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专题 6.2 数量积及最值（范围）问题
题型一 求数量积
题型二 求两个向量的夹角
题型三 求投影向量
题型四 垂直关系的判断及应用
题型五 向量的模
题型六 数量积的最值、范围问题（基底法）
题型七 数量积的最值、范围问题（坐标法）
题型八 数量积的最值、范围问题（数形结合法）
题型一 求数量积
例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量 ， ，
（ ），则 （ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出向量 的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.
【详解】由题意向量 ， ， 可得 ，
故 ，
故选：B
例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量 ， 满足 ，
则 _______．
【答案】 /
【分析】根据向量的运算法则和数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】因为 ，所以
．
故答案为： .练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量 ， 则
______ ．
【答案】
【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得.
【详解】因为 ， ，所以 ．
故答案为： ．
练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形 中． ， ．若点 ， 满足
， ，则 （ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量数量积公式求出答案.
【详解】 四边形 为矩形，建立如图所示，平面直角坐标系，
， ， ，
， ，
．
故选：C．
练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知 是 的外心， ，
，则 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】A
【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案.
【详解】如图，O为 的外心，设 为 的中点，
则 ,
故
,
故选：A
练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形 中，
，则 __________.
【答案】
【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.
【详解】设 与 交于 ，则 且 是线段 的中点，
，由平面向量数量积的几何意义知，
.
故答案为：
练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在 中， ， ， ，
，求 _________.
【答案】 /0.75【分析】根据已知条件得出 , ,化简 应用数量积公式计
算求解即得.
【详解】 ， ， ，
,
,
.
故答案为：
题型二 求两个向量的夹角
例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量
且
(1)求向量 与向量 的坐标；
(2)若向量 ，求向量 与向量 的夹角
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行和垂直的性质，求解 ， 可求解；
（2）根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．
【详解】（1） ，
，解得 ，
，
，解得 ，
， ；（2）由（1）可得， , , , ， , , , ，
设向量 ， 的夹角为 ，则 ，
, ， ，
故向量 ， 的夹角为 ．
例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知 ， 是单位向量，且
，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，得 ，从而可求得 ，再根据
即可得解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，所以 ，
则 ，
，
则 ，
又 ，所以 ，
即向量 与 的夹角为 .
故选：D.练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量 ，
， .
(1)若 与 垂直， 求实数 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定 ，再根据向量垂直解得答案.
（2）直接根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1） ，且 与 垂直，
故 ，解得 .
（2） .
练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量 ，则 与
夹角的大小为_____________．
【答案】
【分析】根据题意可得 ，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，
即 ，得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 与 的夹角为 .
故答案为： .
练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知 ， ，
与 的夹角为 ，求使向量 与 的夹角是锐角，则 的取值范围
___________ .【答案】
【分析】 两向量夹角为锐角，则其数量积大于零，且这两个向量不共线，由此计算即可.
【详解】∵向量 与 的夹角是锐角，
∴ 且向量 与向量 不共线，
由 得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 或 ，
若向量 与向量 共线，则 ， 无解，
∴向量 与向量 不共线，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为： .
练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量 ， 满足 ，则 ，
夹角的余弦值为__________.
【答案】 /
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，结合数量积运算律求出 ，即可求
出夹角的余弦值.
【详解】单位向量 ， 满足 ，则 ，
因此 ，所以 ， 夹角的余弦值为 .
故答案为：
练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，且 ， 与 的夹角为 ，求x，y的值.
【答案】(1)
(2) ， 或 ，
【分析】（1）根据向量夹角得坐标表示计算即可；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.
【详解】（1）由 ， ，得 ， ， ，
则 ，
又 ，所以 ；
（2）因为 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又 ，
即 ，
由 ，解得 或 ，
∴ ， 或 ， .
题型三 求投影向量
例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知 ，则向
量 在向量 上的投影向量为___________.
