文档内容
专题 07 二次函数中含字母参数的图象和性质问题的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数中含参数的图象和性质
类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题
类型三、二次函数图象与各项系数符号问题
类型四、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题
类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题
压轴专练
类型一、二次函数中含参数的图象和性质
知识点：1.含参数二次函数的基本形式（y=ax²+bx+c，a≠0）中，参数a、b、c对图象开口方向（a的
符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标及与坐标轴交点的影响。2.判别式Δ=b²-4ac与参数的关
系，决定图象与x轴交点个数，以及函数最值（顶点纵坐标）的表达式。
解题技巧：1.对参数分类讨论，如按a的符号分开口向上/向下，按对称轴与给定区间的位置关系分析
单调性。2.结合数形结合，画出动态图象草图，标注顶点、交点等关键点，根据参数范围锁定图象特
征，解决零点分布、最值范围等问题。
例1．已知二次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数图象的顶点坐标为
B．当 时， 的值随 的增大而增大
C．当 ， 时， 的取值范围是
D．当 时， 的最大值为8，则 或
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数
的性质，逐项分析判断原说法的正误即可．【详解】解：A、当 时， ，顶点坐标是 ，故原说法
错误，不符合题意；
B、当 时， ，当 时， 的值随 的增大而增大，但前提条件没有说
，故原说法错误，不符合题意；
C、当 时， ，当 时， ，解得 ，故原说法错误，不符合题意；
D、抛物线对称轴是直线 ．
若 ，则 时， 的最大值为8，
∴ ，
∴ ；
若 ，则 时， 的最大值为8，
∴ ，
∴ ．
∴当 时， 的最大值为8，则 或 ，正确，符合题意；
故选：D．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，拋物线 经过点 ， ．则下列说法错误
的是（ ）
A．若 ，抛物线的对称轴为直线
B．若 且 ，则 的取值范围为 或
C．若 ，则抛物线的开口向下
D．若 ，点 在该拋物线上， 且 ，则有
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质：
若 ，把点 代入 ，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为 ，再根据二次函数的图象，即可求解；
若 ，把点 代入 可得 ，再由 ，可得 ， ，从而
得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 ，然后根据 ，可得
，再根据 ，可得 到对称轴的距离大于 对称轴的距离，即可求解．
【详解】解：当 时，点 ，
把点 代入 得： ，
解得： ，
∴该函数解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；选项A说法正确，不符合题意；
令 ，则 ，
解得： ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时，m的取值范围为 或 ；选项B说法正确，不符合题意；
若 ，
把点 代入 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 到对称轴的距离大于 对称轴的距离，
∴ ．选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式1-2】二次函数 ，有下列结论：
①该函数图象过定点 ；
②当 时，函数图象与 轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在 轴的右侧；
④当 时，点 ， 是曲线上两点，若 ， ，则 ．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将抛物线整理为
，即可判断①，将 代入并计算 即可判断
②，计算抛物线的对称轴并根据 即可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定 、 的位置，
再根据增减性即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．【详解】解： ，
当 时， ，
该函数图象过定点 ，故①正确；
当 时， ，
，
函数图象与 轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为： ，
，
，
当 时，对称轴在 轴左侧，当 时，对称轴在 轴右侧，故③错误；
，
，
， ，
， 在对称轴左侧， ， 在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧， 随 增大而减小，在对称轴右侧， 随 增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
此时， ，
，
，
，故④错误，故选：B．
类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题
知识点：1.二次函数增减性与对称轴的关系：开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时则
相反。2.含参数时，对称轴位置（x=-b/(2a)）随参数变化，影响给定区间内的最值点（端点或顶
点）。
解题技巧：1.分情况讨论对称轴与区间的位置关系（在区间左、内、右侧），结合增减性确定最值对应
的点，列方程求解参数。2.验证解的合理性：将求得的参数代入对称轴，检查是否符合分类前提，避免
漏解或增解，确保多解均满足区间内最值条件。
例2．已知二次函数 （ 是常数），当自变量 时，函数有最大值为10，则
