专题6.1平面向量的概念及其运算2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题6.1 平面向量的概念及其运算 1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的 模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 新课程考试要求 2. 向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义. 3.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 4.掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系. 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算 核心素养 （多例）等. （1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步 解题，如利用向量的线性运算求参数等； （2）考查单位向量较多. 考向预测 （3）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或 填空题，难度中等以下； （4）常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出 现． 【知识清单】 知识点1．向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2．平面向量的线性运算 一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： a＋b＝b＋a ； 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 (2)结合律： (a＋b)+c＝a +(b＋c) 平行四边形法则求a与b的相反向量 减法 －b的和的运算叫做 a与b的差 三角形法则 二．向量的数乘运算及其几何意义 1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：   a  ＝a (＋)a＝ a＋ a (a＋b)＝a＋b ① ；② ；③ . 知识点3．共线向量 共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 知识点4．两个向量的夹角 1．定义 (cid:3) (cid:3) OA OB 已知两个非零向量a和b，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． 2．范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b. 知识点5．平面向量的数量积 1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ 是a与b的夹角． 规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. 2．a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 知识点6．数量积的运算律 1．交换律：a·b＝b·a. 2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 知识点7．向量数量积的性质 1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b a·b＝0. |a|= aa 3．a·a＝|a|2， . ab |a||b| 4．cos θ＝ .(θ为a与b的夹角) 5．|a·b|≤|a||b|. 【考点分类剖析】 考点一 向量的有关概念 【典例1】（2020·山东高三专题练习）给出下列四个命题：①若 ，则 ；②若A，B，C，D 是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若 , ， 则 ；④ 的充要条件是 且 .其中正确命题的序号是（ ） A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】A 【解析】 对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可 知正确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念 分析可知不正确. 【详解】 对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误； 对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于 且 ，即等价于四 边形ABCD为平行四边形，故②正确； 对于③，若 , ，则 ；显然正确，故③正确； 对于④，由 可以推出 且 ，但是由 且 可能推出 ，故“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件，故④不正确, 故选：A 【典例2】（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（ ）(cid:3) (cid:3) OA AO A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等 【答案】D 【解析】 (cid:3) (cid:3) OA AO A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故A正确； B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确； C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确； D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确. 【易错提醒】 1．有关平面向量概念的注意点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点． (5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定． 【变式探究】 1. （2020·福建福州市·文博中学高一期末）下列命题中正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 是平行四边形 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答案】D 【解析】 利用向量相等可判断AD选项的正误，取 、 、 、 四点共线可判断B选项的正误，取 可判断 C选项的正误. 