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期末难点特训二（和反比例函数综合有关的压轴题）
1．如图1，在直角坐标系中，四边形OAPB是矩形，反比例函数 （k＞0）经过点P，反比例
函数 的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，连接CD，点G是线段CD上一点．
(1)若点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，求反比例函数y （k＞0）的表达式；
(2)在（1）的条件下，当∠DPG＝30°时，求点G的坐标；
(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD，当DM⊥MC时，
请写出MG与CD的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，得出P点坐标，利用待定系数法求出
反比例函数解析式即可；
（2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，设GN＝x，则GM＝ x，再根据S PCD＝S PDG＋
△ △
S PCG得出x的值，然后计算G点坐标即可；
△（3）设P点坐标为（a， ），则C（ ， ），D（a， ），求出直线OP和直线CD的解析
式，根据G点是直线CD和直线OP的交点得出G点坐标，根据G点是CD的中点，即可得出MG
＝ CD．
（1）
解：∵点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，四边形OAPB是矩形，
∴P（6，3），
∵反比例函数y （k＞0）经过点P，
∴k＝6×3＝18，
∴反比例函数y 的解析式为y ；
（2）
过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，
设MG＝x，
∵∠DPG＝30°，
∴GN＝MP＝ ＝ x，
由（1）知P（6，3），
又∵反比例函数y＝ 的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，
∴C（6，1），D（2，3），
∴PD＝6−2＝4，PC＝3−1＝2，
∵S PCD＝S PDG＋S PCG，
△ △ △
∴ PD•PC＝ PD•MG＋ PC•GN，
即 ×4×2＝ ×4x＋ ×2× x，
解得x＝8−4 ，
∴MG＝8−4 ，GN＝8 −12，
即G（18−8 ，4 −5）；（3）
MG＝ CD，理由如下：
设P点坐标为（a， ），则C（ ， ），D（a， ），
设直线OP的解析式为y＝rx，
代入P点坐标得 ＝ra，
∴r＝ ，
即直线OP的解析式为y＝ x，
即直线CD的解析式为y＝sx＋t，
代入C点和D点的解析式得： ，
解得： ，
即直线CD的解析式为y＝ x＋ ，
∵点G是直线OP和直线CD的交点，∴ x＝ x＋ ，
解得x＝ ，
∴G（ ， ），
∵D（ ， ），C（a， ），
∴线段CD的中点坐标为（ ， ），
∴点G是线段CD的中点，
又∵∠CMD＝90°，
∴MG＝ CD．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握反比
例函数的性质、一次函数的性质等知识是解题的关键．
2．如图，过A(2，0)，B(0，2)的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝ （x＞0）交于P( ， )，Q( ，
)两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设
CA＝a．
(1)求AQ的长；
(2)当a为何值时，CE＝AC？
(3)设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得 OEF为等腰三角形？若存在，求出此时
点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)当 时，CE=AC；
(3)存在，点C的坐标为 或 或
【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论；
（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程
求解即可；
（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF=OF时，②如图3中，当OE=OF时，③当OE=EF时，
分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．
（1）
如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．
∵Q（ ），
∴QN= ，
∵∠BOA=90°，OA=OB=2，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AQ= QN= ；
（2）
如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．∵∠OAB=45°，CD⊥AB，
∴△CDA是等腰直角三角形，
∴DG= CA= a，
∵DE⊥OB，
∴四边形OEDG是矩形，
∴OE=DG= a，
∵CE=AC，
∴（2-a）2+（ a）2=a2，
解得， （舍去），或 ，
∴当 时，CE=AC；
（3）
存在．由（2）可知，C（2-a，0），E（0， ），
∴直线CE的解析式为y= ，
∵Q（ ），
∴直线OQ的解析式为y= ，
由 ，
解得 ，
，
①如图2中，当EF=OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH= OE，∴ ，
解得，a=0（舍去）或a= ，
∴C（ ，0）．
②如图3中，当OE=OF时，则OF= a，
