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第2课时 勾股定理的验证及简单应用
勾股定理的验证
1.(数学文化)我国古代数学家赵爽用数形结合的方法,给出了勾股定理的证明。如图,从图1变换
到图2,可以用下列式子来表示的是( )
图1 图2
1 1
A.a2+b2+4× ab=c2+4× ab
2 2
1
B.4× ab+(b-a)2=c2
2
1 1 1
C. (a+b)2=2× ab+ c2
2 2 2
1 1 1
D. (a+b)2=2× ab+ c2
2 2 2
2.(2025深圳盐田区期中)用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一
摆,可以摆成如图2所示的正方形。下面我们利用这个图形验证勾股定理。
图1 图2
(1)图2中大正方形的边长为 ,里面小正方形的边长为 ;
(2)大正方形面积可以表示为 ,也可以表示为 ;
(3)对比这两种表示方法,可得出 ,整理得 。
勾股定理的简单应用3.如图,有两棵树,一棵高8 m,另一棵高2 m,两树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
的树梢,则它至少要飞行的距离为 ( )
A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m
4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:mm),计算两圆
孔中心A和B的距离为 mm。
5.如图,将长为13 m的梯子AC斜靠在墙上,BC长为5 m,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
1.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理。若设图 1中空白部分的面积为S ,
1
图2中空白部分的面积为S ,则下列等式成立的是 ( )
2
图1 图2
A.S =c2
2
1
B.S =c2+ ab
2
2
C.S =a2+b2+ab
1
D.S =a2+b2+2ab
12.(2024南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是
由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长
分别为m,n(m>n)。若小正方形面积为5,(m+n)2=21,则大正方形面积为( )
A.12 B.13 C.14 D.15
3.(跨学科)如图,∠AOB=90°,OA=25 m,OB=5 m,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着
AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小
球。如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是( )
A.12 m B.13 m C.14 m D.15 m
4.如图,有一个绳索拉直的木马秋千,绳索AB的长度为5 m,若将它沿水平方向向前推进 3 m(即
DE=3 m),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高度为 ( )
A.1 m B.1.5 m C.2 m D.4 m
5.图1中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图2,其
中 AB=AB',AB⊥B'C 于点 C,BC=0.5 尺,B'C=2 尺。设 AC 的长度为 x 尺,可列方程为
。
图1 图2
6.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜
地发现,当四个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来验证a2+b2=c2。请你写出验证过程。
7.(应用意识)八(1)班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品。陈莉同
学在制作手工作品的第一、二个步骤:
①先裁下了一张长BC=20 cm,宽AB=16 cm的长方形纸片ABCD;
②如图,将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的F处。
请你根据①②步骤计算EC,FC的长。【详解答案】
基础达标
1.B
2.(1)a+b c
1
(2)(a+b)2 ab×4+c2
2
1
(3)(a+b)2= ab×4+c2 c2=a2+b2
2
3.C 4.100
5.解:由题意,得AB2=AC2-BC2=132-52=169-25=144。所以AB=12 m。
所以梯子上端A到墙的底端B的距离AB为12 m。
能力提升
1
1.C 解析:由题图可得,S=S,S=a2+b2+ab,S=c2+ ×ab×2=c2+ab。故选C。
1 2 1 2
2
2.B 解析:由题意可知,中间小正方形的边长为 m-n,所以(m-n)2=5,即m2+n2-2mn=5①。因为(m+n)2=21,所以
m2+n2+2mn=21②。①+②,得2(m2+n2)=26,所以大正方形的面积为m2+n2=13。故选B。
3.B 解析:设AC=x m,则OC=(25-x)m。依题意知BC=AC=x m,在Rt△OBC中,OC2+OB2=BC2,即(25-x)2+52=x2。
解得x=13。所以BC=13 m。故选B。
4.A 解析:如图,过点C作CF⊥AB于点F。
所以∠AFC=90°,CF=DE=3 m。因为 AB=AC=5 m,所以 AF2=AC2-CF2=52-32=25-9=16。所以 AF=4 m。所以
BF=AB-AF=5-4=1(m),即此时木马上升的高度为1 m。故选A。
5.x2+22=(x+0.5)2 解析:在Rt△AB'C中,由勾股定理得,AC2+B'C2=AB'2,即x2+22=(x+0.5)2。
6.解:如图,因为S =S +S =S +2S ,
五边形ABCDE 梯形ABCF 梯形AFDE 正方形ABGE △BCG
1 1 1
即 (b+a+b)×b+ (a+a+b)×a=c2+2× ab,
2 2 2
1 1
所以 ab+b2+a2+ ab=c2+ab。
2 2
所以a2+b2=c2。7.解:由折叠的性质可知,
DE=FE,AD=AF。
因为四边形ABCD是长方形,
所以CD=AB=16 cm,AF=AD=BC=20 cm,∠B=90°。
在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF=12 cm。
所以FC=20-12=8(cm)。
设EC=x cm,则DE=EF=(16-x)cm。
在Rt△CEF中,由勾股定理,得
(16-x)2=82+x2。
解得x=6。
所以EC=6 cm。
