文档内容
24.1.3 弧、弦、圆心角
【知识与技能】
1.理解圆心角概念和圆的旋转不变性.
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中
的应用.
【过程与方法】
通过学生动手或计算机演示使学生感受圆的旋转不变性，发展学生的观察分
析能力.
【情感态度】
培养学生勇于探索的良好习惯，激发学生探究，发现数学问题的兴趣.
【教学重点】
圆心角、弧、弦之间的关系，并能运用此关系进行有关计算和证明.
【教学难点】
理解圆的旋转不变性和定理推论的应用.
一、情境导入，初步认识
汽车能正常行驶（其他情况正常）得益于车轮；而车轮又是具有什么性质才具
有如此奇妙的作用呢？
教师拿出做好的教具，在纸上画下任意圆，任意画出两条半径，构成一个顶
点在圆心上的角α，将这个圆绕圆心O旋转任意角度α，你会发现什么？
像α这样，顶点在圆心上的角叫圆心角.
这节课我们将要研究与它有关的一些定理，引入课题.二、思考探究，获取新知
1.圆的旋转不变性
由上述探究活动中，我们不难发现：
围绕圆心O旋转任意角度α，都能与原来的图形重合，所以圆是中心对称图
形，并且具有旋转不变的特征.
这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常行驶.
2.弧、弦、圆心角之间的关系
探究如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现
哪些等量关系，为什么？
【教学说明】让学生利用学具动手演示，观察，思考，同学之间合作交流，并归
纳总结.教师提问几位学生代表回答他们发现的等量关系，教师同时在黑板上写
出他们的结论.
【归纳结论】 AB=A′B′
∴由圆的旋转不变性可得出下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相同.
议一议（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？
所对的弦相等吗？（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所
对的弧相等吗？
【教学说明】学生利用学具，结合圆的旋转不变性，很容易得出结论.这两个问
题是为了使学生深切体会，圆心角、弧、弦三者在同圆或等圆中之间存在的关系.
推论：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
请同学们根据图形给出定理及其推论的符号语言.
【教学说明】培养学生用符号语言表示结论，发展学生用符号语言说理的能力
由此可总结为：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等.
3.圆心角、弧、弦定理及推论的应用
例1如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
分析：在⊙O中，要使圆心角相等，可通过证明圆心角所对的弦或弧相等解
题.
证明：∵AB=AC，∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.
又 ∠ ACB=60° ， ∴ △ ABC 是 等 边 三 角 形 ，
AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例2如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、
AD于E、F两点，交BA的延长线于G，判断EF和FG是否相等，并说明理由.
证明：如图.连接AE，
∵在ABCD中，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4
又∵在⊙A中，AB=AE，
∴∠2=∠3，∴∠1=∠4
∴EF=FG（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）【教学说明】巩固定理内容，加深对定理的理解，初步应用定理解决问题，培
养学生的逻辑推理能力及运用知识的能力.
三、运用新知，深化理解
1.观察下列选项中的图形及推理，其中正确的是：
∵∠AOB=∠A′OB′∵AD=BC
∴AB=A′B′∴AB=CD
（1）（2）
∵∠AOC=∠BOC
∴AD=BC
（3）
2.如图所示，C、D为半圆O的三等分点，AB为直径，则下列说法正确的有个
①AD=CD=BC
②∠AOD=∠DOC=∠BOC
③四边形ADCO为菱形
【教学说明】这两道题要求学生当堂完成，学生独立思考并回答问题，教师作
点评，要强调定理及推论的应用范围，以及对应量之间的关系.对回答好的同学及
时给予鼓励表扬，增强学习数学的信心和热情.
【答案】 1.（2） 2.3
四、师生互动，课堂小结
通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本方法?如圆心角的概念，弧、
弦、圆心角三者之间的关系等，试着与同伴交流.
【教学说明】先让学生对上述问题进行回顾与思考，完善知识体系，教师再进
行补充说明.
1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.
1.本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对
称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探索的良好习惯，培养动手解决问题的能力.
2.本节课中，教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角
相等，可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思
维能力.
