文档内容
专题 9.1 直线的方程
题型一 倾斜角与斜率
题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围
题型三 求直线的方程
题型四 直线的定点问题
题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题
题型六 直线平行或垂直
题型七 距离公式的应用
题型八 对称问题
题型一 倾斜角与斜率
例1．（2023春·湖北荆州·高三统考阶段练习）若直线经过两点 ， ，且
其倾斜角为135°，则m的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两点斜率公式求解即可.
【详解】经过两点 ， 的直线的斜率为 ，
又直线的倾斜角为135°，∴ ，解得 ．
故选：D
例2．（2023春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）直线 的倾斜
角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为 ,
若 ,则 ,①当 时， (当且仅当 时，取“ ”)，
②当 时， (当且仅当 时，取“ ”)，
，故 ，
综上， ，
故选：C.
练习1．（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线 的斜率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出三条直线的倾斜角，结合直线斜率的定义和正切函数图象，数形结合得到答
案.
【详解】设直线 的倾斜角分别为 ，显然 ，且
，
所以 ，
又 在 上单调递增，故 ，
所以 .
故选：C
练习2．（2023秋·高三课时练习）对于下列命题：①若 是直线l的倾斜角，则
；②若直线倾斜角为 ，则它斜率 ；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直
线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.
【详解】对于①：若 是直线的倾斜角，则 ；满足直线倾斜角的定义，则①正
确；
对于②：直线倾斜角为 且 ，它的斜率 ；倾斜角为 时没有斜率，所以
②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为 时没有斜率，所
以③正确；④错误；
其中正确说法的个数为2.
故选：B.
练习3．（2023秋·高三课时练习）直线l的斜率为k，且 ，则直线l的倾斜角
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.
【详解】如图：
当直线l的斜率 ，
直线l的倾斜角的取值范围为： .
故答案为： .
练习4．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线
的斜率为 ，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.【答案】 /
【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求．
【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为 ，则 ，
由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为 ， ，
因为 ， ，
所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为 ， ．
故答案为： ， ．
练习5．（2022秋·高三课时练习）（多选）若直线 与 轴交于点 ，其倾斜角为 ，
直线 绕点 顺时针旋转45°后得直线 ，则直线 的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.
【详解】解析：当 时，直线 的倾斜角为 （如直线AC旋转至直线AD）；
当 时，直线 的倾斜角为 （如直线AD旋转至直线AB）.
故选：BC.
题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围
例3．（2023·全国·高三专题练习）若实数 、 满足 ， ，则代数式
的取值范围为______
【答案】
【分析】作图，根据代数式 的几何意义，结合图象即可得出答案.【详解】
如图， ， ， ，
则 ， .
因为 ，可表示点 与线段 上任意一点 连线的斜率，
由图象可知， ，
所以有 .
故答案为： .
例4．（2023秋·高三课时练习）直线 与连接 的线段相交，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.
【详解】直线 过点 .
如图，
由题意，直线 与线段 总有公共点，
即直线 以直线 为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线 即可，
直线 的斜率为 ，直线 的斜率分别为 ，于是 或 ，而 ，因此 或 ，
所以 或 ，解得 或 ，即a的取值范围是 .
故选：D.
练习6．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知点 ，若直线
与线段 没有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出直线 的斜率，结合图形得出 的范围．
【详解】 直线 过定点 ，且 ，
由图可知直线与线段 没有交点时，斜率 满足 ，
解得 ，
故选：B．
练习7．（2023秋·高三课时练习）如图，已知两点 ，过点 的直线
l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．【答案】
【分析】根据题意结合图形求出直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，即得直线 斜率
的取值范围．
【详解】根据图形，∵直线 的斜率是 ，
直线 的斜率是 ，
∴过点 的直线 与线段 有公共点时，
直线 的斜率的取值范围是 ．
故答案为： ．
练习8．（2023·全国·高三对口高考）已知点 ，若直线 与
的延长线（有方向）相交，则 的取值范围为_________．
【答案】
【分析】先求出 的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综
合即可得到答案.
【详解】如下图所示，
由题知 ，直线 过点 .