．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分 、
和 三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
又∵当自变量 时，函数有最大值为10，
∴当 即 时， 时取最大值，即 ，
解得 ，
当 即 时， 号时取最大值，即 ，
则
∵ ，方程没有实数根，
当 时即 ， 时取最大值，即 ，
解得
综上， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式2-1】已知抛物线 ， 为实数，当 时， 的最大值为4，此时
的值为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先求出函数的对称轴为 ，判断函数的开口向上，判断出当 时，取最大值4，代入从而求得
答案；
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为 ，函数图象开口向上，
，
，
∴当 时， 取最大值4，
，
解得： ，
故答案为： 或 ．
【变式2-2】已知二次函数 ．若当 时， 的最大值为5，则 的值为
．
【答案】1或
【分析】先求出二次函数的对称轴，再分 与 时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．
本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分 与 两种情况讨论求解，有一
定的难度．
【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴当 时，抛物线开口向上，在对称轴直线 右侧y随x的增大而增大，
当 时y有最大值5，
，
解得： ，
当 时，抛物线开口向下， 时y有最大值5，，
解得 ，
故答案为：1或 ．
类型三、二次函数图象与各项系数符号问题
知识点：1.二次项系数a：决定开口方向（a>0向上，a<0向下）及开口宽窄（|a|越大越窄）。2.一次项
系数b与常数项c：b与x轴交点个数。结合a决定对称轴位置（x=-b/(2a)），c为图象与y轴交点纵坐标
（c>0交正半轴，c<0交负半轴）；判别式Δ=b²-4ac反映与x轴交点个数。
解题技巧：1.从图象特征逆向推系数符号：开口方向定a，y轴交点定c，对称轴位置结合a定b，交点个
数定Δ。2.利用特殊点辅助判断：如x=1时y=a+b+c的符号（对应点在x轴上方则为正），x=-1时y=a-
b+c的符号，增强判断依据。
例3．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．下列结论：① ；②
③ ；④ （ 为实数）．其中结论正确的为 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据开口方向，对称轴，
与 轴的交点位置，判断①，特殊点结合对称轴判断②，特殊点结合平方差公式判断③，最值判断④即可．
【详解】解：由图象可知： ，
∴ ，
∴ ；故①错误，
当 时， ，
∴ ；故②正确；
∵ 时，函数有最小值，且由图象可知最小值为： ，∴ ，故③正确；
，
∴ ；故④正确；
故答案为：②③④
【变式3-1】如图，抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ，有下列结论① ；
② ；③ ；④ ；其中所有正确的结论是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．
【详解】由图像可知 ， ， ，
∴ ，故①正确．
当x= 时，y=0，
即
∴
∴
∴ ，故②正确．
由对称轴为 ，与x轴一个交点为 可知与x轴另一个交点为
即
化简得 ，故③正确．∵对称轴为
∴
∴ ，
将 代入 有
即
∴ ，故④错误．
综上所述①②③正确．
故答案为①②③．
【变式3-2】如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴相交于 、 两点，与 轴交于点
．对称轴为直线 ，且 ，下列结论：① ；② ；③若 ，则
；④若点 、点 在该二次函数图象上，当 且 时，则 其中
正确的结论是 (填写正确结论的序号)
【答案】①③④
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与 轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二
次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的 ，是解题的关键．由二次函数图象
的对称轴而可判断①；由 时， ，结合 ，即可判断②；判断直线 过 ， 两点，
根据图象即可判断③；由题意可知点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离即可判断④．
【详解】解： 对称轴为直线 ，，
，
，故①正确；
时， ，
，
，
，
，故②错误；
， ，
，
，
直线 与 轴的交点为 ，
直线 过 ， 两点，
观察图象，若 ，则 ，故③正确；
由题意可知点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
抛物线开口向下，
．故④正确；
故答案为：①③④．
类型四、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题
知识点：1.三类函数图象基本特征：一次函数 y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向，b定与y轴交
点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k定象限；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是抛物线，a定开
口，对称轴和顶点影响形状。2.系数符号关联性：同一题中参数（如k、a、b）在不同函数中需保持一
致，可通过图象特征交叉验证。
解题技巧：1.先从特征明显的函数突破（如抛物线开口定 a，双曲线象限定k），再代入其他函数验证
系数符号是否矛盾。2.利用特殊点或对称性质辅助判断，排除系数符号冲突的选项，锁定符合所有函数
图象逻辑的答案。.
