文档内容
6.1 数列的概念及通项公式
思维导图
知识点总结
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{a }的第n项a
n n
如果数列{a }的第n项a 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子
n n
通项公式
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
把数列{a }从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a }的前n项
n n
前n项和
和，记作S ，即S ＝a ＋ a ＋ … ＋ a
n n 1 2 n
2．数列的表示方法
列表法 列表格表示n与a 的对应关系
n
图象法 把点 ( n ， a )画在平面直角坐标系中
n
公式法 通项公式 把数列的通项使用a ＝f(n)表示的方法
n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】使用初始值a 和a ＝f(a )或a，a 和a ＝f(a ，a )等
1 n＋1 n 1 2 n＋1 n n－1
递推公式
表示数列的方法
3．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个 有穷数列 项数有限的数列
数 无穷数列 项数无限的数列
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔a
n
a
n＋1
按项的变
常数列 各项都相等的数列⇔a
n
＝a
n＋1
化趋势
从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前
摆动数列
一项的数列
典型例题分析
考向一 利用 an 与 Sn 的关系求通项或项
1．已知S 为数列{a }的前n项和，a＝1，a ＋2S ＝2n＋1，则S ＝( )
n n 1 n＋1 n 2 022
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 024
解析：选C 当n＝1时，a＋2S＝2＋1⇒a＝1，当n≥2时，由a ＋2S ＝2n＋1得a ＋2S ＝2n－
2 1 2 n＋1 n n n－1
1，两式相减可得a －a ＋2a ＝2，即a ＋a ＝2，所以a ＝1，可得S ＝n，所以S ＝2 022.故选C.
n＋1 n n n n＋1 n n 2 022
2．数列{a }的前n项和为S ，若a＝1，a ＝5S (n≥1)，则a ＝( )
n n 1 n＋1 n n
A．5×6n B．5×6n＋1
C. D.
解析：选C 当n＝1时，a ＝5S ＝5a ＝5，当n≥2时，a ＝5S ，所以a －a ＝5(S －S )＝
2 1 1 n n－1 n＋1 n n n－1
5a ⇒a ＝6a ，而a＝5a≠6a，所以数列{a }从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以a ＝
n n＋1 n 2 1 1 n n
方法总结
(1)已知S 求a ，注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．
n n
(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
①利用a ＝S －S (n≥2)转化为只含S ，S 的关系式，再求解；
n n n－1 n n－1
②利用S －S ＝a (n≥2)转化为只含a ，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
考向二 由递推关系求通项公式
方法(一) 累加法
[例1] (1)在数列{a }中，a＝1，a －a ＝2n＋1，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 n＋1 n n n
(2)在数列{a }中，a＝2，a ＝a ＋ln(n∈N*)，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 n＋1 n n n
[解析] (1)根据题意，a －a＝(2n－1＋1)＋(2n－2＋1)＋…＋(2＋1)＝＋n－1＝2n＋n－3.故a ＝2n＋n－2.
n 1 n
(2)由a ＝a ＋ln，得a －a ＝ln＝ln(n＋1)－ln n．当n≥2时，a ＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a
n＋1 n n＋1 n n 1 2 1 3 2 n
－a )＝2＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n(n∈N*)；当n＝1时，a ＝2＋ln 1＝
n－1 1
2成立．故a ＝2＋ln n(n∈N*)．
n
[答案] (1)2n＋n－2 (2)2＋ln n
方法(二) 累乘法
[例2] 已知数列{a }中，a＝1,2n·a ＝(n＋1)·a ，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 n＋1 n n n
[解析] ∵＝，∴当n≥2时，＝，a ＝··…···a＝··…···1＝，经检验当n＝1时也符合上式，∴a ＝.
n 1 n
[答案]
方法(三) 构造法
[例3] (1)已知数列{a }满足a＝1，且a ＝a ＋n(n≥2)，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 n n－1 n n
(2)已知数列{a }满足a＝1，a ＝3a ＋1(n∈N，n≥1)，则数列{a }的通项公式a ＝______.