【答案】 /
【分析】设 之间的夹角为 ，利用题意得到 ， ，然后用投影向量
公式进行求解即可
【详解】设 之间的夹角为 ，
，又 ，又 ，
所以向量 在向量 方向上的投影向量为 .故答案为： .
例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量 ，
，则 在 上的投影向量的模为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】求出 在 上的投影向量的坐标，从而求出投影向量的模．
【详解】∵ ， ，∴ ， ，
∴ 在 上的投影向量为 ，
则 在 上的投影向量的模为 ．
故选：C．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 在
上的投影向量 ______.
【答案】
【分析】根据 在 上的投影向量 即可求解.
【详解】设 与 的夹角为 ， 在 上的投影向量
.
故答案为： .
练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量 ， 满足 ，
，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量
在向量 上的投影向量.【详解】设向量 与 的夹角为 ，
则 ，
则 在 上的投影向量为 ．
故选：B．
练习13．（2023·云南保山·统考二模）已知向量 ， 满足 ，则 在 方向上的
投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量定义可得答案.
【详解】由己知条件得： ，
又 在 方向上的投影向量为 .
故选：D.
练习14．（2023春·全国·高三专题练习）已知 ，若 与 的夹角为120°，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求 在 上的投影向量.
【详解】 在 上的投影向量为 ，
，
所以， 在 上的投影向量为 .
故选：B
练习15．（2023·湖南·校联考模拟预测）在 中，已知 ，向量 在向量 上
的投影向量为 ，点 是 边上靠近 的三等分点，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C
【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到 ，然后利用向量的运算将
用 表示，然后用向量的数量积进行运算.
【详解】
根据投影向量的计算公式，向量 在向量 上的投影向量为 ，
由题意， ，于是 ，即 .
又 ，
∴ ．
故选：C
题型四 垂直关系的判断及应用
例7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，且 ，
则 _____．
【答案】 /0.5
【分析】根据 求出 ，再根据夹角公式可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
例8．（2023·全国·高三专题练习）非零向量 ， ，若 ，
则 ______.
【答案】 /-0.5
【分析】由 得 ，从而求得 的值.【详解】因为 ，所以
，
由题易知 ， ，
所以 .
故答案为：
练习16．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）平面向量 ，若
，且 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得m，然后结合 可得.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
解得 或 ，
又∵ ，∴ .
故选：D.
练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，其中 ， 为单位向量，且
，若 ______，则 .
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据向量垂直时数量积的表示方法，运用坐标运算求解.
【详解】因为 是相互垂直的单位向量，不妨设
，即 ，
，即 ，即向量 的端点在圆心为 ，
半径为 的圆周上，故可以取 ，即 ；
故答案为：1.
练习18．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点 ，点 ，点 在坐
标轴上，且 为直角，这样的点 有______个．
【答案】4
【分析】分情况讨论，设出轴上 点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确
定解得个数即可.
【详解】若P在x轴上，可设 ，
则 ，
由 为直角可得 ，
即 ， ，故有两解；
当P在y轴上，可设 ，
则 ，
由 为直角可得 ，
即 ， ，故两解.
综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，
故答案为：4
练习19．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在
中，若非零向量 与 满足 ， ，则 为
（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量减法及数量积的运算律，结合 导出
，再判断三角形形状作答.
【详解】由 ，得 ，
于是 ，则 ，
所以 是等腰直角三角形，B正确，ACD错误.
故选：B练习20．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量 ，
．
(1)求 ；
(2)已知 ，且 ，求向量 与向量 的夹角．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.
（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.
【详解】（1）向量 ， ，则 ，
所以 .
（2）由 ， ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，于是 ，
而 ，则有 ，
所以向量 与向量 的夹角 .
题型五 向量的模
例9．（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量 ，
满足 ，则 __________．
【答案】 /
【分析】将 两边平方，根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为 ， 为单位向量且满足 ，
所以 ，即 ，
即 ，解得 .
故答案为：
例10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】根据模长的坐标运算可得 ，分析可得 同向，进而可求结果.
【详解】因为 ，即 ，
则 同向，所以 .
