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8.7 向量法求距离、探索性及折叠问题
知识点总结
1.点到平面的距离
若P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，
则点P到平面α的距离d＝.
2.点到直线的距离
如图(1)，点P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个
与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝.
如图(2)，设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d＝ | AP |sin 〈 AP ， e 〉 .
3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.
典型例题分析
考向一 点到直线的距离
例1 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝
1，则点P到直线BD的距离为________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答案
解析 如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
则BP＝(－3，0，1)，BD＝(－3，4，0)，
故点P到直线BD的距离d＝＝＝，
所以点P到直线BD的距离为.
考向二 点到平面的距离
例2 在棱长均为a的正三棱柱ABC－A B C 中，D是侧棱CC 的中点，则点 C 到平面AB D
1 1 1 1 1 1
的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
答案 A
解析 以A为空间直角坐标原点，以垂直于 AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以
AA 所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
1
由ABC－A B C 是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC 的中点，
1 1 1 1
故A(0，0，0)，B，D，C (0，a，a)，
1 1
所以AB1＝，DC1＝，AD＝，
设平面AB D的法向量是n＝(x，y，z)，
1
所以取n＝(，1，－2)，
故点C 到平面AB D的距离d＝＝＝a.
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】感悟提升 1.点线距的求解步骤：
直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量PP′及其在直线的方向向量a上的投影向
量→代入公式.
2.点面距的求解步骤：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面
的距离.
考向三 探索性问题
例 3 (2023·厦门质检)在三棱柱 ABC－A B C 中，四边形 AA B B 是菱形，AB⊥AC，平面
1 1 1 1 1
AA B B⊥平面ABC，平面A B C 与平面AB C的交线为l.
1 1 1 1 1 1
(1)证明：A B⊥B C.
1 1
(2)已知∠ABB ＝60°，AB＝AC＝2，l上是否存在点P，使A B与平面ABP所成角为30°？若
1 1
存在，求B P的长度；若不存在，请说明理由.
1
(1)证明 因为四边形AA B B为菱形，
1 1
所以A B⊥AB .
1 1
因为平面AA B B⊥平面ABC，平面AA B B∩平面ABC＝AB，AC 平面ABC，AC⊥AB，
1 1 1 1
所以AC⊥平面AA
1
B
1
B.
⊂
又A B 平面AA B B，所以AC⊥A B.
1 1 1 1
又因为⊂ AB
1
∩AC＝A，
所以A B⊥平面AB C.
1 1
又B C 平面AB C，所以A B⊥B C.
1 1 1 1
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)解 l上不存在点P，使A B与平面ABP所成角为30°.理由如下：
1
取A B 的中点D，连接AD.
1 1
因为∠ABB ＝60°，所以∠AA B ＝60°.
1 1 1
又AA ＝A B ，
1 1 1
所以△AA B 为等边三角形，
1 1
所以AD⊥A B .
1 1
因为A B ∥AB，所以AD⊥AB.
1 1
又平面AA B B⊥平面ABC，平面AA B B∩平面ABC＝AB，AD 平面AA B B，
1 1 1 1 1 1
所以AD⊥平面ABC.
⊂
以A为原点，以AB，AC，AD的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系 A－
xyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A (－1，0，)，B (1，0，)，AC＝(0，2，0)，
1 1
AB＝(2，0，0)，AB1＝(1，0，).
因为AC∥A C ，AC⊄平面A B C ，
1 1 1 1 1
A C 平面A B C ，
1 1 1 1 1
所以⊂ AC∥平面A
1
B
1
C
1
，
又AC 平面AB C，平面A B C ∩平面AB C＝l，
1 1 1 1 1
所以A
⊂
C∥l.
假设l上存在一点P，使A B与平面ABP所成角为30°.
1
设B1P＝λAC(λ∈R)，则B1P＝(0，2λ，0)，
所以AP＝AB1＋B1P＝(1，2λ，).
设n＝(x，y，z)为平面ABP的一个法向量，
则即
令y＝－，则z＝2λ，可取n＝(0，－，2λ).
又A1B＝(3，0，－)，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以sin 30°＝|cos〈n，A1B〉|＝＝＝，
即3＋4λ2＝4λ2，此方程无解，
因此l上不存在点P，使A B与平面ABP所成角为30°.