【详解】 对于A选项，若 ，但 、 方向不相同时， ，A选项错误； 对于B选项，若 、 、 、 四点共线且 ，则 、 、 、 无法构成四边形，B选项错 误；对于C选项，取 ，虽然有 ， ，但 、 不一定平行，C选项错误； 对于D选项，若 ， ，则 ，D选项正确. 故选：D. 2. 设a为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a；②若a与a平行，则a＝| 0 0 0 a|a；③若a与a平行且|a|＝1，则a＝a，假命题的个数是( ) 0 0 0 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与 0 a平行，则a与a的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a，故②③也是假命题．综 0 0 0 上所述，假命题的个数是3. 【总结提升】 (1)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量． (2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． （4）几个重要结论 ①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 考点二 平面向量的线性运算 【典例3】（2020·海南高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】故选：C (cid:3) (cid:3) (cid:3) ABCD CE 4ED BE  【典例4】（2020·湖南衡阳·三模（文））在平行四边形 中，若 ，则 （ ） 3(cid:3) (cid:3) 4(cid:3) (cid:3) (cid:3) 4(cid:3) 4(cid:3) (cid:3)  AB AD ABAD AB AD  AB AD A． 4 B．5 C． 5 D． 5 【答案】D 【解析】 (cid:3) 4(cid:3) (cid:3) (cid:3) CE  CD ∵CE 4ED∴ 5 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 4(cid:3) 4(cid:3) (cid:3) BE  BCCE  BC CD  AB AD ∴ 5 5 . 故选： D. 【规律方法】 1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形 法则，求首尾相连向量的和用三角形法则． 2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 【变式探究】 1. （2018年新课标I卷理）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则⃑EB=（ ） 3 1 1 3 A． ⃑AB− ⃑AC B． ⃑AB− ⃑AC 4 4 4 4 3 1 1 3 C． ⃑AB+ ⃑AC D． ⃑AB+ ⃑AC 4 4 4 4 【答案】A 【解析】 根据向量的运算法则，可得1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 ⃑BE= ⃑BA+ ⃑BD= ⃑BA+ ⃑BC= ⃑BA+ (⃑BA+⃑AC) = ⃑BA+ ⃑BA+ ⃑AC= ⃑BA+ ⃑AC， 2 2 2 4 2 4 2 4 4 4 4 3 1 所以⃑EB= ⃑AB− ⃑AC，故选A. 4 4 ⃑ ⃑ ⃑ (cid:3) A B C O 16OA12OB3OC 0 2.（2019·广东高考模拟（理））已知 ， ， 三点不共线，且点 满足 ， 则（ ） ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ OA12AB3AC OA12AB3AC A． B． ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ OA12AB3AC OA12AB3AC C． D． 【答案】A 【解析】 ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ A B C O 16OA12OB3OC0 16OA12OB3OC 已知 ， ， 三点不共线，且点 满足 ，所以 = (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ (cid:3) 12OA12OB3OA 3OC OA 12（OAOB 3 OAOC OA 0 + = ） （ ）+ = ，所以 ⃑ ⃑ ⃑ OA12AB3AC , 故选：A 【总结提升】 平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 考点三 利用向量线性运算求参数 【典例5】（2020·西藏拉萨那曲第二高级中学高二期中（文））设 ， 是两个不共线的向量，若向量 (k∈R)与向量 共线，则（ ） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 【答案】D 【解析】 根据向量共线定理可得 ，再由 与 是不共线向量，可得 ，解方程组即可求解. 【详解】 由共线向量定理可知存在实数λ，使 ， 即 ， 又 与 是不共线向量， ∴ ，解得 故选：D (cid:3) (cid:3) BP 3CP 【典例6】（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形ABCD为正方形， ，AP与CD交于 (cid:3) (cid:3) (cid:3) PE  mPC nPD mn 点E，若 ，则 = . 1 【答案】3. 【解析】 由题作图如图所示，(cid:3) (cid:3) BP 3CP BP 3CP AB 3CE CD ∵ ，∴ ，∴ ， (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1(cid:3) (cid:3) 1 (cid:3) (cid:3)  2(cid:3) 1(cid:3) PE  PC CE  PC  CD  PC  PDPC  PC  PD ∴ 3 3 3 3 ， 2 1 1 mn    ∴ 3 3 3. 1 故答案为：3. 【总结提升】 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求． 【变式探究】 (cid:3) (cid:3) (cid:3) ABCD E DC AE ABAC 1.（2019·山东高考模拟（文））在正方形 中， 为 的中点，若 ，则  的值为（ ） 1 1  A． 2 B．2 C．1 D．1 【答案】B 【解析】 (cid:3) 1(cid:3) 1(cid:3) 1(cid:3) 1(cid:3) 1(cid:3) 1(cid:3) 1(cid:3) 1(cid:3) (cid:3) AE  AD AC  BC AC  AC AB AC  AB AC 由题得 2 2 2 2 2 2 2 2 ,1 1  ,1, 2 2. 