专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 6.2 平面向量的基本定理及坐标表示 练基础 1．（2021·全国高一课时练习）已知向量 ， ， ， ，则 的 值为（ ） A． B． C．2 D．10 【答案】C 【解析】 先求出 的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】 因 ， ，则 ，而 ， ， 于是得 ，即 ，解得 ， 所以 的值为2. 故选：C 2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知 ，记 与 夹角为 ，则 的 值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可. 【详解】 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ． 故选: . 3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形 的边长为2， 是 的中点， 是线段 上的点， 则 的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可. 【详解】 如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意知， ， ， ， 由 是线段 上的点，设 ，且 ， 因此 ， ，故 ， 因 ，所以当 时， 取最小值 . 故选：B. 4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且 ，记 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 取 ， 作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出 . 【详解】 取 ， 作为基底，则 . 因为 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 5.（2021·全国高一专题练习）已知 三点共线，O为直线外任意一点，若 ，则________. 【答案】1 【解析】 由共线可设 ，进而得 ，化简对应的 即可得解. 【详解】 ∵ 三点共线， ∴存在非零实数 ，使得 ， ∴ ∴ ∵ ， ∴ . 故答案为：1 xoy ABCD AB//DC AD//BC 6．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系 中，四边形 的边 ， ，已知点 A2，0 B6，8 C8,6 ， ， 则D点的坐标为___________. 0,2 【答案】 【解析】 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ABCD OBODOAOC 平行四边形 中， ， (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ODOAOCOB 2,08,66,80,2 ∴ ， 0,2 0,2 即D点坐标为 ，故答案为 .7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量 ，向量 . （1）求向量 的坐标； （2）当 为何值时，向量 与向量 垂直. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出 ； （2）可求出 ，然后根据 与 垂直即可得出 ，解出 即可． 【详解】 （1）∵ ， ， ∴ . （2）∵ ，且 与 垂直， ∴ ，解得 . 8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知 ， （1）若 ，求 的坐标； （2）若 与 的夹角为120°，求 . 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】 （1）先求与向量 共线的单位向量，结合 ，即可得出 的坐标；（2）先根据夹角求出 ，根据模的运算律 ，即可得到 . 【详解】 解：（1） ， 与 共线的单位向量为 . ， ， 或 . （2） ， ， ， ， ， . 9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点， ，记 ， .试用向量 ， 表示 . 【答案】 【解析】 根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解. 【详解】因为 ， ， 所以 . 即 10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量 ，若 ， （1）求向量 与 的夹角； （2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1）根据 得到 ，再求出 ， ， ，即得解；（2）直接利用向量 的模的坐标公式求解. 【详解】 （1） ， ， ， ，解得 ， ， ， ， ，所以向量 与 的夹角为 . （2） ， ． 练提升 TIDHNE 1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和 ， ，定义： ，若平面向量 满足 ， 与 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则 的值可能为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】CD 【解析】 由已知得集合 的元素特征，再分析 和 的范围，再由定义计算后，可得答案. 【详解】 首先观察集合 ，从而分析 和 的范围如下： 因为 ，∴ ，而 ，且 ， 可得 ，又∵ 中，∴ ，从而 ， ∴ ，又 ，所以 ．且 也在集 合 中， 故有 或 ． 故选：CD. 2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段 的延长线与 的延长线交于圆O外的一点D，若 ，则 的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 如图所示，由 ， ， 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数 满足 ， ， ， ，即 ，与 两比较，即 可得出． 【详解】 解：如图所示， ， ， 三点共线，存在实数 满足 ， 又 ， ， ， 即 ，与 两比较， 可得 ， ， 则 ． 的取值范围是 ． 故答案为： ． 3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知 (1，1)， (0，1)， (1，0)， 为线段 上一点， 且 ，若 ，则实数 的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 根据 可得 ，再表示出 坐标，由条件可得 ，再将 代入可得关于 的不等式，从而可得答案. 【详解】 解析：设点 ，由 ，得 ，所以 . 因为 ，所以 ，即 ，化简得 将 代入 ，得 ，即 ， 解得 . 因为 为线段 上一点，且 ，所以 .综上，可知 . 故实数 的取值范围是 . 4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量⃑OA,⃑OB,⃑OC的模分别为1,1,√2,⃑OA与⃑OC的夹角为α，且 tanα=7,⃑OB与⃑OC的夹角为45∘，若⃑OC=m⃑OA+n⃑OB(m,n∈R)，则m+n=_________． 