1
感悟提升 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此
列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的
解”等.
2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
训练2 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱
SD上的点.
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；
若不存在，试说明理由.
(1)证明 连接BD，设AC交BD于点O，连接SO.由题意知SO⊥平面ABCD，以O为坐标原
点，以OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O－xyz.
设底面边长为a，则高SO＝a，
于是S，D，C，B.
于是，OC＝，SD＝，
则OC·SD＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD.
(2)解 由题设知，平面PAC的一个法向量DS＝，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面DAC的一个法向量OS＝.
则cos〈OS，DS〉＝＝，
所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°.
(3)解 在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
根据第(2)问知DS是平面PAC的一个法向量，
且DS＝，CS＝，BC＝.
设CE＝tCS，
则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS＝.
又BE·DS＝0，得－＋0＋a2t＝0，
则t＝，
当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS.
由于BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.
因此在棱SC上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1.
考向四 折叠问题
例4(1) (2023·济南调研)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得
点D到达点P的位置，连接PB，PB＝.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；
(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值.
(1)证明 因为BC＝1，PC＝2，PB＝，
所以BC2＋PB2＝PC2，所以BC⊥PB，
又因为BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
⊂
因为BC 平面ABC，
所以平面⊂ ABC⊥平面PAB.
(2)解 作PO⊥AB于点O，以O为坐标原点，以过 O垂直于平面PAB的直线为x轴，OB，
OP所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易得OB＝，OP＝，
所以P，C，
所以PC＝，
易知平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以cos〈PC，n〉＝＝－，
所以直线PC与平面ABC所成角的正弦值为.
(2)(2023·苏北四市质检)已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB＝2，圆周上有C，D两点.如图，
OC⊥AB，∠AOD＝，点P 是BD上的动点.沿 AB 将纸片折为直二面角，并连接 PO，PD，
PC，CD.
(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；
(2)当三棱锥P－COD的体积最大时，求二面角O-PD-C的余弦值.
解 (1)因为AB∥平面PCD，AB 平面OPD，
平面OPD∩平面PCD＝PD，所以⊂ AB∥PD，
又∠AOD＝，所以∠ODP＝∠OPD＝，
所以∠POD＝，
又OD＝OP＝1，所以PD＝.
(2)由题意知OC⊥平面POD，
而S ＝·OD·OP·sin∠DOP，
△DOP
所以当OD⊥OP时，三棱锥P－COD的体积最大.
易知OC，OD，OP两两垂直，以O为坐标原点，OC，OP，OD的方向分别为x轴，y轴，z
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
则C(1，0，0)，D(0，0，1)，P(0，1，0)，
故PC＝(1，－1，0)，DP＝(0，1，－1).
设平面CPD的法向量为n ＝(x，y，z).
1
则即
取y＝1，得x＝1，z＝1，
得平面CPD的一个法向量为n ＝(1，1，1).
1
易知平面OPD的一个法向量为n ＝(1，0，0)，
2
设二面角O-PD-C为θ，
则cos θ＝＝，
所以二面角O-PD-C的余弦值为.
感悟提升 翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含
的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生
变化.
基础题型训练
一、单选题
1．在空间直角坐标系 中，已知 ，且平面 的法向量为 ，则 到平面
的距离等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据向量法计算可得.
【详解】依题意 ，平面 的法向量为 ，
所以点 到平面 的距离 .
故选：C
2．空间中有三点 ， ， ，则点P到直线MN的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.
【详解】因为 ，所以 的一个单位方向向量为 .
因为 ，故 ， ,
所以点 到直线 的距离为 .
故选：A
3．已知空间三点 ，则 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给出的三个点求出 、 和 ,求出 和 ，即可求出 到直线 的距
离.
【详解】由题意，空间三点 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
，
∴ 到直线 的距离为： ，
故选：B.
4．已知空间三点 ， ， ，则 到直线 的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】首先求出 、 ，再根据夹角公式求出 ，从而求出 ，再根据距离公
式计算可得.
【详解】解：因为 ， ， ，所以 ，
，
则 ， ， ，
所以 ，则 ，
所以 到直线 的距离为 .
故选：B
5．在空间直角坐标系 中，平面 的法向量为 ， 已知 ，则P到平面
的距离等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点面距的向量公式计算．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】
所求距离为 ．
故选：C．
6．已知正方体 的棱长为2， 、 分别为上底面 和侧面 的中心，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出点 到平面 的距离.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系
， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ，令 ，得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则点 到平面 的距离为 .
