点 不能为线段 的中点
【提分秘籍】
中点弦问题常用方法：
①点差法（回代检验）
②联立，借助韦达定理.
【变式演练】1．（2022·高二课时练习）已知：椭圆 ，求：
（1）以 为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）设弦的端点 ， ，
可得： ， ，
相减可得： ，
把 ， ， 代入可得： ．
∴以 为中点的弦所在直线的方程为： ，化为： ．
（2）设直线方程为： ，弦的端点 ， ，中点 ．
联立 ，化为 ，
，化为： ，
∴ ，化为： ．
得 ，
∴
2．（2022春·广西·高二校联考阶段练习）已知直线 ，圆 ：，双曲线 ： ．
(1)直线 与圆 有公共点，求 的取值范围；
(2)若直线 与 交于 ， 两点，且点 为 的中点，若存在，求出 方程，若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由已知得，圆 ： ，∴圆心 ，半径 ，
∵ 与圆有交点，
则圆心 到 的距离 ，
整理可得， ，
解得， ．
（2）设存在直线，由题意可知，直线斜率不存在时不成立.
设 、 ，
因为 是 的中点，所以 ， ．
又 ， 在双曲线上，所以 ，
两式相减得 ，
整理可得， ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴ 方程为 ，经检验，该直线与双曲线交于两点.但 不在 上，
∴不存在这样的直线．
3．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点
为 ，直线 与C交于A，B两点．
(1)若 的倾斜角为 且过点F，求 ；
(2)若线段AB的中点坐标为 ，求 的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 的倾斜角为 ， ，
所以直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
设 ，则 ，
所以 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
因为线段AB的中点坐标为 ，所以 ，
所以 ，所以 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，即 .题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题
【典例分析】
例题1．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 中， 已知椭圆
，椭圆 .设点 为椭圆 上任意一点，过点 的直线
交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .
(1)求 的值；
(2)求 面积的最大值.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）设 ， 由题意知 .
因为 ， 又 ， 即 ， 所以 ，
即 .
（2）由(1)知， 的面积为 ，
设 .
将 代入椭圆 的方程， 可得 ，
由 ， 可得 ，①
则有 . 所以 .因为直线 与 轴交点的坐标为 ，
所以 的面积
.
设 ， 将 代入椭圆 的方程，
可得 ，
由 ， 可得 ，②
由 (1)(2)可知 ， 因此 ， 故 ， 当
且仅当 ， 即 时取得最大值 .
所以 面积的最大值为 .
例题2．（2022春·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线 ： ，直线 交抛物
线 于 两点， ， ，且 .
(1)求坐标原点 到直线 的距离的取值范围；
(2)设直线 与 轴交于 点，过点 作与直线 垂直的直线 交椭圆 ： 于
， 两点，求四边形 的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 .联立 ，消去 ，整理得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以原点 到直线 的距离为 ，
又 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以坐标原点 到直线 的距离的取值范围为 .
（2）由（1）可知 .
由题意及（1）可知直线 的方程为 .
设 ，
联立 ，消去 ，整理得 ，
则根据根与系数的关系，得 ，
所以 ，
所以 ，
四边形
设 则
，
四边形因为 在 上单调递增，
所以 ,
四边形
所以四边形 的面积的最小值为 .
【提分秘籍】
①面积公式： （其中底可以选择弦长，利用弦长公式求解，高可以利用点
到
直线的距离公式求解）
②面积也可以通过分割求解.
③涉及到面积最值时，通常可以考虑基本不等式，转化为一元二次函数，求导等方法，求
最值。
【变式演练】
1．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知椭圆 经过点
，左焦点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作直线 与椭圆 交于 两点，点 满足 （ 为原点），求
四边形 面积的最大值.
【答案】(1) ；
(2)2.
【详解】（1）设椭圆的焦距为 ，则 ，
又因为椭圆经过点 ，所以 ，
又， ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为 ，所以四边形 为平行四边形，
当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
与椭圆交于 ， 两点，
由 .
由
，
，
，
令 ，则 （由上式知 ），
，当且仅当 ，即 时取等号.
∴当 时，平行四边形 的面积最大值为2.