过点F作FH⊥OC于点H．
∵ ，
∴FH= OH，
∴FH= OF= ，
∴
解得，a=0（舍去）或a=∴C（ ，0）．
③当OE=EF时，过点E作EK⊥OF于点K，
FH= OH，
则OK= OF= FH，
EK⊥OF，
，
又 ，
△EOK∽△OFH，
，
OE= OK=5FH，即FH= OE，
∴ ，
解得，a=0（舍去）或a=
∴C（ ，0），
综上所述，满足条件的点C的坐标为点C的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
3．如图，点A是反比例函数 图象上的点，AB平行于y轴，且交x轴于点 ，点
C的坐标为 ，AC交y轴于点D，连接BD， ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设点P是反比例函数 图象上一点，点Q是直线AC上一点，若以点O，P，D，Q为顶
点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
(3)若点 是该反比例函数 图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC，请直接写a的取值范围．
【答案】(1)
(2) ， ，
(3) 或
【分析】（1）由AB∥y轴，AD= 可得AC ，BC=2，再利用勾股定理即可求得AB，得出点
A(1，4)，运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=2x+2，设Q(m，2m+2)，分类讨论：当OD为平行
四边形的边时，运用平行四边形对边平行且相等建立方程求解即可；当OD为平行四边形的对角
线时，运用平行四边形对角线互相平分建立方程求解即可；
（3）分两种情况：当点M(a，b)在第三象限时，设直线AC与双曲线 在第三象限的交点为
E，求得点E的横坐标即可得出答案；当点M(a，b)在第一象限时，如图4，将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，过点B当点M(a，b)在第一象限时，如图|4，将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，
过点B作BK⊥CD于点K，过点E作EF⊥x轴于点F，延长DE与双曲线 在第一象限的交点为
G，运用翻折的性质和相似三角形性质求出点E的坐标，再运用待定系数法求得直线DE的解析式，
求出直线DE与双曲线的交点横坐标即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，C ∴OB=OC=1
∵AB∥y轴，AD=
∴AC ，BC=2
∵∠ABC=90°
∴AB=
∴A（1，4）
∵点A是反比例函数 图象上的点
∴
解得k=4
∴反比例函数的解析式是
（2）解：设直线AC的解析式为y=ax+b，
∵A(1，4)，C(-1，0)
∴ 解得
∴直线AC的解析式为y=2x+2
设Q（m，2m+2）
当OD为平行四边形的边时，如图1，则PQ∥OD，PQ=OD，
∴
∴PQ=|2m+2- |
在Rt△CDO中，OD=
∴|2m+2- |=2
解得 或
∵点P在第一象限
∴m>0
∴ 或
∴ ， ，
当OD为平行四边形的对角线时，如图2则
∵ 所在直线AC的解析式为y=2x+2
∴ 所在的直线的解析式为y=2x
联立可得2x=
∴
∵点P在第一象限
∴
∵四边形 是平行四边形
∴PK=DK，
∴
解得
∴
综上，点Q的坐标为 ， ， ．
（3）当点M（a，b）在第三象限，如图，
设直线ACAC与双曲线 在第三象限的交点为E，
由 ，解得x=1或x=-2
∴E（-2，-2）
∵a<-2
当点M（a，b）在第一象限时，如图4
将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，过点B做BK⊥CD于K，过点E作EF⊥x轴于F，延长DE与双
曲线 在第一象限的交点为G，
∵
∴
∴DK=
由翻折知：∠DBE=∠DBC，∠DEB=∠DCB，∠BDE=∠BDC，BE=BC=2
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD=CD
∴BD=CD△∴∠DBC=∠DCB
∴∠DBE=∠DBC=∠DEB=∠DCB
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，∠DBC+∠DBE+∠EBF=180°
∴∠EBF=∠BDC
∵∠BFE=∠BKD=90°∴△BEF∽△DBK
∴
即
∴BF= ，EF=
∴OF=OB+BF=1+
∴
设直线DE的解析式为y=cx+d
∵D（0，2），
∴
解得
∴直线DE的解析式是
由 ，解得
∴
综上，a的取值范围是 或 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，直角三角形性
质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等，解题关键是运用数形结合思想
和分类讨论思想解决问题．
4．如图，直线 与反比例函数 的图象交于A，B两点．
(1)求点A，B的坐标；(2)如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若 ，求 的值；
(3)如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数 的图象于点P，
Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于 ，求m的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）联立得 ，再解方程组即可；
（2）先求出 ，再证 ，求出 ，再得出
， ，即可得到答案；（3）设平移后 ，由四边形ABQP的面积恰好等于m2，得到PQ= - ，再由
，得到 ，列方程 求解即可.
