文档内容
思维突破 / 初一 / 秋季
第 1 讲 实数
例题练习题答案
±0.05 ±11 ±3 ±0.17
例1 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
2
例2 【答案】 −
（1）7；（2）1.4；（3） ；（4）11
15
例3 ( 1 ) 【答案】 √
( 2 ) 【答案】 ×
( 3 ) 【答案】 ×
( 4 ) 【答案】 ×
( 5 ) 【答案】 ×
( 6 ) 【答案】 √
( 7 ) 【答案】 √
( 8 ) 【答案】 ×
( 9 ) 【答案】 ×
( 10 )【答案】 √
( 11 )【答案】 √
( 12 )【答案】 ×
±9 ±3 ±3 ±1
例4 【答案】（1） ；（2）9；（3） ；（4）3；（5） ；（6）3；（7）0；（8）0， ；
（9）0，1．
3b+2 +2b−12 = 0
例5 【答案】由题意得： ，
b = 2 3b+2 = 8
∴ ， ，
5a−1 = 64
∴ ，
a = 13
∴ ，
a−2b = 9
∴ ，
a−2b ±3
∴ 的平方根为 ．
2a−1 = 9
例6 【答案】由题意得： ，
a = 5
∴ ，
3a+b−1 −2
又∵ 的立方根是 ，3a+b−1 = −8
∴ ，
b = −22
∴ ，
−− −−
又∵c是 √57 的整数部分，且 7 < √57 < 8 ，
c = 7
∴ ，
2a−b−c = 25
∴ ，
2a−b−c ±5
∴ 的平方根为 ．
−−−−−−−
b ≥ 2014 √b−2014+b−2013 = b
例7 【答案】由题意知： ，则： ，
−−−−−−−
√b−2014 = 2013
得： ，
b−2014 = 20132 b−20132 = 2014
∴ ， ，
−−−−
b−20132 √2014
∴ 的算术平方根是 ．
1 – –
例8 【答案】 √2 −π √3+1
， ， ，3.01001000100001…， ．
π
例9 ( 1 ) 【答案】 ×
( 2 ) 【答案】 ×
( 3 ) 【答案】 ×
( 4 ) 【答案】 ×
−−−−−
例10 【答案】（1） −3 > √3 (−4)3 ；
–
−3.5 < −2√3
（2） ；
−−− −−−−
√200 < √3 3000
（3） ；
−− –
√3 60 < 4 < 3√2
（4） ．
– –
√2 √2
1 【答案】假设 是有理数，则 一定可以写成两个整数的比的形式，
– p
即 √2 = ，其中p、q互质，
q
p2
∴ 2 = ，∴ p2 = 2q2 ，∴p一定是偶数，假设 p = 2m ，则 p2 = 4m2 ，
q2
∴ 4m2 = 2q2 ，∴ q2 = 2m2 ，∴q也是偶数，则p、q有公因数2，这与假设相矛盾，
–
√2
∴ 是无理数．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 1 讲 实数
自我巩固答案
1 【答案】C2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】B
6 【答案】C
7 【答案】C
8 【答案】3倍
9 【答案】（1）>；（2）>；（3）>；（4）<．
10 【答案】0
思维突破 / 初一 / 秋季
第 1 讲 实数
课堂落实答案
1 ( 1 ) 【答案】 ×
( 2 ) 【答案】 √
( 3 ) 【答案】 ×
( 4 ) 【答案】 √
( 5 ) 【答案】 ×
( 6 ) 【答案】 ×
–
±√7
2 【答案】 ．
3 【答案】2
4 【答案】3
5 【答案】3
–
√7 < 3.14 < π
6 【答案】 ．
−−−−− −−−−−
7 【答案】 √3 (−2)3 < −1 < √(−3)2
8 【答案】18
9 【答案】50
10 【答案】2
2b−9 +5 −b = 0
11 【答案】由题意得： ，b = 4
∴ ，
2a−3 = 1
∴ ，
a = 2
∴ ，
−−−−−
±√4a−b = ±2
∴ ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 2 讲 平面直角坐标系
例题练习题答案
(−3,4) (3,8) (9,−4) (−6,−8)
例1 【答案】(1) ， ， ， ．
(2)如图所示．
(−7,3) (3,5) (−3,5)
例2 【答案】（1）5，2；（2） ；（3） 或
x < −1
例3 (1)【答案】
(2)【答案】C
(3)【答案】C
(4)【答案】B
AB = 3
例4 【答案】由题意得： ，
ABC 9
∵△ 的面积为 ，
AB 6
∴ 边上的高为 ，
C x
∵点 在 轴上，
C (6,0) (−6,0)
∴点 的坐标为 ， ．(5,0)
例5 (1)【答案】
(52,52)
(2)【答案】①6；②496，
5 3
例6 【答案】 (1,2) ( ,−2) (− ,−2)
（1） ；（2） 或
2 2
(2,−3) (−2,3) (−2,−3)