例4．如图，二次函数 的图象经过点P，若点P的横坐标为 ，则一次函数 的
图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出
是解题的关键．先求出 ， ，再求出 ，最后判断一次函数图象即可．
【详解】解：由二次函数的图象可知， ， ，
当 时， ，
∴ 的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
【变式4-1】已知一次函数 的图象如图所示，则二次函数 在平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出 ，再判断二
次函数的图象特征，进而求解．【详解】解：由一次函数的图象可得： ，
∴二次函数 图象的对称轴 ，在 轴的右侧，与 轴的交点在正半轴，符合题意的只
有A，
故选：A．
【变式4-2】一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函
数 的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数和一次函数图像，二次函数的性质，观察图像可知： ， ， ，
得出二次函数 的图像开口向上，对称轴 ，与y轴的交点在y轴的负半轴，即可得
出答案．
【详解】解：观察图像可知： ， ， ，
∴二次函数 的图像开口向上，对称轴 ，与y轴的交点在y轴的负半轴，
故选：B．
【变式4-3】二次函数 （ ）的图象如图所示，则一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由二次函数的图象可得： ， ， ，可得一次函数 的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，从而可得答案．
【详解】解：由二次函数的图象可得： ， ， ，
∴一次函数 的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，
∴B，C，D不符合题意，A符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次
函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．
类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题
知识点：1.含参数二次函数的核心性质：开口方向（a的符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标、最
值与参数的关系，以及判别式Δ与零点个数的关联。2.函数与方程、不等式的转化：参数影响下，函
数图象与坐标轴交点分布对应方程根的情况，区间内函数值符号对应不等式解集。解题技巧：1.分类讨论参数对关键特征的影响，如对称轴与给定区间的位置关系，分情况分析单调性与
最值，建立参数方程。2.数形结合动态分析：绘制含参数的函数草图，标注顶点、端点等关键点，结合
参数范围锁定图象形态，通过交点、最值条件列关系式求解，验证解的合理性。
例5．在平面直角坐标系 中，点 是抛物线 上任意一点．
(1)若 ，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点 在该抛物线上，若存在 ，恰好使 ．比较 的大小，并
说明理由．
【答案】(1)直线
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函
数解析式及根据抛物线的增减性求解．
（1）把点 代入 求得 ，即可根据对称轴公式求得答案；
（2）根据各点到对称轴的距离判断y值大小．
【详解】（1）解： ， ，点 是抛物线 上任意一点，
抛物线过点 ，
即 ，
抛物线对称轴为直线 ，即该抛物线的对称轴为直线 ；
（2） 理由如下：
设抛物线对称轴为直线 则抛物线上点 关于对称轴的对称点为 ，
存在 ，恰好使 ，
，
抛物线开口向下，
在对称轴的左侧y随x增大而增大．又 关于对称轴的对称点为 且 ，
点 ， ， 都在对称轴左侧，且
【变式5-1】已知抛物线 的顶点在 轴上．
(1)求 的值；
(2)抛物线上两点 ， ．若 ，则 ______ （填“ ”、“ ”或“ ”）；
(3)若点 ， 为抛物线上的两点，且 ，求出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
（1）先配方成顶点式，再利用顶点在x轴上列方程，解方程可得答案；
（2）首先得到抛物线对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而减小，进而求解即可；
（3）根据题意得到点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，然后得到 ，进而求解即
可．
【详解】（1）∵ ，
∵抛物线 的顶点在 轴上，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，∴当 时，y随x的增大而减小，
∵抛物线上两点 ， ， ，
∴ ；
（3）∵点 ， 为抛物线上的两点，且 ，
∴点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴
∴
解得 ．
【变式5-2】已知抛物线 过点 ．
(1)求 的值和抛物线 与 轴的交点坐标．
(2)将抛物线 进行平移得到抛物线 ，若点 ， 分别在抛物线 ，
上，
①若 ，且直线 与抛物线 只有一个交点，求直线 的表达式．
②若 ，求 的最大值．
【答案】(1) ；
