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2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
期中检测卷01
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2020·毕节三联学校八年级月考）已知a＜b，则下列各式不成立的是（ ）
A．3a＜3b B．﹣3a＜﹣3b C．a﹣3＜b﹣3 D．3+a＜3+b
【答案】B
【分析】
根据不等式的性质1，可判断C、D，根据不等式的性质2，可判断A，根据不等式的性质3，可判断B．
【详解】
解：A.a＜b，3a＜3b，故A成立；
B.a＜b，﹣3a＞﹣3b，故B不成立；
C.a＜b，a﹣3＜b﹣3，故C成立；
D.a＜b，3+a＜3+b，故D成立；
故选：B．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
2．（2018·福建宁德市·八年级期中）等腰三角形的一个角是80°，则它底角的度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．80°或100°
【答案】C
【分析】
分这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：当底角为80°时，则它的底角度数为80°；
当顶角为80°时，则其底角为： =50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，本题有两种情况，注意不要漏掉．
3．（2021·天津红桥区·九年级其他模拟）下列图标中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图
形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2020·广东惠州市·九年级期末）如图，将 绕着点 顺时针旋转 后得到 ．若
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据旋转的性质，得 ≌ ，得到 ， ， ∠BCA=∠ =180°-110°-40°=30°，由 =∠BCA+ 计算即可．
【详解】
∵ 绕着点 顺时针旋转 后得到 ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∴∠BCA=∠ =180°-110°-40°=30°，
∴ =∠BCA+
＝30°＋50°
= ．
故选B
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转角的确定，熟练掌握旋转的全等性，准确找到旋转角是解题的关键．
5．（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）若不等式 的解集是 ，则 必满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由不等式 的解集是 ，不等式的方向发生了改变，从而可得： ＜ 于是可得答案．
【详解】
解： 不等式 的解集是 ，
＜＜
故选：
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解集，掌握“不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向
要改变．”是解题的关键
6．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）如图，已知△ABC，AB＝AC=5，AD、CE是△ABC的两条中线，P是
AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )
A．BC B．CE C．AD D．AC
【答案】B
【分析】
如图，连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，
PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
【详解】
解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2020·四川巴中市·八年级期末）“数 不小于1”的数学表达式为______．
【答案】
【分析】
不小于等价于大于或等于，数 不小于1，就是数x大于1或等于1，用数学时表示即可．
【详解】
“数 不小于1”的数学表达式为x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】
本题考查列不等式问题，掌握用不等号表示不等关系的式子是解题关键．
8．（2020·哈巴河中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = BD，∠C=20°．则∠CAD的度
数__________．
【答案】25°
【分析】
根据等腰三角形的性质可得到两组相等的角，求出∠BDA，再根据三角形外角的性质即可得到∠BDA与
∠CAD的关系，从而不难求解．
【详解】
解：∵△ABC中，∠B=90°，AB=BD，
∴∠BAD=∠ADB=45°，
又∠C+∠CAD=∠ADB，∵∠C=20°，
∴∠CAD=∠ADB-∠C=25°；
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形的外角性质的综合运用．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性
质.
9．（2021·深圳市高级中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如
图所示，则关于x的一元一次不等式kx﹣n＞mx的解集是_____．
【答案】x＞1
【分析】
写出直线y＝kx在直线y＝mx+n上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：根据图象可知：两函数的交点为（1，2），
关于x的一元一次不等式kx﹣n＞mx等价于kx＞mx+n，
解集是x＞1，
故答案为：x＞1．
【点睛】
本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变量，图像
上方大于下方的取值．
10．（2021·重庆八中宏帆初级中学校八年级月考）如图，三角形 中， ，将三角形
沿 方向平移 的长度得到三角形 ，且 ， ， ，则图中阴影部分的
面积是______．【答案】26
【分析】
先根据平移的性质得到△ABC≌△DEF，BE=AD=4，BC=EF=8，则BG=5，再证明S =S .然后根据
阴影部分 梯形BEFG
梯形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，
∴△ABC≌△DEF，BC=EF=8，AD=BE=4
∴BG=BC-CG=8-3=5，
∵S +S =S +S ，
阴影部分 △DBG △DBG 梯形BEFG
∴S =S = （5+8）×4=26．
阴影部分 梯形BEFG