例7 【答案】（1） ； （2） ； （3）
例8 【答案】
15
A (1,5) B (1,0)
（1） 2 ； （2） ； （3） 1 ， 1 ，
C (4,3)
1 ．
例9 (1)【答案】 A(2,5) 、 B(−2,−5) 、 C (−2,5) 、 D(−5,2) 、 E(5,−2) 、 F (6,−5) 、
G(2,−1)
(−6,3)
(2)【答案】
例10 【答案】 P 2 (1,−1)
P (1,1)
7
P (1,−3)
100
【解析】按照题目要求操作下去，
P (1,1) P P
可知 7 ，即 7和 1重合，
P P
且 7的下一步操作和 1的下一步操作一样，
6 100 6 4
所以周期为 ， / 余 ，
P P
∴ 100和 4的坐标相同．
1 【答案】设会面地点的坐标为 (x,y)
这五个点的横坐标为1，2，3，5，6
|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−5|+|x−6|
横向走的距离
根据绝对值的几何意义
x = 3 y = 4
可知取最小时， ，同理
(3,4)
所以会面地点的坐标为
思维突破 / 初一 / 秋季第 2 讲 平面直角坐标系
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】7
5 【答案】C
6 【答案】C
【解析】
7 【答案】A
8 【答案】D
9 【答案】A
(−3,−1)
10 【答案】
8
11 【答案】
3
9m+18
⎧
12 【答案】 ⎪ ⎪x =
9m+18 3 −27m
9m2 +2
⎨ < 0 > 0 m < −2
解得 ⎪ 3 −27m ，所以 9m2 +2 ； 9m2 +2 ，解得
⎩⎪y =
9m2 +2
(4,402)
13 【答案】
思维突破 / 初一 / 秋季
第 2 讲 平面直角坐标系
课堂落实答案
1 ( 1 ) 【答案】 ×
2 ( 1 ) 【答案】 ×
3 ( 1 ) 【答案】 √
4 ( 1 ) 【答案】 ×
5 ( 1 ) 【答案】 ×6 【答案】17
7 【答案】11.5
M (−2,0) N (4,4)
8 【答案】（1）点 ，点
（2） (4,4) （棋子第2015次恰落在N点）
9 【答案】
B′′ (8,1) C′′ (8,4)
，
思维突破 / 初一 / 秋季
第 3 讲 绝对值与零点分段法
例题练习题答案
−2x+3 2x−3 3x−16 x−1
例1 【答案】（1） （2） （3） （4）
−2
例2 【答案】
a+b < 0 a+b−1 < 0 3 −a−b > 0
【解析】因为 ，所以 ， ，
|a+b−1|−|3 −a−b|
所以
= −(a+b−1)−(3 −a−b) = −2
．
2b−2a
例3 (1)【答案】
0
(2)【答案】
(3)【答案】C
例4 【答案】2
−3
例5 【答案】
a−b < 0 b−c > 0 c−a < 0
【解析】结合数轴可得， ， ， ，
a−b b−c c−a
− + = −1 −1 +(−1) = −3
因此 ．
|a−b| |b−c| |c−a|⎧3 x > 2
例6 【答案】
= ⎨2x−1 −1 ≤ x ≤ 2
（ 1 ） 原 式 ⎩ （ 2 ） 原 式
−3 x < −1
⎧4x+1 x > 4
⎪
⎪
⎪
⎪ 5
2x+9 − ≤ x ≤ 4
= ⎨
3
⎪
⎪ 5
⎪
⎩⎪ −4x−1 x < −
3
1
⎧
⎪
⎪ −x x > −
⎪
⎪ ⎪ 3
⎪
1 1
= ⎨5x+2 − ≤ x ≤ −
（ 3 ） 原 式 （ 4 ） 原 式
⎪ 2 3
⎪
⎪
⎪ ⎪ 1
⎩⎪
x x < −
2
⎧5x−2 x > 2
⎪
⎪
⎪
⎪ 2
x+6 − ≤ x ≤ 2
= ⎨
3
⎪
⎪ 2
⎪
⎩⎪ −5x+2 x < −
3
例7 【答案】（1）3； （2）5．
例8 【答案】（1）2；（2）1．
−11
例9 【答案】（1）最大值为11，最小值为 ；
8 −8
（2）最大值为 ，最小值为 ．
−6
例10 【答案】最大值为15，最小值为 ．
|x+1|+|x−2| |y −2|+|y +1|
【解析】 的 最 小 值 为 3 ， 的 最 小 值 为 3 ，
|z −3|+|z +1| |x+1|+|x−2| = 3
的最小值为4，而三者乘积为36，故必有 ，
|y −2|+|y +1| = 3 ， |z −3|+|z +1| = 4 ，x、y、z的取值范围都可以确定．
1 【答案】112
x = 7
【解析】将原式的零点从小到大排列，发现最中间的零点为7，故当 时，原式取得最小值
112．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 3 讲 绝对值与零点分段法
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】C4 【答案】A
5 【答案】A
6 【答案】D
7 【答案】D
−7x−7
8 【答案】
2
⎧