故选：D.
练习21．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量 满足
，则 夹角的余弦值为________．
【答案】 /
【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出 的表达式，再利用向量夹角公式计
算作答.
【详解】由 ， ，得 ，则 ，
因此 ，
所以 夹角的余弦值为 .
故答案为：
练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知向量 ，若
，则 __________.
【答案】
【分析】由 得 ，根据向量数量积的坐标运算求得 的值，进而求
得 .
【详解】根据题意，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
此时 ，则 .
故答案为: .
练习23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量 ， 与 共线，则
=（ ）
A．6 B．20 C． D．5
【答案】C
【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.
【详解】由题意知，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 是非零向量，λ、 ，则“
”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据 得 ，两边平方化简即可得即
或 ，由此即可判断．
【详解】若 ，则 ，
两边平方可得 ，
即 ，即 ，
即 或 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
练习25．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，__________； 在 上的投影向量的坐标为__________．
【答案】 / ； .
【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求 ，根据向量的模与数量积的关系由条件
求 ，再由投影向量的定义求 在 上的投影向量的坐标.
【详解】因为 ，所以 ，
由 可得 ，
所以 ，即
所以 ，
所以 在 上的投影向量为 ．
故 在 上的投影向量的坐标为 .
故答案为： ； .
题型六 数量积的最值、范围问题（基底法）
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中， ， ， ，
为 的中点，在平面 中，将线段 绕点 旋转得到线段 ．设 为线段
上的点，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意， ， ，利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】连接MD，则 ， ，所以 ，
由于 为等腰直角三角形， 为线段 上的点，
所以
因此 ，
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为： .
例12．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）在 中， ，
， ， 为 的三等分点（靠近 点）．
(1)求 的值；
(2)若点 满足 ，求 的最小值，并求此时的 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 化为 和 表示，利用 和 的长度和夹角计算可得结果；
（2）用 、 表示 ，求出 关于 的函数解析式，根据二次函数知识可求
出结果.
【详解】（1）因为 为 的三等分点（靠近 点），所以 ，
所以 ，所以
.
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，
所以
，
所以当 时， 取得最小值 .
练习26．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形 的面积
为 ， ， 为线段 的中点．若 为线段 上的一点，且
，则 __________， 的最小值为___________.
【答案】
【分析】由平行四边形 的面积为 ，可得 ，由已知得
，然后根据 三点共线即可得 ，从而得出
，得 ，然后利用基本不等式即可求出
的最小值.
【详解】因为平行四边形 的面积为 ，
所以 ，得 ，如图，连接 ，则 ,
所以 ，
因为 三点共线，所以 ，得 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： ， .
练习27．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆 为 的外接圆， ， ，
为边 的中点，则 ______.
【答案】
【分析】由三角形中线性质可知 ，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线
交点可知 ，同理可得 ，再由数量积运算即
可得解.
【详解】 是BC中点，
，
M为 的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，同理可得 ，
.
故答案为： .
练习28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD
中，M为AB的中点，且 ， ．若点N在线段CD（端点除外）上
运动，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，求出 的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.
【详解】连接 ，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，
因为 ，即 是正三角形，于是 ，而M为AB的中点，
且 ，
所以 .
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借
助向量数量积的计算公式求解是关键.
练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知直角梯形
是 边上的一点，则 的取值范围
为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：设 （ ），把 与 表示为 与 的线性关系，把
表示成关于 的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，
进而求出 的范围
【详解】法一：因为 在 上，不妨设 ，
则 （其中 ）
所以
，
因为 ，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标
系.则 ， ， ， ，其中∠ABC=45°，设点 ，
其中 ， ，
∴
∵
∴
故选：D.
练习30．（2023·全国·高一专题练习）在直角三角形 中， 在线段 上，
，则 的最小值为___________.【答案】 /
【分析】由题可知， ， ，设 ，则
，将模长和数量积代入由
二次函数的性质求出最小值.
【详解】由题可知， ， ，设 ，
则 则 所以
，
当 时， 的最小值为 .