(2)① ；② ．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数解析式求解，一次函数解析式的求解，一次函数与二次函
数方程联立，求出a的值，即可知抛物线 与 的解析式，联立一次函数与二次函数是解决本题的关键．
（1）根据抛物线过点 ，将点代入抛物线方程中即可求解a的值，再令 即可求解抛物线 与 轴的交点坐标；
（2）①设出直线方程，将点 和点 代入直线方程结合 可求解k的值，再根据
直线 与抛物线 只有一个交点，联立直线与抛物线方程由判别式为零可求解b的值，即可得直线方程；
②根据 可表示点 ， ，再表示 ，由二次函数的最值即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线方程为 ，
令 ， ，
∴抛物线 与 轴的交点坐标为 ；
（2）解：①由（1）知， ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
∵点 ， 在直线 上，
∴ ，
两式相减， ，
又∵ ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
∴联立直线 与抛物线 ：，消y得， ，
整理得， ，
∵直线 与抛物线 只有一个交点，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
②∵ ，
∴点 ， ，
∵点 ， 分别在抛物线 ， 上，
∴ ， ，
则
，
令 ，是一个开口向下的二次函数，在对称轴处取得最大值，
对称轴 ，
将 代入 中，得：
，∴ 的最大值为
【变式5-3】已知二次函数 （ 是常数，且 ）．
(1)若拋物线经过 ，求二次函数解析式．
(2)在（1）的条件下，抛物线上有一点 ，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点 的坐标．
(3)若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令 ，是否存在一个常数 ，使得
当 时， 的最小值恰好等于 ．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或3
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、新定义，分类求解是解题的关
键．
（1）把 代入解析式计算即可求解；
（2）设点 ，则平移后点的坐标为： ，将该点的坐标代入
即可求解；
（3）由抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍得到方程 且 ，
即可得到 ，再根据 与 的位置关系分情况讨论分别求最小值即
可．
【详解】（1）解：∵拋物线 经过 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的表达式为： ；
（2）解：设点 ，则平移后点的坐标为： ，
将该点的坐标代入 得： ，
解得： ，
则点 的坐标为： ；
（3）解：存在，
理由：
一个点的纵坐标是横坐标的三倍的点所在图形解析式为： ，
得方程组， ，整理得： ，
∵抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，
∴ ，即
∴ ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
当 ，即 时， 在 范围内随 的增大而减小，则函数 在
时取得最小值，即 ，解得 或 （舍去）；
当 ，即 时，则函数在顶点时取得最小值，即 （舍去）；
当 ，即 时，则函数 在 时取得最小值，即 则 或 （舍去）；
综上， 或3．一、单选题
1．如图，抛物线 的顶点坐标为 ，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．抛物线向下平移 个单位后，一定经过
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征、顶点坐标公式以及平移
性质是解题的关键．根据抛物线的图象特征、顶点坐标公式以及抛物线平移的性质，对每个选项进行分析
判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，故A正确．
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，故B正确．
∵抛物线的顶点横坐标为 ，
∴ ，故C错误．
抛物线向下平移 个单位后，解析式为 ．当 时， ．
由 可得 ，
∴ ，
∴抛物线向下平移 个单位后一定经过 ，故D正确．
故选：C．
2．已知二次函数 在 时最小值为 ，则b的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D． 或
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意
易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨
论，结合最小值条件求解．
【详解】解：由二次函数 ，
∴二次函数图象的对称轴为直线 ，开口向上，且顶点坐标为 ，
当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：
则 ，
解得 ，即 ；
∴ ；
当 即 时，最小值在 处，
则
解得 ，满足 ；
当 即 时，最小值在 处，
则 ，解得 ，但 不成立，舍去，
综上， 或 ．
故选：B．
3．关于x的二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线