故选：B ⃑⃑ ⃑ ⃑ ⃑ a,b (x y1)a(x y)b 0 x 2.（2020·全国高一课时练习）已知x,y是实数,向量 不共线,若 ,则 y  ________, ________. 1 1 【答案】 2 2 【解析】 (cid:3)(cid:3) a,b 因为向量 不共线， (cid:3)(cid:3) a,b 所以向量 均不为零向量， (cid:3)(cid:3)(cid:3) (x y1)a(x y)b0  1 x   2  x y10解得 1   y  x y 0  2 1 1 故答案为： ； 2 2 考点四 共线向量及其应用 【典例7】（2020·全国高一课时练习）设 ， 是平面内不共线的向量，已知 ， ， ，若A，B，D三点共线，则 ____. 【答案】 【解析】 求出 ，利用三点共线，得到 ，求出λ和k. 【详解】 由题意， ，又 ，且A、B、D三点共线， 由共线向量定理得，存在实数 使得 成立， 即 ， 则 ，解得 . 故答案为： . 【典例8】已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP＝xOA＋yOB，求x＋y的值． 【答案】 【解析】由于A，B，P三点共线，所以向量AB，AP在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数 λ使AP＝λAB，即OP－OA＝λ(OB－OA)，所以OP＝(1－λ)OA＋λOB，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1． 【规律方法】 1.平面向量共线定理的三个应用 2.求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待 定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共 线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内任一点，t∈R)． 【变式探究】 1.（2020·全国高二课时练习）若 ， 与 的方向相反，且 ，则 ＝________ . 【答案】【解析】 直接利用向量共线进行计算即可. 【详解】 ∵ ， 且 与 的方向相反， 所以 ＝ . 故答案为： . ⃑⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ a,b AB 2akb BC ab 2.（2020·上海高三专题练习）设 是不共线的两个向量,已知 ， ， ⃑ ⃑ ⃑ CDa2b 若A、B、D三点共线,求k的值. 【答案】k=－1 【解析】 ⃑ ⃑  ABBD 由A、B、C三点共线，存在实数 ，使得 ⃑ ⃑⃑ ⃑⃑⃑ BC ab,CDa2b ∵ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ BD BCCD2ab ∴ ⃑⃑ ⃑⃑   2akb  2ab 故 又a,b不共线  ∴ =1，k=－1 【总结提升】 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线 且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不 重合． 考点五 平面向量数量积的运算【典例9】（2020·海南高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，利 用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ， 结合向量数量积的定义式， 可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积， 所以 的取值范围是 ， 故选：A. 【典例10】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知OM=1.ON=2,∠MON=120∘, ⃑BM=2⃑MA,⃑CN=2⃑NA,则⃑BC·⃑OM的值为A．−15 B．−9 C．−6 D．0 【答案】C 【解析】 如图所示，连结MN， 由⃑BM=2⃑MA,⃑CN=2⃑NA 可知点M,N分别为线段AB,AC上靠近点A的三等分点， 则⃑BC=3⃑MN=3(⃑ON−⃑OM)， 由题意可知： ⃑OM2=12=1，⃑OM⋅⃑ON=1×2×cos120∘=−1， 结合数量积的运算法则可得： ⃑BC⋅⃑OM=3(⃑ON−⃑OM)⋅⃑OM=3⃑ON⋅⃑OM−3⃑OM2=−3−3=−6. 本题选择C选项. 【规律方法】 计算向量数量积的三种常用方法 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b 的夹角)． (2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转 化为基向量的数量积，进而求解． (3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 【变式探究】1．（2018·全国高考真题（理））已知向量a，b满足|a| =1，a⋅b=−1，则a⋅(2a−b)=（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【解析】 因为⃑a⋅(2⃑a−⃑b)=2⃑a2−⃑a⋅⃑b=2|⃑a|2−(−1)=2+1=3, 所以选B. ABCD AB2 M N 2.（2020届浙江省杭州市高三上期末（一模)）在平面凸四边形 中， ，点 ， 分别是 MN  3 M  N (cid:3)    A (cid:3) D    B  C (cid:3)   3 (cid:3) (cid:3) 边AD，BC的中点，且 2，若 2，则ABCD______. 【答案】2 【解析】 取BD的中点O，连接OM，ON， (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 (cid:3) (cid:3) MN MOON  (ABDC) 可得 2 ， (cid:3) 2 1(cid:3) 2 (cid:3) 2 (cid:3) (cid:3)  1 (cid:3) 2 (cid:3) (cid:3)  9 MN  AB DC 2ABDC  4DC 2ABDC  平方可得 4 4 4 ， (cid:3) (cid:3) 5 1(cid:3) 2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) 3 ABDC   DC MN (ADBC) 即有 2 2 ， 2， 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (ABDC)(ABBDBC) 即有21 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1(cid:3) 2 (cid:3) 2  1 (cid:3) 2  3  (ABDC)(ABCD) AB CD  4CD  2 2 2 2 ， (cid:3) 2 CD 1 解得 ， (cid:3) (cid:3) 1(cid:3) 2 5 1 5 ABCD  DC    2 所以 2 2 2 2 ， 故答案为：−2. 