2．（2022春·江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习）已知双曲线
为坐标原点,离心率 ,点 在双曲线 上(1)求双曲线 的方程;
(2)如图,若斜率为 的直线 过双曲线的左焦点,分别交双曲线于 两点,求 的值,
并求出 外接圆的方程
【答案】(1)
(2) ,
（1）
由题知 ,解得
所以双曲线 的方程为:
（2）
直线 ,设联立 ,得
所以
所以 外接圆圆心为
直径为 ,即半径
所以 外接圆的方程为
3．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知双曲线C的离心率为
，且过 点，过双曲线C的右焦点 ，做倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，
O为坐标原点， 为左焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .【详解】（1）过 点，所以 ， ，所以 ，又 ，所以
，
所以双曲线的方程为 .
（2）结合题意可得直线AB的方程为 ，
设 ， ，联立方程 ，消去y，得 .
∴ ， ，∴ ，
直线AB的方程变形为 .
∴原点O到直线AB的距离为 ，∴
.
4．（2022春·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知点 是抛物线C：
上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互
补．
(1)证明：直线AB的斜率为定值；
(2)当△PAB为直角三角形时，求△PAB的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，或者
【详解】（1）将点 是代入抛物线方程 ，得 ，所以 ，
由题意，PA、PB斜率一定存在且不为0，设直线 的方程为 ，
与抛物线方程 联立得 ，所以 ，即 ，用 代替 可得 ，
所以 ，
所以直线AB的斜率为定值 ；
（2）若 ，
如上图，因为 ，所以 ， ，
直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得 ，
解得 或 ，即 代入直线 方程得 ，可得 ，
所以直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得 ，
解得 或 ，即 代入直线 方程得 ，可得 ，
所以 ， ，
所以 ；
若 ，如上图，因为 ，所以 ， ，
直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得 ，
解得 或 ，即 代入直线 方程得 ，可得 ，
所以直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得 ，
解得 或 ，即 代入直线 方程得 ，可得 ，
所以 ， ，
所以 ；
若 ，如下图，
则 ，因为 ，所以 ，或 ，因为 与 同解，
不妨令 ，可得直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得
，
解得 或 ，即 代入直线 方程得 ，可得 ，
所以直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得 ，
解得 或 ，即 代入直线 方程得 ，可得 ，
所以 ， ，
所以 ；
综上所述， ，或者 .
题型三：椭圆，双曲线，抛物线中的参数范围（最值）问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二假期作业）若椭圆 和椭圆 满足
，则称这两个椭圆相似， 称为其相似比．
(1)求经过点 ，且与椭圆 相似的椭圆方程．
(2)设过原点的一条射线 分别与（1）中的两个椭圆交于 、 两点（其中点 在线段
上），求 的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为【详解】（1）设所求的椭圆方程为 ，则由题意得 ，解得 ，
所要求的椭圆方程为 ．
（2）①当射线与 轴重合时， ．
②当射线不与 轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考虑 、 在第一象限或x轴正半轴
的情形．
设其方程为 ，设 ， ， ， ，
由 ，解得 ， ，
由 ，解得 ， ，
，
令 ，则由 ，知 ，
，记 ，则 在 上是增函数， ，
，
由①②知， 的最大值为 ， 的最小值为 ．
例题2．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知抛物线 上一点
，抛物线 的焦点 在以 为直径的圆上（ 为坐标原点）.(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 引圆 的两条切线 、 ，切线 、 与抛物
线 的另一交点分别为 、 ，线段 中点的横坐标记为 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）
由已知条件可得 ， ，
解得 ，所以，抛物线的方程为 .
（2）
由题意可知，过 引圆 的切线斜率存在，
设切线 的方程为 ，
则圆心 到切线 的距离 ，
整理得， .，
设切线 的方程为 ,
同理可得 .
所以， 是方程 的两根，
.
设 ， ，由 ，得 ，
由韦达定理知 ，
所以 ，同理可得 .
设点 的横坐标为 ，则
.