故答案为：26．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的
形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．
连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
11．（2021·太原市·山西实验中学八年级月考）关于x的不等式组 有且只有4个整数解，则
常数m的取值范围是_____．
【答案】0＜m≤1
【分析】
分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据关于x的不等式组
有且只有4个整数解，即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得m的范围．
【详解】
解：解不等式3x+5≥x+3，得：x≥-1，解不等式x+3＜m+5，得：x＜m+2，
则不等式组的解集为-1≤x＜m+2，
∵关于x的不等式组 有且只有4个整数解，
∴不等式组的整数解为-1、0、1、2，
则2＜m+2≤3，
∴0＜m≤1．
故答案为：0＜m≤1．
【点睛】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．
12．（2020·浙江八年级期末）如图，已知点P是射线 上一动点（点P不与点B重合）， ，
，则当 ______时，以A，O，B三点中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三
角形．
【答案】45°或67.5°或75°或90°
【分析】
先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：分为以下5种情况：
①OA=OP，
∵∠AOB=45°，OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA= ×（180°-45°）=67.5°；
②OA=AP，∵∠AOB=45°，OA=AP，
∴∠APO=∠AOB=45°，
∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-45°=90°；
③AB=AP，
∵∠ABM=60°，AB=AP，
∴∠APO=∠ABM=60°，
∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-60°=75°；
④AB=BP，
∵∠ABM=60°，AB=BP，
∴∠BAP=∠APO= ×（180°-60°）=60°，
∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-60°=75°；
⑤AP=BP，
∵∠ABM=60°，AP=BP，
∴∠ABM=∠PAB=60°，
∴∠APO=180°-60°-60°=60°，
∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-60°=75°；⑥当AP=OP时，
∴∠AOP=∠OAP=45°；
所以当∠OAP=45°或67.5°或75°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，
故答案为：45°或67.5°或75°或90°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能画出符合的所有图形是解此题的关
键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2021·太原市·山西实验中学八年级月考）解下列不等式．
（1）3（x＋1）＜4（x﹣2）﹣5；
（2） ．
【答案】（1）x＞16；（2）x＜3
【分析】
（1）先去括号，再移项、合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出x的取值范围即可；
（2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1
【详解】
解：（1）3（x＋1）＜4（x﹣2）﹣5
去括号得，3x+3＜4x-8-5，
移项、合并同类项得，-x＜-16，
把x的系数化为1得，x＞16；（2）
去分母得，2x＜6-（x-3），
去括号得，2x＜6-x+3，
移项、合并同类项得，3x＜9，
把x的系数化为1得，x＜3．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．
14．（2021·福建九年级一模）解不等式组 ，并在数轴上画出该不等式组的解集．
【答案】 ，图见解析．
【分析】
分别解出两个不等式的解集，再将两个解集表示在同一条数轴上即可解题．
【详解】
解： ，
由①得：x≤4，
由②得：x ，
把不等式的解集在数轴上表示为：
，
∴不等式组的解集是 ．【点睛】
本题考查解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
15．（2020·温州市第二十一中学八年级月考）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形
方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如
图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出3种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，
例图除外）
【答案】图见解析
【分析】
根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【详解】
解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【点睛】
本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念．
16．（2020·辽宁锦州市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=40°，AB=4cm，△ABC逆时针
旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【答案】（1）旋转中心为点A，旋转的度数为110°；（2）∠BAE=140°，AE=2cm．
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理计算出∠BAC=110°，然后根据旋转的定义求解；
（2）根据旋转的性质得∠EAD=∠CAB=110°，AE=AC，AD=AB=4cm，则可利用周角定义可计算出
∠BAE=140°，然后计算出AC，从而得到AE的长．
【详解】
解：（1）∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣30°﹣40°=110°，
即∠BAD=110 °，
∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为110°；
