文档内容
1.3 勾股定理的应用 导学案
（1）能够运用勾股定理计算直角三角形的边长，运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形；
（2）能够综合运用勾股定理、逆定理以及基本几何知识解决简单的实际应用问题，解决几何图形中的计
算问题；
（3）掌握将实际问题转化为直角三角形模型求解的基本步骤。
探究点（一）几何图形中的计算(折叠问题)
尝试思考：正方形纸片ABCD的边长为8cm，点AE是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到
点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F，你能求出DF的长吗?
探究点（二）构造直角三角形解实际问题
例题教学（芦苇长问题）：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长
各几何? (选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央
有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。
这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
·应用新知
题型一.旗杆长问题/大树折断问题
例1．八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆 的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗
杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端 刚好接触地面时，此时绳子末端 与旗杆的距离为5米，求旗
杆AB的高度．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1变式1．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙
⊥地面）的根部C处．若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米．
题型二.航海问题
例2.如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定
方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25
海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？
题型三.两地之间选址问题
例3.如图，某地方政府决定在相距50km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使
C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建
在离A站多少 的地方？
题型四.判断/决策类问题
例4.为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧
道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h、大型汽车限速值由80km/h调
整为70km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方
120m
的C处（即AC=120m），过了8s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200m．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2(1)求BC的长；
(2)这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s=3.6km/h）
（一）P14随堂练习
（二）补充练习
（1题图） （2题图）
1．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带
勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是 ，水杯的内侧高度为 ，若勺子的长度为
，则勺子漏出杯子的部分至少为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东
南方向航行，则2小时后两船相距 海里．
3．在 中， ， ， ，D，E分别是斜边 和直角边 上的点．把
沿着 折叠，顶点B的对应点 落在直角边 上，且 ．求 的长．
4．如图，将长为 ，宽为 的长方形纸片 折叠，使点 落在 边的中点 处，压平后得到折
痕 ，则线段 的长为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 35.为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶
的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪 处的正
前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离 为 ．这辆观光电瓶车超速了吗？
※6.为了美化城市，洒水车需要在一条长为 的重要路段 段以50米 分钟行驶进行洒水，在洒水的
同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段 上的两个路
口A、B的距离分别为 ，经测量，发现在 及以内的会受到音乐的影响．
(1)求点C到路段 的距离；
(2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
7.（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置 处摆绳 与地面垂直，摆
绳长 ，向前荡起到最高点 处时距地面高度 ，摆动水平距离 为 ，然后向后摆到最高点
处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且 与 成 角，则小丽在 处时距离地面的高度是
（ ）
A． B． C． D．
※8.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．
如图所示，有一台风中心沿东西方向 由 向 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ，
的距离分别为： ， ， ，以台风中心为圆心周围 以内为受影
响区域．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4(1)请计算说明海港 会受到台风的影响；
(2)若台风的速度为 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5
