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24.1—24.2 圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系一、圆的有关性质
1 圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
（2）圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
2 圆的性质
（1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心
对称图形，对称中心是圆心。
（2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。
（3）垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论包括
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心
且平分弦对的两条弧；平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦；平行弦
夹的弧相等。
（4）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所
对的弦也相等。如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余的各组量也相等。
（5）圆周角定理及推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半。推论包括半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
弦为直径；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
二、点和圆的位置关系
1 点与圆的位置关系有：点在圆外、点在圆上、点在圆内三种。
2 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角
形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
三、直线和圆的位置关系
1 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
2 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，直线l与圆心O的距离
为d，则有直线l和⊙O相交则dr。
3 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
5 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
6 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连
线平分两条切线的夹角。
巩固课内例1:四点共圆
1．小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含 度， 度的直角三角板．从中选择两
个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点 ， ， ， 的说法，正确的是
（ ）
A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆
C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆
2．如图在梯形 中， ， ， ， ，高为 ，若 ， ，
， 四点共圆，则这个圆的半径是 ．
3．如图，在四边形 中 ，且 ，垂足为 ， 延长线交
于 ，交 的延长线于 ．求证：A， ， ， 四点共圆．巩固课内例2:垂径定理的应用
1．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：
在工件圆弧上任取两点 ， ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交弧
于点 ，测出 ， ，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一个隧道的横截面是以 为圆心的圆的一部分，路面 ，高 ，则
此圆的半径长为 ．
3．阅读材料，回答问题．
材料背景
遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成
如图②所示的图形，且测得水面宽度 为 ，拱高 （孤的中点到水面的距离）为
．问题解决
(1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径．
(2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升 ，求此时水面的宽度．
巩固课内例3:弧、弦、圆心角的关系
1．已知 中， ，则弦 和 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．如图， 是 的两条弦， 于P， 于Q．
（1）如果 ，那么 ， ， ；
（2）如果 ，那么 ， ， ；
（3）如果 ，那么 ， ， ；
（4）如果 ，那么 ， ， ．
3．如图，已知 ， 是 的直径， ， ，求 的度数．
巩固课内例4:圆内接四边形对角互1．如图，四边形 是 的内接四边形， 为 的直径，连结 ．若
，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为 ．
3．已知四边形 内接于 为直径，过点 作 于点 ，连接 ．
(1)如图①，若 的度数为__________， 的度数为__________；
(2)如图②，连接 ，若 是 的切线， ．求 的半径．
巩固课内例5:切线的证明
1．如图，直线 经过 上的点 ，并且 ，下列条件中不能判断直线 是
切线的是（ ）A． B．
C． D．
2．如图， 是 的弦， 是过B点的直线， ，当 时，
是 切线．
3．如图， 是 的直径， 是弦，D是 的中点， 与 交于点E．F是 延
长线上的一点，且 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)连接 ．若 ，求 的长．
巩固课内例6:三角形内切圆的半径、周长和面积
1．如图为 的内切圆，点D，E分别为边 ， 上的点，且 为 的切线，若
的周长为21， 边的长为6，则 的周长为（ ）A．15 B．9 C．7.5 D．7
2．如图， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、 、 ，且 ，
的周长为14，则 的长为 ．
3．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，且 ，
， ．
如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，
E，F，
(1)求 的长．
(2)已知 ，求 的长．类型一、圆的有关概念
1．下列哪句话是错误的（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧
C．圆上各点到圆心的距离相等 D．长度相等的两段弧是等弧
2．如图，点B，E在半圆O上，四边形 ，四边形 均为矩形．若四边形
中， ，则 的长为 ．
3．如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为 ，外圆面积为 ．
(1)求该圆环花坛的宽度；
(2)求该圆环花坛的面积．
类型二、垂径定理求值
1．如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的长为
