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期末难点特训（三）选填压轴50道
1．已知： ，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，
则x+y＝（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．﹣6
【答案】A
【分析】利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c＝0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由
于 ，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当c＞0，a＜0，b＜0，
m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可．
【详解】解：∵abc＞0，a+b+c＝0，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数，
∵ ＝ ，
∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m＝﹣1﹣2+3＝0；
当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，即m＝1﹣2﹣3＝﹣4，
∴x+y＝0+（﹣4）＝﹣4．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝−a．
2．如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第n个图形中圆的个
数为（ ）
A．4n B．4n+1 C．3n+1 D．2n﹣1
【答案】C
【分析】观察图形的变化可知：第1个图形中圆的个数为4；第2个图形中圆的个数为4+3＝7；第
3个图形中圆的个数为4+3+3＝10；进而发现规律，即可得第n个图形中圆的个数．
【详解】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中圆的个数为4；
第2个图形中圆的个数为4+3＝4+3×1＝7；第3个图形中圆的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；
…
则第n个图形中圆的个数为4+3（n﹣1）＝3n+1．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形规律，找到规律是解题的关键．
3．某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出
的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果是（ ）
A．1010 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化
规律，进而求得第2020次输出的结果．
【详解】解：由题意可得，
当x＝1时，
第一次输出的结果是4，
第二次输出的结果是2，
第三次输出的结果是1，
第四次输出的结果是4，
第五次输出的结果是2，
第六次输出的结果是1，
第七次输出的结果是4，
第八次输出的结果是2，
第九次输出的结果是1，
第十次输出的结果是4，
……，
∵2020÷3＝673…1，
则第2020次输出的结果是4，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数字．
4．甲乙两地相距180km，一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，
一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，再此过程中，两车恰好
相距10km的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题意，在此过程中这四种情形的可能：（1）快车未出发时，两车相距 ；（2）快
车追赶慢车时，两车相距 ；（3）快车已反超慢车但未达到乙地时，两车相距 ；（4）
快车到达乙地，慢车行驶了 时，两车相距 .再根据两车的速度分析时间上是否匹配即可.
【详解】设快车行驶的时间为 小时
依题意有以下四种情形：
（1）快车未出发时，即 时，慢车行驶了 小时，两车恰好相距
（2）快车已出发，开始追赶慢车时
则 解得：
此时慢车行驶了 ，快车行驶了 ，两车恰好相距
（3）快车已反超慢车但未达到乙地时
则 解得：
此时慢车行驶了 ，快车行驶了 ，两车恰好相距
（4）快车到达乙地，慢车行驶了 时
则 解得：
此时快车行驶了 ，慢车行驶了 ，两车相距 ；在这之后，
慢车继续行驶 小时，也就是再行驶 至 处，这时候两车恰好相距
综上，以上四种情形均符合，即在此过程中，两车恰好相距 的次数是4
故答案为：D.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意按情况分析是解题关键.
5．已知f（1）＝2（取1×2计算结果的末位数字），f（2）＝6（取2×3计算结果的末位数字），f
（3）＝2（取3×4计算结果的末位数字），…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）的值为（）
A．2020 B．4040 C．4042 D．4030
【答案】B
【分析】根据题意，可以写出前几项，即可发现末位数字的变化特点，从而可以求出所求式子的
值．
【详解】解：∵f（1）=2（取1×2的末位数字），
f（2）=6（取2×3的末位数字），
f（3）=2（取3×4的末位数字），
f（4）=0（取4×5的末位数字），
f（5）=0（取5×6的末位数字），
f（6）=2（取6×7的末位数字），
f（7）=6（取7×8的末位数字），
f（8）=2（取8×9的末位数字），
f（9）=0（取9×10的末位数字），
f（10）=0（取10×11的末位数字），
f（11）=2（取11×12的末位数字），
…，
可知末位数字以2，6，2，0，0依次出现，
∵2020÷5=404，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）
=（2+6+2+0+0）×404
=10×404
=4040，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求
式子的值．
6．扑克牌游戏中，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
①第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于四张，且各堆牌的张数相同；
②第二步：从左边一堆拿出四张，放入中间一堆；
③第三步：从右边一堆拿出三张，放入中间一堆；
④第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆的张数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设开始时各堆牌均有x张，根据题目要求，分别用含x的代数式表示出左、中、右三堆牌
的数目，即可求出中间一堆的张数．
【详解】解：由题意：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于四张，且各堆牌的张数相
同，于是设各堆牌均有x张；