（1）
解：有题意得，
∴
解得 ，
， ，
∴ ，
（2）
解：∵ 交x轴于点C
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ， ，∴
（3）
解：设平移后 ，如图，
过点D作DF⊥PQ于点F,
则ED=m,DF=
∴ ，
∴PQ= -
有题意得，
解得， ， ，
∴QH=x -x = ,
1 2∴ ,
∴ = -
∴ ，
∴解得 （舍）， ，
即
【点睛】本题主要考查了反比例函数，一次函数，三角形的相似，列方程组求解等知识，解题的
关键是证明三角形相似和列出方程组求解.
5．反比例函数 的图象与直线 交点为A、B，点A在点B的左侧．
(1)如图1，连结OA、OB，求点A的坐标和 AOB的面积；
△
(2)如图2，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OP，点P在反比例函数 （ ）的
图象上，求k的值；
(3)如图3，过点A作x轴的平行线与反比例函数 （m＜0，x＜0）图象的交点为D，从点D作
x轴垂线，垂足为E，连结AE，作点O关于直线AE的对称点 ，若点 到AD的距离等于4时，
求m的值．
【答案】(1)A（2，6），16；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数求出A点和B点的坐标，设直线AB与x轴交于点E，根据S AOB=S AOE-S BOE计算即可；
△ △ △
（2）过点P作OP的垂线交OA的延长线于点F，过点P作y轴的平行线与x轴交点为G，过点F
作x轴的平行线交直线GP于点H，根据AAS证△POG≌△FPH，设P点坐标为（a，b），再用a和
b表示出F点的坐标，得出OA的解析式，联立方程组求出a、b的值即可得出P点坐标，最后用
待定系数法求出k值即可；
（3）过O'作AD的垂线，垂足为M，连接OO'交AE于点N，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，分
O'点在AD上方和AD下方两种情况分别求m的值即可．
（1）
解： ，解得A（2，6），B（6，2），
设直线AB与x轴交点为E，则E点坐标（8，0），
由 ，
∴ ；
（2）
解：过点P作OP的垂线，与OA的延长线交于点F，过点P作y轴的平行线，与x轴交点为G，
过点F作x轴的平行线，与直线GP的交点为H，
∵∠AOP＝45°，∠OPF＝90°，
∴△POF为等腰直角三角形，OP＝PF，
∵∠GPO＋∠HPF＝∠HPF＋∠HFP＝90°，∴∠GPO＝∠HFP，在 POG和 FPH中， ，
△ △
∴△POG≌△FPH，
∴OG＝HP，PG＝HF，
设P点坐标为（a，b），则OG＝HP＝－a，PG＝HF＝b，
∴ ，点F的坐标为（a＋b，b－a），
由题意可得： ，直线OA的解析式为 ＝3 ，
𝑦 𝑥
∴ ，解得 ，
∴P点坐标为 ，
将P点坐标代入反比例函数 （ ），
得 ；
（3）
解：过O'作AD的垂线，垂足为M，连接OO'交AE于点N，过点N和A作x轴的垂线，垂足为Q
和C，
由题知，O'M=4，O'A=OA= =2 ，
∴AM= =2 ，
①若点 在AD下方，如图，∴O'的坐标为（2-2 ，2），
∵AE垂直平分OO'，
∴N点的坐标为（1- ，1），
∴NQ=1，
∵NQ∥AC，
∴△ENQ∽△EAC，
∴ ，
∴ ，得 ，
∴E点坐标为 ，
∴D点坐标为 ，
将D点坐标代入反比例函数解析式得 ；
②若点 在AD上方，如图，
∴O'的坐标为（2-2 ，10），
∵AE垂直平分OO'，
∴N点的坐标为（1- ，5），
∴NQ=5，∵NQ∥AC，
∴△ENQ∽△EAC，
∴ ，
∴ =5，
∴EQ=5×（ +1）=5 +5，
∴E点坐标为（-6 -4，0），
∴D点坐标为（-6 -4，6），
将D点坐标代入反比例函数解析式得m=（-6 -4）×6=-36 -24，
∴点 到AD的距离等于4， 或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，一次函数的
性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC为矩形，点A坐标为（6，3），反比例函数y
的图像分别与AB，AC交于点D，E，点F为线段DA上的动点，反比例函数y （k≠0）的图
像经过点F，交AC于点G，连接FG．
(1)求直线DE的函数表达式；
(2)将△AFG沿FG所在直线翻折得到△HFG，当点H恰好落在直线DE上时，求k的值；
(3)当点F为线段AD中点时，将△AFG绕点F旋转得到△MFN，其中A，G的对应点分别为M，
N，当MN DE时，求点N的坐标．【答案】(1)y＝ x+
(2)
(3)点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）
【分析】（1）根据反比例函数y＝ 的图象分别与AB，AC交于点D，E，求得 的坐标，然后