【答案】3 【解析】 以OA为x轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，由⃑OC的模为√2与⃑OA与⃑OC的夹角为α，且tanα=7知， √2 √2 ，可得 (1 7) ， ( 3 4)，由 cosα= ,sinα= C , , B(cos(α+45∘),sin(α+45∘)) ∴B − , 10 10 5 5 5 5 可得(1 7) ( 3 4 ) 5 7， ，故答案为 . ⃑OC=m⃑OA+n⃑OB , = m− n, n ,¿ m= ,n= ∴m+n=3 3 5 5 5 5 4 4 5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系 中，已知向量 ， ， ．若 ，则 ______；若存在两个不同的 值，使得 恒成 立，则实数 的取值范围为______．【答案】 ． 【解析】 根据向量平行的坐标表示可求 ；用坐标表示出 ，结合三角函数的图象可得实数 的取 值范围. 【详解】 由向量共线得 ，则 ， 又 ，则 ； 计算得 ， 则 ， 又存在两个不同的 值，使得 恒成立， 则 在 上有两个不同的解， 令 ，由 ，得 ， 作出简图如下，所以有 ．故答案为： ； ． 6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形 ， ， ， ， 且 ，（i） ___________；（ii）若 ，动点 在线段 上，则 的 最大值为___________. 【答案】 【解析】 利用向量的数量积可得 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，可得 ，进而可得 ，求出 ；以 为坐标原点， 为 建立平面直角坐标系，首先求出点 坐标，设 ，利用向量共线求出 ，再由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 由 ，则 , 因为 ，所以 ， 过点 作 的垂线，垂足为 ，可得 ，因为 ，所以 ， 由 ，所以 . 以 为坐标原点， 为 建立平面直角坐标系，如图： 则 ， ，设 由 ，即 ， 解得 ，即 ， 设 ， ， ， 则 ， ， 因为 三点共线， 所以 ，即 ， ， ，所以 ， 当 时， 取得最大值为 . 故答案为： ； 7．（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设 ，且 . （1）求 ； （2）求满足 的实数m，n； （3）求M，N的坐标及向量 的坐标. 【答案】（1）(6，-42)；（2） ；（3）M(0，20)，N(9，2)， . 【解析】 （1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解. （2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解. （3）利用向量减法的坐标运算即可求解. 【详解】 由已知得 =(5，-5)， =(-6，-3)， =(1，8). （1） =3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8) =(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42). （2）∵ =(-6m+n，-3m+8n)，∴ ，解得 . （3）设O为坐标原点，∵ ， ∴ =(3，24)+(-3，-4)=(0，20). ∴M(0，20). 又∵ ， ∴ =(12，6)+(-3，-4)=(9，2)， ∴N(9，2)，∴ =(9，-18). 8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC的面积为S满足 ，且 · ＝3， 与 的 夹角为θ.求 与 夹角的取值范围． 【答案】 . 【解析】 可设 与 夹角为 ，则据题意得出 为锐角，且 ，从而根据 的面积 可得出 ，这样根据正切函数在 的单调性即可求出 的范围． 【详解】 解： ， 的夹角为锐角，设 的夹角为 ，则： ， ，又 ； ， ， ， ， ， 与 夹角的取值范围为 ． 9．（2021·全国高一专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且 （1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线； （2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 （1）由 原式可代换为 ，再由 ，两式联立变形即可 求证； （2）由A，P，B三点共线，可得 ，变形得 ，整理成 关于 的表达式，再结合 ，由对应关系即可求证 【详解】 （1）证明： 若m+n=1，则 ， ，故 ，即 ， ，即 共线，又 有公共点，则A，P，B三点共线； （2）证明： 若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得 ，变形得 ，即 ， ，又 ， ，故 10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1 （1）求 的值； （2）如图所示，在直角坐标系中，点A与原点重合，边AB在x轴上，设动点P在以A为圆心，AB为半径 的劣弧BC上运动.求 的最小值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由 ， ，利用坐标公式求得数量积即可. （2）设点 坐标为 ，求得 ，利用三角函数的最值求得数量积的最值. 【详解】 解：（1） ， ， . （2）点 在以 为圆心， 为半径的劣弧 上运动， 设点 坐标为 ， 又 ， ， ， 又 ，则 ， 故当 时， 有最小值 . 练真题 TIDHNE ⃑ ⃑ (cid:2) (cid:2) (cid:2) AB AC |BC| ABBC 1.（2019·全国高考真题（理））已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =（ ） A．-3 B．-2C．2 D．3 【答案】C 【解析】 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) BC  12 (t3)2 1 由BC  ACAB(1,t3)， ，得t 3，则BC (1,0)， uuur uuur ABBC (2,3)(1,0)21302 ．故选C． 2.（2021·全国高考真题（理））已知向量 ．若 ，则 ________． 【答案】 . 【解析】 利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值 【详解】 , ，解得 , 故答案为： . 3．（2021·全国高考真题（理））已知向量 ，若 ，则 __________． 【答案】 【解析】 根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】 因为 ，所以由 可得，，解得 ． 故答案为： ． 4.（2021·全国高考真题（文））已知向量 ，若 ，则 _________． 【答案】 【解析】 利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值. 【详解】 由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ， 解方程可得： . 故答案为： . 5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若a⊥(ma−b)， 则m=_________. 【答案】-1. 【解析】 ∵⃑a=(1,0),⃑b=(−1,m)， ∴m⃑a−⃑b=(m,0)−(−1,m)=(m+1,−m)， 由⃑a⊥(m⃑a−⃑b)得：⃑a⋅(m⃑a−⃑b)=0， ∴⃑a⋅(m⃑a−⃑b)=m+1=0， 即m=−1. 6．（2020·北京高考真题）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 _________； _________．【答案】 【解析】 以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点 、 、 、 ， ， 则点 ， ， ， 因此， ， . 故答案为： ； .