文档内容
1.3 勾股定理的应用 导学案
（1）能够运用勾股定理计算直角三角形的边长，运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形；
（2）能够综合运用勾股定理、逆定理以及基本几何知识解决简单的实际应用问题，解决几何图形中的计
算问题；
（3）掌握将实际问题转化为直角三角形模型求解的基本步骤。
探究点（一）几何图形中的计算(折叠问题)
尝试思考：正方形纸片ABCD的边长为8cm，点AE是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到
点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F，你能求出DF的长吗?
①读题画图： 明确图形（正方形ABCD），标注AD=CD=8cm，ED=4cm，EF=CF；
②寻找/构造Rt△：Rt△DEF。
③选择定理：∵EF+DF=CD=8cm，ED=4cm，∴在Rt△EFD中可用勾股定理；
H
④列式：在Rt△ABD中，设DF=x，EF=8-x，EF²= DF²+DE²，(8-x)²= x²+4²
⑤求解： 化简解方程x=3，∴DF长为3cm。
探究点（二）构造直角三角形解实际问题
例题教学（芦苇长问题）：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长
各几何? (选自《九章算术》)
题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面
1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的
长度各是多少?
①读题抽象：水面宽1丈（10尺），水深未知，中央芦苇比水深多1尺，需用方程解题；
②画图建模：如图，用长方形表示水池纵截面，作取中点O作水面所在直线的垂线段
OB，交点为A，OA为水池深度；
③构造Rt△：根据题意连接OC即芦苇长，在Rt△AOC中，两直角边5、OA，斜边
OC；
④选择定理： 已知两直角边求斜边，适用勾股定理；
⑤列式求解：设OA为x，OC为x+1； ⑥作答。
解:设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB(OC)为x+1尺，由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。
在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2+ OA2= OC2,
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1即52+x2=(x+1)2。
解得x=12。
12+1=13。
因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。
·应用新知
题型一.旗杆长问题/大树折断问题
例1．八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆 的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗
杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端 刚好接触地面时，此时绳子末端 与旗杆的距离为5米，求旗
杆AB的高度．
方法点拨：将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x+1)米(x>1)．
在Rt△ABC中，∠B=90°，
根据勾股定理得AB2+BC2=AC2．
∴x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，
答：旗杆的高度为12米．
变式1．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙
⊥地面）的根部C处．若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米．
方法点拨：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，
解：如图所示：过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，则∠D=90°，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2由题意可得：BC=13m，DC=12m，
故BD2=132-122=25=52，
∴AD=4+5=9m，
则AC2=AD2+CD2=92+122=225=152，
故AC+AB=15+4=19m，
故答案为：19．
题型二.航海问题
例2.如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定
方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25
海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？
方法点拨：解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直
角三角形．求出OA，OB的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向．
解：由题意可得：OA=7.5×2=15(海里)，OB=10×2=20(海里)，AB=25海里，
∵152+202=252，
∴∠AOB=90°，
∵“惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行，
∵∠BOC=45°，
∴∠AOC=∠AOB -∠BOC=90°- 45°=45°．
“中山”号沿北偏西45°（或西北）方向航行．
题型三.两地之间选址问题
例3.如图，某地方政府决定在相距50km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使
C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3在离A站多少 的地方？
方法点拨：本题考查勾股定理的应用，设AE=xkm，得到BE=(50-x)km，根据勾股定理结合C、D两村到点
E的距离相等，列出方程进行求解即可．
解：由题意，得：AB=50km，∠DAE=∠EBC=90°，CE=DE，
设AE=xkm，则：BE=(50-x)km，
在Rt△EAD中，DE2=AD2+AE2，
在Rt△EBC中，CE2=BC2+BE2，
∵CE=DE，DA=30km，CB=20km，
∴AD2+AE2=BC2+BE2，即：302+x2=202+(50-x)2，
解得：x=20，
∴AE=20km，
∴基地E应建在离A站20km的地方．
题型四.判断/决策类问题
例4.为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧
道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h、大型汽车限速值由80km/h调
整为70km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方
120m