故答案为： .
题型七 数量积的最值、范围问题（坐标法）
例13．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知 中， ，
， ，点 为边 上的动点，则 的最小值为_________.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】
过 作 ，垂足为 ，以 为原点，直线 ， 分别为 轴， 轴，建立平面
直角坐标系，如图，
在 中， ， ，
∴ ， ， ，
由题意，设 ， ，则 ， ，∴ ，
∴当 时， 的最小值为 .
故答案为： .
例14．（2023·天津滨海新·统考三模）在平面四边形 中， ， ，向量
在向量 上的投影向量为 ，则 ________；若 ，点 为线段
上的动点，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】作出向量 在向量 上的投影向量，在直角三角形中求出 ；以点 为坐
标原点， 为 轴建立直角坐标系，利用坐标法求出 的最小值.
【详解】过点 作 垂直 于点 ，则向量 为向量 在向量 上的投影向量，
由题意知点 为线段 的中点，所以 ，
所以 ，又 为锐角，故 .
以点 为坐标原点， 为 轴建系如图，则 ， ， .
因为 ，所以 .
因为点 为线段 上的动点，所以设 ， 故点 .
， .
当 时， 取到最小值 .
故答案为： ； .
练习31．（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形 中．
，点P是腰 上的动点，则 的最小值
为____________．【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，设 ，求得相关点坐标，求出 的表达式，
结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形 中． ，
则 ，则以A为原点， 为 轴建立平面直角坐标系，
设 ，设 ，则 ，
故 ，
所以 ，故 ，
当且仅当 即 时取得等号，
即 的最小值为4，
故答案为：4
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，
， ，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】构建直角坐标系，令 ， ，根据向量线性关系的坐标表示
列方程组得 ，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.
【详解】构建如下直角坐标系： ，令 ， ，由 可得： ，
则 且 ，
所以当 时， 的最大值为 .
故选：C
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形 中， ，且
，点P在线段 上运动，若 ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，设 ，可得 ，进而可得
，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则 ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
即 的最小值为 .
故选：B.
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形 中， ，
是线段 上的动点，则 的最小值为__________.【答案】6
【分析】以 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设 a），写出各点
坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.
【详解】如图，以 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设 a），
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 的最小值为6.
故答案为：6
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形 的边长为
4，P为正六边形所在平面内一点，则 的最小值为____________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得 的坐标，根据数量积的
坐标表示求得 的表达式，配方后即可求得答案.
【详解】如图，以正六边形 的中心为坐标原点，以 为x轴，过点O作 的垂
线为y轴，建立平面直角坐标系，
则 ,设点 ，
则 ,故
，
故当 ，即P点坐标为 时，
取到最小值为 ，
故答案为：
【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得
的表达式即可求解最值.
八、未命
题型八 数量积的最值、范围问题（数形结合法）
例15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知平面向量 ， ， 满足
， ， ，且 ，则 的最大值为________．
【答案】 /
【分析】设 ，由题意分析知，所求为 的最大值，设
， 的中点 ，由 可得 ，即
点的轨迹方程为以 为圆心，半径为 的圆，求解即可.
【详解】设 ，因为 ，
所以 ，所求为 的最大值，当 在同一平面时，
有最大值，如图建系，
不妨设 ， 的中点 ，由条件可知， ， ， ，
由 可知， ，
消参可得： ，即 点的轨迹方程为以 为圆心，半径为 的圆，
所以 的最大值为 ，故 的最大值为 .
故答案为： .
例16．（2023·上海·高三专题练习）设x、 ，若向量 ， ， 满足 ，
， ，且向量 与 互相平行，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得 ，在坐标系中 ，
，将 按向量 平移至 ，根据 轨迹为直线 ，将问题
化为 最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由 ，又向量 与 互相平行，
所以 ，故 ，
令 ， ，则 ，
所以 ，将 按向量 平移至 ，
所以 是直线 上的动点，如下图示，
所以 ，故 ，
由图知：要使 最小，只需 三点共线且 到直线 距离最短，
故 最小值为原点到直线 的距离，最小值为 ，此时
题设中的x=2，y=1.故答案为：
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，
， ，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】构建直角坐标系，令 ， ，根据向量线性关系的坐标表示
列方程组得 ，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.