当 时，直线化为 ，一定与 相交，所以 ，
当 时， ，考虑直线 的两个极限位置.
① 经过 ，即直线 ，则 ；
② 与直线 平行，即直线 ，则 ，
因为直线 与 的延长线相交，
所以 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
练习9．（2022·全国·高二专题练习）已知 , ，点 是线段AB上的动点，
则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据 的几何意义即可求解.
【详解】如图所示：
因为 , ，
所以 ， ，
，
因为点 是线段AB上的动点，
所以 .
故答案为：练习10．（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）（多选）若直线l经过点 ，在x轴
上的截距的取值范围是 ，则直线l斜率的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，结合图形求出直线l的斜率取值范围，即可作答.
【详解】令点 ，依题意，直线l与x轴的交点在线段 上（不含端点B，
C），如图，
直线 斜率 ，直线 斜率 ，
因此直线l的斜率 或 ，
所以直线l斜率的取值可能是 或1.
故选：BC
题型三 求直线的方程
例5．（2023秋·高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是 ，经过点 ；
(2)经过点 ，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是 ；
(4)经过两点 ；
(5)在x轴上的截距是 ，倾斜角是 ；
(6)倾斜角为 ，与y轴的交点到x轴的距离是3．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)(6) 或
【分析】（1）由点斜式可得结果；（2）由点斜式可得结果；（3）由截距式可得结果；
（4）由两点式可得结果；（5）由点斜式可得结果；（6）由斜截式可得结果.
【详解】（1）由点斜式得 ，即 .
（2）因为直线平行于 轴，所以斜率等于 ，
由点斜式得 ，即 .
（3）因为在x轴和y轴上的截距分别是 ；
所以直线方程的截距式为： ，即 .
（4）由两点式得 ，即 .
（5）斜率 ，
由点斜式得 ，即 .
（6）斜率为 ，
因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在 轴上的截距为 ，
所以所求直线方程为 或 ，即 或 .
例6．（2023·高三课时练习）已知直线l的倾斜角为 ， ，且这条直线经过点
，求直线l的一般式方程．
【答案】 或 .
【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用点斜式方程求解作答.
【详解】直线l的倾斜角为 ， ，当 为锐角时， ，直线l的斜率
，
由直线点斜式方程得： ，即 ，
当 为钝角时， ，直线l的斜率 ，
由直线点斜式方程得： ，即 ，
所以直线l的一般式方程为 或 .练习11．（2023秋·高三课时练习）经过点 ，且倾斜角为 的直线的一般式方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【详解】由直线的倾斜角为 知，直线的斜率 ，
因此，其直线方程为 ，即 .
故选：A
练习12．（2022秋·高三校考课时练习）直线 和直线 在同一
平面直角坐标系中的图像有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】化简直线方程分别为 和 ，结合选项，逐项判定，即可
求解.
【详解】化简直线方程分别为 和 ，
显然 的斜率是 的纵截距, 的纵截距是 的斜率，
对于A中，由 的图象，可得 ，即 ；
由 的图象，可得 ，即 ，显然不成立；
对于B中，由 的图象，可得 ，即 ；
由 的图象，可得 ，即 ，显然成立；
对于C中，由 的图象，可得 ，即 ；
由 的图象，可得 ，即 ，显然不成立；
对于D中，由 的图象，可得 ，即 ；由 的图象，可得 ，即 ，显然不成立；
故选：B.
练习13．（2022秋·高三校考课时练习）已知 的三个顶点分别为
，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.
【详解】点M的坐标为(2,1),由直线的两点式方程得 ,即 .
