专题8.8立体几何综合问题2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题8.8 立体几何综合问题 1.会解决简单的立体几何问题. 新课程考试要 2．会用向量方法证明直线、平面位置关系的有关命题. 求 3．会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的 问题. 核心素养 本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等. （1）立体几何中的动态问题. （2）立体几何中的探索性问题. （3）平面图形的翻折问题. （4）立体几何与传统文化 （5）立体几何新定义问题 （6）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一 问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力 考向预测 和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平 行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计 算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法 解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并 通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中 加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平 行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方 法进一步求角或距离. 【考点分类剖析】 考点一 ：立体几何中的动态问题 【典例1】（2021·福建高二期末）在棱长为1的正方体 中，点 ， 分别 足 ， ，其中 ， ，则（ ） A．当 时，三棱锥 的体积为定值 B．当 时，点 ， 到平面 的距离相等 C．当 时，存在 使得 平面 D．当 时， 【典例2】（2020·四川南充·高三其他（理））已知三条射线OA，OB，OC 两两所成 的角都是60°.点M 在OA上，点N 在BOC内运动，MN OM 6 3，则点N 的 轨迹长度为( ) A．2π B．3π C．4π D．5π【总结提升】 1.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等． 2．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义 推断出动点的轨迹． 【变式探究】 1.（2020·河北新华·石家庄二中高三月考（理））如图，正方体ABCDABC D 中， 1 1 1 1 P为底面ABCD上的动点，PE AC于E，且PAPE,则点P的轨迹是（ ） 1 A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 2．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2 的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为 ，设圆台的体积为 ，则下列 选项中说法正确的是（ ） A．当 时， B．当 在区间 内变化时， 先增大后 减小 C． 不存在最大值 D．当 在区间 内变化时， 逐渐减小 考点二 ： 立体几何中的探索性问题 【典例3】（2021·广东高二期末）如图，在正方体 中， 是棱 的中 点． （1）求二面角 的余弦值； （2）在棱 （包含端点）上是否存在点 ，使 平面 ，给出你的结论，并证明． 【典例4】（2020·全国）如图，AC 是O的直径，点B是O上与A，C不重合的动点， PO平面ABC.（1）当点B在什么位置时，平面OBP 平面PAC ，并证明之； （2）请判断，当点B在O上运动时，会不会使得BC  AP，若存在这样的点B，请确 定点B的位置，若不存在，请说明理由. 【典例5】（2020·全国高二课时练习）如图，在三棱柱ABCABC 中，BB 平面 1 1 1 1 ABC，AB BC，AA  AB  BC 2. 1 （1）求证：BC 平面ABC； 1 1 1 （2）求异面直线BC与AB所成角的大小； 1 1 BM 1 ((0,1)) （3）点 在线段 上，且 ，点 在线段 上，若 平面 M BC BC N AB MN∥ 1 1 1 AN 1 ，求 的值（用含 的代数式表示）. AACC AB  1 1 1 【规律方法】 求解立体几何中探索问题的策略 1．条件探索性问题 (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； (3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． 如本例(2)先根据题意猜测点的位置．再结合证明．一般探索点存在问题，点多为中点或三 等分点中的一个． 2．结论探索性问题 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结 论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．【变式探究】 1．（2020·四川泸县五中高二开学考试（理））如图，在四棱柱ABCDABC D 中， 1 1 1 1 底面ABCD是正方形，平面A 1 DB 1 平面ABCD，AD1，AA 1  2 .过顶点D，B 1 的平面与棱BC，AD 分别交于M ，N 两点. 1 1 （Ⅰ）求证：AD DB ； 1 （Ⅱ）求证：四边形DMBN 是平行四边形； 1 （Ⅲ）若ADCD，试判断二面角DMB C的大小能否为45？说明理由. 1 1 2．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知在四棱锥 中，平面 平面 ， 且 是正方形.若 . （1）求四棱锥 的体积； （2）在线段 上是否存在一点 满足：二面角 的余弦值为 ？若存在，请 求出 的比值 .若不存在，请说明理由. 3．（2020·浦东新·上海师大附中高二期中）设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，若PA AB 1，BC 2. （1）求PC与平面PAD所成角的正切值； （2）在BC边上是否存在一点G ，使得点D到平面PAG的距离为 2 ，若存在，求出 BG的值，若不存在，请说明理由； （3）若点E是PD的中点，在△PAB内确定一点H ，使CH EH 的值最小，并求此时 HB的值. 【总结提升】 与空间角有关的探索性问题的解题策略 与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角 有关的存在性问题，常利用空间向量法求解．求解时，一般把“是否存在”问题转化为 “点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，并注意准确理解和熟练应用夹角 公式． 其步骤是：(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系，设(求)出相关空间点的 坐标；(3)构建有关向量；(4)结合空间向量，利用线面角或二面角的公式求解；(5)作出判 断． 考点三 ： 平面图形的折叠问题 【典例6】【多选题】（2021·广东高二期末）如图，菱形 边长为 ， ， 为边 的中点．将 沿 折起，使 到 ，且平面 平面 ，连接 ， ． 则下列结论中正确的是（ ） A． B．四面体 的外接球表面积为 C． 与 所成角的余弦值为 D．直线 与平面 所成角的正弦值为【典例7】（2021·江苏高二期中）已知梯形 如图1所示，其中 ， ， ，四边形 是边长为1的正方形，沿 将四边形 折起，使得平面 平面 ，得到如图2所示的几何体. （1）求证：平面 平面 ； （2）求点F到平面ABE的距离； （3）若点 在线段 上，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度. 【特别提醒】 解决空间图形的翻折问题时，要从如下几个角度掌握变化规律： 注意：掌握翻折过程中的特殊位置 ①翻折的起始位置；②翻折过程中，直线和平面的平行和垂直的特殊位置. 【变式探究】 1．（2021·贵州凯里一中高三三模（文））如图，在 中， ， ， 是棱 的中点，以 为折痕把 折叠，使点 到达点 的位 置，则当三棱锥 体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D． 2．（2021·重庆八中高三月考）如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且 ， ，将 所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的正投影E在线 段BD上，如图2. （1）求证：BC⊥平面ACD； （2）已知O为AB中点，在线段CE上是否存在点F，使得 平面ACD？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 考点四 ： 立体几何与传统文化 【典例8】（2020·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂 直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平 面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷 针与点A处的水平面所成角为（ ） A．20° B．40° C．50° D．90°【总结提升】 近几年高考命题关于这部分内容的考查，主要是以传统文化、数学文化、现代生活为背景， 考查立体几何的基础知识，涉及三视图、面积体积计算、几何体的几何特征等. 【变式探究】 （2021·全国高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 、 距离之 比 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据 以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的表 面 (包括边界)上的动点，若动点 满足 ，则点 所形成的阿氏圆的半径为 ______；若 是 的中点，且满足 ，则三棱锥 体积的最大值是 ______. 阿波罗尼奥斯 考点五 ：立体几何中的新定义问题 【典例9】（2021·全国高三零模）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运 用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶 点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角， 角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点 的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各 顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．（1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数． 【总结提升】精读题干，理解新定义是解题的关键. 【变式探究】 （2021·全国高三专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散 曲率为 ，其中Q（i＝1，2，…，k， i k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面QPQ，平面QPQ，…，平面Q 1 2 2 3 k﹣ PQ 和平面QPQ 遍历多面体M的所有以P为公共点的面． 1 k k 1 （1）如图1，已知长方体ABC D﹣ABCD，AB＝BC＝1， ，点P为底面 1 1 1 1 ABC D 内的一个动点，则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值； 1 1 1 1 （2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取 若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β 中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）