待定系数法求解析式即可；
（2）连接AH交FG于点K，求得直线FG的解析式为y＝ x+ +3，则FG∥DE，根据翻折的性
质可得，AH⊥FG，AK＝HK，根据点F、G分别为AD、AE的中点，建立方程，解方程求解即可；
（3）①如图2，过点M作MT⊥AB于点T，过点N作NR⊥MT于点R，证明△MFT∽△FGA，
△MNR∽△FMT，根据相似三角形的性质求得MR＝ ，NR＝ ，根据RT＝MT+M即可求得
的坐标，②如图3，过点M作MT⊥AB于点T，过点N作NR⊥MT于点R，方法同①，根据RT＝MT
﹣MR即可求得 的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数y＝ 的图象分别与AB，AC交于点D，E，
∴D（1，3），E（6， ），
设直线DE的函数表达式为y＝ax+b，
则 ，解得： ，
∴直线DE的函数表达式为y＝ x+ ；
（2）如图1，连接AH交FG于点K，∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象交AB于点F，交AC于点G，
∴F（ ，3），G（6， ），
∴AF＝6﹣ ，AG＝3﹣ ，
设直线FG的解析式为y＝a′x+b′，
则 ，解得： ，
∴直线FG的解析式为y＝ x+ +3，
∴FG∥DE，
∵将△AFG沿FG所在直线翻折得到△HFG，
∴AH⊥FG，AK＝HK，
∴ ，
∴点F、G分别为AD、AE的中点，
∴ ＝ ，解得：k＝ ；
（3）①如图2，过点M作MT⊥AB于点T，过点N作NR⊥MT于点R，∵MN∥DE，FG∥DE，点F为线段AD中点
∴MN∥FG，AF＝ ，AG＝ ，
在Rt△FGA中，FG＝ ＝ ＝ ，
由旋转得：△FMN≌△FAG，
∴∠FMN＝∠FAG＝90°，∠MFN＝∠AFG，FM＝AF＝ ，MN＝AG＝ ，
FN＝FG＝ ，
∴∠MFA+∠AFG＝90°，
∵∠FGA+∠AFG＝90°，
∴∠MFA＝∠FGA，
∵∠MTF＝90°＝∠FAG，
∴△MFT∽△FGA，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴MT＝ ，FT＝ ，
∵∠MRN＝90°＝∠FMN，
∴∠NMR+∠FMT＝∠NMR+∠MNR＝90°，
∴∠MNR＝∠FMT，
∴△MNR∽△FMT，∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴MR＝ ，NR＝ ，
∴RT＝MT﹣MR＝ ﹣ ＝ ，
∴点N的横坐标为： + + ＝ ，纵坐标为：3+ ＝ ，
∴N（ ， ）；
②如图3，过点M作MT⊥AB于点T，过点N作NR⊥MT于点R，
∵DE∥FG，MN∥DE，
∴MN∥FG，∴∠MFG＝∠FMN＝90°，
∴∠MFT+∠AFG＝90°，
∵∠AGF+∠AFG＝90°，∴∠MFT＝∠AGF，
∴△MFT∽△FGA，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴MT＝ ，FT＝ ，
∵∠MRN＝90°＝∠FMN，∴∠NMR+∠FMT＝∠NMR+∠MNR＝90°，
∴∠MNR＝∠FMT，
∴△MNR∽△FMT，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴MR＝ ，NR＝ ，
∴RT＝MT﹣MR＝ ﹣ ＝ ，
∴点N的横坐标为： + - ＝ ，纵坐标为：3- ＝ ，
∴N（ ， ）；
综上，点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数，待定系数法求解析式，折叠的性质，相
似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
7．如图1，直线y＝﹣x+4 与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y （x＞0）的图
象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．
(1)求△OCD的面积；(2)是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD
的重叠部分的面积S等于 ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8
(2)存在，M
(3)存在，M(2，3)或M(3，2)
【分析】（1）先求点B的坐标为(0， )，点C坐标为 ，点D坐标为 ，过点
D作DH⊥OB于点时，得 ；
（2）存在点M，使得△ODM∽△OAD，假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO=45°，
以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，先证
明△NPO∽△DQO，得点N的坐标为(- ，3 )，先求直线DN