故选：D
练习14．（2023·全国·高三对口高考）过点 作直线 分别交 ， 的正半轴于 ，
两点．
(1)求 面积的最小值及相应的直线 的方程；
(2)当 取最小值时，求直线 的方程；
(3)当 取最小值时，求直线 的方程．
【答案】(1) ，此时直线 的方程为 ．
(2)
(3)
【分析】（1）设 ， ， ，则直线 的方程为 ，依题意可得
，利用基本不等式求出 的最小值，即可得解；
（2）由（1）可知 ，利用基本不等式求出 的最小值，即可求出此时 、
的值，从而求出直线方程；
（3）依题意直线 的斜率存在且 ，设直线 ，分别求出 ， 的坐标，
求出 的方程，根据基本不等式的性质求出直线方程即可．【详解】（1）依题意设 ， ， ，
设直线 的方程为 ，代入 得 ，
所以 ，则 ，当且仅当 ，即 、 时取等号，
从而 ，当且仅当 ，即 、 时取等号，
此时直线 的方程为 ，即 ，
所以 ，此时直线 的方程为 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
此时直线 的方程为 ，即 ．
（3）依题意直线 的斜率存在且 ，设直线 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 ，即 时， 取最小值，
此时直线 的方程为 ．
练习15．（2023春·上海徐汇·高三上海中学校考期中）过点 作一条直线 ，它夹在
两条直线 ： 和 ： 之间的线段恰被点 平分，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为 ，
进而得出交点，根据点 为两交点的中点建立等式，求出 的值，从而即可解决问题.
【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为： ，不符合题意；所以直线斜率存在设为 ，
则直线 方程为 ，
联立直线 得： ，
联立直线 得：， ，
所以直线 与直线 ，直线 的交点为：
，
又直线 夹在两条直线 和 之间的线段恰被点 平分，
所以 ，
解得： ，
所以直线 的方程为： ，
故选：B.
题型四 直线的定点问题
例7．（2022·全国·高三专题练习）直线 ，当 变动时，所有直线恒过定点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】整理所得直线方程为 ，根据题意，即可求得结果.
【详解】把直线方程整理为 ，
令 ，故 ，所以直线恒过定点为 .
故选：C.
例8．（2023·全国·高二对口高考）以下关于直线 的说法中，不正确的是
（ ）
A．直线 一定不经过原点
B．直线 一定不经过第三象限
C．直线 一定经过第二象限D．直线 可表示经过点 的所有直线
【答案】B
【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分 、 、 三种情况讨
论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；
【详解】对于直线 ，令 ，解得 ，故直线恒过点 ，
一定不经过原点，故A正确；
当 时直线即为 ，直线过二、三象限，
当 时直线即为 ，
若 ，则 ， ，直线过一、二、三象限，
若 ，则 ， ，直线过二、三、四象限，
所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；
因为直线恒过点 ，所以直线 可表示经过点 的所有直线，
故选：B
练习16．（2023·全国·高三专题练习）直线 ，当 变动时，所有直线都通
过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线过定点问题分析运算.
【详解】直线 可以为 ，
表示过点 ，斜率为 的直线，所以所有直线都通过定点为 .
故选：A.
练习17．（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量
， ，且 ．若点 的轨迹过定点，则这个定点的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据向量垂直可得数量积为0，得出轨迹方程即可求出轨迹过定点.
【详解】 ，
，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
显然不论 取何值，总有 满足方程，
即点 的轨迹过定点 ，
故选：A
练习18．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）直线
（ ）必过点________.
【答案】
【分析】将直线方程化为 形式求解即可.
【详解】直线方程 （ ）可化为，
（ ），
∴由 ，解得 ，
∴直线 （ ）必过定点 .
故答案为： .
练习19．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知实数 成等差
数列，则直线 必过定点______.
【答案】
【分析】由 成等差数列，可得 ，即 ，故直线 可得．
【详解】 成等差数列， ， ，
直线 必过点 ．
故答案为： ．
练习20．（2023春·湖南·高三临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线 ：
与 ： 交于点P，则 的值为________．
【答案】2
【分析】根据两直线经过定点，即可根据 和 ，利用斜率得垂直关系即可分情况
求解.【详解】直线 过定点 ， 过定点 ，
当 时，两直线的斜率分别为 ， ， ，故 ，从而
；
当 时，易求得 ，此时 ，
综上可知， ．
故答案为：2
题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题
例9．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考期中）已知直线 的方程为
．
(1)求直线 过的定点P 的坐标；
(2)直线 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当 面积最小时，求直线 的
方程；
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）将直线 的方程变形，列出方程组即可求解；
（2）利用直线的截距式方程设出直线 的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三
角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意，直线 的方程可化为 ，
联立方程组 解得 ，
所以直线 过的定点 ．
（2）设直线 ，则 ，
由 （1） 知，直线 过的定点 ，可得 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
当且仅当 且 即 时，等号成立，
所以 面积为 ，此时对应的直线方程为 ，即 ．
例10．（2023秋·高三课时练习）过点 且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程
为__________．
【答案】 或
【分析】讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别计算得到答案.