设 ，则 ，
所以 ，对称轴 ，则
【提分秘籍】
解析几何中求参数的范围常用工具：
①基本不等式；②转化为一元二次函数型；③求导
【变式演练】
1．（2022春·江西·高二统考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分
别为 ，点 是椭圆 上任意一点，且 的最大值为3， 的最小值为1.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点，过点 且与直线 垂直的直线与 轴交于点
，当 取得最大值时，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或【详解】（1）设焦距为 ，则 ， ，解得 ， ，
，椭圆 的方程为： .
（2）由已知得，过点 的直线 可设为： ， ，
联立得， ，整理得， ，
则 ，解得 ，
设 ， ，得 ， ，
设过点 且与直线 垂直的直线为 ，得 ，又 ，
得 ，
，令 ， ，
则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 ，解得 ，可得 ，
故所求直线 为： 或
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C经过点 ，它的两条渐近线分别为
和 .(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为 ､ ，过左焦点 作直线l交双曲线的左支于A､B两
点，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设双曲线C的方程为 ，
代入点 ，得 ，
所以双曲线C的标准方程为 .
（2）双曲线C的左焦点为 ，
设 ､ ，
①若直线l的斜率不存在，则 ，得A､B的坐标分别为 和 ，
此时 的周长为 .
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，由 得 ，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，
所以 ，
得
设 的周长为z，
，
设 ，由 ，得 ，
， ，
所以 ，
综上，由①②可得 的周长的取值范围 .3．（2022秋·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知抛物线 ：
的焦点为 ，点 在抛物线 上．
(1)若 ，求抛物线 的标准方程；
(2)若直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，且满足 ，原
点 到直线 的距离不小于 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【详解】（1）由题意及抛物线的定义得： ，
又因为点 在抛物线 上，所以 ，
由 可得 或 ，
所以抛物线 的标准方程为 或 ．
（2）设 ， ，
联立 消去 可得： ，
则 ， ，
因为 ，
所以
，
所以 ，可得 ，由原点 到直线 的距离不小于 ，可得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 不成立，所以 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 ．
题型四：椭圆，双曲线，抛物线中定点问题
【典例分析】
例题1．（2022·天津南开·统考三模）已知焦点在 轴上，中心在原点，离心率为 的
椭圆经过点 ，动点 ， （不与点 重合）均在椭圆上，且直线 与 的斜率
之和为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线 经过定点，并求这个定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析；定点
（1）
解：设椭圆 ，
由离心率为 ，得 ，
又因为 ，
所以 ．由 在椭圆上可得 ，
解得 ， ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）
当直线 与x轴垂直时，设 ，则 ．
由题意得： ，即 ．所以直线 的方程为 ．
当直线 不与x轴垂直时，可设直线 为 ， ， ，
将 代入 得 ，
所以 ， ．
由已知可得 ①，
将 和 代入①，
并整理得 ②，
将 ， 代入②，
并整理得 ，可得 ，
因为直线 不经过点 ，
所以 ，故 ．
所以直线 的方程为 ，经过定点 ．
综上所述，直线 经过定点 ．
例题2．（2022春·山东菏泽·高二校考期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，直线 与抛物线 交于 、 两点.
(1)若 ，求 的值；
(2)当 时，直线 是否过定点？若是过定点，求出该定点；若不过定点，说明理
由.
【答案】(1)
(2)过定点，定点为
【详解】（1）解：由 点坐标为 ，知直线 的斜率为 ，且 ，
由 ，得 ，且 .
联立直线 的方程 与抛物线方程 ，消 ，
整理得 .
则 ，即 ，①
设点 、 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
结合①，解得 .（2）解：设 、 ，
联立 与 ，消去 ，整理得 ，
由题意可得 ， ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
若 或 中有一条直线垂直于 轴，不妨设 轴，则直线 轴，
此时，直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意；
所以，直线 、 的斜率都存在且均不为零，
，同理可得 ，
由 ，知 ，即 ，
所以， ，
即 ，即 ，可得 ，
所以，直线 的方程为 ，
因此，直线 过定点 .
【提分秘籍】
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的
一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线
系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的
解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式
来证明.