n 1 n＋1 n n n
[解析] (1)∵a ＝a ＋n(n≥2)，
n n－1
∴3na ＝3n－1a ＋1(n≥2)，即3na －3n－1·a ＝1(n≥2)．又a＝1,31·a＝3，∴数列{3na }是以3为首项，
n n－1 n n－1 1 1 n
1为公差的等差数列，∴3na ＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴数列{a }的通项公式a ＝.
n n n
(2)令a ＋C＝3(a ＋C)，则a ＝3a ＋2C，又a ＝3a ＋1，∴C＝，故a ＋＝3，而a ＋＝，∴
n＋1 n n＋1 n n＋1 n n＋1 1
数列是以公比为3，首项为的等比数列，则a ＋＝·3n－1，∴a ＝·(3n－1)．
n n
[答案] (1) (2)·(3n－1)
方法技巧
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)形如a ＝a ＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．
n＋1 n
(2)形如a ＝a ·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用 a ＝··…··a 代入求出通
n＋1 n n 1
项．
(3)形如a ＝pa ＋q的递推关系式可以化为(a ＋x)＝p(a ＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项
n＋1 n n＋1 n
公式，求变量x是关键．
(4)形如a ＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
n＋1
考向三 数列的函数性质及其应用
角度1 数列的周期性
[例1] (2023·广州四校联考)数列{a }满足a＝2，a ＝(n∈N*)，则a 等于( )
n 1 n＋1 2 023
A．－2 B．－1 C．2 D.
[解析] ∵数列{a }满足a ＝2，a ＝(n∈N*)，∴a ＝＝－1，a ＝＝，a ＝＝2，…，可知此数列有周
n 1 n＋1 2 3 4
期性，周期T＝3，即a ＝a ，则a ＝a＝2.
n＋3 n 2 023 1
[答案] C
角度2 数列的单调性
[例2] (2023·乐山市教育科学研究所模拟)已知数列{a }的通项公式为a ＝若{a }是递增数列，则实数a
n n n
的取值范围是( )
A．(1.5，＋∞) B．(1.8，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(2.25，＋∞)
[解析] 因为{a }是递增数列，由n>2时，a ＝an可得，a>1，所以当n≤2时，a2，又a>a ，所以a3>4a－＋，解得a>或a<－(舍)．综上，a>2，即实数a的取值范围是(2，＋
3 2
∞)．
[答案] C
角度3 数列的最值
[例3] 已知数列{a }的通项公式为a ＝n(n＋4)n，若数列最大项为a，则k＝________.
n n k
[解析] 由题意得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即
化简得解得
即≤k≤1＋.又k∈N*，∴k＝4.
[答案] 4
[方法技巧]
1．解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a }是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
2．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
3．求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数的单调性求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
基础题型训练
一、单选题
1．已知数列 的前 项依次为 ， ， ， ，则数列 的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用各选项中的数列逐项检验可得正确的选项.
【详解】对于A， ，故A错误.
对于B， ，故B错误.
对于C， ，
故C正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D， ，故D错误.
故选：C.
2．已知数列 ，则6是这个数列的（ ）
A．第6项 B．第12项 C．第18项 D．第36项
【答案】C
【分析】利用数列的通项公式求解.
【详解】数列 的通项公式为 ，
令 解得 ，
故选:C.
3．若 表示正整数n的个位数字， ，数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A． B．0 C．1009 D．1011
【答案】C
【分析】根据题意可判断数列 为周期数列，且周期为10，即可求解.
【详解】由题意得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ……
所以数列 为周期数列，且周期为10．
因为 ，所以 ．
故选：C.
4．已知等差数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列 的通项公式代入可得 的值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由 ，得 ，
则有 .
故选：B.
【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.
5．数列 中， 且满足 ，则 的值为( )
A．b B．b－a C．－b D．－a
【答案】D
【分析】求出数列 的周期，从而得到 的值.
【详解】 ，
因为 ，
所以 ，
，
，
，
，
所以 是以6为周期的数列，
.