第二步：从左边一堆拿出四张，放入中间一堆，则此时左、中、右的牌数分别有 ；
第三步：从右边一堆拿出三张，放入中间一堆，则此时左、中、右的牌数分别有 ；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，则中间拿走的牌数为 ，
所以中间一堆的张数现为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，正确理解题意、明确相应的数量关系是解题关键．
7．如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、
向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A，
1
第2次移动到A，第3次移动到A，……，第n次移动到An，则△OAA 的面积是（ ）
2 3 2 2019
A．504 B． C． D．1009
【答案】B
【分析】观察图形可知： ，由 ，推出 ，由此即可解决问题．
【详解】观察图形可知：点 在数轴上， ，
，
，点 在数轴上，
，
故选B．【点睛】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，
属于中考常考题型．
8．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在
一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到
停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在( )
A．A区 B．B区 C．C区 D．A． B两区之间
【答案】A
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、C各点和A区、B区之间时员工步行的路程和，选
择最小的即可求解．
【详解】解：∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：
15×100+10×300=4500m，
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200=5000m，
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200=12000m，
当停靠点在A、B区之间时，
设在A区、B区之间时，设距离A区x米，
则所有员工步行路程之和=30x+15（100-x）+10（100+200-x），
=30x+1500-15x+3000-10x，
=5x+4500，
∴当x=0时，即在A区时，路程之和最小，为4500米；
综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键，要能把线段的概念在现
实中进行应用，比较简单．
9．如图，小华用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子
和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个
图案中共有( )个棋子．A．159 B．169 C．172 D．132
【答案】B
【分析】观察图象得到第1个图案中有黑子1个，白子0个，共1个棋子；第2个图案中黑子有1
个，白子6个，共1+6=7个棋子；第3个图案中黑子有1+2×6=13个，白子6个，共
1+2×6+6=1+3×6=19个棋子；第4个图案中黑子有1+2×6=13个，白子有6+3×6=24个，共1+6×6=37
个棋子；…，据此规律可得．
【详解】解：第1个图案中有黑子1个，白子0个，共1个棋子；
第2个图案中黑子有1个，白子6个，共1+6=7个棋子；
第3个图案中黑子有1+2×6=13个，白子6个，共1+2×6+6=1+3×6=19个棋子，
第4个图案中黑子有1+2×6=13个，白子有6+3×6=24个，共1+6×6=37个棋子；
…
第7个图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73个，白子有6+3×6+5×6=54个，共1+21×6=127个棋子；
第8个图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73个，白子有6+3×6+5×6+7×6=96个，共1+28×6=169个棋子；
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按
规律变化的因素，然后推广到一般情况．
10．观察下列等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
……
根据此规律，第10个等式的右边应该是 ，则 的值是（ ）
A．45 B．54 C．55 D．65
【答案】C
【分析】根据所给的算式，探索其底数之间的关系，根据规律解答即可.
【详解】其底数之间的关系为：
（1）1=1
（2）1+2=3（3）1+2+3=6
（4）1+2+3+4=10
……
（10）1+2+3+…+10=55
故选：C
【点睛】本题考查的是探索数字之间的规律，关键是要善于观察，抓住其底数之间的关系.
11．1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集，从长度为1的线段开始，康托尔取走其中
间三分之一而达到第一阶段；然后从每人个余下的三分之一线段中取走中间三分之一而达到第二
阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点就称做康托尔集，下图是康托尔集的最初几个阶段，
当达到第5个阶段时，取走的所有线段的长度之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意具体表示出前几个式子，然后推广到一般情形，发现规律解决问题．
【详解】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为 ，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为 × ＝ ，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为 × × ＝ ，
…
以此类推，
第5个阶段时，余下的线段的长度之和为 ，则取走的所有线段的长度之和为
，
故选：C.【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的联系，得出规律.
12．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＜|b|，则下列结论中一定成立的是
（ ）
A．b+c＞0 B．a+c＜0 C． ＞1 D．abc≥0
【答案】A
【分析】根据两个数的正负以及加减乘除法法则，对每个选择作出判断，得正确结论．
【详解】由于|a|＜|b|，由数轴知：a＜0＜b或0＜a＜b，a＜c＜b，
所以b+c＞0，故A成立；
a+c可能大于0，故B不成立；
可能小于0，故C不成立；
abc可能小于0，故D不成立．
故选A．
【点睛】此题考查了数轴上点的表示的数的正负及实数的加减乘除法的符号法则．解决本题的关
键是牢记实数的加减乘除法则．
13．下面表格中的四个数都是按照同一规律填写的，仔细想一想表格中的 是多少？（ ）
A．136 B．170 C．191 D．232
【答案】C
【分析】根据各项的数字可以推出规律,按照规律得出m即可.
