专题8.7立体几何中的向量方法2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 8.7 立体几何中的向量方法 练基础 1.（2020·陕西省商丹高新学校期末（理））两不重合平面的法向量分别为 ， ， 则这两个平面的位置关系是（ ） A．平行 B．相交不垂直 C．垂直 D．以上都不对 2．（2020·全国课时练习）已知两个不重合的平面 与平面 ，若平面 的法向量为 ， 向量 ， ，则（ ） A．平面 平面 B．平面 平面 C．平面 、平面 相交但不垂直 D．以上均有可能 3．（2020·江西新余·高二其他）如图所示，在正方体 中， 是底面正方形 的中 心， 是 的中点， 是 的中点，则直线 ， 的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 4．（2020·全国课时练习）正四棱锥 中， ，则直线 与平面 所成角的正弦 值为（ ）A． B． C． D． 5．（2021·江苏高三三模）已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ， ， 平面 ，且 ，平面 与平面 的交线为 . （1）求证： ； （2）试建立适当的空间直角坐标系，并求点 在平面 上的射影 的坐标. 6.【多选题】（2021·全国高考真题）在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，则（ ） A．当 时， 的周长为定值 B．当 时，三棱锥 的体积为定值 C．当 时，有且仅有一个点 ，使得 D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面 7. （2021·四川省蒲江县蒲江中学高二月考（理））如图，在正四棱柱 中，已知 ， ，E､F分别为 ､ 上的点，且 .（1）求证：BE⊥平面ACF； （2）求点E到平面ACF的距离. 8．（2020·海安市曲塘中学高二期中）在直三棱柱ABC-ABC 中，CA＝CB＝4，CC ＝2 ，∠ACB＝ 1 1 1 1 90°，点M在线段AB 上． 1 1 （1）若AM＝3MB ，求异面直线AM和AC所成角的余弦值； 1 1 1 （2）若直线AM与平面ABC 所成角为30°，试确定点M的位置． 1 9.（2021·陕西高三其他模拟（文））如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 是边长为4的正方形， ， 分别为 ， 的中点.（1）求证： 平面 ； （2）若 为等边三角形，求三棱锥 的体积. 10.（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）如图，四棱锥 的底面 为一直角梯形，其中 ， 底面 ， 是 的中点． （1）求证： //平面 ； （2）若 平面 ，求平面 与平面 所成角的余弦值. 练提升 TIDHNE 1．（2021·江苏高二期末）在平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形，侧棱 的长为2，且 ． （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求三棱锥 的体积．2.（2021·江苏高二期末）如图，在梯形 中， ， 在线段 上，且 ．沿 将 折起，使点 到达点 的位置，满足 ． （1）证明： 平面 ； （2）若在梯形 中， ，折起后 在平面 上的射影 恰好是 与 的交点，求 直线 与平面 所成角的正弦值. 3．（2021·黑龙江高二期末（理））如图，三棱柱 中， 侧面 ，已知 ， ，点E是棱 的中点． （1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 4.（2021·福建高一期末）如图1， 中， ， ， ，D，E分别是 ， 的 中点.把 沿 折至 的位置， 平面 ，连接 ， ，F为线段 的中点，如图2. （1）求证： 平面 ； （2）当三棱锥 的体积为 时，求直线 与 所成角的正切值. 5．（2021·安徽高一期末）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 是 的中点. （1）证明： ；（2）若线段 上存在一点 满足 ，使得 ，求 的值； （3）在（2）的条件下，求二面角 的正弦值. 6．（2021·重庆南开中学高三月考）如图，在三棱柱 中， 是边长为4的等边三角形，D 是 的中点， ． （1）求证： 平面 ； （2）当三棱柱 的体积最大时，求点C与平面 的距离． 7．（2021·全国高三其他模拟）在四棱锥 中， 平面 ，底面 为梯形， ， ， ， ， ． （1）若 为 的中点，求证： 平面 ； （2）若 为棱 上异于 的点，且 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 8．（2021·湖南高三其他模拟）在长方体 中，已知 ， 为 的中点.（1）在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请加以证明，若不存在，请说 明理由； （2）设 ， ，点 在 上且满足 ，求 与平面 所成角的余弦值. 9.（江西高考真题）如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面 ， . （1）求直线 与平面 所成的角的大小； （2）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.  OSA 10．（2020·上海市七宝中学高二期末）如图，在RtSOA中， 6 ，斜边SA4，半圆H 的圆 H OS SA RtSOA SO B 心 在边 上，且与 相切，现将 绕 旋转一周得到一个几何体，点 为圆锥底面圆周上AOB 90 一点，且 ． （1）求球H 的半径； O SAB （2）求点 到平面 的距离； Р PO SAB （3）设 是圆锥的侧面与球的交线上一点，求 与平面 所成角正弦值的范围． 练真题 TIDHNE 1．（2021·北京高考真题）已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ． （1）证明：点 为 的中点； （2）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值． 2．（2021·全国高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ．（1）证明：平面 平面 ； （2）求二面角 的平面角的余弦值． AE  ABCD CF∥AE, AD∥BC 3.（2019·天津高考真题（理））如图， 平面 ， ， AD AB, AB  AD 1, AE  BC 2 . （Ⅰ）求证：BF∥平面ADE ； CE BDE （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； 1 （Ⅲ）若二面角EBDF 的余弦值为3，求线段CF的长. ABCABC AACC  ABC ABC 90 4.（2019年高考浙江卷）如图，已知三棱柱 1 1 1，平面 1 1 平面 , ， BAC 30,AA AC  AC,E,F 1 1 分别是AC，AB的中点. 1 1 EF  BC （1）证明： ； （2）求直线EF与平面ABC所成角的余弦值. 14．（2021·天津高考真题）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为 棱CD的中点． （I）求证： 平面 ； （II）求直线 与平面 所成角的正弦值． （III）求二面角 的正弦值． 6．（2020·山东海南省高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与 平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．