文档内容
9.1 直线与圆
思维导图
知识点总结
典型例题分析
考向一 倾斜角与斜率、直线的方程
1.把直线x-y+√3-1=0绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是( )
A.y=-√3x B.y=√3x
C.x-√3y+2=0 D.x+√3y-2=0
答案:B
解析:已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°
+15°=60°,直线l的斜率为tan α=tan 60°=√3,∴直线l的方程为y-√3=√3(x-1),即y=√3x.
2.(2020上海静安期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足( )
π π π π π 3π
A.- ≤α≤ B. ≤α< 或 <α≤
4 4 4 2 2 4
π π π 3π
C. ≤α< D. <α≤
4 2 2 4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答案:B
π 3π π π π π π
解析:因为k=tan α,所以当k≤-1时, <α≤ ,当k≥1时, ≤α< ,即直线的倾斜角α满足 ≤α< 或
2 4 4 2 4 2 2
3π
<α≤ .故选B.
4
3π
3.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则y等于( )
4
A.-1 B.-3 C.0 D.2
答案:B
-3-2y-1 3π
解析:由k= =tan =-1,得-4-2y=2,所以y=-3.故选B.
2-4 4
4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )
1
A. -1,
5
1
B. -∞, ∪(1,+∞)
2
1
C.(-∞,-1)∪ ,+∞
5
1
D.(-∞,-1)∪ ,+∞
2
答案:D
2 2
解析:设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1- ,则-3<1- <3,解得
k k
1
k> 或k<-1.故选D.
2
考向二 圆的方程
1.(2021北京海淀二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是( )
A.3 B.2 C.-1 D.-3
答案:C
解析:方程化为(x+2)2+(y-3)2=1,圆心(-2,3),半径r=1,则x的最大值是-2+1=-1.故选C.
2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
4 3
A.- B.- C.√3 D.2
3 4
答案:A
|a+4-1|
解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为 =1,解得
√a2+1
4
a=- .故选A.
3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.(2021江苏盐城滨海中学一模)已知a,b都是实数,那么“a>2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案:A
解析:方程x2+y2-2x-a=0可化为(x-1)2+y2=1+a,1+a>0,即a>-1,由a>2能推出a>-1,反之不成立,故“a>2”是
“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的充分不必要条件.故选A.
4.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为( )
1
A. B.1 C.2 D.4
2
答案:C
解析:由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.当过点P(1,2)的弦与连接P与圆心的直线垂
直时,弦最短,则最短弦长为2√32-[(3-1)2+(0-2)2]=2.
考向三 直线与圆的位置关系
1.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为√(1-3)2+(2-0)2=2√2<3,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心
O(3,0),A(1,2), 当 弦 BC 与 OA 垂 直 时 弦 最 短 , 因 为 |O A|=2√2,|O B|=3, 所 以 |AB|=
1 1 1 1
√|O B|2-|O A|2=√9-8=1,所以|BC|=2|AB|=2.
1 1
2.若圆C :x2+y2=1与圆C :x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m的值是( )
1 2
A.21 B.19 C.9 D.-11
答案:C
解析:圆C 的圆心C (0,0),半径r=1,圆C 的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C (3,4),半径r=√25-m,
1 1 1 2 2 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而|C C |=√32+42=5.由两圆外切得|C C |=r +r ,即1+√25-m=5,解得m=9,故选C.
1 2 1 2 1 2
⏜
3.(2021河南郑州二模)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧
AB
的长为(
)
π
A. B.π C.2π D.3π
2
答案:B
解析:直线x+ay-a-1=0可化为(x-1)+a(y-1)=0,所以直线恒过定点M(1,1),圆的圆心为C(2,0),半径r=2,当MC⊥
π
直线AB时,|AB|取得最小值,且最小值为2√r2-|MC|2=2√4-2=2√2,此时弦AB对的圆心角为 ,所以劣弧
2
π
⏜
AB
的长为 ×2=π,故选B.