【详解】由题意可得规律:
7=2×4－1;
16=3×6－2;
29=4×8－3;
46=5×10－4;
m=20×10－9=191;
故选C.【点睛】本题考查找规律题型,找出规律是解题关键.
14．如图，已知线段AB=8，点C是线段AB是一动点，点D是线段AC的中点，点E是线段BD的中
点，在点C从点A向点B运动的过程中，当点C刚好为线段DE的中点时，线段AC的长为（ ）
A．3.2 B．4 C．4.2 D．
【答案】A
【分析】根据题意设AD=x,根据中点的定义得到CD,CE,BE的长，再根据AB=8求出x即可求解.
【详解】根据题意设AD=x,
∵点D是线段AC的中点，∴CD=AD=x,
∵C刚好为线段DE的中点
∴CD=CE=x，
∵点E是线段BD的中点
∴BE=DE=2x
∵AB=8
∴x+x+x+2x=8
解得x=1.6
∴AC=2x=3.2.
故选A.
【点睛】此题主要考查线段的中点，解题的关键是熟知中点的定义，及列方程的关系.
15．小明在学校庆祝建国“70周年”的活动上，用围棋棋子按照某种规律摆成如图中①②③④一
行的“70”字，按照这种规律，第n个“70”字中的棋子个数是（ ）
A．8n B．n+7 C．4n+4 D．5n+3
【答案】C
【分析】通过归纳与总结，得到其中的规律即可求解．
【详解】由题目得，第1个“70”字中的棋子个数是8；
第2个“70”字中的棋子个数是12；
第3个“70”字中的棋子个数是16；
第4个“70”字中的棋子个数是20；发现规律：第n个“广”字中的棋子个数是8+4（n-1）=4n+4．
故选C．
【点睛】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
16．某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后
还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（ ）
A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟
【答案】C
【详解】试题解析：设开始做作业时的时间是6点x分，
∴6x﹣0.5x=180﹣120，
解得x≈11；
再设做 完作业后的时间是6点y分，
∴6y﹣0.5y=180+120，
解得y≈55，
∴此同学做作业大约用了55﹣11=44分钟．
故选C．
17．已知某商店有两个进价不同的计算器，都卖了100 元，其中一个盈利 60% ，另一个亏损
20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利 37.5 元 C．亏损 25 元 D．盈利 12.5 元
【答案】D
【分析】设盈利的计算器的进价为 ，则 ，亏损的计算器的进价为 ，则
，用售价减去进价即可.
【详解】解：设盈利的计算器的进价为 ，则 ， ，亏损的计算器的进价为
，则 ， ， 元，所以这家商店盈利了12.5元..
故选：D
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键.
18．“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9═25＝52
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：1+3+7+……+101＝（ ）
A．2601 B．2501 C．2400 D．2419
【答案】A
【分析】观察图形和算式可得规律1+3+5+…+（2n+1）＝（n+1）2，得2n+1＝101，解得n＝50，进
而可得结果．
【详解】观察下面的图形和算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9═25＝52
发现规律：1+3+5+…+（2n+1）＝（n+1）2
∵2n+1＝101，
解得n＝50，
∴1+3+7+……+101＝（50+1）2＝2601．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
19．正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道
顺时针同时出发，甲的速度为每秒1 cm，乙的速度为每秒5 cm，已知正方形轨道ABCD的边长为
2 cm，则乙在第2 020次追上甲时的位置在（ ）A．AB上 B．BC上
C．CD上 D．AD上
【答案】D
【分析】根据题意列一元一次方程，然后四个循环为一次即可求得结论．
【详解】解：设乙走x秒第一次追上甲．
根据题意，得
5x-x=4
解得x=1．
∴乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是AB上；
设乙再走y秒第二次追上甲．
根据题意，得5y-y=8，解得y=2．
∴乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是BC上；
同理：∴乙再走2秒第三次次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是CD上；
∴乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是DA上；
乙在第5次追上甲时的位置又回到AB上；
∴2020÷4=505
∴乙在第2020次追上甲时的位置是AD上．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是寻找规律确定位置．
20．阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x= ；
（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的
方程 •a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