【详解】当直线过原点时，设 ，过点 ，则 ，即 ；
当直线不过原点时，设 ，过点 ，则 ，即 ；
综上所述：直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
练习21．（2022秋·高三校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直
线方程是____.
【答案】
【分析】设直线的方程为 ，根据条件列方程组求解即可.
【详解】设直线的方程为 ，则 解得
则直线的方程为 + =1，即 .
故答案为：
练习22．（2023·上海·高三专题练习）求过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方
程_______．
【答案】 或
【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距
式为 ，把点P的坐标代入即可得出．
【详解】当直线经过原点时，直线的方程为 ，化为 ，
当直线不经过原点时，设直线的截距式为 ，
把点 代入可得： ，解得 ，所以直线的方程为： ，
综上所述，所求直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
练习23．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线 经过点 且 与两坐
标轴围成的三角形的面积为 ，则直线 的方程为__________.
【答案】 或
【分析】设直线方程为 ，则 ，解得 的值，即得此直线方程.
【详解】设直线方程为 ，则 ，
解得 或
直线 的方程为 或
故答案为： 或 .
练习24．（2023春·四川内江·高三四川省资中县第二中学校考开学考试）已知直线
， .
(1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线 过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的 ，求直线
的方程.
【答案】(1)定点A的坐标为
(2) 或
【分析】（1）整理方程为 ，然后解方程组 可得答
案；
（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.
【详解】（1）直线 可化为 ，
则 ，解得 ，直线l过定点，且定点A的坐标为 ；
（2） 直线 过点 ，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的 ，
则当直线 过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为 ，即 ；
当直线 的横纵截距均不为零时，设直线 的方程为 ，
代入点 ，得 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 .
练习25．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）若直线 与直线 平行，且在
轴上的截距比在 轴上的截距大 ，求直线 的方程.
【答案】
【分析】由平行可设直线 方程为 ，分 和 两种情况，并结合题
意列等式即可
【详解】 直线 与直线 平行，则设其方程为 ，
当 时，直线方程为 ，故可得在 轴上的截距和在 轴上的截距都是为 ，
不满足题意，
当 时，方程 化为截距式为 ，
因为直线 在 轴上的截距比在 轴上的截距大 ，所以 ，解得 ，
直线 的方程为 .
题型六 直线平行或垂直
例11．（2022秋·高二校考课时练习）与直线 垂直，且在x轴上的截距为2的直
线的斜截式方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x
轴的交点坐标，进而求得待定系数 ，确定答案.【详解】因为所求的直线与直线 垂直，所以 ，得 .
设所求直线为 ,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点 ，
求得 ,所以所求直线的斜截式方程为 ，
故选：B.
例12．（2023·高三课时练习）已知直线 和 ，若 ，
则 ___________．
【答案】3
【解析】由 由 有 ，即可求 ，然后验证 、 是否共线.
【详解】∵ ，有 ，
∴ ，解得 或 ，
当 时， ， ，即 、 为同一条直线；
当 时， ， ，即 ；
∴ ，
故答案为：3
练习26．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线 与直线 垂直，若直线
的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简
，代入即可得出单.
【详解】因为直线 与直线 垂直，
所以直线 的斜率为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
练习27．（2022秋·四川泸州·高三统考期末）点 与点 关于直线l对称，则l的方
程是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.
【详解】过点 与点 直线的斜率为 ，则直线l的斜率为 ，
点 与点 的中点为 ，
所以直线l的方程为 ，即 .