2
基础题型训练
一、单选题
1．已知圆 和圆 ，则两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【答案】B
【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距等于半径之差，得到两圆内切.
【详解】由于圆 ，即
表示以 为圆心，半径等于1的圆．
圆 ，即 ，表示以 为圆心，半径等于3的圆．
由于两圆的圆心距等于 等于半径之差，故两个圆内切．
故选：B．
2．已知点 是边长为6的正方形 内的一点，且 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】以 为 轴建立平面直角坐标系，求出 两点的坐标，由两点间距离表示出距离．由三
角函数恒等变换求值后可得结论．
【详解】如图，以 为 轴建立平面直角坐标系，由于正方形 边长为6，
，则 ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查求平面上两点间的距离，解题方法是建立平面直角坐标系，得出各点坐标，由两点间距
离公式求解，同时结合三角函数的同角关系、二倍角公式进行计算．
3．从点 射出的光线沿与向量 平行的直线射到 轴上，则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】结合对称点坐标及反射光线斜率直接写出点斜式方程，整理为一般方程即可.
【点睛】点 关于y轴的对称点为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于入射光线与 平行，
所以反射光线的斜率是 ，
则y-3=-(x+2)，整理得x+y-1=0.
故选：C.
4．已知射线 、 与 相切，若 存在两个点 使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】计算得出 ，可知圆 与圆 有两个公共点，进而可得出关于 的不等式，由此可
解得正数 的取值范围.
【详解】如下图所示，连接 、 ，则 ， ， ，
，由圆的几何性质可得 ，
在 中， ， ，则 ，
由于在圆 上存在两个点 ，使得 ，则圆 与圆 相交，
由于点 在圆 外，则 ，即 ，解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此， 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用满足条件的点的个数求参数的取值范围，解题的关键就是转化为两圆相交，考查计
算能力，属于中等题.
5．如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝
120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3， ），则|MQ|的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用平面几何知识得 点轨迹是圆，然后求出 与圆心距离减去半径得最小值．
【详解】解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
在直角 中， ，由 得 ，
∴Q点的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝ ﹣ ＝ ．
故选：A．
6．已知半径为1的动圆 经过坐标原点，则圆心 到直线 的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】利用圆上的点到直线的距离的最值可求解.
【详解】由题设，半径为1的动圆 经过坐标原点，
可知圆心 的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，即
则该圆上的点到直线 的距离的最大值为
又 ， ， ，即
故距离的最大值为3
故选：C
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．点 关于直线 的对称点为
C．经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【分析】A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B选项求解点关于直线的对称点，
满足两点的斜率与 乘积为-1，中点在已知直线 上，进而求出对称点；C选项要考虑截距均为
0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积.
【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设 关于直线 的对称点为 ，则
满足 ，解得： ，故点 关于直线 的对称点为 ，B正确；当在x轴和y轴
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上截距都等于0时，此时直线为 ，故C错误；直线 与两坐标轴的交点坐标为 与
，故与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，D正确
故选：ABD
8．下列命题正确的是（ ）
A．当 时，直线 与直线 平行
B．当 时，直线 与直线 垂直
C．当 时，曲线 与曲线 外切
D．当 时，直线 与直线 的交点坐标是
【答案】AC
【解析】根据直线与直线的位置关系判断ABD，根据圆与圆的位置关系判断C，即可得到答案.
【详解】对于A，当 时，直线 ， ；直线 ， ， ，
，故A正确；
对于B，当 时，直线 ， ；直线 ， ， ，
与 不垂直，故B错误；
对于C，当 时，曲线 ，圆心是 ， ；曲线
，圆心是 ， ，圆心距
，两圆外切，故C正确；
对于D，当 时，直线 ，直线 ，联立 ，即两直
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线交点坐标是 ，故D错误；
故选：AC
【点睛】结论点睛：本题主要考查两直线的位置关系与斜率的关系，常用结论：在斜率存时，
（1） （ ）；
（2） （ ），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘
斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
三、填空题
9．两平行线 与 之间的距离为 .