（2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴∠EAD=∠CAB=110°，AE=AC，AD=AB=4cm，
∴∠BAE=360°﹣110°﹣110°=140°，
∵点C恰好成为AD的中点，
∴AC= AD=2cm，
∴AE=2cm．【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．
17．（2019·云南临沧市·八年级期末）某服装厂每天生产 、 两种品牌的服装共600件，已知每件 品
牌服装可获利20元，每件 品牌服装可获利15元，设每天生产 品牌服装 件，获得日总利润为 元．
（1）写出 与 之间的函数关系式；
（2）如果服装厂要求每天获利不少于10000元，那么每天至少生产 品牌服装多少件？
【答案】（1）y=5x+9000；（2）每天至少生产 品牌服装200件．
【分析】
（1）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600-x）件，利润=A种品牌服装件数×A种品牌服装一件的利润
+B种品牌服装件数×B种品牌服装一件的利润，列出函数关系式；
（2）根据“每天获利不少于10000元”列出不等式，求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600-x）件，依题意，得
y=20x+15（600-x）=5x+9000；
（2）根据题意，
5x+9000≥10000
解得x≥200，
所以，每天至少生产 品牌服装200件．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，一次函数与一元一次不等式．解题的关键是理解题意，学会用函数和不等式解
决问题，属于中考常考题型．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2018·苏州新草桥中学八年级月考）如图，在 中， ， 垂直平分 ．
（1）如果 ， ，试求 的周长；
（2）如果 ，求 的度数．
【答案】（1）14cm；（2）∠B=35°．
【分析】
（1）由AB的垂直平分线DE交AB、BC于E、D，可得AD=BD，继而可得△ACD的周长=AC+BC；
（2）由∠CAD：∠BAD=4：7，可设∠CAD=4x，∠BAD=7x，继而可得方程4x+7x+7x=90°，解此方程即可
求得答案．
【详解】
解：（1）∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BD+CD=AC+BC=14（cm）；
（2）∵∠CAD：∠BAD=4：7，
∴设∠CAD=4x，∠BAD=7x，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD=7x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAD+∠BAD+∠B=90°，
∴4x+7x+7x=90°，
解得：x=5°，
∴∠B=35°．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
19．（2021·重庆八中宏帆初级中学校八年级月考）在一次高速铁路建设中，某渣土运输公司承包了某标段
的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣
土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不
小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
【答案】（1）一辆大型渣土运输车一次运输 吨，一辆小型渣土运输车一次运输 吨；（2）有三种方案，
第一种方案：大型运输车 辆，小型运输车 辆；第二种方案：大型运输车 辆，小型运输车 辆；第
三种方案：大型运输车 辆，小型运输车 辆．
【分析】
（1）根据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车
一次各运输土方多少吨；
（2）根据题意可以列出相应的关系式，从而可以求得有几种方案．
【详解】
解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输 吨，一辆小型渣土运输车一次运输 吨，
，
解得 ．
即一辆大型渣土运输车一次运输 吨，一辆小型渣土运输车一次运输 吨；
（2）由题意可得，
设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为 辆、 辆，
，
解得 ，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车 辆，小型运输车 辆；第二种方案：大型运输车 辆，小型运输车 辆；
第三种方案：大型运输车 辆，小型运输车 辆．
【点睛】
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件．
20．（2020·四川成都市·成都实外八年级月考）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位
长度， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）画出 关于 对称的 ．
（2）画出 绕原点 顺时针方向旋转 得到的 ．
（3）求 的面积．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3） ．
【分析】
（1）关于y轴对称点纵坐标不变，横坐标变为相反数；
（2）绕原点旋转，点与原点的连线垂线；
（3）求出AA 交y轴于D（0，3），将△AAO的面积分成两个三角形面积求和．
1 2 1 2
【详解】
解：（1）如图：（2）如图：
（3）如图：．
【点睛】
本题考查了图形的旋转和对称，熟练掌握图形关于y轴对称的点的特点，旋转的特点是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）如图①，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作
BC平行线交AB，AC于E，F．
（1）试说明：EO＝BE；
（2）探究图①中线段EF与BE，CF间的关系，并说明理由；
（3）探究图②，△ABC中若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB
于E，交AC于F，这时EF与BE，CF的关系又如何？请直接写出关系，不需要说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】
（1）由题意易得∠EOB=∠EBO，∠ABO=∠OBC，则有∠EOB=∠ABO，进而问题得证；
（2）由题意易得∠FOC=∠OCB，∠FCO=∠OCB，则有∠FCO=∠FOC，然后可得CF=OF，由（1）得
BE=OE，进而问题可求解；
（3）同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，然后问题可求解．
【详解】
证明：（1）∵EF∥BC ，