B．当 时，y的值随x值的增大而增大
C．函数图象一定经过点
D．当 时，函数图象与x轴一定有两个交点
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函
数图象的对称轴是直线 ；若 ，则当 时，y的值随x值的增大而增大，若 ，则当
时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点 ，当 时，根据
，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案．
【详解】解：函数图象的对称轴是直线 ，
故A选项正确，不符合题意；
若 ，则当 时，y的值随x值的增大而增大，若 ，则当 时，y的值随x值的增大而减小，
故B选项不正确，符合题意；
将 代入 ，得 ，
∴函数图象一定经过点 ，
故C选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴当 时， ，
∴此时函数图象与x轴一定有两个交点，
故D选项正确，不符合题意．故选：B．
4．已知二次函数 的图象如图，则一次函数 的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，
b，c的大小是解题的关键．
先求出 ， ， 再判断一次函数图象即可．
【详解】∵二次函数图象开口向上，
∴ ；
∵对称轴在 轴右侧，
∴ ，
∴ ；
∵与 轴交点在负半轴，
∴ ．
对于一次函数 ， ， ， ，故 ，
∴一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
二、填空题
5．当 时，函数 的最大值是8，则 ．
【答案】 或
【详解】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．先求得对称轴，根据的取值，再分 和 两种情况讨论求得即可．
【解答】解：函数 的对称轴为直线 ，
①当 时，则 时，函数 的最大值是8，
把 代入得， ，
解得 ；
②当 时，则 时，函数 的最大值是8，
把 代入得， ，
解得 ，
故答案为： 或 ．
6．如图，二次函数 图像的对称轴是直线 ，下列结论：① ；② ；③
（m为常数）；④若关于x的方程 恰有三个解，则 ，其中正确
的是 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数
的图象和性质是解题关键．
根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：由二次函数图象可知 ，
∵该二次函数对称轴为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
由图象可知，当 时， ，即 ．
∵ ，
∴ ，故②正确；
当 时，y取得最小值，
∴ ，即 ，故③正确；
当 时， ，
∴顶点坐标为 ，
根据题意得 ，
即将 位于x轴下方的图像向上翻折，
∴翻折后的顶点坐标为 ，
∵若关于x的方程 恰有三个解，
∴即函数 与 恰有三个解，
即 恰好经过向上翻折后的图像的顶点，
∴ ，
∵ ，
代入得到，则 ，
故④正确；
综上可知正确的结论为①②③④，
故答案为：①②③④．
7．已知二次函数 （b，c是常数）．
（1）若该抛物线的顶点坐标是 ，则 ．（2）若当 时，y的最大值为－1，当 时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性；
（1）根据顶点坐标求出解析式，即可得到b和c的值，然后代入计算解题；
（2）由题可得对称轴为直线 ，然后根据最值得到 时， ；抛物线顶点的纵坐标是3，然后
求出 的值解题即可．
【详解】解：（1）由题意得该二次函数的表达式为 ，
∴ ， ，∴ ．
故答案为：
（2）由题意，得抛物线的对称轴是直线 ．
∵当 时，y的最大值为－1，当 时，y的最大值为3， ，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，又抛物线的开口向下，
∴当 时， ，∴ ；
当 时，y的最大值为3，即抛物线顶点的纵坐标是3，
∴ ，∴ ，解得 ， （不合题意，舍去），
∴该抛物线的对称轴为直线 ．
故答案为：
8．抛物线 经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为 ．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作 轴，且点Q在一次函数 的图象上．当
时， 的最大值是 ．
【答案】 1
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键。
（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求联立两函数解析式，求出两函数的交点坐标，设 ， ，由函数图象
可得，当 时， 在 的上方，则 ，据此求解即可．
【详解】解：（1）把 代入 中，得 ，解得 ．
故答案为：1．
（2）由（1）得抛物线的表达式为 ，
联立 ，解得 ， ，
抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ．
设 ， ，由函数图象可得，当 时， 在 的上方，
当 时， ，
当 时，PQ的最大值是 ．
故答案为： ．
三、解答题
9．在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
(1)填空： （用含a的代数式表示）；
(2)当 时，y随x的增大而减小．①求a的取值范围；
