文档内容
9.1 直线与圆
思维导图
知识点总结
典型例题分析
考向一 倾斜角与斜率、直线的方程
1.把直线x-y+√3-1=0绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是( )
A.y=-√3x B.y=√3x
C.x-√3y+2=0 D.x+√3y-2=0
2.(2020上海静安期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足( )
π π π π π 3π
A.- ≤α≤ B. ≤α< 或 <α≤
4 4 4 2 2 4
π π π 3π
C. ≤α< D. <α≤
4 2 2 43π
3.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则y等于( )
4
A.-1 B.-3 C.0 D.2
4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )
1
A. -1,
5
1
B. -∞, ∪(1,+∞)
2
1
C.(-∞,-1)∪ ,+∞
5
1
D.(-∞,-1)∪ ,+∞
2
考向二 圆的方程
1.(2021北京海淀二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是( )
A.3 B.2 C.-1 D.-3
2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
4 3
A.- B.- C.√3 D.2
3 4
3.(2021江苏盐城滨海中学一模)已知a,b都是实数,那么“a>2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为( )
1
A. B.1 C.2 D.4
2
考向三 直线与圆的位置关系
1.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.42.若圆C :x2+y2=1与圆C :x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m的值是( )
1 2
A.21 B.19 C.9 D.-11
3.(2021河南郑州二模)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧 ⏜ 的长为(
AB
)
π
A. B.π C.2π D.3π
2
基础题型训练
一、单选题
1．已知圆 和圆 ，则两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
2．已知点 是边长为6的正方形 内的一点，且 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．从点 射出的光线沿与向量 平行的直线射到 轴上，则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知射线 、 与 相切，若 存在两个点 使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
5．如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3， ），则|MQ|的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知半径为1的动圆 经过坐标原点，则圆心 到直线 的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．点 关于直线 的对称点为
C．经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
8．下列命题正确的是（ ）
A．当 时，直线 与直线 平行
B．当 时，直线 与直线 垂直
C．当 时，曲线 与曲线 外切
D．当 时，直线 与直线 的交点坐标是三、填空题
9．两平行线 与 之间的距离为 .
10．直线 被圆 所截的弦长为 .
11．直线 ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且 AOB是直角三角形(O是坐
标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间的距离的最大值为 .
12．阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知 、 分别是圆 ，圆
上的动点， 是坐标原点，则 的最小值是 ．
四、解答题
13．画出方程 表示的曲线．
14．已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)边AB所在直线的方程；
(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．
15．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆
盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就
是其外接圆．已知x，y满足方程 ，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，
， ， ， 为平面图形W上不同的四点．
(1)求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程．
16．过点 作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B两点.（1）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程；
（2）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程.
高考真题分考点汇编
直线的方程
1.(2014四川文,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),
则|PA|+|PB|的取值范围是( )
A.[√5,2√5] B.[√10,2√5]
C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]
2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出
发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
8 4
A.2 B.1 C. D.
3 3
3.(2012浙江理,3,5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l:ax+2y-1=0与直线l:x+(a+1)y+4=0平行”的( )
1 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件4.(2011浙江文,12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .
圆的方程
1.(2015课标Ⅱ理,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2√6 B.8 C.4√6 D.10
2.(2015课标Ⅱ文,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
5 √21 2√5 4
A. B. C. D.
3 3 3 3
3.(2015北京文,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案 D 由题意得圆的半径为√2,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.
4.(2022 全国乙,理 14,文 15,5 分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为
.
5.(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为
.
6.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离
4√5
为 ,则圆C的方程为 .
5
x2 y2
7.(2015课标Ⅰ理,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方
16 4
程为 .
8.(2014陕西理,12,5 分)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x对称,则圆 C 的标准方程为
.
考点三 直线与圆的位置关系
1.(2022北京,3,4分)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a= ( )1 1
A. B.- C.1 D.-1
2 2
2.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
3.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0
4.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线
的斜率为( )
5 3 3 2
A.- 或- B.- 或-
3 5 2 3
5 4 4 3
C.- 或- D.- 或-
4 5 3 4
5.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条
切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2 B.4√2 C.6 D.2√10
6.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x ,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 的取值范围是(
0 0
)[ 1 1]
A.[-1,1] B. - ,
2 2
C.[- , ] D.[ √2 √2]
√2√2 - ,
2 2
7.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
8.(2014安徽文,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
( π] ( π] [ π] [ π]
A. 0, B. 0, C. 0, D. 0,
6 3 6 3
9.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+
(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
10.(2014 北京文,7,5 分)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆 C 上存在点 P,使得
∠APB=90°,则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
11.(2013重庆理,7,5分)已知圆C :(x-2)2+(y-3)2=1,圆C :(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C ,C 上的动点,P为x轴
1 2 1 2
上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17
12.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
4 3
A.- B.- C.√3 D.2
3 4
13.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )
A.1 B.2 C.√2 D.2√2
14.(2016课标Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为
.
答案 4π
15.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交
于C,D两点.则|CD|= .
16.(2016课标Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与
x轴交于C,D两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .17.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有
圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
18.(2014重庆理,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边
三角形,则实数a= .
19.(2022新高考Ⅱ,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有
公共点,则a的取值范围是 .
20.(2022全国甲理,14,5分)若双曲线y2- x2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m= .
m2
21.(2022新高考Ⅰ,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 .
22.(2021全国甲理,20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且
OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.
(1)求C,☉M的方程;
(2)设A,A,A 是C上的三个点,直线AA,AA 均与☉M相切.判断直线AA 与☉M的位置关系,并说明理由.
1 2 3 1 2 1 3 2 3
23.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若⃗OM·⃗ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
24.(2015广东理,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C :x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
1
(1)求圆C 的圆心坐标;
1
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理
由.
25.(2014课标Ⅰ文,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的
中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
26.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.
设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