故选：B
练习28．（2023·全国·高三对口高考）直线 和 ，当
________时， ；当 ________时， ；当 ________时， 与 相交．
【答案】 /0.5 且
【分析】利用直线平行、垂直、相交的性质求解.
【详解】由题知， ，
，解得 ；
，
，解得 ；
与 相交，
，解得 且 .
故答案为： ； ； 且
练习29．（2023秋·高三课时练习）已知直线 平行于直线 ，且
在y轴上的截距为 ，则m，n的值分别为__________和__________．
【答案】
【分析】化简两直线为斜截式方程，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由直线 ，整理得
直线 ，整理得 ，
因为两直线平行，可得 ，
又由 在 轴上的截距为 ，即 ，可得 ，
所以 .故答案为： ； .
练习30．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知直线
，若 且 ，则 的值为
（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】B
【分析】利用直线一般式下平行与垂直的性质求解即可.
【详解】因为 ，
所以由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 ．
故选：B．
题型七 距离公式的应用
例13．（2022秋·广东揭阳·高三校考期中）直线 过点 .求分别满足下列条件的直
线方程.
(1)若直线 与直线 平行；
(2)若点 到直线 的距离为1.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据直线平行设出直线方程，代入点 即可求出结果；（2）分斜率
存在和斜率不存在两种情况，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可求
出直线方程.
【详解】（1）设直线方程为 将 代入得 ，
所求直线方程是
（2）若直线 的斜率不存在，则过 的直线为 ，到点 的距离为1，满足题意；
若直线 的斜率存在，设斜率为 ，则 的方程为 .
由点 到直线 的距离为1，可得 .解得 ，
所以直线方程为 ，即 .
综上得所求的直线方程为 或 .例14．（2023·全国·高三对口高考）过点 且和 的距离相等的直线方
程是_________．
【答案】 或
【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为 ，
利用点到直线的距离公式，列出方程求得 的值，即可求解.
【详解】若斜率不存在时，过点 的直线为 ，此时不满足条件；
若斜率存在时，设过点 的直线 ，即 ．
根据题意，可得 ，解得 或 ，
当 时，直线方程为 ，
当 时，直线方程为
综上可得，直线方程为 或 ．
故答案为： 或
练习31．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）两条平行线 ，
间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可.
【详解】依题意，将直线 变为 ，
又 ，
所以两平行线间的距离为 .
故选：A.
练习32．（2022秋·高三单元测试）已知直线过点 ，且原点到这条直线的距离为1，
则这条直线的方程是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】A
【分析】当直线的斜率不存在时，其方程为 ，符合题意；当直线的斜率存在时，设其
方程为 ，根据条件列出关于 的方程，求解即可.【详解】当直线的斜率不存在时，其方程为 ，原点到这条直线的距离为1，符合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为 ，即 ，
∵原点到这条直线的距离为1，∴ ，解得 ，
∴直线的方程是 ，即 ，
综上，直线的方程是 和 .
故选：A.
练习33．（2022秋·高三校考课时练习）若点A在直线 上，且点A到直线
的距离为 ，则点A的坐标为________________.
【答案】 或
【分析】利用点在线上及点线距离公式得到关于A的坐标的方程组，解之即可.
【详解】依题意，设点A的坐标为 ，
则有 ，解得 或 .
故答案为： 或 .
练习34．（2023·全国·高三对口高考）过点 且和 的距离相等的直线
方程是_________．
【答案】 或
【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为 ，
利用点到直线的距离公式，列出方程求得 的值，即可求解.
【详解】若斜率不存在时，过点 的直线为 ，此时不满足条件；
若斜率存在时，设过点 的直线 ，即 ．
根据题意，可得 ，解得 或 ，
当 时，直线方程为 ，
当 时，直线方程为
综上可得，直线方程为 或 ．
故答案为： 或
练习35．（2023秋·高三课时练习）在直线 上求一点P，使它到点 的距离为5，并求直线PM的方程.
【答案】 或 ，对应直线PM的方程为 或 .
【分析】利用点在直线上和两点距离建立方程组求解点的坐标，求出斜率，代入点斜式求
解直线方程.