【总结提升】 ② 知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解； ②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 考点六 平面向量的夹角问题 (cid:3)(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) ab a b |a|5 |b |6 ab 6 【典例11】（2020·全国高考真题（理））已知向量 ， 满足 ， ， ，则 (cid:3)(cid:3) (cid:3) cos a,ab = （ ） 17 19 31 19   A． 35 B． 35 C．35 D．35 【答案】D 【解析】 (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)  a 5 b 6 (cid:3)(cid:3) a  ab   a 2 ab52 619 ， ，ab6， . (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)  2 2 2 ab  ab  a 2abb  252636 7 ， (cid:3)(cid:3)(cid:3)   (cid:3)(cid:3)(cid:3) a ab 19 19 cosa,ab (cid:3)(cid:3)(cid:3)   因此， a  ab 57 35 . 故选：D. (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:3) a,b ab c 2a 5b 【典例12】（2019·全国高考真题（理））已知 为单位向量，且 =0，若 ，则 (cid:3)(cid:3) cosa,c (cid:3)(cid:3) cosa,c  ___________. 2 【答案】3 . 【解析】 ⃑⃑ ⃑ ⃑ ⃑ c 2a 5b ab 0 因为 ， ， ⃑ ⃑⃑⃑⃑ ac 2a2  5ab 2 所以 ， ⃑⃑⃑ ⃑⃑ (cid:3) |c|24|a|2 4 5ab 5|b|29 |c|3 ，所以 ， ⃑⃑ ac 2 2   (cid:3)(cid:3) ⃑⃑ 所以cosa,c  a c 13 3 ． 【总结提升】 向量夹角问题的解答方法： (1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系； (2)若已知a＝(x，y)与b＝(x，y)，则cos〈a，b〉＝. 1 1 2 2 提醒：〈a，b〉∈[0，π]． 【变式探究】 1.（2020·陕西西安市·西安一中高三月考（文））若两个非零向量 满足 ，则向 量 与 的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 把已知等式两边平方，得到 、 的关系及 ，然后利用向量的数量积公式求出量 与 的 夹角． 【详解】 解： ，， ， ， ， 设 与 的夹角为 ， ． ， ， ． 故选：D． (cid:3) (cid:3) a b m,nR 2．（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）已知 ， 是不共线的两个向量，若对任意的 ， (cid:3)(cid:3) 1na (cid:3)(cid:3)  n b (cid:3)(cid:3) (cid:3) (cid:3) amb 的最小值为1， 2 的最小值为1，若ab4，则a，b所成角的余弦值为______. 3 【答案】 2 【解析】 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)  2 2 2 amb =b m8ma ,mR 因为 , 4  (cid:3)(cid:3)(cid:3) 2 16 2 m(cid:3) amb (cid:3) a 1, (cid:3)(cid:3)(cid:3) 所以当 b 2 时， min b 2 即a 2 b 2 =b 2 +16， (cid:3)  1na (cid:3)(cid:3)  (cid:3)n(cid:3)(cid:3) b  2 =   b 2 a 2 4  n2   a 2 2  na 2 ,nR 因为  ，  2   4   (cid:3) (cid:3) 2 2 所以当 n= b (cid:3) 2 a 2 (cid:3)  2 2 时，    1na (cid:3)(cid:3)  (cid:3)n 2 b    2 min n= b (cid:3) 2 a  (cid:3) 2 2 a 2 =1 ， a 4 a 4 4 4 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) 2 2 2 2 a b =b +4a 即 ， ⃑ ⃑ ⃑⃑ a =2 a2b2=b2+16  所以  a ⃑ 2 ⃑ b ⃑ 2 ⃑ =b2+4a2   b ⃑ = 4 ，  3 (cid:3)(cid:3) ab 3 cos= (cid:3)(cid:3)  所以 . a  b 2 3 故答案为： 2 考点七 平面向量的模的问题 【典例13】（2021·全国高考真题（文））若向量 满足 ，则 _________. 【答案】 【解析】 根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案 【详解】 ∵ ∴ ∴ . 故答案为： . 【典例14】（2019·浙江高考真题）已知正方形 ABCD 的边长为1，当每个  i (i 1,2,3,4,5,6) 取遍  时，(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) |ABBCCDDAACBD| 1 2 3 4 5 6 的最小值是________；最大值是_______. 