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1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
认识勾股定理
1.(2025抚顺一中期中)下列说法正确的是( )
A.在△ABC中,若∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a2+b2=c2
B.在Rt△ABC中,若∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a2+b2=c2
C.在Rt△ABC中,若∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠A=90°,则a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中,若∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠A=90°,则c2+b2=a2
2.如图是单位长度为1的正方形网格,格点上A,B两点间的距离为 ( )
A.4 B.4.5 C.5 D.6
3.写出图中直角三角形未知边的长度:b= ,c= 。
4.(原创题)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC。求AD的长度。
勾股定理与面积计算
5.如图,以直角三角形的三边为边分别向外作正方形。已知正方形中的数据分别为其对应的面积,
则根据图中数据,可得出正方形A的面积是 ( )A.12 B.24 C.30 D.10
6.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,则S = ( )
正方形ABCD
A.1 B.3 C.4 D.5
7.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,分别以 AB,AC,BC 为直径向外作半圆,它们的面积分别记作
S ,S ,S ,其中S =25π,S =16π,S = 。(用含π的代数式表示)
1 2 3 1 2 3
1.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分的面积是( )
A.16 B.25 C.144 D.169
2.(易错题)若一直角三角形的两边长分别为12和5,则第三边长的平方是 ( )
A.169 B.169或119
C.13或15 D.15
3.如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 (
)4 8 16 24
A. B. C. D.
5 5 5 5
4.(2024大庆中考)如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形。
执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作锐角为 40°和50°的直角三角形,再分别以所得到的
直角三角形的直角边为边长作正方形。图②是1次操作后的图形。图③是重复上述步骤若干次
后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”。若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操
作后图形中所有正方形的面积和为 。
① ② ③
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点。若BD是∠ABC的平分线,则AD=
。
6.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,CD⊥AB于点D,求CD的长。
7.如图,有一块四边形草坪ABCD,∠B=∠D=90°,AB=20 m,BC=15 m,CD=7 m。求这块草坪ABCD
的面积。
8.(推理能力)定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分,若以AM,MN,NB为边的三角
形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点。(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分,若AM=2,MN=4,NB2=12,则点M,N是线段AB
的勾股分割点吗?请说明理由。
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求NB的长。【详解答案】
基础达标
1.D 2.C 3.12 30
4.解:因为AB=AC,AD平分∠BAC,
1
所以AD⊥BC,BD=DC= BC=3。
2
在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=52-32=42,所以AD=4。
5.B 6.B 7.9π
能力提升
1.B 解析:阴影部分的面积=空白大正方形的面积=132-122=169-144=25。故选B。
2.B 解析:当12是直角边长时,第三边长的平方=122+52=169;当12是斜边长时,第三边长的平方=122-52=119。
综上所述,第三边长的平方是169或119。故选B。
1 1
3.C 解析:如图,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E。S = ×BC×AE= ×AC×BD。因为 AE=4,AC2=42+32=52,所以
△ABC
2 2
1 1 16
AC=5。又因为BC=4,所以 ×4×4= ×BD×5。解得BD= 。故选C。
2 2 5
4.48 解析:把图②中各个小正方形标上字母,设正方形A的边长为x,正方形B的边长为y。所以正方形A的面
积为x2,正方形B的面积为y2。由题意,得正方形C的边长为2,并且是直角三角形的斜边。所以正方形 C的面
积为4。根据勾股定理可得x2+y2=22=4。所以正方形A的面积+正方形B的面积=4;所以图①中所有正方形的面
积和=4+4=8。同理可得,正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积,正方形G的面积+正方形H的面
积=正方形B的面积,所以正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的
面积+正方形B的面积=4。所以图②中所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12,即1次操作后
所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12。同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和
也是4。所以2次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16。所以10次操作后
所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4=8+40=48。① ②
5.5 解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,则∠DEB=90°。
{∠CBD=∠EBD,
因为 BD 是∠ABC 的平分线,所以∠CBD=∠EBD。在△BCD 和△BED 中, ∠C=∠DEB, 所以
BD=BD,
△BCD≌△BED(AAS)。所以BC=BE=6。在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=82+62=102,所以AB=10。所以AE=AB-
BE=10-6=4。设CD=DE=x,则AD=AC-CD=8-x。在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,所以42+x2=(8-x)2。解得x=3。所
以AD=8-x=5。
6.解:因为△ABC是直角三角形,AB=5 cm,BC=3 cm,
由勾股定理,得
AC2=AB2-BC2,
所以AC=4 cm。
1 1
又因为S = AB·CD= BC·AC,
△ABC
2 2
AC·BC 12
所以CD= = cm。
AB 5
12
所以CD的长是 cm。
5
7.解:如图,连接AC。
由题意,得AC2=AB2+BC2=202+152=625。
又AD2=AC2-CD2=625-49=576=242,
1 1 1 1
所以AD=24 m。所以这块草坪ABCD的面积= AB×BC+ AD×DC= ×20×15+ ×24×7=234(m2)。
2 2 2 2
8.解:(1)点M,N是线段AB的勾股分割点。理由如下:
因为AM2+NB2=22+12=16,MN2=42=16,
所以AM2+NB2=MN2。
所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形。故点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2)设NB=x,则MN=12-AM-NB=7-x。
①当MN为最长线段时,依题意,得MN2=AM2+NB2,即(7-x)2=25+x2。
12
解得x= 。
7
②当NB为最长线段时,依题意,得NB2=AM2+MN2,即x2=25+(7-x)2。
37
解得x= 。
7
12 37
综上所述,NB的长为 或 。
7 7