【答案】A
【详解】解：去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6），
去括号得：2ax=2x+6，
移项，合并得，（2a-2）x=6，
因为无解，所以2a﹣2=0，即a=1．
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程无解，解题关键是准确理解题意，列出关于字母a的方程．21．如图，将一张长方形的纸片分别沿 、 折叠后，点 落在点 处，点 落在点 处，且
、 、 三点刚好在同一直线上，折痕分别为 、 ，射线 为 的角平分线，则下
列说法中：① 是 的平分线；② 是 的平分线；③ ；④
．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据矩形的性质，翻折变换解决问题即可．
【详解】解：由翻折可知：AE是∠MAB的角平分线，故 正确，
无法判断AM平分∠DAE，故 错误， ①
②
由翻折可知：∠AEM＝ ∠BEM，∠FEN＝ ∠CEN，
∴∠AEM+∠FEN＝ （∠BEM+∠CEN）＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∵EP平分∠AEF，
∴∠AEP＝ ×90°＝45°，故 正确，
④
∵BE＝EM，EC＝EN，
∴ME+EN＝BE+EC＝BC，故 正确，
故选：C． ③
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识，属于中考常考题型．
22．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面
积为S，空白部分的面积为S，若S＝2S，则a，b满足（ ）
1 2 2 1A．a＝ B．a＝2b C．a＝ b D．a＝3b
【答案】B
【分析】从图形可知空白部分的面积为S 是中间边长为（a﹣b）的正方形面积与上下两个直角边
2
为（a+b）和b的直角三角形的面积，再与左右两个直角边为a和b的直角三角形面积的总和，阴
影部分的面积为S 是大正方形面积与空白部分面积之差，再由S＝2S，便可得解．
1 2 1
【详解】由图形可知，
S =（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2，
2
S =（a+b）2-S =2ab-b2，
1 2
∵S＝2S，
2 1
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积和因式分解，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面
积和正确进行因式分解．
23．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形有6颗棋子，第2个图形有9颗棋
子，第3个图形有12颗棋子，第4个图形有15颗棋子……，以此类推，第（ ）个图形有
2019颗棋子．
A．672 B．673 C．674 D．675
【答案】A
【分析】根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，从而可以发现棋子个数的变化
规律，进而求得第多少个图形中有2019颗棋子．【详解】解：由图可得，
第1个图形中有：3+3×1＝6颗棋子，
第2个图形中有：3+3×2＝9颗棋子，
第3个图形中有：3+3×3＝12颗棋子，
第4个图形中有：3+3×4＝15棋子，
…，
则第n个图形中有：（3+3n）颗棋子，
令3+3n＝2019，
解得，n＝672，
故选：A．
【点睛】本题考查规律型－图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现棋子个数的变化规
律．
24．如图，将面积分别为39、29的矩形和圆叠放在一起，两个空白部分的面积分别为m，n（m＞
n），则m﹣n的值为（ ）
A．5 B．10 C．17 D．20
【答案】B
【分析】设重叠部分面积为c，（m﹣n）可理解为（m+c）﹣（n+c），即长方形和圆的面积差．
【详解】解：设重叠部分面积为c，
m﹣n＝（m+c）﹣（n+c）＝39﹣29＝10，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，将空白部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关
键．
25．如图，点A、B在数轴上所表示的数分别是2和5，若点C与A、B在同一条数轴上且AC
AB m（m＞0），则点C所表示的数为（ ） -
=
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D【分析】设点C所表示的数为x，根据AC-AB=m（m＞0），列出方程|x-2|-3=m，解方程即可．
【详解】解：设点C所表示的数为x．
∵点A、B在数轴上所表示的数分别是2和5，
∴AB=5-2=3．
∵AC-AB=m（m＞0），
∴|x-2|-3=m，
∴|x-2|=m+3，
∴x-2=m+3，或x-2=-m-3，
∴x=m+5，或x=-m-1．
故选D．
【点睛】本题考查了数轴，两点间的距离，根据AC-AB=m列出方程是解题的关键．
26．某商品原价为p元，由于供不应求，先提价10 进行销售，后因供应逐步充足，价格又一次
性降价10 ，则最后的实际售价为（ ） %
%
A．p元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】B
【分析】首先表示出提价10%的价格，进而表示出降价10%的价格即可得出答案．
【详解】解：∵商品原价为p元，先提价10%进行销售，
∴价格是：p（1+10%），
∵再一次性降价10%，
∴售价为b元为：p（1+10%）×（1-10%）=0.99p．