故选：A
二、多选题
7．如图，在正四棱柱 中， ， 为四边形 对角线的交点，下列结论
正确的是（ ）
A．点 到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为
C．若 ，则 平面 D．点 到平面 的距离为
【答案】BD
【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量
方法计算方法即可求解.
【详解】对于A, 到侧棱 的距离等于 ,
到侧棱 的距离相等且等于 ,故A错误；
对于B，设正四棱柱外接球的直径为 ，则有 ,
即 ，所以外接球的体积等于 ，故B正确；
对于C，建立空间直角坐标系，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ,
因为 ，所以 ,
所以 ， ， ,
所以 ，所以 与平面 不垂直，故C错误；
对于D,由以上知，设平面 的法向量为 ，
则有 ， ,
,即 ，令 则 ，
所以 ，
因为 ,所以点 到平面 的距离为 ，故D正确.
故选:BD.
8．[多选题]下列命题中正确的是（ ）．
A．可以用 求空间两点A，B的距离
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．设 是平面 的法向量，AB是平面 的一条斜线，点A在平面 内，则点B到 的距离为
C．若直线l与平面 平行，直线l上任意一点与平面 内任意一点的距离就是直线l与平面 的距离
D．若平面 与平面 平行，则平面 内任意一点到平面 的距离就是平面 与平面 之间的距离
【答案】ABD
【分析】根据向量数量积的定义可知A正确；由点到平面的距离，面面距的定义以及向量公式易知B，D
正确；根据点面距与线面距的定义可知C错误．
【详解】根据向量数量积的定义可知A显然正确，由点到平面的距离，面面距的定义以及向量公式易知
B，D正确．C中，直线l上任意一点到平面 的垂线段的长度为直线l与平面 的距离，故C错误．
故选：ABD．
三、填空题
9．已知点 在平面 内， 为平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离为
___________.
【答案】 /
【分析】先求得向量 ，再利用公式即可求得点 到平面 的距离
【详解】由 ， ，可得
又点 在平面 内， 为平面 的一个法向量，
则点 到平面 的距离
故答案为：
10．如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是 的中点，则直线
到平面 的距离为_______．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】由 平面 确定点 到平面 的距离就是直线 到平面 的距离，建立坐标系求
出平面 的法向量为 ，最后由 得出答案.
【详解】因为 ，由线面平行的判定定理可知， 平面
则点 到平面 的距离就是直线 到平面 的距离
以点 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：
设平面 的法向量为 ，则
取 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则点 到平面 的距离为
故答案为：
11．一个正方体的平面展开图如图所示，AB=1，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离
为________.
【答案】 /
【分析】先将展开图还原成正方体，以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积公式及投影
定义即可求出线段CF的中点到直线AM的距离.
【详解】将展开图还原成正方体，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由图知 ，
， ，设CF的中点为G，则 ， ， .
故G到AM的距离 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
12． 为矩形 所在平面外一点， 平面 ，若已知 ， ， ，则点 到
的距离为__．
【答案】 /
【分析】方法一：过 作 ，交 于 ，连结 ，则可得 是点 到 的距离，然后求解即
可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【详解】方法一
矩形 中， ， ， ，
过 作 ，交 于 ，连结 ，
平面 ， 平面 ，
，
又 ， ，
平面 ，
∵ 平面 ，
，即 是点 到 的距离，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
点 到 的距离为 ．
方法二
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵
∴ 三线两两垂直，
∴以 为原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，
，
点 到 的距离为
故答案为：
四、解答题
13．如图， 是圆柱 的一条母线， 是底面的一条直径， 是圆
上一点，且 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求直线 与平面 所成角的大小；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理找到线面角，进而在直角三角形中求解；(2)作垂线找到点到平面
的距离，利用等面积法求解.
【详解】（1） 平面 平面
是底面的一条直径,
又 平面 平面
所以 平面
是直线 与平面 所成角,
因为 ,所以
所以
所以直线 与平面 所成角的大小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
过 作 ,垂足为 ，
由(1)得 平面 平面
所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ,
平面 , ,
所以 平面 ，
根据等面积法 ,
即 到平面 的距离等于 .