【变式演练】
1．（2022·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶
点分别为 ， ，上下顶点分别为 ， ，四边形 的面积为 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点 的直线l交椭圆于P，Q两点，直线 和直线 的斜率之和为2，证明：直
线l恒过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由题意可得 ， ，即 ，又
，解得 ， ， ，
则椭圆的方程为 ；
（2）证明：由（1）可得 ，
①当直线 的斜率存在时，设 ， ， ，
由 ，所以 ，
又 ， 代入整理得 ，
由 消去 整理得 ，
所以 ， ，所以 ，
整理得 ，
当 时，直线 过 ，不符合题意，
所以 ，即 ，
故直线 的方程为 ，符合题意，
故恒过点 ；
②当直线 的斜率不存在时，设 ， ，由 ，解得
，
即直线 的方程为 ，必过定点 ，
综上可得，直线 恒过定点 ；
2．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知过点 ， 的双曲线
的右顶点为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过点 的直线 交双曲线 于 两点，过 作 轴的垂线与线段 交于点
，点 满足 ，证明：直线 过定点 .
【答案】(1) ；
(2)证明见详解.
【详解】（1）由已知可得 ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 .
（2）证明：由（1）可得， ，设 ， ，
，直线 的方程为 .
由 可得 ，即点 是线段 的中点.
假设直线 的斜率不存在，此时直线 的方程为 ，此时直线 与双曲线相切，只有一个
交点，不满足，所以直线斜率一定存在.
设斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 .
因为点 是线段 的中点，且 ，设 ，
则有 ，所以 ，所以 .
于是 的方程为 .
下面证明：直线 过定点 .
即证 ，即证 ，
即证 .
又 ， 代入左边可得，
（*）
联立直线 的方程与双曲线的方程 ，可得
，由已知应满足 ，解得 且 ，
且 ，代入（*）式可得，
恒成立，
所以，直线 过定点 .
3．（2022春·江西抚州·高二校联考阶段练习）已知 为坐标原点，点 在双曲线
上，直线 交 于 ， 两点.
(1)若直线 过 的右焦点，且斜率为 ，求 的面积；
(2)若直线 ， 与 轴分别相交于 ， 两点，且 ，证明：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）将点 代入 的方程，得 ，解得 ，
所以 的方程为 .直线 的方程为 ，
联立方程 整理得， ，解得 ，
不妨设 ， ，
则 ，点 到直线 的距离为 ，所以 的面积为
；
（2）
依题意作上图，设 ，则 ， ，
，
直线AP的方程为： ，直线AQ的方程为：
；
联立方程： ，解得： ，
显然 ，即 ；
， ，
联立方程： ，解得： ，显然 ，即 ，
，
即当 时，
直线PQ的方程为： ，将上面求得的 解析式代入得：
，整理得： ，
所以直线PQ过定点 .
4．（2022秋·云南昆明·高二校联考期中）已知一个边长为 的等边三角形的一个顶点位
于原点，另外两个顶点在抛物线 上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 、 两点， 交抛物线 于
， 两点，若线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，证明：直线 过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
由对称性可知等边三角形的顶点 在 上，
代入得： ，解得： ，
所以抛物线方程为： ；
(2)由题意知 和 斜率均存在， ，设直线 方程为 ，
则直线 方程为 ，
由 联立得： ，
设 ，则 ，
故 ，同理得
故直线MN方程为
整理得： ，故直线MN过定点
题型五：椭圆，双曲线，抛物线中定值问题
【典例分析】
例题1．（2022春·北京西城·高三北京师大附中校考阶段练习）已知椭圆
的左右焦点分别为 ，连接椭圆 的四个顶点所成的
四边形的周长为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)已知过点 的直线 与椭圆交于 两点，过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆交于
两点，求 的值.
【答案】(1)标准方程： ，离心率： .(2)
【详解】（1）根据题意 ，
所以 ，
椭圆顶点围成的四边形周长为： ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ， ，
故椭圆方程为： ，
椭圆离心率为 .
（2）①当直线PQ斜率不存在时，
|PQ| ，|MN| ，
此时 .
②当直线PQ斜率为0时，
|PQ| ，|MN| ，
此时 .