【答案】
【解析】将直线 的方程变形为 ，再利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】直线 的方程可变形为 ，
因此，两平行线 与 之间的距离为 .
故答案为： .
10．直线 被圆 所截的弦长为 .
【答案】16
【分析】先由圆的方程确定圆心坐标和半径大小，再求圆心到直线的距离，根据几何法求弦长.
【详解】由题知：圆 的圆心为 ，半径 ，
故圆心到直线 的距离 ，
所以弦长为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：16.
11．直线 ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且 AOB是直角三角形(O是坐
标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间的距离的最大值为 .
【答案】
【分析】根据 AOB是直角三角形，解得圆心O到直线 ax＋by＝1距离，即得a，b关系式，再根据两
点间距离公式，代入消去 ，根据二次函数性质以及 的范围求最值
【详解】因为 是直角三角形，且 ,所以O到直线 ax＋by＝1距离为 ，
因此
设点P(a，b)与点(0，1)之间的距离为 ，
因为 ，所以当 时， 取最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
12．阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知 、 分别是圆 ，圆
上的动点， 是坐标原点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题意画出草图，结合相似三角形，可得 的最小值即为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，从而可得所求的最小值.
【详解】如图所示：
取点 ，设 ，
则 ，
在 和 中， ，
所以 和 相似，且相似比为 ，
所以 ，则 ，
而 ，
即 的最小值为 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题
13．画出方程 表示的曲线．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】先求出 ， ，两边平方后得到圆的方程，故得到方程 表示的曲线为以
为圆心，半径为1的圆的右半部分.
【详解】由题意得： ， ，方程两边平方得： ，
如图所示：实线为所求
方程 表示的曲线为以 为圆心，半径为1的圆的右半部分.
14．已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)边AB所在直线的方程；
(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．
【答案】(1)y＝1
(2)直线AC的方程为y－1＝ (x－1)，直线BC的方程为y－1＝－(x－5).
【分析】（1）由题意A，B两点的纵坐标均为1，易得直线的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由题意可得直线AC的斜率为 ，直线BC的斜率为 ，分别可得直线的点斜式
方程.
(1)
∵A，B两点的纵坐标均为1，
∴AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)
∵AB平行于x轴，且△ABC在第一象限，
∴kAC＝tan 60°＝ ，kBC＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，
∴直线AC的方程为y－1＝ (x－1)；直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
15．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆
盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就
是其外接圆．已知x，y满足方程 ，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，
， ， ， 为平面图形W上不同的四点．
(1)求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A在曲线 上求解；进而得到点A的坐标，然后设 ABC的外接圆方程为
△
，将A，B，C的坐标代入求解；
（2）根据线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，求出圆的方程，再判断点A，C在圆内即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）根据平面图形W是中心对称图形，设 是平面图形W上一点，由 最小求解.
（1）
因为点A的坐标满足 ，则 ，解得 或 （舍），故 ，
设 的外接圆的方程为 ，则 ，解得 ，
故 的外接圆的方程为 ，又 是锐角三角形，
所以 的最小覆盖圆的方程为 ；
（2）
因为线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，所以线段BD的最小覆盖圆的方程为 ，又
，
故点A，C在圆 内，所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为 ；
（3）
因为平面图形W是中心对称图形，设 是平面图形W上的一点，
则 ，
当 ，即 时， 取得最大值 ，
故平面图形W的最小覆盖圆的方程为 ．
16．过点 作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B两点.
（1）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程；
（2）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)最小值为 ,直线l的方程为 ;(2)最小值为4,直线l的方程为 .
【分析】(1)设 ,直线方程为 ,可推出 ,则 ,结合基本不等式即可
得出结论;
(2)由(1)可得 ,则可推出 ,结合基本不等式即可求解.
【详解】(1)根据题意可设直线l的方程为 ,则 ,
直线l过点 ,
,
又 (当且仅当 ,即 时取等号),
,即 ,
的最小值为8,此时直线l的方程为 ;
(2)由(1)可知 ,
,则 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(当且仅当 ,即 时取等号).