14．如图在棱长为2的正方体 中，点E是AD的中点，求：
(1)异面直线 和 所成的角的余弦值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)点 到平面 的距离
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）解：如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
则 ， ，所以 ，
所以异面直线 和 所成的角的余弦值为 .
（2）解：因为 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ，
所以点 到平面 的距离 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．在平行四边形 中， ， ， ， ，且 平面ABCD，求点P到直
线BC的距离．
【答案】1
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点到直线的距离.
【详解】以B为坐标原点，BD所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，垂直平面ABCD向上为z轴，建立空
间直角坐标系，则因为 ， ， ，由勾股定理得： ，所以 ，
，设点P到直线BC的距离为 ，则 ，则
，所以 .
16．如图，在三棱柱 中， 平面 ， 的中点为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)直线 与平面 所成角的正弦值为
(3)点 到平面 的距离为 .
【分析】（1）先证明 平面 ，再利用线面垂直的性质证明 即可；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用线面夹角公式求出即可；
（3）根据（2）中坐标系，先得点 的坐标，在利用空间中点到平面距离公式求解即可．
【详解】（1）解： 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ， 平面
故 平面 ，又 平面 ，
所以 ；
（2）解：建立如图空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,0, ， ,0, ， ,1, ， ,0, ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，故 ，
又 ，则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）解：由于 为 中点，故 ，所以
又由（2）可知 是平面 的一个法向量，
则点 到平面 的距离为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】提升题型训练
一、单选题
1．已知直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若直线l与平面 垂直，则实
数x的值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】A
【分析】由题意得 ，利用空间向量的坐标运算计算即可．
【详解】由题意得 ，则 ，即 ，解得 .
故选：A.
2．棱长为 的正四面体 中，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得 的值.
【详解】 .
故选：A.
3．在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z＝0，则动点P的轨迹是
A．平面
B．直线
C．不是平面，也不是直线
D．以上都不对
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】试题分析：如图，
在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z=0，则动点P的轨迹是坐标平面xOy面．
考点：轨迹方程
4．四棱锥 中， ，则这个四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出平面 的法向量 ，计算法向量 与 的夹角得出 与平面 的夹角，从而可求
出 到平面 的距离．
【详解】解：设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，
，令 可得 ， ，即 ，2， ，
，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
于是 到平面 的距离为 ，即四棱锥 的高为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．
5．如图在直三棱柱ABC﹣ABC 中，棱AB，BC，BB 两两垂直且长度相等，点P在线段AC 上运动，异
1 1 1 1 1 1
面直线BP与BC所成的角为θ，则θ的取值范围是
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，根据二次函数求范围可得．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，
令 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即
因为
所以
故选：C．
6．已知正四棱锥 侧面和底面的棱长都为2，P为棱BC上的一个动点，则点P到平面SAD的距离
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明 平面SAD，可得故点P到平面SAD的距离即为点B到平面SAD的距离，建立如图所示
的空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】解：由题可知 ， 平面SAD， 平面SAD，
所以 平面SAD，
故点P到平面SAD的距离即为点B到平面SAD的距离，
如图建立空间直角坐标系：
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面SAD的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
则点B到平面SAD的距离为
即点P到平面SAD的距离为 .
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题
7．有下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．若两个非零向量 与 满足 ＋ ＝ ，则 .
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 (x，y，z )，则P，
A，B，C四点共面.
【答案】ABC
【分析】根据空间向量的加法的几何意义、平行向量的定义，结合共面的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为 ，所以本选项命题正确；
B：由 ，所以 ，所以本选项命题正确；
C：根据平移，当空间向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量可以是共面向量，所以本选
项命题正确；
D：只有当 时，P，A，B，C四点才共面，所以本选项命题不正确，
故选：ABC
8．已知正方体 ，则下列结论中正确的有（ ）
A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B． 平面
C．线段 被平面 分成两段，其长线段与短线段长度比为
D．正方体 被平面 分割为大小两个几何体的体积比为
【答案】ABD
【解析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设正方
体 的棱长为 ，利用空间中两点间的距离公式可判断A选项的正误；求出平面 的一
个法向量，可判断B选项的正误；求出点 、 到平面 的距离，可判断C选项的正误；求出三棱锥
的体积，可判断D选项的正误.