【详解】设 ，由题意 ，解得 或 ，
所以 或 ，
当 时，直线PM的斜率 ，
因此直线PM方程为 ，即 ；
当 时，直线PM的斜率 ，
因此直线PM方程为 ，即 .
题型八 对称问题
例15．（2022秋·高三校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线
4x+3y=11对称，则a，b的值为（ ）.
A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4 D．a=4，b=2
【答案】D
【分析】利用点关于直线对称的性质即可求得结果.
【详解】点A，B关于直线 对称，则 ，
即 ， ①
且AB中点 在已知直线上，
代入得 ， ②
联立①②组成的方程组，解得 ，
故选：D.例16．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线 的方程为 .
（1）若直线 和直线 关于点 对称，求直线 的方程__________；
（2）若直线 和直线 关于直线 对称，求直线 的方程__________.
【答案】 .
【分析】根据题意，由点 关于点 对称的点 在直线 上，列出方程即
可得到结果；由题意可得直线 与直线 的交点，求出 关于直线 对称的点
为 ，即可得到直线方程.
【详解】因为直线 和直线 关于点 对称，
在直线 上任取一点 ，则 关于点 对称的点 在直线 上，
将点 代入直线 可得 ，
所以直线 的方程为 ；
设直线 与直线 的交点为 ，
所以 ，解得 ，则 ，
在直线 上取点 ，设 关于直线 对称的点为 ，
则 ①
因为 与 的中点坐标为 ，
所以 ②
由①②可得 ，所以
因为直线 和直线 关于直线 对称，
所以直线 经过点 和点 ，
所以直线 的两点式方程为 ，
整理得直线 的一般式方程为 .
故答案为: ; .
练习36．（2023秋·上海奉贤·高三校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮
马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样
走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ，若将军从山
脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解．
【详解】如图所示，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线于点 ，
此时路程和最小，
由题知，点 满足：
，解得： ， ，即点 ，
因为 ，
所以“将军饮马”的最短总路程为 ，
故选：D
练习37．（2023春·上海闵行·高三校考阶段练习）函数 的值
域为__________.
【答案】
【分析】将其看作是动点 到定点 的距离之和，利用两点之间线段最
短即可求解最小值.
【详解】原式为 ，即
可看作是动点 到定点 的距离之和，设 关于 轴的对称点为 ，连接 交 轴于 ，此时 最小，且
最小值为 ，故函数 的值域为
，
故答案为：
练习38．（2022秋·高三单元测试）已知 ABC三个顶点的坐标分别为
，线段AC的垂直△平分线为l.
(1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动，当|AP|+|BP|最小时，求点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求直线AC的斜率，再确定l的斜率，最后应用点斜式写出直线方程；
（2）应用点关于直线对称转化距离和，三点共线求出最小值，联立方程求出点的坐标.
【详解】（1）因为直线AC的斜率为 ，所以直线l的斜率为 .
因为AC的中点为 ，所以直线l的方程为 ，即 .
（2）点A与点C关于直线l对称，又点P在线段AC垂直平分线上，
所以 ，当点P位于直线BC与l交点处时， 取最小值 ，则
取最小值 .
由 得直线BC的方程为 ，即 ，联立方程 ，解得 ，
所以点P的坐标为 .
练习39．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）一条光线从点 发出，经过 轴反
射，反射光线经过点 .
(1)求反射光线所在的直线方程；
(2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得反射线所在直线经过点 关于 轴的对称点 ，结合题
意由两点即可求解方程；
（2）分别求出直线 与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1） 光线的反射线是 轴，
反射线所在直线经过点 关于 轴的对称点 ，
而直线 的斜率 ，
可得直线 的方程为 ，化简得 .
（2）在直线 中令 ，得 ，可得直线 交 轴于点 ，
在直线 中，令 ，得 ，可得直线 交 轴于点 ，
所以反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小 .
练习40．（2023·高三课时练习）若点 关于直线 对称的点是
，求a、b的值．
【答案】 ， .
【分析】根据点关于线对称的性质，结合斜率公式、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】因为点 关于直线 对称的点是 ，所以有 ，解得 ， .