的最小值为4,此时直线l的方程为 .
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,结合了直线方程的相关知识,需要学生有一定的计算推理能力.
高考真题分考点汇编
1.(2014四川文,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),
则|PA|+|PB|的取值范围是( )
A.[√5,2√5] B.[√10,2√5]
C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]
答案 B 直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).
①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3),∴|PA|+|
PB|=4.
1 1
②当m≠0时,直线x+my=0的斜率为- ,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵- ×m=-1,∴两条直线互相垂直,即
m m
点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值√10.当点P不与点A,点
√|PA|2+|PB|2
B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知|PA|+|PB|≤2 =2√5
2
,∴|PA|+|PB|∈[√10,2√5].
综合①②得|PA|+|PB|∈[√10,2√5].
评析 本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P的轨迹.属中档题.
2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出
发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8 4
A.2 B.1 C. D.
3 3
答案 D 以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程
为x+y-4=0.
设P(t,0)(00), 则
{
F=0, {D=-4,
16+4D+F=0, 解得 E=-6,所以所求圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.
1+1-D+E+F=0, F=0.
选 取 (0,0),(-1,1),(4,2) 时 , 设 所 求 圆 的 方 程 为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则
8
{D=- ,
{ F=0, 3
1+1-D+E+F=0, 解得 14
E=- ,
16+4+4D+2E+F=0, 3
F=0.
8 14
所以所求圆的方程为x2+y2- x- y=0.
3 3
选 取 (4,0),(-1,1),(4,2) 时 , 设 所 求 圆 的 方 程 为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则
16
{D=- ,
{ 16+4D+F=0, 5
16 16
1+1-D+E+F=0, 解得 E=-2, 所以所求圆的方程为x2+y2- x-2y- =0.
5 5
16+4+4D+2E+F=0, 16
F=- .
5
5.(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为
.
答案
(x-1)2+(y+1)2=5
{ 2a+b-1=0, { a=1,
解析
解法一:设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则
(3-a) 2+(0-b) 2=r2,解得 b=-1,
(0-a) 2+(1-b) 2=r2, r=√5,
所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
x
解法二:易得过(3,0)和(0,1)的直线方程为 +y=1,即x+3y-3=0.
3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】{2x+ y-1=0, { x=1,
以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为3x-y-4=0,联立 解得 所以圆
3x- y-4=0, y=-1,
心为(1,-1),则所求圆的半径r=√(1-3) 2+(-1-0) 2=√5,所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
6.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离
4√5
为 ,则圆C的方程为 .
5
答案 (x-2)2+y2=9
解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
{ |2a| 4√5
= , {a=2,
由题意可得 √5 5 解得 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
r2=9,
(-a) 2+(√5) 2=r2,
方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并
求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求
解.
评析 本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程思想方法的应
用,注意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键.
x2 y2
7.(2015课标Ⅰ理,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方
16 4
程为 .
( 3) 2 25
答案 x- +y2=
2 4
解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-
3 (3 ) 3 5 ( 3) 2 25
y-3=0.令y=0,得x= ,所以圆心坐标为 ,0 ,则半径r=4- = .故该圆的标准方程为 x- +y2= .
2 2 2 2 2 4
评析 本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.
8.(2014陕西理,12,5 分)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x对称,则圆 C 的标准方程为
.
答案 x2+(y-1)2=1
解析 根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线与圆的位置关系
1.(2022北京,3,4分)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a= ( )
1 1
A. B.- C.1 D.-1
2 2
1
答案
A 由题意可知圆心(a,0)在直线2x+y-1=0上,故2a+0-1=0,解得a= .故选A.
2
2.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
x y
答案 +
ACD 由题意可知直线AB的方程为 =1,即x+2y-4=0,
4 2
|5+2×5-4| 11√5
则圆心(5,5)到直线AB的距离d= = >4,
√12+22 5
∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,
[11√5 11√5 ]
∴点P到直线AB的距离的取值范围为 -4, +4 ,
5 5
11√5 11√5
∵ -4∈(0,1), +4∈(8,9),
5 5
∴选项A正确,选项B错误.
