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专题 6.2 数量积及最值（范围）问题
题型一 求数量积
题型二 求两个向量的夹角
题型三 求投影向量
题型四 垂直关系的判断及应用
题型五 向量的模
题型六 数量积的最值、范围问题（基底法）
题型七 数量积的最值、范围问题（坐标法）
题型八 数量积的最值、范围问题（数形结合法）
题型一 求数量积
例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量 ， ，
（ ），则 （ ）
A．5 B． C． D．
例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量 ， 满足 ，
则 _______．
练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量 ， 则
______ ．
练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形 中． ， ．若点 ， 满足
， ，则 （ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知 是 的外心， ，，则 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形 中，
，则 __________.
练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在 中， ， ， ，
，求 _________.
题型二 求两个向量的夹角
例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量
且
(1)求向量 与向量 的坐标；
(2)若向量 ，求向量 与向量 的夹角
例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知 ， 是单位向量，且
，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量 ，
， .
(1)若 与 垂直， 求实数 的值；
(2)求 的值.
练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量 ，则 与
夹角的大小为_____________．练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知 ， ，
与 的夹角为 ，求使向量 与 的夹角是锐角，则 的取值范围
___________ .
练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量 ， 满足 ，则 ，
夹角的余弦值为__________.
练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，且 ， 与 的夹角为 ，求x，y的值.
题型三 求投影向量
例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知 ，则向
量 在向量 上的投影向量为___________.
例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量 ，
，则 在 上的投影向量的模为（ ）
A．2 B． C．1 D．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 在
上的投影向量 ______.
练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量 ， 满足 ，
，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．练习13．（2023·云南保山·统考二模）已知向量 ， 满足 ，则 在 方向上的
投影向量为（ ）
A． B． C． D．
练习14．（2023春·全国·高三专题练习）已知 ，若 与 的夹角为120°，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
练习15．（2023·湖南·校联考模拟预测）在 中，已知 ，向量 在向量 上
的投影向量为 ，点 是 边上靠近 的三等分点，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
题型四 垂直关系的判断及应用
例7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，且 ，
则 _____．
例8．（2023·全国·高三专题练习）非零向量 ， ，若 ，
则 ______.
练习16．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）平面向量 ，若
，且 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，其中 ， 为单位向量，且
，若 ______，则 .
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.练习18．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点 ，点 ，点 在坐
标轴上，且 为直角，这样的点 有______个．
练习19．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在
中，若非零向量 与 满足 ， ，则 为
（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
练习20．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量 ，
．
(1)求 ；
(2)已知 ，且 ，求向量 与向量 的夹角．
题型五 向量的模
例9．（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量 ，
满足 ，则 __________．
例10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．5
练习21．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量 满足
，则 夹角的余弦值为________．
练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知向量 ，若
，则 __________.练习23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量 ， 与 共线，则
=（ ）
A．6 B．20 C． D．5
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 是非零向量，λ、 ，则“
”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
练习25．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，
__________； 在 上的投影向量的坐标为__________．
题型六 数量积的最值、范围问题（基底法）
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中， ， ， ，
为 的中点，在平面 中，将线段 绕点 旋转得到线段 ．设 为线段
上的点，则 的最小值为______．
例12．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）在 中， ，
， ， 为 的三等分点（靠近 点）．
(1)求 的值；(2)若点 满足 ，求 的最小值，并求此时的 ．
练习26．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形 的面积
为 ， ， 为线段 的中点．若 为线段 上的一点，且
，则 __________， 的最小值为___________.
练习27．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆 为 的外接圆， ， ，
为边 的中点，则 ______.
练习28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD
中，M为AB的中点，且 ， ．若点N在线段CD（端点除外）上
运动，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知直角梯形
是 边上的一点，则 的取值范围
为（ ）A． B． C． D．
练习30．（2023·全国·高一专题练习）在直角三角形 中， 在线段 上，
，则 的最小值为___________.
题型七 数量积的最值、范围问题（坐标法）
例13．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知 中， ，
， ，点 为边 上的动点，则 的最小值为_________.
例14．（2023·天津滨海新·统考三模）在平面四边形 中， ， ，向量
在向量 上的投影向量为 ，则 ________；若 ，点 为线段
上的动点，则 的最小值为________．
练习31．（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形 中．
，点P是腰 上的动点，则 的最小值
为____________．
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，
， ，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形 中， ，且
，点P在线段 上运动，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形 中， ，
是线段 上的动点，则 的最小值为__________.
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形 的边长为
4，P为正六边形所在平面内一点，则 的最小值为____________．
题型八 数量积的最值、范围问题（数形结合法）
例15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知平面向量 ， ， 满足
， ， ，且 ，则 的最大值为________．
例16．（2023·上海·高三专题练习）设x、 ，若向量 ， ， 满足 ，
， ，且向量 与 互相平行，则 的最小值为______．
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，
， ，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若 ，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形 中， ，且
，点P在线段 上运动，若 ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形 中， ，
是线段 上的动点，则 的最小值为__________.
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形 的边长为
4，P为正六边形所在平面内一点，则 的最小值为____________．
练习36．（2022秋·湖北荆门·高二荆门市龙泉中学校考阶段练习）已知平面向量 ， 是
单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．练习37．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知 是平面向量，其中
是单位向量．若非零向量 与 的夹角是 ，向量 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C．2 D．
练习38．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知平面向量 ， ， ， ，满足
， ， ，若 ，则 的取值范围是________．
练习39．（2023春·北京·高三北京市第一六六中学校考阶段练习）已知向量 满足
，则 的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
练习40．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ，且
，则 的最大值是_______； 最小值是________．