③当直线PQ斜率存在且不为0时，设直线PQ: ，直线MN：
联立所以
所以 ，
所以 ，
PQ
同理可得， .
此时 .
综上所述， 的值为 .
例题2．（2022春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）双曲线
的左、右顶点分别为 ， ，过点 且垂直于 轴的直线 与该双
曲线 交于点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动点 ， 在曲线 上，已知点 ，直线 ， 分别与 轴相交的两点关于
原点对称，点 在直线 上， ，证明：存在定点 ，使得 为定值．【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）当 轴时，把 代入双曲线方程中，得 ，
设 ， ，
，
所以 ，得 ，
所以 的方程： ；
（2）证明：设直线 的方程为 ， ， ，
，整理得 ，
则 ， ， ，
直线 ， 分别与 轴相交的两点为 ， ，
∴直线 方程为 ，
令 ，则 ，同理 ，
可得
∴∴
∴
∴
∴
∴ ，
当 时， ，
此时直线 方程为 恒过定点 ，显然不可能，
∴ ，直线 方程为 ，恒过定点
∵ ，设 中点为 ，∴
∴ 为定值，∴存在 使 为定值 ．
例题3．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直
线 过点 ，与抛物线交于 ， 两点， 的最小值为4．
(1)求抛物线的方程：
(2)若点 的坐标为 ，设直线 和 的斜率分别为 、 ，问 是否为定
值，若是，求出该定值，否则，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，定值为
【详解】（1）设直线l的方程为 ，l与抛物线交于 ， ，联立直线l与抛物线方程 ，
可得 ，即 ， ， ．
由抛物线的定义可知 ，
当 时， 取最小值为2p，则2p＝4．即抛物线方程为 ．
（2）由题意可知： ，
，
由 ， ，
，
，
即 为定值 ．
【提分秘籍】
求定值问题常见的解题方法有两种：
①先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
②引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定
值。
【变式演练】
1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的长轴比短轴
长2，焦距为 ．(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 ，过点P的直线l与C交于A，B两点，延长 到D，延长 到
E，且满足 轴．证明：D，E两点到直线 的距离之积为定值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由长轴比短轴长2，则 ，即 ①，
由焦距为 ，则 ，即 ②，
①②联立，得 ，
则 ，
所以C的方程为 ；
（2）由题意可知，直线l的斜率不为0．
当l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，
由对称性可知，四边形 为矩形，
则D，E两点到直线 的距离之积为 ．
当l的斜率存在时，设l的方程为 ，
结合题意可设 ．
由 ，可得 ，
整理得 ，
．由A，Q，D三点共线，可知 ，即 ①，
由B，Q，E三点共线，可知 ，即 ②，
①×②得： ，
又 ，则 ．
，
则 ．
故D，E两点到直线 的距离之积为定值 ．
2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点
到 的距离比到 的距离大2，点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与 交于 两点， 与点 关于原点对称，求直线
与 斜率的比值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得 ，所以曲线 是以点 ，
为焦点的双曲线的左支，设 的方程为 （ ， ， ），
根据题意得 ，得 ，所以 方程为 .
（2）由题意可得 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
①当 的斜率不存在时，易知 的坐标分别为 ， 或 ， ，
当 ， 时， ， ，所以 .
当 ， 时， ， ，所以 .
所以当l的斜率不存在时， ；
②当 的斜率存在时，设 ， ， 的方程为 ，
将直线 代入 的方程得 ，
所以 ， ，所以 ，
所以
，
因为 ，
所以 ，即 ，
综上，直线 与 斜率的比值为 .3．（2022春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）若抛物线 ： 上的一点
到它的焦点的距离为 .
(1)求C的标准方程；
(2)若过点 的直线 与抛物线C相交于A，B两点.求证： 为定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）抛物线 的准线 的方程为 ，
根据抛物线的定义知点 到它的焦点的距离即为点 到准线 的距离，
所以 ，解得 ，
所以C的标准方程为 .
（2）显然直线 的斜率存在，
可设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
所以 ， ， ，
又 ，同理 .
所以所以 为定值.