过点B作圆的两条切线,切点分别为P,P,如图,当点P在切点P 的位置时,∠PBA最小,当点P在切点P
1 2 1 2
的位置时,∠PBA最大,易知|PB|=|PB|,圆心(5,5)到点B的距离为√34,圆的半径为 4,所以|PB|=|PB|=
1 2 1 2
√34-16=√18=3√2,故选项C,D均正确.故选ACD.
方法点拨:1.当直线与圆C相离时,圆上的点P到直线的距离的取值范围为[d-r,d+r],其中r为半径,d为圆心
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】到直线的距离.2.从圆外一点 Q(x,y)向圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)引切线,切点为 A,则|QA|=
0 0
√x2+ y2+Dx +E y +F.
0 0 0 0
3.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0
|c|
答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得 =√5,解得c=±5.
√5
故选A.
4.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线
的斜率为( )
5 3 3 2
A.- 或- B.- 或-
3 5 2 3
5 4 4 3
C.- 或- D.- 或-
4 5 3 4
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
|-3k-2-2k-3| 4 3
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ =1,解得k=- 或k=- .
√k2+1 3 4
评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.
5.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条
切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2 B.4√2 C.6 D.2√10
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点
C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=√|AC|2-22=√40-4=6.故选C.
6.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x ,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 的取值范围是(
0 0
)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】[ 1 1]
A.[-1,1] B. - ,
2 2
[ √2 √2]
C.[-√2,√2] D. - ,
2 2
答案 A 过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,使∠OMN=45°,则
∠OMB≥∠OMN=45°,所以∠AMB≥90°,所以-1≤x≤1,故选A.
0
评析 本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.
7.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
答案 B 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径 r=√2-a,圆心到直线
|-1+1+2|
x+y+2=0的距离d= =√2,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.
√2
8.(2014安徽文,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
( π] ( π] [ π] [ π]
A. 0, B. 0, C. 0, D. 0,
6 3 6 3
答案 D 过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.
π
显然,直线PA的倾斜角为0,又OP=√(-√3) 2+(-1) 2=2,PA=√3,OA=1,因此∠OPA= ,由对称性知,直线PB的
6
π [ π]
倾斜角为 .若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是 0, .故选D.
3 3
9.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+
(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
答案 B 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2√2,所以圆心
|a|
M到直线x+y=0的距离d= =√a2-2(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=√2,则R-
√2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】r<√20).若圆 C 上存在点 P,使得
∠APB=90°,则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 B 若∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1
与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m≤6,故m的最大值为6.选B.
11.(2013重庆理,7,5分)已知圆C :(x-2)2+(y-3)2=1,圆C :(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C ,C 上的动点,P为x轴
1 2 1 2
上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17
答案 A 圆C ,C 如图所示.
1 2
设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC |-1,同理可得|PN|的最小值为|PC |-3,则|PM|+|PN|的最小值为|
1 2
PC |+|PC |-4.作C 关于x轴的对称点C'(2,-3),连接C'C ,与x轴交于点P,连接PC ,根据三角形两边之和大于
1 2 1 1 1 2 1
第三边可知|PC |+|PC |的最小值为|C'C |,则|PM|+|PN|的最小值为5√2-4.选A.
1 2 1 2
评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段
长的和转化成两点间的距离是本题的关键.
12.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
4 3
A.- B.- C.√3 D.2
3 4
|a+4-1|
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为 =1,
√a2+1
4
解得a=- .故选A.
3
思路分析 将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出关于 a的方程,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解方程即可求得a的值.
13.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )
A.1 B.2 C.√2 D.2√2
答案 C 由题知圆心坐标为(-1,0),将直线 y=x+3 化成一般形式为 x-y+3=0,故圆心到直线的距离 d=
|-1-0+3|
=√2.故选C.