故选：D
6．设数列 满足 ， ，记 前 项之积为 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先根据 推出周期为3，再计算出 ，然后利用周期可得 ，代
入 计算可得结果.
【详解】由 得 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是周期为3周期数列，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 .
故选：D
【点睛】本题考查了数列的周期性，利用周期将问题转化为 的值进行计算是解题关键，属于中档
题.
二、多选题
7．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，
16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻
“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】BD
【分析】由已知条件，得出三角形数前面是1，3，6，10，相邻两数后一个与前一个的差增加1，利用此规
律，即可找出结果.
【详解】这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，
且正方形数是这串数中相邻两数之和，容易得到： ， ， ， ，
只有BD是对的．
故选：BD.
8．斐波那刻螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如
向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通
过小正方形的 圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线
所在的正方形边长设为 ，数列 满足 ， ， ，每一段“斐波那
契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由题意可得 的前9项分别为 ，根据运算即可判断AB,根据 ，利用
平方差公式以及 即可判断选项C,代入计算即可判断D.
【详解】根据 ， ， 得数列的前9项分别为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，故A正确，B错误，
由题意可得 ，即 ，
所以 ，故C正确，
， ，
所以 ，故D错误，
故选：AC.
三、填空题
9．在数列 中，第 项是________．
【答案】
【分析】直接代入 的值即可求解.
【详解】令 ，则 .
故答案为：
10．已知数列 满足 ， （ ），则 ______．
【答案】
【分析】把已知数列递推式裂项变形，然后利用累加法求得数列 的通项公式．
【详解】由 ，得 ，∵ ，
∴
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ．
故答案为: ．
11．函数 由下表定义：
x 1 2 3 4 5
4 1 3 5 2
若 ， ， ，2，3，…，则 ______．
【答案】1
【分析】根据数列的前几项可得数列的周期可得答案.
【详解】由题意，知 ， ， ， ， ，
则数列 的周期为4，所以 ．
故答案为：1.
12．已知数列 满足 ，且其前n项和 满足 ，请写出一个符合上述条件的数列的通项公
式 ______．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】先分析题干的两个条件，写出符合题意的一个数列即可.
【详解】根据 可知， ，又 ，故数列 为第二项起为负的递增数列，通
项公式可以为 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四、解答题
13．已知数列 中， ， ，求 .
【答案】 ， .
【分析】根据题意和递推公式，即可求出结果.
【详解】由 且 ，
知当 时， ，∴ ，
∴ .
当 时， ，∴ ，
∴ .
14．数列{an}中，a＝1，a＝3， －anan ＝(－1)n，求{an}的前5项．
1 2 ＋2
【答案】a＝1，a＝3，a＝10，a＝33，a＝109.
1 2 3 4 5
【分析】由递推关系依次即求.
【详解】由 －anan ＝(－1)n，得an ＝ ，
＋2 ＋2
又∵a＝1，a＝3，
1 2
∴a＝ ＝ ＝10，a＝ ＝ ＝33，a＝ ＝ ＝109.
3 4 5
∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109.
15．已知数列 满足 ，求数列 的通项公式．
【答案】
【分析】可得 ，进而得 ，再讨论 是否满足，分段表示即得解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：当 时，由已知，可得 ，
当 时， ①
因为 ，②
所以②—①得 ，
所以 ．
显然当 时不满足上式，
所以
16．在数列 中，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）记 ，且数列 的前 项和为 ，若 为数列 中的最小项，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】(1)已知数列的递推公式，用累加法求通项即可;
(2)由(1)可得 ，则 ，化简得到 对任意
恒成立，分类分别求出当 时 的取值范围，再证明出 时 为递增数列，
即 ，综合求出 的取值范围.
【详解】解：(1) ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
……
，
上式累加可得: ，
，
又 ，∴ ;
(2)由(1)可得 ，
∴ ，
因为 为数列 中的最小项，
所以 ，
即 ，
当 时，得 ，∴ ;
当 时， ;
当 时，得 ，∴ ，
令 ，
则 ，
当 时， ， ，
∴ ，
又可验证当 时， 也成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴当 时，数列 为递增数列，
∴ ，即 .