【详解】构建如下直角坐标系： ，令 ， ，
由 可得： ，
则 且 ，
所以当 时， 的最大值为 .
故选：C
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形 中， ，且
，点P在线段 上运动，若 ，则 的最
小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，设 ，可得 ，进而可得
，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则 ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
即 的最小值为 .
故选：B.
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形 中， ，
是线段 上的动点，则 的最小值为__________.
【答案】6
【分析】以 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设 a），写出各点
坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.
【详解】如图，以 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设 a），
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 的最小值为6.
故答案为：6
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形 的边长为
4，P为正六边形所在平面内一点，则 的最小值为____________．【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得 的坐标，根据数量积的
坐标表示求得 的表达式，配方后即可求得答案.
【详解】如图，以正六边形 的中心为坐标原点，以 为x轴，过点O作 的垂
线为y轴，建立平面直角坐标系，
则 ,设点 ，
则 ,
故
，
故当 ，即P点坐标为 时，
取到最小值为 ，
故答案为：
【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得
的表达式即可求解最值.
八、未命名题型
练习36．（2022秋·湖北荆门·高二荆门市龙泉中学校考阶段练习）已知平面向量 ， 是
单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，得到 的几何意义为以原点为起点的情况下， 的终点到 的终点的距离为1，由此可求解 的取值范围.
【详解】如图所示，由 ，可得 ，
根据向量减法及模的几何意义，则再以原点为起点的情况下， 的终点到 的终点的距
离为1，
所以 的取值范围是 .
故选：B.
练习37．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知 是平面向量，其中
是单位向量．若非零向量 与 的夹角是 ，向量 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先确定向量 、 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆
的位置关系求最小值.
【详解】以向量 的起点为原点，以 为 的正方向，建立平面直角坐标系，则 ，
设 ，
则由 得 ，
所以
由 得 ，
所以点 在直线 上，点 在圆 ，
又 ，
所以 等于点 到点 的距离，圆 的圆心到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆 相离，
因此 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，即
故选：A.
练习38．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知平面向量 ， ， ， ，满足
， ， ，若 ，则 的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据已知得到 与 终点的轨迹，设出 利用圆的相关知识即可求得 的范
围.
【详解】由已知 ， ， ，设
不妨设 ， ，
可得
又因为 ，故
所以 ，即
所以 ，易知， 终点在以 为圆心， 为半径的圆上.
终点在以 为圆心， 为半径的圆上.
的取值范围为 与 终点距离的取值范围
故
故答案为：
练习39．（2023春·北京·高三北京市第一六六中学校考阶段练习）已知向量 满足
，则 的最大值是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把 平移到共起点以 的起点为原点， 所在的直线为 轴， 的方向为 轴的
正方向，求出 的坐标，则根据 得 的终点得轨迹，根据 的意义求解
最大值.
【详解】把 平移到共起点，以 的起点为原点， 所在的直线为 轴， 的方向为 轴
的正方向，见下图，设 ，则
又 则点 的轨迹为以 为直径的圆，又因为
所以 故以 为直径的圆为 ，所
以 的最大值就是以 为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为
故选：C
练习40．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ，且
，则 的最大值是_______； 最小值是________．
【答案】 /0.5 1
【分析】利用向量的坐标形式，代入化简等式，可得到向量 、 终点轨迹，即可得到最
值
【详解】设 ，
由 得： ，而 ，所以 ，
故向量 ：以原点为始点，终点是圆心为 ，半径为 的圆 上的点，
当 时， ；
设 ，代入 整理得， ，
故 为以原点为始点，终点在射线 上的点，
故 为始点在圆 上，终点在 上的向量，
则 .
故答案为： ；1．