题型六：椭圆，双曲线，抛物线中定直线问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知 为椭圆 的左焦点，直线
与 交于 ， 两点，且 的周长为 ，面积为2.
(1)求 的标准方程；
(2)若 关于原点的对称点为 ，不经过点 且斜率为 的直线 与 交于点 ， ，
直线 与 交于点 ，证明：点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
解：将 代入 中，解得 ，则 ，
所以 的面积为 ，所以 .①
设C的右焦点为 ，连接 ，由椭圆的对称性可知 ，
所以 的周长为 ，所以，②
由①②解得 ， ，
所以C的标准方程为 .
（2）
解：设 ， ，直线l的方程为 ， ，联立直线l与椭圆C的
方程，并消去y得 ，
则 ，得 且 ，且 ，
， ，
所以直线PD的方程为 ，即 ，
直线QE的方程为 ，即 ，
联立直线PD与直线QE的方程，得 ，
得 ， ，所以
.
所以 ，即点M在定直线 上.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率
的直线 与 交于 ， 两点， .（1）求 ；
（2）若 在 上，过点 作 的弦 ， ，若 ，证明：直线 过定
点，并求出定点的坐标.
【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点 .
【详解】解：（1）由题意得 ， 的方程为 ， ，
设 ， ，
由 ，得 ，
，故 ，
所以 ，
解得 (舍)， .
（2）因为 在 上，所以 ，
设直线 的方程为 ， ， .
联立 ，得 ，
由 得 ， ， .
因为 ，所以 .
所以 ，又因为 ， ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 .因为 恒成立，所以 ，
所以直线 的方程 ，
所以直线 过定点 .
【提分秘籍】
求定线问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．
②“设而不求”．
【变式演练】
1．（2022·江西萍乡·统考一模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆
的离心率为 ，且过点 ．如图所示，斜率为 且过点
的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，
若 在射线 上，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求证：点 在定直线上．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【详解】（1）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，
所以 ，又 ，则 ，所以 ，
故椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
由题意知 恒成立，
由韦达定理得 ，所以 ，
由于 为线段 的中点，因此 ， ，
此时 ．
所以 所在直线方程为 ，
将其代入椭圆 的方程，并由 ，
解得 ，
又 ，
由 得 ，
因此，点 在定直线 上．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线 的焦点重合，经过点 且不垂直于
轴的直线与双曲线 交于 、 两点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若点 是线段 的中点，求点 的坐标；
(3)设 、 是直线 上关于 轴对称的两点，求证：直线 与 的交点必在直线
上．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 ；
（2）设 ， ，因为 是线段 的中点，所以 ，
则得 ，
解得 ， ，
所以所求点 的坐标为 或 ；
（3）证明：由题意可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 ，并整理得
，设 ， ， ， ，
由一元二次方程根与系数的关系，得 ，
又设 ， ， ，则得直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，两个方程相减得
①，
因为 ，
把它代入①得 ，
所以 ，
因此直线 与 的交点在直线 上．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，圆 ，
直线 与抛物线 和圆 同时相切.
（1）求 和 的值；
（2）若点 的坐标为 ，过点 且斜率为 的直线 与抛物线 分别相交于 、 两
点（点 在点 的右边），过点 的直线 与抛物线 分别相交于 、 两点，直线 与
不重合，直线 与直线 相交于点 ，求证：点 在定直线上.
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【详解】（1）圆 的标准方程为 ，可知圆 的圆心为 ，半径为 ，
由直线 与圆 相切，可得 ，解得 或 （舍去），联立方程 ，消去 后整理为 ，
因为直线与抛物线相切，所以 ，得 ，
故 ， .
（2）证明：直线 的方程为 ，
联立方程 ，解得 或 ，
则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设直线 的方程为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为
联立方程 ，消去 整理为 ，
有 ， ，
，
由 得 或 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，化为 ，直线 的方程为 ，化为 ，
联立直线 、 的方程消去 后得 ，
得 ，因为直线 与 不重合，所以 ，所以 ，
故点 在定直线 上.