综上所述， 的取值范围为 .
【点睛】①已知数列递推公式求通项公式有多种方法，答题时要仔细区分，且最后一定要注意检验;
②数列本质上是函数，因此具有一些函数的性质，解决某些数列问题时可以用上函数的相关方法.
提升题型训练
一、单选题
1．数列 、 、 、 的下一项应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察数列的项之间的变化规律，即可求得答案.
【详解】观察数列 、 、 、 的项之间的规律，
可得根号下的数依次增加4，故数列 、 、 、 的下一项应该是 ，
故选：C
2．数列 中， ，则 等于（ ）
A．900 B．9902 C．9904 D．10100
【答案】B
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再代入计算可得；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：因为 ，所以 ，所以
所以
故选：B
3．已知 中， ， ，则数列 的通项公式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察式子可变形为： ，再用叠乘法即可求解
【详解】由nan =（n+1）an，可得： ，
+1
又∵a=1，∴ = =n．
1
∴an=n，
故选C．
【点睛】本题考查叠乘法求数列通向，属于基础题
4．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据奇偶数对n讨论，再分离参数a，转化函数最值问题即得解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）当n为偶数时， 恒成立，即转化为 恒成立，
而数列 是递增数列，故 时， ，故 ；
（2）当n为奇数时， 恒成立，即 ，转化为 恒成立，
而数列 是递增数列，n为奇数时， ，故 ；
综上可得a的范围为 .
故选：B.
5．已知 满足 ，且 ，则 的最小值为
A． B． C． D．10
【答案】C
【详解】 满足 ，即 ，
∴
.
则 ，
令 则
, ,
在 上单调递减在 上单调递增
; .
.
∴ 时 取得最小值因此 的最小值为
n=6 ,f(x) , .
故选
C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．已知数列 中， ，且 ，若存在正整数 ，使得 成立，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，结合等比数列求和公式可求得
；分别在 和 时解不等式得到 和
，根据数列的单调性可知 ， ， ，从而得到所求范围.
【详解】由题意得：
即：
①当 时，
则由 得：
此时 ；
②当 时，
则由 得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时 ；
综上所述：
本题正确选项：
【点睛】本题考查数列性质与不等式能成立问题的综合应用，关键是能够通过递推关系式得到数列的通项
公式，结合数列的单调性特点可得到不等式的解集，从而确定解集上下限的最值，进而得到结果.
二、多选题
7．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取
第一项为 ，将其外观描述为“ 个 ”，则第二项为 ；将 描述为“ 个 ”，则第三项为 ；将 描
述为“ 个 ， 个 ”，则第四项为 ；将 描述为“ 个 ， 个 ， 个 ”，则第五项为 ，
…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观
数列 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 的最后一个数字为6 D．若 ，则 中没有数字
【答案】BCD
【分析】根据题干中的递推规律，依次分析各项的正误.
【详解】对于A项， ，即“ 个 ”， ，即“ 个 ， 个 ”， ，即“ 个 ， 个 ”，
故 ，故A项错；
对于B项， ，即“2个2”， ，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则 ，
故B项正确；
对于C项， ，即“1个6”， ，即“1个1，1个6”， ，即“3个1，1个6”，故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知， 的最后一个数字均为6，故C项正确；
对于D项， ，则 ， ， ， ，
若数列 中， 中为第一次出现数字 ，则 中必出现了 个连续的相同数字，
如 ，则在 的描述中必包含“ 个 ， 个 ”，
即 ，显然 的描述是不合乎要求的，
若 或 ，同理可知均不合乎题意，
故 不包含数字 ，故D项正确.
故选：BCD.
8．设数列 的前n项和为 ，且满足 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．数列 为递增数列 C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，分别求得 ，得到数列 构成以 为周期的周期数列，逐项判
定，即可求解.