的函数关系式为： ，再解方程组： ，得点M坐标为 ，
再通过计算得AD:OA=D M:OD，且∠MDO=∠DAO=45°，即可证出△MOD∽△DOA；
（3）如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为(m， )，先表示出点T的坐标为(m，
m)，点S的坐标为 ，根据矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于 ，得方程
，即可求解．
（1）
解：当 时，
∴ ，∴点B的坐标为(0， )，
解方程组：
得： 或
∴点C坐标为 ，点D坐标为 ，
过点C作CG⊥OB于点G，过点D作DH⊥OB于点H，
∴ ；
（2）
存在点M，使得△ODM∽△OAD，
假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO=∠A=45°，以OD为直角边构建等腰直角
△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，
∴∠NOP+∠POD=∠DOQ+∠POD=90°，
∴∠NOP=∠DOQ，
∵∠NPO=∠DQO=90°，NO=DO，
∴△NPO≌△DQO（AAS），
∴PN=QD= ，PO=QO=3 ，
∴点N的坐标为(- ，3 )，
设直线DN的关系式为：y=kx+b，把点D(3 ， )，N(- ，3 )代入，
得 ’
解得： ，
直线DN的函数关系式为： ，
解方程组： ，
解得： 或 ’
∴点M坐标为 ，
∴ ，
，
，
，
∴AD：OA=2： = ：4； ．
∴AD:OA=DM:OD，且∠MDO=∠DAO=45°，
∴△MOD∽△DOA，此时M点坐标为 ；（3）
如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为(m， )，
根据点D坐标为(3 ， )，得OD的关系式为： ，
当x=m时， ，
∴点T的坐标为(m， m)，
∴OE=m，TE= m
根据点C坐标为( ，3 )，得OC的关系式为：y=3x，
当y= 时，3x= ，
解得：
∴ 点S的坐标为 ，
∴ ，
∵矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于 ，
∴
化简得， ，
解得：m=土2或土3，
∵m>0，∴m=2或3，
∴m点坐标为(2，3)或(3，2)．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，三角形面积求法，待定系数法求一次函数解
析式，全等三角形的判定与性质，解题关键是构建等腰直角三角形，运用方程思想解决问题．
8．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于点
，与 轴交于点 ，点 是反比例函数 的图象上一动点，过点 作直线
轴交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，且 ，连接 ， ．
(1)求 ， 的值．
(2)当 的面积为 时，求点 的坐标．
(3)设 的中点为 ，点 为 轴上一点，点 为坐标平面内一点，当以 ， ， ， 为顶点的
四边形为正方形时，求出点 的坐标．
【答案】(1)3
(2)(3) 或
【分析】 将点 代入 ，求得 ，进而求得 ，将 点坐标代入求得 ；
表示出 的长，根据 求得 ，进而得出点 的坐标；
分为 是边，点 在 轴正半轴上和在负半轴上，以及 为对角线．当 为边时，点 在
轴正半轴上时，过点 作 轴，作 ，证明 ≌ ，进而得出 ，
从而求得 的值，另外两种情况类似方法求得．
（1）
解： 直线 过点 ，
，
，
直线 过点 ，
，
，
过点 ，
；
（2）
解： ， ， ， ，
，
，
，，
；
（3）
解：如图 ，
， ，
，
当 是边，点 在 轴正半轴上，
作 于 ，作 于 ，
，
，
，
，
，
，
≌ ，
，
，
，
，， 舍去 ，
如图 ，
当点 在 轴的负半轴上时，
由上知： ，
，
，
当 是对角线时，
当 是对角线时，
可得： ， ，
，
，，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角
形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．
9．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数 的图象
交于点A（8，1）．
（1）k＝ ；m＝ ；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交
于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对
应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．