1．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知定点 ，圆
， 为圆 上的动点，线段 的垂直平分线和半径 相交于点
．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过 的直线 与轨迹 交于 两点，若点 满足 ，求四边形 面积
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 为圆 上的动点，线段 的垂直平分线和半径 相交于点 ，
所以由线段垂直平分线的性质可得： ，
所以 ，
故点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆．其中 ， ，
所以 ，
故点 的轨迹 的方程为 ．（2）由题意，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，整理可得： ，
所以 ，
所以
点 到直线 的距离 ，
所以
当且仅当 ，即 时等号成立，
因为
所以
所以四边形 面积的最大值为 ．
2．（2022春·山东滨州·高二校考期中）已知抛物线 的焦点为 ，点
在抛物线C上，且 .
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线 与抛物线 交于 两点，求 的面积.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由抛物线的定义可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故抛物线 的标准方程为 .
（2）设 ，由（1）知 .
由 ，得 ， ,
则 ， ，
所以 ,
所以
,
因为点 到直线 的距离 ,
所以 的面积为 .
3．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线 的焦点为
.
(1)求 ；
(2)斜率为 的直线过点 ，且与抛物线 交于 两点，求线段 的长.
【答案】(1)(2)
【详解】（1） 为抛物线 的焦点， ，解得： .
（2）由（1）知：抛物线 ；
直线 ，
由 得： ，
设 ， ，则 ，
， .
4．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆
经过点 ， ．
(1)求 的方程；
(2)已知点 ，直线 与 交于 两点，且直线 的斜率
之和为 ，证明：点 在一条定抛物线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意设 的方程为 ，
因为 经过点 ， ，
所以 ，解得 ，
故 的方程为 ．（2）证明：设直线 的斜率分别为 ， ， ， ．
将 代入 ，得 ．
由题设可知 ， ， ，
所以
，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故点 在抛物线 上，即点 在一条定抛物线上．
5．（2022春·陕西西安·高二统考期中）已知抛物线 的焦点 ，
为坐标原点， 、 是抛物线 上异于 的两点．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 、 的斜率之积为 ，求证：直线 过 轴上一定点．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）根据题意， ，则 ，故抛物线方程为： .（2）显然直线 的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为 ，
联立抛物线方程 可得： ， 时，
设 两点的坐标分别为 ，则 ，
，
由题可知， ，即 ，解得 ，此时满足 ，
故直线 恒过 轴上的定点 .
6．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆 ：
，A为椭圆与y轴交点， ， 为椭圆左、右焦点， 为等腰直
角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆C交于 ，N两点，点 ，记直线PM的斜率为 ，直线PN的斜
率为 ，当 时，求证直线 恒过一定点？
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得 ，解得
所以求椭圆 的方程为 .
（2）由题意易知直线 的斜率不为0，
故可设 ， ， ，联立 得 ，
由 得 ，
所以 ， ，
，
即 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以证直线 恒过一定点 .
7．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）设椭圆中心在原点
上，焦点在 轴上，离心率为 ，椭圆上一点 到两焦点的距离的和等于 ：
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 交椭圆于 ， 两点，且 ，求 的值；
(3)在（2）的结论下，求 的长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为椭圆焦点在 轴上，所以设椭圆的方程为： ，，又椭圆上一点到两焦点的距离和为 ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以椭圆的方程为： .
（2）由（1）知，椭圆的方程为： ，即： ，
设 ， ，有： ，得： ，
又 ，所以 ， 的斜率之积为 ，即： ，
即： ，又： ，所以： ，
整理得： ，又： ， ，
即有： ，整理得： ，所以 .
（3） ，
当 时：直线方程为： ，联立方程组得： ，
解得： ，
所以： ，
所以： ，由对称性可知：当 时，也有 ，
所以： .
8．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知点 在抛物线 上，且 到
的焦点 的距离与到 轴的距离之差为 .
(1)求 的方程；
(2)当 时， 是 上不同于点 的两个动点，且直线 的斜率之积为
为垂足.证明：存在定点 ，使得 为定值.
【答案】(1) 或
(2)证明见解析
【详解】（1）解：抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
又点 在抛物线 上，即 ，所以 ，即
，
依题意可得 ，解得 或 ，
或 .
（2）解： ， ， .
