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1.3 勾股定理的应用
11大知识点（基础）+能力提升练（4道）+拓展培优练（3道）
一、梯子滑动模型（勾股定理的应用）
1．如图，一梯子AB斜竖在垂直于地面的墙AC上，若AC=8m，CB=6m，则梯子AB的长为（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB=2米，
BC=1.5米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为多少米？
3．如图所示，一架25m长的梯子AC斜靠在与地面OA垂直的墙CO上，此时梯子底端A离墙7m．
(1)求这架梯子的顶端距离地面的高度．
(2)如果梯子的顶端C沿墙下滑了4m，那么梯子底端水平外移了多少m？
二、旗杆模型（勾股定理的应用）1．如图，李明想知道学校旗杆的高度．他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将
绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m．则旗杆的高度为（ ）
A．6m B．8m C．10m D．12m
2．如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但
这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为2m，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端
6m，则旗杆的高度为（ ）
A．10m B．9m C．8m D．7m
3．今年的耀华数学节，老师布置了一项任务，要求数学小组成员们测量学校旗杆的高．成员发现旗杆上
的绳子垂到地面还多了1.25米．现把绳子拉直，让下端刚好接触地面，此时绳子下端距旗杆底部6.25米，
求耀华中学旗杆的高．
三、利用勾股计算鸟飞行距离
1．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m的树顶上，两棵树相距12m，则喜鹊至少要飞 m．
2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
的树梢，小鸟至少飞行 米．
3．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小
鸟至少要飞 米．
四、树枝折断模型（勾股定理的应用）
1．《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意
思是：一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几
尺？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+32=(10-x) 2 B．x2-102=(6+x) 2C．32=102-x2 D．x2=(10+x) 2
2．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（ ）
A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺
3．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地
面）的根部C处．若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米．
五、杯中笔模型（勾股定理的应用）
1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，
设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ）
A．2cm<x≤5cm B．3cm≤x≤6cm C．4cm<x≤7cm D．5cm<x≤8cm
2．我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，
引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它
的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？
（小知识：1丈=10尺）若设水深为x尺，则符合题意的方程是（ ）A．x2+52=(x+1) 2 B．x2+102=(x+1) 2
C．(x+1) 2+52=x2 D．(x+1) 2+102=x2
3．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水
深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈=10尺），有一棵芦苇生长
在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为
（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
4．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带
勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是6cm，水杯的内侧高度为8cm，若勺子的长度为
14cm，则勺子漏出杯子的部分至少为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
六、台阶模型（勾股定理的应用）
1．如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红
色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为10m，则购买这种地毯至少需要 元．
2．在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价a元，铺完整个楼梯总造价需要 元．3．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面AB平行的护栏MN(MN=AB)．
小明量得每一级石阶的宽为32cm，高为24cm，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的
宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏MN的长度．
七、利用勾股定理判断汽车是否超速问题
1．已知某高速路段限速90km/h（即25m/s）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的C处
(∠C=90°)，过了2s后到B处，测得AB=50m．请通过计算判断汽车是否超速．
2．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方120
米的C处，过了8秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米．
(1)求BC的长；
(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小
汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：1m/s=3.6km/h）3．某条道路限速60km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测
仪A正下方5m的B处，过了1s，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离AC为13m．
(1)求BC的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
八、利用勾股定理判断是否受台风影响问题
1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，
如图，台风中心沿东西方向AB由A向B移动，AB长100km．已知海港C到A的距离为60km，到B的距
离为80km．台风的影响范围为台风中心周围50km内．
(1)海港C受台风影响吗？请说明理由．
(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
2．如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点
A，B的距离分别为150m和200m，又AB=250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
3．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径130 km（即以台风中心为圆心，130 km为半径的圆形区域都会受台风影
响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若
A,C之间相距150 km,A,B之间相距200 km．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
九、利用勾股定理选址问题
1．如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，
且CD=4km．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．
请求出点P与点C之间的距离．
2．如图，在一条笔直的马路EF同侧有A，B两个小区，A小区到马路的垂直距离AC为10千米，B小区到
马路的垂直距离BD为2千米，CD的长度为15千米．
(1)求A，B小区之间的距离；
(2)现要在线段CD上修建一个车站E，使得车站E到A，B两小区的距离相等，此时车站E应修建在离点C
多远处？
3．如图甲，笔直的公路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=10 km，CB=5 km，现在计划在公路的AB段上建一个土特产品收购站E．
(1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
(2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，计算得到距
离的和最短值为 km．
十、勾股定理逆定理的实际应用
1．如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形
ABCD中，∠ACB=90°，AB=15m，BC=9m，AD=5m，DC=13m．
(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
2．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小
区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色
空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，
CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．求这片绿地的面积．
3．如图，我校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和三角形EDC，给八年级的学生分别种“番茄”和“土豆”．经测量，∠EDC=90°，DC=3，CE=5，BD=7，AB=8，
AE=1．
(1)求DE的长；
(2)求四边形ABDE的面积．
4．如图，A，B两村庄相距150米，C为供气站，AC=120米，BC=90米，为了方便供气，现有两种方
案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C站铺设管道到点H处，再从点H处分别向A村、B两
村铺设．
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
十一、最短距离问题
1．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华
表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
2．如图，圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
1．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A
上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？
2．综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD
模型
抽象
①测得水平距离ED的长为15米
测绘数 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17
据 米
③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.8米
说明 点A，B，E，D在同一平面内
请根据表格信息，解答下列问题．
(1)求线段AD的长；
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？3．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（AB=10
尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是AB的中点），它高出水面1尺（MP=1尺）.如果把这
根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN=BN），求水的深度PN.
4．某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时
36海里的速度沿北偏西40°方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东50°的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦
截到该船只．
(1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？
(2)求此时该船只所在处C与AB的距离为多少海里？
1．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动
风筝离地面垂直高度探究
课题
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以
问题
木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想
背景
测量风筝离地面的垂直高度．
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长
为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17m．牵线放风筝的手
到地面的距离为1.8m．
测量
数据
抽象
模型经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂
问题
直高度AD．
产生
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12m，且BC长度不变，则他应该再放出多
少米线？
问题
……
解决
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
2．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路
AB，AD，BD，DC，已知AB=20km，AD=12km，BD=16km，CD=30km．
(1)通过计算说明公路BD是否与AD垂直；
(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段BC），并在大道BC上的E处修建一座凉亭方便
游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段DE），且DE⊥BC．若修建互通大道
BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道BC，DE的总费用．
3．如图，李师傅在两墙AB，CD之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为2.5m的梯子MN，此时
梯子底端N距离墙角B点0.7m．
(1)此时梯子MN的顶端M点距离地面有多高？
(2)若梯子底端N点没有固定好，向后滑动到墙角D处，使梯子顶端M沿墙AB下滑了0.4m到P点处，求梯
子底端N向后滑动的距离．
4．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时
间完成了实地测量．测量结果如下表．
项目 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项 测量实物图背景 目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
测量过程
测量示意图
步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N．将
系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出
NE的长度．
项目
方案
步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水
平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用
皮尺测出点A与点B之间的距离．
步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离．
测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分 0.5m
各项
数据
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6m
小丽身高 1.5m
请根据表格所给信息，完成下列问题．
(1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系：
(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高．