【详解】由题意，数列 满足 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；当 时， ； ，
归纳可得数列 构成以 为周期的周期数列，所以 ，A正确，B不正确；
又由 ，所以C不正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题
9．在数列 中， ， ， ，则 ______．
【答案】 /
【分析】根据递推公式一一计算可得.
【详解】解：因为 ， ， ，
所以 ， ， ；
故答案为：
10．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．
【答案】
【分析】先写出 ,…的一个通项公式为 ，从而可求2，0，2，0，…的一个通
项公式.
【详解】解： ,…的一个通项公式为 ，
故2，0，2，0，…的一个通项公式为 .
故答案为: .
11．已知数列 的前 项和 ，数列 的前 项和 ， ，则正整数 的最
大值为_________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】3
【分析】运用数列的递推式，结合等比数列的定义、通项公式可得an，Sn，再由数列的分组求和，结合等
比数列的求和公式，以及数列的单调性，解不等式可得所求最大值．
【详解】Sn＝2 ﹣1，可得 ＝S＝2 ﹣1，解得 ＝1；
1
n≥2时， ＝Sn﹣Sn ＝2 ﹣1﹣2 +1，
﹣1
则 ＝2 ，可得 为首项为1，公比为2的等比数列，
可得 ＝2n﹣1，Sn＝2n﹣1，
Sn 1＝2n﹣1+（ ）n﹣1+1＝2n+（ ）n﹣1，
Tn＝（2+4+…+2n）+（1 （ ）n﹣1）
2n+1﹣（ ）n﹣1，
可得Tn是一个增函数（增函数+增函数=增函数），随着n的增大而增大，T ，
3
由 ，可得n≤3，即n的最大值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查数列的递推式的运用、等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组
求和，考查化简运算能力，属于中档题．
12．已知数列 满足 ， ，数列 满足 ，则数列 的前 项和 ______．
【答案】
【分析】先根据 ， 并利用累加法求得 ，再根据 求得 ，最后根据 的特点利用
等差、等比数列的求和公式求 即可．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为数列 满足 ， ，所以当 时，
，
又 也满足上式，所以 ，
所以 ，所以
．
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：方法技巧一般地，递推公式形如
（其中 可求）的数列的通项公式往往可以运用累加法求解，如本题中求 的过程；
递推公式形如 （其中 可求）的数列的通项公式往往可以运用累乘法求解．
四、解答题
13．已知 .若 是常数数列，求 的值.
【答案】0或1.
【分析】由 是常数数列，得出 ，解方程即可得到结果.
【详解】∵ 是常数数列，
∴ ，∴ 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 或1.
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.
（1）n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
（2）数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．
【答案】（1）n＝10或n＝11时，其最小值为－90；（2）没有最大项，详见解析.
【分析】（1）利用二次函数的性质即得；
（2）利用通项公式结合二次函数性质可得.
【详解】（1）因为 ，
可知对称轴方程为 ，
又因n∈N ，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.
＋
（2）由（1）知，对于数列{an}有： ，
故数列{an}没有最大项.
15．已知函数 ， .
（1）求证：对任意 ， .
（2）试判断数列 是否是递增数列，或是递减数列？
【答案】（1）证明见解析；（2） 是递增数列.
【分析】（1）将 代入函数解析式，分离常数证得结果；
（2）利用随 的增大，式子的变化趋势，得到其为递增数量.
【详解】（1） ，
（2）∵ ，
当 变大时， 变大， 变小， 变大，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 是递增数列.
【点睛】该题考查的是有关数量的问题，涉及到的知识点有根据数量的通项公式，判断项的范围和数列的
单调性，属于简单题目.
16．已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）当 时，由 得到 ，两式相减，然后再利用累积法求解.
（2）由（1）得 ，然后利用裂项相消法求解.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
整理得 ．
故 ．
当 时， 满足上式，故 ．
（2） ，
，
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【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n项和公式， ②等比数列的前n项和公式
；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的
前n项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，
可采用两项合并求解．
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