故选B．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出升降价后实际价格是解题关键．
27．已知：20＝1，21＝2，22＝4，23＝8，24的个位数是6，25的个位数是2，…，则
20+21+22+23+24+…+22021的个位数字是_____．
【答案】3．
【分析】根据题意找到规律，从21=2，22=4，23=8…24的个位数是6，25的个位数是2可知，个位数
字是每4个数一循环，则2021=5×404+1，由此推知结论．
【详解】解：因为20＝1，21＝2，22＝4，23＝8，24的个位数是6，25的个位数是2，…，且
2021=5×404+1，
所以20+21+22+23+24+…+22021的个位数字之和是：1+(2+4+8+6)×404+2=8083，
所以20+21+22+23+24+…+22021的个位数字是3．故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了规律型:数字的变化类,要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，
并应用发现的规律解决问题解决本题的难点在于找到个位数字是每4个数一循环．
28．如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE=28°，分别以BE、CE为折痕进行折
叠并压平，如图②，若图②中∠AED=n°，则∠DEC的度数为____度．
【答案】
【分析】求∠CED的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出∠CED大小即可．
【详解】解：折叠后的图形如下：
∵∠ABE=28°，
∴∠BEA'=∠BEA=62°，
又∵∠CED'=∠CED，
∴∠DEC= ∠DED'，
∴∠DEC= （180°﹣∠A'EA+∠AED）
= （180°﹣124°+n°）
=（28+ n）°
故答案为：（28+ n）．【点睛】本题综合考查了以长方形、平行线、两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和
等知识为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．
29．用相同的黑色棋子如图所示的方式摆放，第 个图由 个棋子组成，第 个图由 个棋子组成，
第 个图由 个棋子组成……按照这样的规律排列下去，第 个图由__________个棋子组成
……
【答案】91
【分析】根据前3个图形中棋子的个数归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】由图可知，第1个图形中棋子的个数为 ，
第2个图形中棋子的个数为 ，
第3个图形中棋子的个数为 ，
归纳类推得：第n个图形中棋子的个数为 ，其中n为正整数，
则第6个图形中棋子的个数为 ，
故答案为：91．
【点睛】本题考查了用代数式表示图形的规律，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
30．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是
_____________________度
【答案】30或50
【分析】本题分两种情况讨论：
（1）当C、B两点位于OA边的同一侧时；
（2）当当C、B两点位于OA边的两侧时.
根据两种情况，同时考虑角平分线的定义，得出结论即可.
【详解】分为两种情况：
如下图，当∠AOB在∠AOC内部时，∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=∠BOD= ∠AOB=10°，∠AOM=∠COM= ∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM-∠AOD=40°-
10°=30°.
如下图，当∠AOB在∠AOC外部时，
∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=∠BOD= ∠AOB=10°，∠AOM=∠COM= ∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM+∠AOD=40°
+10°=50°.
【点睛】本题考查角平分线的应用等相关知识，解题时不能只考虑一种情况，要分当∠AOB在
∠AOC内部和当∠AOB在∠AOC外部两种情况进行讨论.
31．给定一列按规律排列的数： ，…，根据前4个数的规律，第10个数是
_________．
【答案】 ．
【分析】通过观察这列数的分子与分母可得规律：第n项是 ，将n=10代入即可．
【详解】解：观察这列数发现，奇数项是负数，偶数项是正数；分子分别为3，5，7，9，…；分母分别为12+1，22+1，32+1，…，
∴该列数的第n项是 ，
∴第10个数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字的规律；能够通过已知一列数找到该列数的规律，1转化为 是解题的关
键．
32．如图，点B、D在线段AC上，且 ，E、F分别是AB、CD的中点，
EF=10cm，则CD=_________cm．
【答案】16
【分析】设 则 ， 再利用中点的含义分别表示 ，求解
利用 列方程解方程即可得到答案．
【详解】解：设 则
，
E、F分别是AB、CD的中点，
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的和差，线段的中点的含义，一元一次方程的应用，掌握以上知识是
解题的关键．
33．某商场有两件进价不同的上衣，标价均为 元，其中一件打六折出售，亏本 ；另一件
打九折出售，盈利 ，这次买卖中商家亏了___________元．【答案】
【分析】设进价分别为a元、b元，根据题意列方程分别求出a、b，由此得到答案.