∴∠EOB=∠EBO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，∴∠EOB=∠ABO，
∴BE=OE；
（2）解： ，理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCB，
∵CO平分∠ACB，
∴∠FCO=∠OCB，
∴∠FCO=∠FOC，
∴CF=OF，
由（1）得：BE=OE，
∴EF=BE+CF；
（3）解：EF=BE-CF，理由如下：
同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键，
也要熟练掌握“双平等腰”模型．
22．（2020·深圳市福田区外国语学校八年级期中）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上
一点，BE交AD于点F，∠ABC＝45°，FD＝CD．
（1）请写出BE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接DE，求证：∠BED＝∠DEC；
（3）若AD＝4，CD＝2，在直线BC上方的平面内是否存在点P，使得△BFP为等腰直角三角形．若存在，
请直接写出点P到直线BC的距离．
【答案】（1）BE⊥AC，见解析；（2）见解析；（3）存在，4或6或3
【分析】（1）证明△BDF≌△ADC，得到∠DBF＝∠DAC，由∠BFD＝∠AFE证得∠BDF＝∠AEF＝90°，即可得到
结论；
（2）过点D作DM⊥AC，DN⊥BE，根据△BDF≌△ADC，得到BF=AC， ，推出DM=DN，证
得ED平分∠BEC，由此得到结论；
（3）根据勾股定理求出AC＝ ， 由△BDF≌△ADC，得到BF＝AC＝ ，DF＝DC＝2，
BD＝AD＝4，分三种情况：当∠PBF＝90°，BP＝BF时， 当∠P′FB＝90°，P′F＝BF时， 当∠BP″F＝
90°，BP″＝FP″时， 根据等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】
（1）证明：如图①中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴BD＝DA，
∵DF＝DC，∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BDF≌△ADC（SAS）．
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠BDF＝∠AEF＝90°，
∴BE⊥AC．
（2）解：如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BE，
∵△BDF≌△ADC，
∴BF=AC， ，∴DM=DN，
∴ED平分∠BEC，
∴∠BED＝∠DEC；
（3）解：如图2－1中，满足条件的点P有3个．
在Rt△ADC中，
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝ ，
∵△BDF≌△ADC，
∴BF＝AC＝ ，DF＝DC＝2，BD＝AD＝4，
当∠PBF＝90°，BP＝BF时，作PM⊥CB交CB的延长线于M．
易证△PMB≌△BDF，
∴PM＝BD＝4，
∴点P到直线BC的距离为4；
当∠P′FB＝90°，P′F＝BF时，作P′H⊥BC于H，FG⊥P′H于G．
易证：P′G＝BD＝4，GH＝DF＝2，
∴P′H＝4＋2＝6，
∴P′到直线BC的距离为6；
当∠BP″F＝90°，BP″＝FP″时，作P″N⊥BC于N．易证P″N＝ ＝3，
∴P″到直线BC的距离为3，
综上所述，满足条件的点P到直线BC的距离为4或6或3．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定及性质，熟记各
定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2021·河南九年级一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是射线BC上一动点，过点B作
BE⊥AD，垂足为点E，交直线AC于点P．
（问题发现）
（1）如图①，若点D在BC的延长线上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系为 ；
（类比探究）
（2）如图②，若点D在线段BC上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系，并说明理由；
（拓展应用）
（3）当E为BP的中点时，直接写出线段CD的长度．
【答案】（1）BC＝AP＋CD；（2）AP＝BC＋CD，见解析；（3） 或
【分析】
（1）由题意可得∠DAC=∠DBE，根据“ASA”可证△ACD≌△BCP，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC
之间的数量关系；
（2）由题意可得∠PAE=∠PBC，根据“ASA”可证△ACD≌△BCP，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC之
间的数量关系．（3）过点D作DM⊥AB，根据线段垂直平分线的性质可得AB＝AP，根据等腰三角形的性质可得∠DAC＝
∠DAB，根据“AAS”可得△ACD≌△AMD，可得AC＝AM＝2，CD＝DM，根据勾股定理和等腰三角形的判
定可得CD＝DM＝BM的长度．
【详解】
解：（1）BC＝AP+CD，
理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，
∴∠D+∠DAC＝90°，∠D+∠DBE＝90°，
∴∠DAC＝∠DBE，且∠ACB＝∠ACD，AC＝BC，
∴△ACD≌△BCP（ASA），
∴CD＝CP，
∵BC＝AC＝CP+AP，
∴BC＝AP+CD，
（2）AP＝BC+CD，
理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，
∴∠P+∠PAE＝90°，∠P+∠PBC＝90°，
∴∠PAE＝∠PBC，且∠ACB＝∠BCP，AC＝BC，
∴△ACD≌△BCP（ASA），
∴CD＝CP，
∵AP＝AC+CP，
∴AP＝BC+CD．
（3）如图：过点D作DM⊥AB，垂足为M，
∵AE⊥BE，点E是PB中点，
∴AB＝AP，且AE⊥BE，
∴∠DAC＝∠DAM，
∵∠DAC＝∠DAM，AD＝AD，∠ACD＝∠AMD＝90°，
△ACD≌△AMD（AAS）
∴AC＝AM＝2，CD＝DM，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝ ，∠ABC＝45°，
∴MB＝AB－AM＝ ，
∵DM⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠MDB＝∠ABC＝45°，
∴DM＝BM＝ ，
∴CD＝ ，
当点D在BC的延长线上时，如图：
同理可得：CD＝CP＝AP＋CA＝ ．
综上所述：线段CD的长度为 或 ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定与性质解决
问题是本题的关键．