设 ： ， ， ，联立 ，
消去 整理得 ， ①，
且 ， ，，
，即 ，
适合①，
将 m代入 得 ，令 ，解得 ，
直线 恒过定点 .
又 ， 点 在以为 直径的圆上，因为 、 的中点为 ，
，
所以以 为直径的圆方程为 ，
所以存在 使得 .
9．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点是 ,且以 为直径的圆的面积为 ,点P是椭圆
C上任一点,且 的面积的最大值为 ．
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求 面积的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解:由题知以 为直径的圆的半径为c,
所以 ,故 ,由 的面积最大值为 ,
所以 ,故 ,
所以 ,
所以椭圆C的方程为 ;
（2）当直线l的斜率不存在时,由题意知直线l的方程为 ,
所以 ,
所以 ;
当直线l的斜率存在时,
令直线l的方程为 ,
由原点O到直线l的距离为1,
所以 ,
即 ,
联立方程 ,
消去y得: ,
则有 ,
即 ,
令 ,所以 ,
由
,
令 ,
则
,
令 ,
所以 ,所以 ,
综上所述, ．
10．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线 ： 上
一点 到焦点 的距离为 ，
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 在第一象限，不过 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且直线 ， 的斜
率之积为 ，证明：直线 过定点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由抛物线方程可得，准线方程为 ，
因为抛物线 ： 上一点 到焦点 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为： ；
（2）抛物线的方程为 ， 在抛物线上，所以 ，
因为 在第一象限，故 ，所以 ，
依题意，直线 的斜率存在 若不存在，则与抛物线只有一个交点 ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ， ，因为直线 ， 的斜率之积为1，即 ，
故 ，
整理得 ，
所以 ，得 ，
故直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 ．
11．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，椭圆
.设点 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，
射线 交椭圆 于点 .
(1)求证: ;
(2)求 面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【详解】（1）设 ，由题意知 .
因为 ，又 ，即 ，所以 ，
即 .（2）由（1）知， 面积为 ，
设 .
将 代入椭圆 的方程，可得 ，
由 ，可得 ，①
则有 . 所以 .
因为直线 与 轴交点的坐标为 ，
所以 的面积
.
设 ，将 代入椭圆 的方程，
可得 ，
由 ，可得 ，②
由 （1）（2）可知 ，因此 ，故 ，当
且仅当 ，即 时取得最大值 .
所以 面积的最大值为 .
12．（2022春·湖北恩施·高二校考阶段练习）已知 分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点， ，C的离心率为
2.
(1)求C的方程；
(2)直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以 为直径的圆
经过点A，求证：直线l恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设双曲线C的焦距为 ，则 .
所以 ，
又C的离心率 ，所以 ，
所以C的方程是 .
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
联立 得 .
由 得
所以 ，
.
因为以 为直径的圆经过点 ，所以 ，即整理得 ，所以 或 .
当 时，直线l的方程为 ，所以直线l过左顶点 ，不符合题意；
当 时，直线l的方程为 ，所以直线l恒过定点 .
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为 ，
代入 ，得 ，所以 .
因为 ，整理得 ，
解得 （ 舍去），
此时直线l的方程为 ，直线l也过点 .
综上所述，直线l恒过定点 .
13．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，点 在
抛物线 上，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 且斜率存在的直线 交抛物线 于不同的两点 ，设 为坐标原点，直线
的斜率分别为 ，求证： 为定值．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）解： 点 在抛物线 上，且 ，
，解得 ，
抛物线 的方程为 ；
（2）证明依题意，设直线 ，联立 ，得 ，
则 ，
故 为定值 ．
14．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆
的半焦距 ，离心率 ，且过点 ，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点 的直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B，若 ，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得 ，
整理得 ，
即 ，
解得 或 .
当 时， ，此时C的离心率 ，符合题意；
当 时， ，此时C的离心率 ，不合题意，舍去，所以椭圆C的方程为 .
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
联立 得 ，
因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B，
所以 ，整理得 .
设 ，则 ，
所以
，
因为 ，所以令 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，
此时直线l与椭圆C的两交点分别为 ，
不妨取 ，则 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 .