②求函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2) ;
【分析】（1）将已知点代入抛物线方程，解方程组求出b的值。
（2）①根据抛物线的对称轴在 轴的右侧确定 的范围；②根据自变量端点的函数值，及函数 随 的增
大而减小即可求解．
【详解】解：（1） 抛物线经过点 ，代入方程得：
，
再代入点 得 ，
整理，得 ，
故答案为： ．
（2）①抛物线的对称轴为 ，代入 ，得： ，
，当 时，y随x的增大而减小，
，即 ，
解得， ，
②由（1）知， ，
当 时， ，
当 时，
当 时，y随x的增大而减小，
．
10．在平面直角坐标系中，设二次函数 （m是常数）．(1)若函数图象经过点 ，求函数图象的顶点坐标．
(2)若函数图象经过点 ，求证： ．
(3)已知函数图象经过点 ， ．若对于任意的 ，都有 成立，直接
写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) 或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的
关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）可求出 ， ，则 ；
（3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线 设函数图象经过点 ， ．
则点 在对称轴左侧，当 时， ，当 时， ，
据此求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ，
∴二次函数的顶点坐标为 ；
（2）解：∵函数图象经过点 ，
∴ ， ，∴
，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线
设函数图象经过点 ， ．
∴点 在对称轴左侧，
∵对于任意的 ，都有 成立，
∴存在如下情况：
如图1，当 时，
则 关于对称轴的对称点为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得 ；
如图2，当 时，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
综上所述，m的取值范围为 或 ．
11．二次函数 的图象与x轴交于点 ， 且 ．
(1)当 ，且 时，
①求b，c的值；
②当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为10，求t的值；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值．
（1）①将 ， 代入 ，求出b，c的值即可；
②由①得，二次函数为 ，可知二次函数图象的顶点坐标为 ，当 时， ，进而可得当 时， ，即 ，求出t的值即可．
（2）若 ，则二次函数解析式为 ，可得 ， ，则
，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：①当 ， 时， ， ，
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
②由①得，二次函数解析式为 ，
∴二次函数图象的顶点坐标为 ，
当 时， ，
∵当 时，二次函数的最大值与最小值的差为10，
∴当 时， ，
即 ，
解得 ， （舍去），
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴ ， ，∴ ，
∴当 时， 取得最小值为 ．
12．定义：把抛物线 （其中 ）与抛物线 称为“关联抛物线”，例如，
抛物线 的“关联抛物线”为 ．已知抛物线 的
“关联抛物线”为 ， 与 轴交于点 ．
(1)若点E的坐标为 ，求抛物线 的解析式；
(2)设 的顶点为 ，若 ，求点 的坐标；
(3)当 时， 的最大值与最小值的差为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为
(3) 的值为 或
【分析】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象
及性质，由“关联抛物线”的定义得出 的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出 的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出 的顶点坐
标；
（2）根据“关联抛物线”的定义可得 的解析式，之后得到函数的顶点，过点 作 轴于点 ，连
接 ，进而得到 ， ， ，于是根据 即可得到结论；
（3）当 时得出 的最大值和最小值，进而列出方程，可求出 的值．
【详解】（1）解： 与y轴交点的坐标为 ， ，解得 ．
的解析式为 ；（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得 的解析式为 ，
，当 时，
的顶点 的坐标为 ，点 ，
过点 作 轴于点 ，连接 ．
， ， ，
，
，即 ．
解得 ．
点 的坐标为 ；
（3） 的解析式为 ，
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
I．当 时， ，且当 时，函数最大值为 ；函数的最小值为 ．
，解得 或 （舍）或 （舍）；
当 时，函数的最大值为 ，函数的最小值为 ．
，解得 或 （舍）或 （舍）；Ⅱ．当 时， ，函数的最大值为 ；函数的最小值为 ，
，解得 （舍）或 （舍）；
Ⅲ．当 时， ，不符合题意，舍去．
综上， 的值为 或 ．