【详解】设进价分别为a元、b元，
第一件：
，
第二件： ，
，
进价为： （元），
售价为： （元），
（元）
故答案为：10.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意，设进价分别为a元、b元，由此列方
程解决问题是解题的关键.
34．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴
剪纸“○”的个数为_____个．
【答案】3n+2
【详解】解：第一个图案为3+2=5个窗花；
第二个图案为2×3+2=8个窗花；
第三个图案为3×3+2=11个窗花；
…从而可以探究：
第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个．
故答案为：3n+2
35．如图，已知正方形ABCD的边长为24厘米．甲、乙两动点同时从顶点A出发，甲以2厘米/秒
的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，
每次相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距
离是______厘米．【答案】5.6．
【分析】可设第1次相遇的时间为x秒，根据速度和×时间=路程和，求出相遇时间；设第2次相遇
的时间为y秒，根据速度和×时间=路程和，求出相遇时间；设第3次相遇的时间为z秒，根据速度
和×时间=路程和，求出相遇时间；设第4次相遇的时间为t秒，根据速度和×时间=路程和，求出相
遇时间；
【详解】设第1次相遇的时间为x秒，依题意有：（2+4）x=24×4，解得：x=16；
设第2次相遇的时间为y秒，依题意有：（2+1+4+1）y=24×4，解得：y=12；
设第3次相遇的时间为z秒，依题意有：（2+1+1+4+1+1）z=24×4，解得：z=9.6；
设第4次相遇的时间为t秒，依题意有：（2+1+1+1+4+1+1+1）t=24×4，解得：y=8；
2×16﹣（2+1）×12+（2+1+1）×9.6﹣（2+1+1+1）×8
=32﹣36+38.4﹣40
=﹣5.6
故第四次相遇时甲与最近顶点的距离是5.6厘米．
故答案为5.6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、正方形的性质，本题是一道找规律的题目，对于找规
律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
36．若a+b+c=0且a>b>c，则下列几个数中：①a+b；②ab；③ab2；④ ； ⑤ ，一
定是正数的有______ (填序号) ．
【答案】①④⑤
【分析】由a+b+c=0且a＞b＞c，得出a＞0，c＜0，b可以是正数，负数或0，由此进一步分析探
讨得出答案即可．
【详解】解：∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，b可以是正数，负数或0，
∴①a+b=-c＞0，
②ab可以为正数，负数或0，
③ab2可以是正数或0，④ac＜0，∴b2-ac＞0，
⑤-（b+c）=a＞0．
故答案为：①④⑤．
【点睛】此题考查正数与负数，掌握有理数的混合运算的方法是解决问题的关键．
37．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果 ， ，那么 的度数
是__________．
【答案】10°
【分析】根据∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度
数从而求解．
【详解】∵∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°，
∠EOC=90°-∠1=90°-50°=40°，
又∵∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE，
∴∠2=60°+40°-90°=10°．
故答案为：10°．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE这一关系是
解决本题的关键．
38．一副三角板AOB与COD如图摆放，且∠A=∠C=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，ON平分
∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）.设图1、图2中的
∠NOM的度数分别为α，β， =______度.【答案】105
【分析】图1中先设∠AOM＝x＝∠DOM，则∠BOM＝60−x，根据∠BOD＝∠DOM−∠BOM，得出
∠BOD的度数，再根据∠COB＝∠BOD＋∠DOC，求出∠CON＝∠BON，最后根据∠NOM＝∠BOM
＋∠BON，即可得出α; 图2中设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60−2x，根
据∠AOB＝60°，∠COD＝45°，列出算式，求出x−y的度数，最后根据∠MON与各角之间的关系，
【详解】解：图1中设∠AOM＝x＝∠DOM，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOM＝60°−x，
∵∠BOD＝∠DOM−∠BOM，
∴∠BOD＝x−（60°−x）＝2x−60°，
∵∠COB＝∠BOD＋∠DOC，
∴∠COB＝（2x−60°）＋45°＝2x−15°，
∴∠CON＝∠BON＝ （2x−15°）＝x−7.5°，
∴α＝∠NOM＝∠BOM＋∠BON＝60°−x＋x−7.5°＝52.5°；
图2中设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60°−2x，
∵∠COD＝45°，
∴60−2x＋2y＝45°，即x−y＝7.5°，
∴β＝∠MON＝x＋（60−2x）＋y＝60−（x−y）＝52.5°，
∴ ＝52.5°＋52.5°＝105°,
故答案为：105.