√12+(-1) 2
|Ax +B y +C|
0 0
易错警示 在应用点到直线的距离公式d= 时,一定要将直线方程化成一般形式,正确写出
√A2+B2
A,B,C的值,此处符号易出现错误.
14.(2016课标Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为
.
答案 4π
|a|
解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=√a2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d= .
√2
(
|AB|
)
2 a2
由r2=d2+ ,得a2+2= +3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=πr2=4π.
2 2
15.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交
于C,D两点.则|CD|= .
答案 4
6
解析 圆心(0,0)到直线x-√3y+6=0的距离d= =3,|AB|=2√12-32=2√3,过C作CE⊥BD于E,因为直线l
√1+3
2√3
|CE| |AB|
的倾斜角为30°,所以|CD|= = = √3 =4.
cos30° cos30°
2
16.(2016课标Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与
x轴交于C,D两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答案 4
解析 由题意可知直线l过定点(-3,√3),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,√3),由于|AB|=2√3,r=2√3,所
|3m-√3|
以圆心到直线 AB的距离为d=√(2√3) 2-(√3) 2=3,又由点到直线的距离公式可得 d= =3,解得
√m2+1
√3 √3
m=- ,所以直线l的斜率k=-m= ,即直线l的倾斜角为30°.如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2
3 3
2√3
√3,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|= =4.
cos30°
解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.
17.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有
圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
答案 (x-1)2+y2=2
解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的
距离的最大值为√(2-1) 2+(-1-0) 2=√2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
18.(2014重庆理,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边
三角形,则实数a= .
答案 4±√15
|a+a-2|
解析 易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为√3,即 =√3,解得
√a2+1
a=4±√15.经检验均符合题意,则a=4±√15.
评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要求较高.
19.(2022新高考Ⅱ,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有
公共点,则a的取值范围是 .
[1 3]
答案 ,
3 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】a-3 a-3
解析
设直线AB关于y=a对称的直线为l,∵k = ,∴k=- .
AB 2 l 2
a-3
显然点B(0,a)在直线l上,∴直线l的方程为y=- x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.∵l与圆有公共点,
2
∴ 圆心 ( - 3 , - 2 ) 到直线 l 的距离 d ≤ r ,
|-3(a-3)+2×(-2)-2a|
即 ≤1,即6a2-11a+3≤0.
√(a-3) 2+4
1 3 [1 3]
解得 ≤a≤ ,∴实数a的取值范围为 , .
3 2 3 2
x2
20.(2022全国甲理,14,5分)若双曲线y2- =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m= .
m2
√3
答案
3
x
解析
易得双曲线的渐近线方程为y=± (m>0),
m
圆的方程可化为x2+(y-2)2=1,其半径r=1,
2
1 √3
∵渐近线与圆相切,∴圆心(0,2)到渐近线的距离等于r,∴√ ( 1) 2=1,∴m2= ,又m>0,∴m= .
1+ 3 3
m
21.(2022新高考Ⅰ,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 .
答案
x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)
解析
∵两圆 C :x2+y2=1,C :(x-3)2+(y-4)2=16 的圆心分别为 C (0,0),C (3,4),r=1,r=4,∴|C C |
1 2 1 2 1 2 1 2
4
=5=r+r,则两圆外切,如图所示均与直线l:x=-1相切,两圆圆心连线C C 所在直线的方程为y= x,记为l,l
1 2 1 1 2 1
3
( 4) 4
与l交于点P -1,- ,由两圆另一外公切线 l 过点P,设l:y+ =k(x+1),由l 与圆C :x2+y2=1相切,得
3 2 2 3 2 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】| 4|
k-
=1,求出k= 7 ,则直线l 的方程为7x-24y-25=0,由内公切线l 与l垂直,设l 的方程为y=-3x+m,由l
3 2 3 3 3
24 4
√1+k2
|m|
与圆C :x2+y2=1相切得 =1,∴m=5或-5.当m=-5时,y=-3 5,与圆C 不相切,不符合题意,舍
1 √ 1+ ( - 3) 2 4 4 4 4 x- 4 2
4
5
去.故m= ,则直线l 的方程为3x+4y-5=0.
