文档内容
专题 9.1 直线的方程
题型一 倾斜角与斜率
题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围
题型三 求直线的方程
题型四 直线的定点问题
题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题
题型六 直线平行或垂直
题型七 距离公式的应用
题型八 对称问题
题型一 倾斜角与斜率
例1．（2023春·湖北荆州·高三统考阶段练习）若直线经过两点 ， ，且
其倾斜角为135°，则m的值为（ ）
A．0 B． C． D．
例2．（2023春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）直线 的倾斜
角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习1．（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线 的斜率为 ，则（ ）A． B． C． D．
练习2．（2023秋·高三课时练习）对于下列命题：①若 是直线l的倾斜角，则
；②若直线倾斜角为 ，则它斜率 ；③任一直线都有倾斜角，但不
一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
练习3．（2023秋·高三课时练习）直线l的斜率为k，且 ，则直线l的倾斜角
的取值范围是__________．
练习4．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线
的斜率为 ，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.
练习5．（2022秋·高三课时练习）（多选）若直线 与 轴交于点 ，其倾斜角为 ，
直线 绕点 顺时针旋转45°后得直线 ，则直线 的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围
例3．（2023·全国·高三专题练习）若实数 、 满足 ， ，则代数式
的取值范围为______
例4．（2023秋·高三课时练习）直线 与连接 的线段相交，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．练习6．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知点 ，若直线
与线段 没有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
练习7．（2023秋·高三课时练习）如图，已知两点 ，过点 的直线
l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
练习8．（2023·全国·高三对口高考）已知点 ，若直线 与
的延长线（有方向）相交，则 的取值范围为_________．
练习9．（2022·全国·高二专题练习）已知 , ，点 是线段AB上的动点，
则 的取值范围是______.
练习10．（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）（多选）若直线l经过点 ，在x轴
上的截距的取值范围是 ，则直线l斜率的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
题型三 求直线的方程例5．（2023秋·高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是 ，经过点 ；
(2)经过点 ，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是 ；
(4)经过两点 ；
(5)在x轴上的截距是 ，倾斜角是 ；
(6)倾斜角为 ，与y轴的交点到x轴的距离是3．
例6．（2023·高三课时练习）已知直线l的倾斜角为 ， ，且这条直线经过点
，求直线l的一般式方程．
练习11．（2023秋·高三课时练习）经过点 ，且倾斜角为 的直线的一般式方程为
（ ）
A． B． C． D．
练习12．（2022秋·高三校考课时练习）直线 和直线 在同一
平面直角坐标系中的图像有可能是（ ）
A． B．
C． D．
练习13．（2022秋·高三校考课时练习）已知 的三个顶点分别为
，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )A． B．
C． D．
练习14．（2023·全国·高三对口高考）过点 作直线 分别交 ， 的正半轴于 ，
两点．
(1)求 面积的最小值及相应的直线 的方程；
(2)当 取最小值时，求直线 的方程；
(3)当 取最小值时，求直线 的方程．
练习15．（2023春·上海徐汇·高三上海中学校考期中）过点 作一条直线 ，它夹在
两条直线 ： 和 ： 之间的线段恰被点 平分，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
题型四 直线的定点问题
例7．（2022·全国·高三专题练习）直线 ，当 变动时，所有直线恒过定点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·全国·高二对口高考）以下关于直线 的说法中，不正确的是
（ ）
A．直线 一定不经过原点
B．直线 一定不经过第三象限
C．直线 一定经过第二象限
D．直线 可表示经过点 的所有直线练习16．（2023·全国·高三专题练习）直线 ，当 变动时，所有直线都通
过定点（ ）
A． B． C． D．
练习17．（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量
， ，且 ．若点 的轨迹过定点，则这个定点的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
练习18．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）直线
（ ）必过点________.
练习19．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知实数 成等差
数列，则直线 必过定点______.
练习20．（2023春·湖南·高三临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线 ：
与 ： 交于点P，则 的值为________．
题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题
例9．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考期中）已知直线 的方程为
．
(1)求直线 过的定点P 的坐标；
(2)直线 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当 面积最小时，求直线 的
方程；
例10．（2023秋·高三课时练习）过点 且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程
为__________．
练习21．（2022秋·高三校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____.
练习22．（2023·上海·高三专题练习）求过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方
程_______．
练习23．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线 经过点 且 与两坐
标轴围成的三角形的面积为 ，则直线 的方程为__________.
练习24．（2023春·四川内江·高三四川省资中县第二中学校考开学考试）已知直线
， .
(1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线 过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的 ，求直线
的方程.
练习25．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）若直线 与直线 平行，且在
轴上的截距比在 轴上的截距大 ，求直线 的方程.
题型六 直线平行或垂直
例11．（2022秋·高二校考课时练习）与直线 垂直，且在x轴上的截距为2的直
线的斜截式方程为（ ）.
A． B．
C． D．
例12．（2023·高三课时练习）已知直线 和 ，若 ，
则 ___________．
练习26．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线 与直线 垂直，若直线 的
倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．练习27．（2022秋·四川泸州·高三统考期末）点 与点 关于直线l对称，则l的方
程是（ ）
A． B． C． D．
练习28．（2023·全国·高三对口高考）直线 和 ，当
________时， ；当 ________时， ；当 ________时， 与 相交．
练习29．（2023秋·高三课时练习）已知直线 平行于直线 ，且
在y轴上的截距为 ，则m，n的值分别为__________和__________．
练习30．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知直线
，若 且 ，则 的值为
（ ）
A． B．5 C． D．7
题型七 距离公式的应用
例13．（2022秋·广东揭阳·高三校考期中）直线 过点 .求分别满足下列条件的直线
方程.
(1)若直线 与直线 平行；
(2)若点 到直线 的距离为1.
例14．（2023·全国·高三对口高考）过点 且和 的距离相等的直线方
程是_________．
练习31．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）两条平行线 ，
间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
练习32．（2022秋·高三单元测试）已知直线过点 ，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
练习33．（2022秋·高三校考课时练习）若点A在直线 上，且点A到直线
的距离为 ，则点A的坐标为________________.
练习34．（2023·全国·高三对口高考）过点 且和 的距离相等的直线
方程是_________．
练习35．（2023秋·高三课时练习）在直线 上求一点P，使它到点 的距离
为5，并求直线PM的方程.
题型八 对称问题
例15．（2022秋·高三校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线
4x+3y=11对称，则a，b的值为（ ）.
A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4 D．a=4，b=2
例16．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线 的方程为 .
（1）若直线 和直线 关于点 对称，求直线 的方程__________；
（2）若直线 和直线 关于直线 对称，求直线 的方程__________.
练习36．（2023秋·上海奉贤·高三校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮
马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样
走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ，若将军从山
脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5练习37．（2023春·上海闵行·高三校考阶段练习）函数 的值
域为__________.
练习38．（2022秋·高三单元测试）已知 ABC三个顶点的坐标分别为
，线段AC的垂直△平分线为l.
(1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动，当|AP|+|BP|最小时，求点P的坐标.
练习39．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）一条光线从点 发出，经过 轴反
射，反射光线经过点 .
(1)求反射光线所在的直线方程；
(2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.
练习40．（2023·高三课时练习）若点 关于直线 对称的点是
，求a、b的值．