【答案】（1） ，8；（2） ；（3）
【分析】(1)将A(8,1)代入解析式中，利用待定系数法即可解决问题；
(2)设C(a， a-3)(0＜a＜8)，则D(a， )，根据四边形的面积构建方程即可求出C点坐标；
(3)根据一次函数，利用方程组求出点O’的坐标，再根据平移规律即可求出D’坐标．
【详解】解：(1)把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和 中，
得：1＝8k﹣3，1＝ ，
解得：k＝ ，m＝8，
故答案为 ，8；(2)设C(a， a﹣3)（0＜a＜8），则D(a， )，
∴CD＝ - a+3，
设A、C的横坐标分别用 表示，
∴ ，
∵S ＝24，
四边形ADOC
即 ，
∴a2+6a-16＝0，
∴a＝-8，a＝2，
1 2
经检验：a＝﹣8，a＝2是原方程的解，
1 2
∵0＜a＜8，
∴a＝2，代回C点坐标中，
∴C(2，﹣2)，
故答案为：C(2，﹣2)；
(3)由平移可知：OO′∥AB，
∴直线OO′的解析式为y＝ x，
由 ，解得 或 (舍去)，
∴O′(4，2)，
即O(0,0)通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O′(4，2)，
又由(2)中知D坐标为(2，4)，
∴D(2，4)往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D′(6，6)，
故答案为：D′(6，6)．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，点的平移，解题的关键是熟练掌握待定
系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考
题型．
10．如图1，已知直线 的图象与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D．
(1)直接写出B点坐标；
(2)当 时，求k的值；
(3)若点N在x轴上，连接 ，且满足 的N点有且只有一个，请求出N点的坐标．
【答案】(1)(4，0)
(2)
(3)（2，0）
【分析】（1）将y＝0代入y＝kx﹣4k中，即可得出点B的坐标；
（2）作CG⊥y轴于G，DH⊥y轴于H，得△ACG∽△ADH，则 ，设C（m， ），则D
（3m， ），由点C，D在直线y＝kx﹣4k上，得 ，解方程组即可求解；
（3）由直线y＝kx﹣4k与双曲线y＝ 的交点为C，D点，得kx﹣4k＝ ，设C、D两点的横坐标
为m、n，则m+n＝4，mn＝﹣ ，设N（x，0），则 ，化简得x2﹣4x﹣ ＝0，
当Δ＝b2﹣4ac＝k2+2k+1＝0时，可知k＝﹣1时，存在唯一的点N，满足∠CND＝90°，从而解决
问题．
【详解】（1）解：对于直线 ，令 ，则 ，解得 ，
∴点B的坐标为(4，0)．
（2）解：如图，作CG⊥y轴于G，DH⊥y轴于H，
∴CG∥DH，
∴△ACG∽△ADH，
∴ ，
∵AD＝3AC，
∴DH＝3CG，
设C（m， ），则D（3m， ），
∵点C，D在直线y＝kx﹣4k上，
∴ ，
解得m＝1，k＝﹣ ，
∴k＝﹣ ；
（3）解：∵直线y＝kx﹣4k与双曲线y＝ 的交点为C，D点，
∴kx﹣4k＝ ，
∴kx2﹣4kx﹣2＝0，
设C、D两点的横坐标为m、n，
则m+n＝4，mn＝﹣ ，作CP⊥x轴于P，DQ⊥x轴于Q，
当∠CND＝90°时，△CPN∽△NQD，
∴ ，
设N（x，0），
则 ，
∴x2﹣4x﹣ ＝0，
当Δ＝b2﹣4ac＝k2+2k+1＝0时，
∴k＝﹣1时，存在唯一的点N，满足∠CND＝90°，
此时x2﹣4x+4＝0，
∴ ，
∴N（2，0）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，一元二次
方程根与系数的关系，根的判别式，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练运用一
元二次方程的根的判别式求解．
11．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足 +（a+b+3）2＝0，平行四边形
ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝ 上经过C、D两点．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求反比例函数表达式；
（3）点P在双曲线y＝ 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
直接写出满足要求的所有点Q的坐标；（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，
MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时， 的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范
围；若不改变，请直接写出其值．
【答案】（1）﹣1；﹣2；（2）y＝ ；（3）Q （0，6）；Q （0，﹣6）；Q （0，2）；（4）
1 2 3
为定值，等于 ．
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值；
（2）故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函
数的性质求出t的值即可；
（3）由（2）知k=4可知反比例函数的解析式为y＝ ，再由点P在双曲线y＝ 上，点Q在y轴
上，设Q（0，y），P（x， ），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出
P、Q的坐标；
（4）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN= HT由
此即可得出结论．
【详解】（1）∵a、b满足 +（a+b+3）2＝0，
则 ，解得 ，
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，∴x ＝1，
D
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4．
∴t＝4．
∴D（1，4），
∵D（1，4）在双曲线y＝ 上，
∴k＝xy＝1×4＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（3）∵点P在双曲线y＝ 上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x， ），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则 ＝0，解得x＝1，此时P （1，4），Q （0，6）；
1 1
如图2所示：若ABQP为平行四边形，则﹣ ＝ x，解得x＝﹣1，此时P （﹣1，﹣4），Q （0，﹣6）；
2 2
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴﹣ ＝ ，解得x＝﹣1，
∴P （﹣1，﹣4），Q （0，2）；
3 3
综上所述，Q （0，6）；Q （0，﹣6）；Q （0，2）；
1 2 3
（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在 BFN与 BHN中，BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，
∴△△BFN≌△△BHN（SAS），
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，
所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN＝ HT，
∴ = ．
即 为定值，等于 ．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形
的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．
12．如图，抛物线 （a 0）与双曲线 相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，
4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐
标．（其中点E和点A，点C和点B分别是对应点）
【答案】（1）a=1，b=3，k=4；（2）（8， ），或（2， ）【分析】（1）把点A的坐标代入 可求得k的值，根据△AOB的面积求得点B坐标，把点A，
B的坐标代入 ，可求得a，b，的值；
（2）分两种情况（i）将△ 绕点O顺时针旋转 ，得到△ ，（ii）作△ 关于x轴
的对称图形△ ，进行解答．
【详解】解：（1）因为点A（1，4）在双曲线 上，所以k=4
故双曲线的函数表达式为
设点B（t， ）， ，AB所在直线的函数表达式为 ，
则有
解得 ，
于是，直线AB与y轴的交点坐标为 ，
故 ，整理得 ，
解得 ，或t＝ （舍去）
所以点B的坐标为（ ， ）
因为点A，B都在抛物线 （a 0）上，
所以 ，解得
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（ ，4），于是CO＝4 . 又BO=2 ，所以
设抛物线 （a 0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（ ，0）
因为∠COD＝∠BOD＝ ，所以∠COB=
（i）将△ 绕点O顺时针旋转 ，得到△ ，这时，点 ( ，2)是CO的中点，点 的
