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专题 8.7 立体几何
一、单选题
1．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个
半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体 中，P为 的中
点，则直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021年全国新高考II卷数学试题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长
为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年全国新高考II卷数学试题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重
要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度
为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r
为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观
测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积
为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，
其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；
水位为海拔 时，相应水面的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作
一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为（ ）
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
7．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥 中， 是边长为2的等
边三角形， ，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
9．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥 中，底面 为正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的
三个点，且 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球
面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）在正方体 中，E，F分别为
的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
13．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
14．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边，
为等边三角形，若二面角 为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切
值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，
底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在
棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体 ，则（ ）A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
18．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面
直径， ， ，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
19．（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：
m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
21．（2021年全国新高考I卷数学试题）在正三棱柱 中， ，点
满足 ，其中 ， ，则（ ）A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
三、填空题
22．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为
则该圆锥的侧面积为________.
23．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点 均在半径为2的球面上，
是边长为3的等边三角形， 平面 ，则 ________．
24．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面
所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
25．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为
CD， 的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．
26．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在正四棱台 中，
，则该棱台的体积为________．
27．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体 中， 为
的中点，若该正方体的棱与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是
________．
四、解答题
28．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形，
底面 ，M为 的中点，且 ．（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．
29．（2023年新高考天津数学高考真题）三棱台 中，若 面
， 分别是 中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
30．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥 中， ，
， ， ， 的中点分别为 ，点 在 上，
．
(1)求证： //平面 ；(2)若 ，求三棱锥 的体积．
31．（2021年全国新高考I卷数学试题）如图，在三棱锥 中，平面 平面
， ， 为 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角
的大小为 ，求三棱锥 的体积.
32．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 中，侧面
为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
33．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱 中，侧面
为正方形， ，E，F分别为 和 的中点， .（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
34．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形，
底面 ， ， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
35．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥 中，底面 是正方形，
若 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．36．（2022年新高考全国I卷数学真题）如图，直三棱柱 的体积为4，
的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦
值．
37．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体 中，
，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面
所成的角的正弦值．
38．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥 中， 底面
．(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
39．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封
闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形，
均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
40．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体 中，
，E为AC的中点．(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥
的体积．
41．（2022年新高考全国II卷数学真题）
如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
42．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在三棱柱 中， ，
底面ABC， ， 到平面 的距离为1．
(1)求证： ；
(2)若直线 与 距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
43．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）
如图，在正四棱柱 中， ．点 分别在棱, 上， ．
(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
44．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱 中， 平
面 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，求四棱锥 的高．
45．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥 中， ，
， ， ，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，
，点F在AC上， .(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