【详解】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
如下图所示，设正方体 的棱长为 ，
则 、 、 、 、 、 、 、 .
对于A选项， ，A选项正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B选项，设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，可得 ，取 ，可得 ，
所以， 平面 ，B选项正确；
对于C选项， ，点 到平面 的距离为 ，
，点 到平面 的距离为 ，
所以，线段 被平面 分成两段，其长线段与短线段长度比为 ，
C选项错误；
对于D选项， ，
所以，正方体 被平面 分割为大小两个几何体的体积比为 ，D选项正
确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求点 到平面 的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体 的体积，然后计算出 的面积，利用锥体的体积公式可计算
出点 到平面 的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面 的一个法向量 的坐标，进而可得出点 到平面 的距离为
.
三、填空题
9．在空间直角坐标系中，点 和点 间的距离是__________．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】利用空间两点间的距离公式即得．
【详解】∵点 和点 ，
∴点 和点 间的距离是 .
故答案为： .
10．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且 ，则
________．
【答案】6
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解之即可.
【详解】 ，且直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
，
，即 ，解得 ．
故答案为：
11．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂
直，则B与D之间的距离为__________．
【答案】
【分析】过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝ ，BM＝ ，CN＝ ，DN＝ ，
MN＝1．再求出 ＝ ＋ ＋ ，平方即得| |＝ ．
【详解】过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝ ，BM＝ ，CN＝ ，DN＝ ，
MN＝1．
由于 ＝ ＋ ＋ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴| |2＝( ＋ ＋ )2＝| |2＋| |2＋| |2＋2( · ＋ · ＋ · )＝( )2＋12＋( )2＋2(0＋0＋
0)＝ ，
∴| |＝ ．
故答案为
【点睛】（1）本题主要考查空间向量的线性运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水
平和分析推理能力.(2)空间向量 的模 .
12．如图，锐二面角 的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内，且
都垂直于 .已知 ， ， ，则锐二面角 的平面角的余弦值是
___________.
【答案】
【分析】根据题意得 ，两边平方，利用向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】设锐二面角 的平面角为 ，
，则
，则
.
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四、解答题
13．在空间四边形 中，连接 ，设M，G分别是 的中点，化简下列各向量表达式：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】根据空间向量的线性运算即可得到结果.
(1)
，
∵G是 的中点，
∴ ；
(2)
∵M是 的中点，
∴ ，
∴ .
14．如图，正方形 的边长为2， 的中点分别为C， ，正方形 沿着 折起形成三
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】棱柱 ，三棱柱 中， .
（1）证明:当 时，求证： 平面 ；
（2）当 时，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】（1）要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，关键证明 ， ；
（2）以点 为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面 和平面 的法向量，利用法向量公式求
二面角 的余弦值.
【详解】（1）当 时，点 是 的中点，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 平面 ， 平面
所以 ，且 ，
所以 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）因为 ， ， 两两互相垂直，所以以点 为原点，以 ， ， 作为 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如下图，
平面 ，所以向量 是平面 的法向量，
， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
所以 ，即 ，令 ， ， ，
所以平面 的一个法向量 ，
，
所以二面角 的余弦值是
15．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ， 是
中点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求直线 与平面 的夹角余弦值；
（2）求平面 和平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出直线 与平面 的夹角的正弦值，再转化为
余弦值.
（2）利用向量法计算出平面 和平面 的夹角的余弦值.
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系.
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
设直线 与平面 的夹角为 ，
则 ， .
（2）平面 的法向量为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 和平面 的夹角为 ，
则 .
16．如图，正四棱锥 的底面面积为4，一条侧棱长为 .
(1)求PA和DC的所成角的余弦值；
(2)求侧棱PA和侧面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为 ，则PA和DC的所成的角为 或其补角，由余弦定理求解即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）连接 交于点 ，连接 ，则易知 两两垂直，故以 为原点， 分别为
轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可
【详解】（1）因为正四棱锥 的底面面积为4，一条侧棱长为 ，
所以 ，
又 ，
所以PA和DC的所成的角为 或其补角，
因为 ，
所以PA和DC的所成角的余弦值为 ；
（2）连接 交于点 ，连接 ，
则易知 两两垂直，
故以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
即 ，令 ，则 ，
设PA和平面PBC所成的角为 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以PA和平面PBC所成角的正弦值为
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