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是设一个未知数（或两个未知数），用代数方法解决
几何问题．
39．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 的值为__________（用
含n的代数式表示，并化简）【答案】1-2n.
【分析】根据图中数字，分别得出左边的数和右边的数的规律，上边的数，左边的数的规律，由
此可得a，b．
【详解】解：∵左边的数和右边的数的和为6n-1，
上边的数为连续的自然数1，2，3，4，
左边的数为2n，
∴a=2n，b=6n-1-2n=4n-1，
∴a-b=1-2n，
故答案为1-2n.
【点睛】此题考查数字变化规律，观察出各边数字的关系是解题的关键
40．某几何体是由若干个小正方体组成的，它无论从正面看还是从左面看得到的视图都是如图的
样子，堆成该几何体的正方体数最少与最多的块数分别是 、 ，则 ______.
【答案】14.
【分析】根据题意画出最少和最多的两种情况,得出m和n,计算即可.
【详解】由题意可画如图:
m=5 n=9
∴m+n=14.
故答案为:14.
【点睛】本题考查三视图,根据主视图和左视图得出画出俯视图中最多和最少的情况是解题关键.
41．将两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板PAB与PCD如图放置，A、P、C三点在同
一直线上，现将三角板PAB绕点P沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若PE平分∠APD，PF平分∠BPD，则∠EPF的度数是_________°.
【答案】15
【分析】设∠APE＝∠DPE＝x，∠BPF＝∠DPF =y，利用∠EPF＝x-y＝y-(x-30°)，进而求出x-y=15°，
即可求解.
【详解】设∠APE＝∠DPE＝x，∠BPF＝∠DPF =y，
∵∠EPF＝∠DPE-∠DPF= x-y
又∠EPF＝∠BPF -∠BPE= y-(x-30°)
∴x-y＝y-(x-30°)，
∴x-y=15°，
故∠EPF=15°，
故填：15°.
【点睛】此题主要考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．
42．规定：用{m}表示大于 m 的最小整数，例如{ } 3，{4} 5，{1.5} 1等；用[m] 表示不
大于 m 的最大整数，例如[ ] 3， [2] 2，[3.2] 4，如果整数 x 满足关系式：3{x}
2[x]23，则 x ________________.
【答案】4
【分析】由题意可得 ，求解即可.
【详解】解：
解得
故答案为：4
【点睛】本题属于新定义题型，正确理解{m}和[m]的含义是解题的关键.
43．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1 2 的两个角的射线，叫做这个角的三分线，显
然，一个角的三分线有两条．如图， ，OC、OD 是AOB 的两条三分线，以O 为中心，将COD 顺时针最少旋转__________ ，OA 恰好是COD 的三等分线．
【答案】40
【分析】由OA 恰好是COD 的三等分线可得 或 ，旋转角为 ，
求出其度数取最小值即可.
【详解】解：因为 ，OC、OD 是AOB 的两条三分线，所以
因为OA 恰好是COD 的三等分线，所以 或 ，
当 时，
当 时， ，
综上所述将COD 顺时针最少旋转 .
故答案为：
【点睛】本题考查了角的平分线，熟练掌握角平分线的相关运算是解题的关键.
44．定义一种树对正整数n的“F”运算：①当n的奇数时F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=
（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24则：若n=13，则第2019次“F”运算的结果是________
【答案】4
【分析】根据题意，写出前几次的运算结果，即可发现规律，从而可以解答本题．
【详解】解：当n=13时，
第1次“F”运算为：3×13+1=40；
第2次“F”运算为： ；
第3次“F”运算为：3×5+1=16；
第4次“F”运算为： =1；
第5次“F”运算为：1×3+1=4；
第6次“F”运算为： ；
第7次“F”运算为：1×3+1=4；
∵2019为奇数，
∴第2019次“F”运算的结果是4，
【点睛】本题考查有理数的混合运算和数字的规律，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计
算方法．
45．一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是 、 和 ，此时箱中水面高 ，
放进一个棱长为 的正方体实心铁块后，此时水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则水箱中露
在水面外的铁块体积是______ .
【答案】4000
【分析】设铁块沉入水底后水面高hcm，根据铁块放入水中前后水的体积不变列出方程并解答．
【详解】设放入正方体铁块后水面高为hcm，
由题意得：50×40×8+20×20×h=50×40×h，
解得：h=10，
则水箱中露在水面外的铁块的高度为：20-10=10（cm），
所以水箱中露在水面外的铁块体积是：20×20×10=4000（cm3）．
故答案为：4000．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．46．如图①，在长方形 中， 点在 上，并且 ，分别以 、 为折痕进行
折叠并压平，如图②，若图②中 ，则 的度数为______度.