3
4
综上,可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.
综上,可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.
22.(2021全国甲理,20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且
OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.
(1)求C,☉M的方程;
(2)设A,A,A 是C上的三个点,直线AA,AA 均与☉M相切.判断直线AA 与☉M的位置关系,并说明理由.
1 2 3 1 2 1 3 2 3
解析 (1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),则P,Q的坐标为(1,±√2p),
∵OP⊥OQ,∴⃗OP·⃗OQ=1-2p=0,
1
∴p= ,∴抛物线C的方程为y2=x.
2
∵☉M的圆心为(2,0),☉M与直线x=1相切,∴☉M的半径为1,
∴☉M的方程为(x-2)2+y2=1.
(2)直线AA 与☉M相切.理由如下:
2 3
设A(y2,y),A(y2,y),A(y2,y),∵直线AA,AA 均与☉M相切,∴y≠±1,y≠±1,y≠±1,
1 0 0 2 1 1 3 2 2 1 2 1 3 0 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】y - y
由A,A 的坐标可得直线AA 的方程为y-y= 0 1 (x-y2),整理,得x-(y+y)y+yy=0,由于直线AA 与☉M
1 2 1 2 0 y2- y2 0 0 1 0 1 1 2
0 1
|2+ y y |
相切,∴M到直线AA 的距离d= 0 1 =1,整理得(y2 -1)y2+2y0 y1+3- y2 =0,①
1 2 √1+(y + y ) 2 0 1 0
0 1
同理可得,(y2 -1)y2+2y0 y2+3- y2 =0,②
0 2 0
观察①②,得y,y 是关于x的一元二次方程(y2 -1)x2+2yx+3-y2 =0的两根,
1 2 0 0 0
2y
{ y + y =- 0 ,
1 2 y2-1
0
∴ (*)
3- y2
y y = 0.
1 2 y2-1
0
同理,得直线AA 的方程为x-(y+y)y+yy=0,
2 3 1 2 1 2
|2+ y y |
1 2
则 点 M(2,0) 到 直 线 AA 的 距 离 d'= , 把 (*) 代 入 , 得 d'=
2 3 √1+(y + y ) 2
1 2
| 3- y2|
2+ 0
y2-1 |2(y2-1)+3- y2| |y2+1| |y2+1|
0 = 0 0 = 0 = 0 =1.∴直线AA 与☉M相切.
√ 2y 2 √(y2-1) 2+(-2y ) 2 √y4+2y2+1 |y2+1| 2 3
1+ ( - 0 ) 0 0 0 0 0
y2-1
0
解后反思 本题第(1)问较为基础,熟练掌握抛物线和圆的标准方程是关键;第(2)问涉及的条件较多,其中
直线AA 与圆相切,是最重要的一个条件,由此条件可求出直线AA 的方程,进而直线AA,AA 的方程就可
1 2 1 2 1 3 2 3
同理求得,可大大简化运算过程,而由①②归纳出y,y 是方程(y2 -1)x2+2yx+3-y2 =0的两根,则需要有较深的
1 2 0 0 0
数学功底和知识储备,需要同学们平时不断积累.
23.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求k的取值范围;
(2)若⃗OM·⃗ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
|2k-3+1|
因为l与C交于两点,所以 <1.
√1+k2
4-√7 4+√7
解得 0(*),x +x= ,
1 2 1+t2
3 3t
所以x= ,代入直线l的方程,得y= .
0 1+t2 0 1+t2
9 9t2 9(1+t2 ) 9
因为x2 +y2
= + = = =3x,
0 0 (1+t2 ) 2 (1+t2 ) 2 (1+t2 ) 2 1+t2 0
所以 ( x - 3) 2 +y2 = 9 .
0 2 0 4
4 5
由(*)解得t2< ,又t2≥0,所以