坐标为（4， ）
延长 到点 ，使得 = ，
这时点 （8， ）是符合条件的点
（ii）作△ 关于x轴的对称图形△ ，得到点 （1， ）；延长 到点 ，使得
＝ ，这时点E （2， ）是符合条件的点
２
所以，点 的坐标是（8， ），或（2， ）．
【点睛】本题考查反比例函数、二次函数及几何综合，掌握图像性质利用数形结合思想解题是关
键．
13．如图1，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 在 轴的正半轴上，在第一象限内以
为边作 ，点 和边 的中点 都在反比例函数 的图象上，已知
的面积为（1）求反比例函数解析式；
（2）点 是 轴上一个动点，求 最大时 的值；
（3）过点 作 轴的平行线（如图2），在直线 上是否存在点 ，使 为直角三角形？若存
在，请直接写出所有的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在．点 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）先用k表示出点C，D的坐标，作 轴于点 轴于点 ，根据
，列出方程，即可求解；
（2）由三角形的三边长关系可知：当 在一条直线上时， 最大，再求出直线CD的
解析式，进而即可求解；（3）设点 的坐标为 ，分三种情况讨论：①当∠QOC=90°时，②当∠OCQ=90°时，③当
∠OQC=90°时，利用勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）当 时， ，
，
中， ，
，
是边 的中点，
，即： ，
作 轴于点 轴于点 ，
则 ，解得： ．
反比例函数解析式为： ．
在 中， ，
当 在一条直线上时， ，
由 知， ，
设直线 的解析式为： ，则 ，
解得： ，
的解析式为： ，
由 ，得 ，
最大时， 的值为 ；
设点 的坐标为 ，
①当∠QOC=90°时，则OQ2+OC2=QC2，即： ，解得：m=
，
∴点 的坐标为 ；
②当∠OCQ=90°时，则CQ2+OC2= OQ2，即： ，解得：m=
，
∴点 的坐标为 ；
③当∠OQC=90°时，则CQ2+OQ2= OC2，即： ，解得：m=
或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图像和性质，待定系数
法，勾股定理，是解题的关键．14．如图：在 中， ， ， 轴，双曲线 经过点B，将 绕
点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．AB的对应线段CB恰好经过点O．
（1）求证 是等边三角形；
（2）求出双曲线的解析式，并判断点C是否在双曲线上．请说明理由；
（3）在y轴上是否存在一点P．使 的周长最小．若存在．求点P的坐标：若不存在，请说
明理由．
【答案】（1）见解析；（2）双曲线解析式为： ，在，理由见解析；（3）存在，点
【分析】（1）由 轴，可得 ，由 绕点B逆时针旋转△CDB可得
，由 ，可得 =∠OBD即可；
（2）由 是等边三角形，利用特殊角三角函数可求 ，由双曲线 经过点B，可求
双曲线的解析式为 ；由 ， ，可求 ，由 ，可得
，可求 即可；
（3）由 的周长 ，且BD是定值，当 取最小值时， 有最小值，
作点B关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点P，由 ，可得 ， ，由
是等边三角形，可求点D（2，0），设直线 解析式为 ，代入B′，C坐标得，可求 ，由当 时， 即可．
【详解】解：（1）∵ 轴，
∴ ，
∵ 绕点B逆时针旋转 CDB
∴ ， △
∴ ，
∵ ，
∴ =∠OBD，
∴ 是等边三角形．
（2）由（1）得： 是等边三角形，
∴ ，
y =OB•sin60°=2× ，x =OB•cos60°=2×
B B
∴ ，
∵双曲线 经过点B，
∴ ，
∴双曲线的解析式为 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点C在双曲线上；
（3）∵ 的周长 ，且BD是定值，∴当 取最小值时， 有最小值，
如图，作点B关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点P，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴点D（2，0），
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴点 ．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形旋转性质，等边三角形判定与性质，特殊角的三角函数，
反比例函数解析式，30°角直角三角形的性质，轴对称性质，一次函数解析式与性质等涉及的知识
较多，解题较繁琐，认真审题与观察图形，利用数形结合思想是解题关键．
