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专题 07 二次函数中含字母参数的图象和性质问题的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数中含参数的图象和性质
类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题
类型三、二次函数图象与各项系数符号问题
类型四、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题
类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题
压轴专练
类型一、二次函数中含参数的图象和性质
知识点：1.含参数二次函数的基本形式（y=ax²+bx+c，a≠0）中，参数a、b、c对图象开口方向（a的
符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标及与坐标轴交点的影响。2.判别式Δ=b²-4ac与参数的关
系，决定图象与x轴交点个数，以及函数最值（顶点纵坐标）的表达式。
解题技巧：1.对参数分类讨论，如按a的符号分开口向上/向下，按对称轴与给定区间的位置关系分析
单调性。2.结合数形结合，画出动态图象草图，标注顶点、交点等关键点，根据参数范围锁定图象特
征，解决零点分布、最值范围等问题。
例1．已知二次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数图象的顶点坐标为
B．当 时， 的值随 的增大而增大
C．当 ， 时， 的取值范围是
D．当 时， 的最大值为8，则 或
【变式1-1】在平面直角坐标系中，拋物线 经过点 ， ．则下列说法错误
的是（ ）
A．若 ，抛物线的对称轴为直线B．若 且 ，则 的取值范围为 或
C．若 ，则抛物线的开口向下
D．若 ，点 在该拋物线上， 且 ，则有
【变式1-2】二次函数 ，有下列结论：
①该函数图象过定点 ；
②当 时，函数图象与 轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在 轴的右侧；
④当 时，点 ， 是曲线上两点，若 ， ，则 ．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题
知识点：1.二次函数增减性与对称轴的关系：开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时则
相反。2.含参数时，对称轴位置（x=-b/(2a)）随参数变化，影响给定区间内的最值点（端点或顶
点）。
解题技巧：1.分情况讨论对称轴与区间的位置关系（在区间左、内、右侧），结合增减性确定最值对应
的点，列方程求解参数。2.验证解的合理性：将求得的参数代入对称轴，检查是否符合分类前提，避免
漏解或增解，确保多解均满足区间内最值条件。
例2．已知二次函数 （ 是常数），当自变量 时，函数有最大值为10，则
．
【变式2-1】已知抛物线 ， 为实数，当 时， 的最大值为4，此时
的值为 ．
【变式2-2】已知二次函数 ．若当 时， 的最大值为5，则 的值为
．类型三、二次函数图象与各项系数符号问题
知识点：1.二次项系数a：决定开口方向（a>0向上，a<0向下）及开口宽窄（|a|越大越窄）。2.一次项
系数b与常数项c：b与x轴交点个数。结合a决定对称轴位置（x=-b/(2a)），c为图象与y轴交点纵坐标
（c>0交正半轴，c<0交负半轴）；判别式Δ=b²-4ac反映与x轴交点个数。
解题技巧：1.从图象特征逆向推系数符号：开口方向定a，y轴交点定c，对称轴位置结合a定b，交点个
数定Δ。2.利用特殊点辅助判断：如x=1时y=a+b+c的符号（对应点在x轴上方则为正），x=-1时y=a-
b+c的符号，增强判断依据。
例3．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．下列结论：① ；②
③ ；④ （ 为实数）．其中结论正确的为 ．
【变式3-1】如图，抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ，有下列结论① ；
② ；③ ；④ ；其中所有正确的结论是 ．
【变式3-2】如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴相交于 、 两点，与 轴交于点
．对称轴为直线 ，且 ，下列结论：① ；② ；③若 ，则
；④若点 、点 在该二次函数图象上，当 且 时，则 其中
正确的结论是 (填写正确结论的序号)类型四、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题
知识点：1.三类函数图象基本特征：一次函数 y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向，b定与y轴交
点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k定象限；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是抛物线，a定开
口，对称轴和顶点影响形状。2.系数符号关联性：同一题中参数（如k、a、b）在不同函数中需保持一
致，可通过图象特征交叉验证。
解题技巧：1.先从特征明显的函数突破（如抛物线开口定 a，双曲线象限定k），再代入其他函数验证
系数符号是否矛盾。2.利用特殊点或对称性质辅助判断，排除系数符号冲突的选项，锁定符合所有函数
图象逻辑的答案。.