【答案】
【分析】从长方形中抓出隐含条件A'D'∥BC，得出∠BCE=∠CED'，求∠CED'的大小只需根据折叠规
律、平角知识和角的和差求出∠CED'大小即求出∠BCE．
【详解】折叠后的图形如下：
∵∠ABE=30°，
∴∠BEA'=∠BAE=60°，
又∵A'D'∥BC，
∴∠BCE=∠CED'，
又∵∠CED'=∠CED，
∴∠BCE=∠CED'=∠CED，
又∵∠DEC= ∠DED'，
∴∠DEC= （180°-∠A'EA+∠AED）= （180°-120°+n°）=（30+ ）°，
∴∠BCE=（30+ ）°
故答案为：（30+ ）．
【点睛】本题综合考查了以长方形、平行线、两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和
等知识为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．
47．土家传统建筑的窗户上常有一些精致花纹、小超对土家传统建筑非常感兴趣，他观察发现窗格的花纹排列呈现有一定规律，如图．其中“O”代表的就是精致的花纹，第1个图有5个花纹，
第2个图有8个花纹，第3个图有11个花纹…，请问第n个图有___________个花纹.（用含n的代
数式来表示）
【答案】（3n+2）
【分析】观察图形可知从第二个图案开始，递加一扇窗户，就增加3个花纹．照此规律便可计算
出第n个图形中花纹的个数．
【详解】∵第（1）个图中有3+2=5个花纹；
第（2）个图中有2×3+2=8个花纹；
第（3）个图中有3×3+2=11个花纹；
…
∴第n个中有花纹（3n+2）个．
故答案为（3n+2）．
【点睛】本题考查了图形变化的规律，解题的关键是明白每往后一幅图增加3个花纹．
48．观察“田”字中各数之间的关系：
则 的值为____________________.
【答案】
【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”
中各个位置的数字数量关系即可.
【详解】解：经过观察每个“田”左上角数字依此是1，3，5，7等奇数，此位置数为15时，恰
好是第8个奇数，即此“田”字为第8个.观察每个“田”字左下角数据，可以发现，规律是2，
22，23，24等，则第8数为a=28．观察右下角的数字可得右下角的数字正好是左上角和左下角两个
数字的和，所以b=15+a=271，右上角的数字正好是右下角数字减1，所以c=b-1=270.
故答案为：270.
【点睛】本题以探究数字规律为背景，考查学生的数感．解题时注意把同等位置的数字变化规律，
用代数式表示出来。49．如图，已知∠AOB＝130°，以点O为顶点作直角∠COB，以点O为端点作一条射线OD．通过
折叠的方法，使OD与OC重合，点B落在点B′处，OE所在的直线为折痕，若∠COE＝15°，则
∠AOB′＝_____度．
【答案】20
【分析】利用折叠的性质求出∠COD，进而得到∠BOD，然后求出∠B′OB即可解决问题．
【详解】解：由题意得：OE平分∠COD，
∴∠COD＝2∠COE＝30°，
∵∠COB＝90°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠EOB＝∠EOB′＝60°+15°＝75°，
∴∠B′OB＝2∠EOB＝150°，
∴∠AOB′＝∠B′OB﹣∠AOB＝150°﹣130°＝20°，
故答案为20．
【点睛】本题考查折叠的性质、角的和差计算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
50．如图，将一张长方形的纸对折（使宽边重合，然后再对折），第一次对折，得到一条折痕连
同长方形的两条宽边共3条等宽线（如图（1），第二次对折（每次的折痕与上次的折痕保持平
行），得到5条等宽线（如图（2）所示），连续对折三次后，可以得到9条等宽线（如图（3所
示），对折四次可以得到17条等宽线，如果对折6次，那么可以得到的等宽线条数是______条．
【答案】65
【分析】先求出第一次对折的折痕，再求第二次对折的折痕，…，从而找出规律求出第n次即可．
【详解】解：我们不难发现：
第一次对折：3=2+1；
第二次对折：5=22+1；第三次对折：9=23+1；
第四次对折：17=24+1；
…．
依此类推，第n次对折，可以得到（2n+1）条．
∴对折6次，可以得到（26+1）=65条
故答案为65．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，有理数的乘方，主要培养学生的观察能力和空间想象能
力，解题的关键是根据题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条．