（ ）A．5 B．3 C．2 D．1.5
2．如图， 是 的外接圆，圆心 在这个三角形的高 上， ， ，
则 的半径长为 ．
3．如图，已知 是 的直径， ，弦 于 ， ，求弦 的
长．
类型三、圆周角的定义
1．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．直角三角形的三个顶点在 上，则圆心O在 ．
3．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？类型四、点与圆的位置关系
1． 的半径为 ，若点P到圆心的距离为 ，点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
2．在 中， ， ，垂足为D， ， ，如果以点C为圆
心，2为半径作 ，那么点B在 ，点D在 ．（均选填“内”“上”或
“外”）
3．如图，在 中， ，D是 的中点，现在以D为圆心，以 为半径
作 ，求：
(1) 时，点A与 的位置关系；
(2) 时，点A与 的位置关系；
(3) 时，点A与 的位置关系．
类型五、直线与圆的位置关系
1．已知 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与 相交，则r与d之间
的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点 ，以A为圆心，4为半径作圆，则 与y轴的位置关
系是 ．3．如图， 中， ，以 为圆心画圆．
(1)当 的半径为 时，点 与 有怎样的位置关系；
(2)当 与直线 相交时，求 的半径 ．
类型一、圆周角定理
1．如图，A，B，C是 上的三个点．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点 是 上一点，若 ，则 ．
3．如图， 是 的直径，弦 于点E，点M在 上， 恰好经过圆心O，
连接 ．(1)若 ， ，求 的直径；
(2)若 ，求 的度数．
类型二、同心圆
1．为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修
课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约
为 和 ，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路
径 的长度为（ ）
A．240 B． C．120 D．
2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 交小圆于点B，点C，当
， 时，大圆与小圆的面积之差为 ．
3．如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于C，D两点．(1)求证： ；
(2)若 ， ，大圆的半径 ，求小圆的半径r的值．
类型三、平行弦问题
1．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与
CD的距离是（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定
2．已知 的半径为 ，弦 ，弦 ， ，则这两条平行弦 、 的
距离为 ．
3．如图，A，B，C，D在 上， 经过圆心O的线段 于点F，与 交
于点E，已知 半径为5．
（1）若 ， ，求 的长；
（2）若 ，且 ，求弦 的长；
类型四、切线的性质
1．如图，在 中， ， ， 与 三边分别相切于点 ， ，
，且 ，则 的面积是（ ）A． B． C． D．
2．如图， 是 的切线，A为切点， 的延长线交 于点B，连接 若 ，
则 的度数为 ．
3．如图， 中， ，点 为 边上一点，以点 为圆心， 为半径作圆
与 相切于点 ，连接 ．求证： ．
类型五、切线长定理
1．如图，P为 外一点， 分别切 于A，B，C三点，且切线 分别交
于点M，N．若 ，则 的周长为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．24
2．如图： 、 切 于 、 ，过点 的切线交 、 于 、 ， ，则
的周长为 ．3．足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团
队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖
杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型， 是圆的切线， 为切点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长 交射线 于点 ，若 ，请补全图形，并求
的长．
类型一、最值问题
1．如图，在四边形 中， ，对角线 和 交于点E，若
，则 长的最小值为（ ）A．6 B． C．4 D．
2．如图， 中， ， ，点D为 上一点，将线段 绕点P逆
时针旋转 得到 ，连接 ，过D作 于E，连接 ，则 的最小值为
．
3．如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边 ， 的中点，
， ．
(1)将 绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
(2)将 绕顶点C逆时针旋转 （如图2），求 的长．
类型二、动圆问题
1．如图，直线 、 相交于点 ， ，半径为 的 的圆心在射线 上，
且与点 的距离为 ，如果 以 的速度沿由 向 的方向移动，点 与直线 相
切时， 的值为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．6或102．如图，直线 相交于点O， ，半径为 的 的圆心在直线 上，
开始时， ．如果 以 的速度向右运动，那么当 的运动时间 满足条
件 时， 与直线 相交．
3．如图1，在矩形 中， ， ，点 以1.5 的速度从点 向点
运动，点 以2 的速度从点 向点 运动．点 、 同时出发，运动时间为 秒（
）， 是 的外接圆．
(1)当 时， 的半径是 ， 与直线CD的位置关系是 ；
(2)在点 从点 向点 运动过程中，①圆心 的运动路径长是 ；②当 与直线
相切时，求 的值．
(3)连接 ，交 于点 ，如图2，当 时，求 的值．
类型三、新定义问题
1．新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离”．如图，在平面直角坐标系中，直线 的表达式为 ，直线 的表达式为 ， 平分
，点B为 中点，延长 使 ，动点P在平面内运动，恒有 ，
点P到直线OD的“亲密距离”为d，求d的值是（ ）
A． B． C． D．
2．定义：点 、点 分别为两个图形 、 上任一点，如果线段 的长度存在最小值时，
就称该最小值为图形 和 的“近距离”；如果线段 的长度存在最大值时，就称该最
大值为图形 和 的“远距离”．已知 和 是平面直角坐标系 中的两个图形，
其中点 ， ， ， ， 半径为1．则 和 的“远距
离”为 ．
3．定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称
点N为点M关于点P的二次对称点．
【概念理解】（1）点 ，点N为点M关于点P的二次对称点，则 ．
（2）若点 ， ，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．
（用t的代数式表示）
【形成技能】
（3）点D为点C关于点 的二次对称点，且 、 都与坐标轴平行．直接写出点
C的坐标．
【灵活运用】
（4）如图2，点F为点E关于点 的二次对称点，连接 ，当动点F在直线m上滑
动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为 ，若在运动过程中，
一定存在 的情形．求b的取值范围．