的C处（即AC=120m），过了8s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200m．
(1)求BC的长；
(2)这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s=3.6km/h）
（1）解：由题意可得：AC=120，AB=200，∠ACB=90°，
∴BC2=2002-1202=160(m)；
（2）解：结合（1）可得小汽车的速度为v=160÷8=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h)；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4∵72(km/h)<80(km/h)；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速．
（一）P14随堂练习
五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图形中哪
个是正确的？
解：（1）72+242=625=252，152+202=625，242=576，625≠576，∴（1）不正确；
（2）72+242=625=252=152+202，∴（2）正确；（3）不正确
(二)补充练习
1．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带
勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是 ，水杯的内侧高度为 ，若勺子的长度为
，则勺子漏出杯子的部分至少为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，当 恰好是水杯的内径， 时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短．
由题意得： ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5∴在 中， ，AC=10cm，
∴ ，
∴勺子漏出杯子的部分至少为 ，
故选：A．
2.如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东
南方向航行，则2小时后两船相距 海里．
解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接 ，如图所示：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴ ，
两小时后，两艘船分别行驶了 （海里）， （海里），
根据勾股定理得： （海里），
∴2小时后两船相距60海里．
故答案为：60．
3．在 中， ， ， ，D，E分别是斜边 和直角边 上的点．把
沿着 折叠，顶点B的对应点 落在直角边 上，且 ．求 的长．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6解： ， ，
设 ，则 ，
由折叠知 ，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得 ，
即 的长为 ．
4．如图，将长为 ，宽为 的长方形纸片 折叠，使点 落在 边的中点 处，压平后得到折
痕 ，则线段 的长为 ．
解：如图①，连接 ， ， ，
∵将长为 ，宽为 的长方形纸片 折叠，使点B落在 边的中点E处，压平后得到折痕 ，
∴ 垂直平分 ， ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7∴ ， ，
设 ，则 ，
在 和 中，
∴ ，
即 ，
解得 ．
故线段 的长为 ．
故答案为： ．
5.为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶
的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪 处的正
前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离 为 ．这辆观光电瓶车超速了吗？
解：在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
∴观光电瓶车的速度为 ，
，
这辆观光电瓶车超速了．
※6.为了美化城市，洒水车需要在一条长为 的重要路段 段以50米 分钟行驶进行洒水，在洒水的
同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段 上的两个路
口A、B的距离分别为 ，经测量，发现在 及以内的会受到音乐的影响．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8(1)求点C到路段 的距离；
(2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
（1）解：如图，过点C作 于D，
，
是直角三角形，且 ，
，
，
，
答：点C到路段 的距离是 ；
（2）解：学校C会受噪声影响，理由如下：
∵在 及以内的会受到音乐的影响，学校到 的最小距离为 ，
∴学校会受到影响，
当 时，正好影响C学校，
，
， ，
，
，
∵洒水车的行驶速度为50米 分钟，
（分钟），
影响该学校持续的时间有4分钟．
7.（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置 处摆绳 与地面垂直，摆
绳长 ，向前荡起到最高点 处时距地面高度 ，摆动水平距离 为 ，然后向后摆到最高点
处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且 与 成 角，则小丽在 处时距离地面的高度是
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过点 作 于点 ，摆绳 与地面的垂点为 ，
由题意可知， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
即小丽在 处时距离地面的高度是 ，
故选：A．
※8.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10如图所示，有一台风中心沿东西方向 由 向 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ，
的距离分别为： ， ， ，以台风中心为圆心周围 以内为受影
响区域．
(1)请计算说明海港 会受到台风的影响；
(2)若台风的速度为 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
（1）解：如图，过点 作 于点
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域， ，
∴海港 会受台风影响；
（2）解：当 ， 时，台风在 上运动期间会影响海港 ，
在 中， ，ED=70km，
∴ ，
∵台风的速度为20千米/小时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11∴ （小时），
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
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