例4．如图，二次函数 的图象经过点P，若点P的横坐标为 ，则一次函数 的
图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知一次函数 的图象如图所示，则二次函数 在平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）．A． B． C． D．
【变式4-2】一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函
数 的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】二次函数 （ ）的图象如图所示，则一次函数 （ ）与反比例
函数 （ ）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A． B． C． D．
类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题
知识点：1.含参数二次函数的核心性质：开口方向（a的符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标、最
值与参数的关系，以及判别式Δ与零点个数的关联。2.函数与方程、不等式的转化：参数影响下，函
数图象与坐标轴交点分布对应方程根的情况，区间内函数值符号对应不等式解集。
解题技巧：1.分类讨论参数对关键特征的影响，如对称轴与给定区间的位置关系，分情况分析单调性与
最值，建立参数方程。2.数形结合动态分析：绘制含参数的函数草图，标注顶点、端点等关键点，结合
参数范围锁定图象形态，通过交点、最值条件列关系式求解，验证解的合理性。
例5．在平面直角坐标系 中，点 是抛物线 上任意一点．
(1)若 ，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点 在该抛物线上，若存在 ，恰好使 ．比较 的大小，并
说明理由．
【变式5-1】已知抛物线 的顶点在 轴上．
(1)求 的值；
(2)抛物线上两点 ， ．若 ，则 ______ （填“ ”、“ ”或“ ”）；
(3)若点 ， 为抛物线上的两点，且 ，求出 的取值范围．
【变式5-2】已知抛物线 过点 ．
(1)求 的值和抛物线 与 轴的交点坐标．
(2)将抛物线 进行平移得到抛物线 ，若点 ， 分别在抛物线 ，
上，①若 ，且直线 与抛物线 只有一个交点，求直线 的表达式．
②若 ，求 的最大值．
【变式5-3】已知二次函数 （ 是常数，且 ）．
(1)若拋物线经过 ，求二次函数解析式．
(2)在（1）的条件下，抛物线上有一点 ，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点 的坐标．
(3)若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令 ，是否存在一个常数 ，使得
当 时， 的最小值恰好等于 ．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．如图，抛物线 的顶点坐标为 ，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．抛物线向下平移 个单位后，一定经过
2．已知二次函数 在 时最小值为 ，则b的值为（ ）A．4 B．4或 C． D． 或
3．关于x的二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线
B．当 时，y的值随x值的增大而增大
C．函数图象一定经过点
D．当 时，函数图象与x轴一定有两个交点
4．已知二次函数 的图象如图，则一次函数 的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．当 时，函数 的最大值是8，则 ．
6．如图，二次函数 图像的对称轴是直线 ，下列结论：① ；② ；③
（m为常数）；④若关于x的方程 恰有三个解，则 ，其中正确
的是 （填序号）．7．已知二次函数 （b，c是常数）．
（1）若该抛物线的顶点坐标是 ，则 ．
（2）若当 时，y的最大值为－1，当 时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为直线 ．
8．抛物线 经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为 ．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作 轴，且点Q在一次函数 的图象上．当
时， 的最大值是 ．
三、解答题
9．在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
(1)填空： （用含a的代数式表示）；
(2)当 时，y随x的增大而减小．
①求a的取值范围；
②求函数值y的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，设二次函数 （m是常数）．
(1)若函数图象经过点 ，求函数图象的顶点坐标．
(2)若函数图象经过点 ，求证： ．
(3)已知函数图象经过点 ， ．若对于任意的 ，都有 成立，直接
写出m的取值范围．11．二次函数 的图象与x轴交于点 ， 且 ．
(1)当 ，且 时，
①求b，c的值；
②当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为10，求t的值；
(2)若 ，求 的最小值．
12．定义：把抛物线 （其中 ）与抛物线 称为“关联抛物线”，例如，
抛物线 的“关联抛物线”为 ．已知抛物线 的
“关联抛物线”为 ， 与 轴交于点 ．
(1)若点E的坐标为 ，求抛物线 的解析式；
(2)设 的顶点为 ，若 ，求点 的坐标；
(3)当 时， 的最大值与最小值的差为 ，求 的值．