2 5 【答案】0 【解析】 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) AB AD AC BD ADAB 正方形ABCD的边长为1，可得 ， ， (cid:3) (cid:3) AB AD • 0， ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑  AB BC CD DA AC BD    AB    AD 1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 5 6 ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑  AB BC CD DA AC BD 要使 1 2 3 4 5 6 的最小，只需要          0  1, 1, 1, 1, 1, 1 1 3 5 6 2 4 5 6 ，此时只需要取 1 2 3 4 5 6 ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑  AB BC CD DA AC BD 0 此时 1 2 3 4 5 6 min 2 2 ABBCCDDAACBD  AB  AD 1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 5 6 2   2 1 3 5 6 2 4 5 6  2  2             1 3 5 6 2 4 5 6  2  2  2   2  5 6 5 6 84         2  2 5 6 5 6 5 6 5 6 84     2 2  2 2 5 6 5 6 5 6 124 2 2 22 2 5 6 5 6 5 6 124 2  2 2 22 2 20 5 6 5 6  , ,   , ,  等号成立当且仅当 1 3 5 6均非负或者均非正，并且 2 4 5 6均非负或者均非正.  1, 1, 1, 1, 1, 1 比如 1 2 3 4 5 6⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑  AB BC CD DA AC BD  20 2 5 则 1 2 3 4 5 6 . max 【规律方法】 平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法 ①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝. ②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝ a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． (2)求向量模的最值(范围)的方法 ①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． ②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． （3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决． 【变式探究】 (cid:3)(cid:3) 2a (cid:3)(cid:3) b 2，ab4，0 a (cid:3) 1．（2020·浙江高三）已知 ，则 的取值范围是（ ） 1  ，1   A．[0，1] B．2  C．[1，2] D．[0，2] 【答案】D 【解析】 (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3) m 2 m2ab 设 ，则 ， (cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) b m2a，ab am2a24，0 ， (cid:3)(cid:3) 1 (cid:3)(cid:3) 1 (cid:3)(cid:3) 1 1 (cid:3) a m a2  a m m2   m2 ∴（ 4 ）2 2 • 16 2 16 (cid:3) m2 1 (cid:3) (cid:3)  |m|2m2＝4，所以可得： 8 2 ， 1 1 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) 1 1 9  m2 2(a m)2 4 m2  配方可得2 8 4 8 2， (cid:3)(cid:3) 1 1 3 a m  ，   所以 4 2 2，(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)1(cid:3) 1 1 ||a|| m|| a m ||a|| m|| 又 4 4 4 (cid:3) a  则 [0，2]． 故选：D． 2．（2020·全国高二课时练习）已知 ，则 ____________． 【答案】 【解析】 根据 和向量数量积运算可得答案． 【详解】 解： ， 所以 ． 故答案为： ． 考点八 平面向量垂直的条件 (cid:3) (cid:3) (cid:3) a b b 【典例15】（2020·全国高考真题（文））已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂 直的是（ ） (cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:3) a2b 2ab a2b 2ab A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) 1 1 由已知可得：ab a  b cos60 11  . 2 2 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) 2 1 5 A：因为(a2b)bab2b  21 0，所以本选项不符合题意； 2 2 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) 2 1 B：因为(2ab)b2abb 2 120，所以本选项不符合题意； 2 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) 2 1 3 C：因为(a2b)bab2b  21 0，所以本选项不符合题意； 2 2(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) 2 1 D：因为(2ab)b2abb 2 10，所以本选项符合题意. 2 故选：D. 【典例16】（2020·全国高考真题（理））已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则 k=__________. 【答案】 【解析】 首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值. 【详解】 由题意可得： ， 由向量垂直的充分必要条件可得： ， 即： ，解得： . 故答案为： ． 【总结提升】 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【变式探究】 1．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知非零向量 、 满足 ， ，若，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由已知条件可得出 ，由已知条件可得出 ，利用平面向量数量积的运算性质可求得 实数 的值. 【详解】 因为 ，则 ，所以， ， 因为 ，则 ，解得 . 故选：A. 2．（2020·全国高二课时练习）已知 ， 则λ ＝________． 【答案】－ 【解析】 由向量垂直的数量积表示和向量数量积的定义计算可得答案． 【详解】 解：由 ，得 ，所以 ， 所以 ， 即4λ＋6＝0，所以λ＝－ ．故答案为：－ ．