9 【答案】 ⎪ ⎪ ⎪ 2x+3, x < −
⎪ 3
⎨ 2
−4x−1, − ≤ x < 1
⎪
⎪ ⎪ 3
⎩⎪
−2x−3, x ≥ 1
10 【答案】（1）11；（2）10．
1 3 1 3
−6 − 3 − ≤ x ≤
【解析】提示：（1）零点从小到大分别为 、 、 、 ，故当 时取得最小值
2 2 2 2
11．
∣ 1∣
2∣x+ ∣ +|x−5|+4|x+2|
（2）将原式改写为 ∣ 2∣ ，其零点从小到大依次为：
1 1
−2 −2 −2 −2 − − 5 x = −2
、 、 、 、 、 、 ，故当 时取得最小值10．
2 2
思维突破 / 初一 / 秋季
第 3 讲 绝对值与零点分段法
课堂落实答案
1 ( 1 ) 【答案】 ×
2 ( 1 ) 【答案】 ×
3 ( 1 ) 【答案】 √
4 ( 1 ) 【答案】 ×
c−a
5 【答案】
5x−1
6 【答案】
7 【答案】10
8 【答案】4
−2
9 【答案】最小值 ，最大值2．思维突破 / 初一 / 秋季
第 4 讲 含参方程
例题练习题答案
a
x =
例1 【答案】（1） ；
19
19
a = 0 a ≠ 0 x =
（2）当 时，原方程无解；当 时， ；
a
a = 0 x a ≠ 0 x = 1
（3）当 时， 为任意实数；当 时， ．
3
例2 【答案】 a = b a ≠ b x =
（1） 时，无解； 时， ．
a−b
a+2
b ≠ 4 x = b = 4,a = −2
（ 2 ） 时 ， ； 时 ， 解 为 任 意 实 数 ；
4 −b
b = 4,a ≠ −2
时，无解．
3
例3 【答案】a = −
10
3a+5
2(x−a) = 5 +a x =
【解析】方程 的解为 ，方程
2
2 −7a
3x−2a+1 = 5(x+a)−1 x =
的解为 ，根据题意，得
2
3a+5 2 −7a 3
= a = −
，解得 ．
2 2 10
10
例4 【答案】 x = (a+142)
解上式方程得： ，
9
因为方程的解为正整数，
a+142
所以 为9的倍数，
所以正整数a的最小值为2．
2a(x−1) = (5 −a)x+3 (5 −3a)x = −3 −2a
例5 【答案】 整理得 ，
因为方程无解，
5 −3a = 0
所以 ，
5
a =
所以 ．
3
例6 【答案】 m = 1
m−1 = 0 0 ⋅x = 0
【解析】当 时，方程变为 ，方程有无数多解．
8 −a
⎧
例7 【答案】 ⎪ ⎪x = ,
3
⎨
4a+7
⎩⎪
⎪y =
38 −a 8 −a
【解析】 将a看成常数，利用加减消元法，将两个方程相加，可得 x = ，将 x = 代
3 3
4a+7
y =
入第一个方程，求出 ．
3
⎧ 4
例8 【答案】 ⎪ ⎪x = ,
2 −a
a = 2 a ≠ 2 ⎨
当 时，原方程组无解；当 时，原方程组的解为 4a−6 ．
⎪
⎩⎪y =
a−2
y (a−4)x = 12 −2b
例9 【答案】（1）消去未知数 ，得到方程 ．若方程组只有一组解，此时
a ≠ 4 b
， 为任意实数．
a = 4 b ≠ 6
（2）若方程组无解，此时 ， ．
a = 4 b = 6
（3）若方程组有无穷多组解，此时 ， ．
k = 1
1 【答案】（1） 时，方程有无穷多解．
k = −2
（2） 时，方程无解．
(k+2)(x+y +z) = 1 +k+k2 k = −2
理由：三个方程相加得 ， 时，方程变成
0 = 3
，无解．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 4 讲 含参方程
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】D
4 【答案】C
5 【答案】C
a+10
6 【答案】 x =
（1） ；
5
12
a−b ≠ −1 x = − a−b = −1
（2）当 时， ；当 时，原方程无解；
a−b+1
5b−4 4
a ≠ −2 x = a = −2 b = x
（3）当 时， ；当 且 时， 为任意实数；当
a+2 5
4
a = −2 b ≠
且 时，
5
原方程无解．
1 −b
7 【答案】 x = 1 k = 0 − = 2 b = 13
将 ， 代入方程得： ，故 ；
6
2a −12
x = 1 k = 1 − = 2 a = 0
将 ， 代入方程得： ，故 ．
3 6x = 3m−2n,
8 【答案】 {
（1） ；
y = 2m−3n
m = −2,n = −20
（2）当 时，方程组有无数解；
m = −2,n ≠ −20
当 ，方程组无解；
⎧ n +20
⎪⎪
⎪x = ,
m+2
m ≠ −2 ⎨
当 时， 10m−n ．
⎪
⎩⎪ ⎪y =
3(m+2)
思维突破 / 初一 / 秋季
第 4 讲 含参方程
课堂落实答案
a
x =
1 【答案】（1） ；
5
a+1
a ≠ 0 x = a = 0 0 ⋅x = 1
（2）若 ，则 ；若 ，则方程变为 ，而0乘任何数都得
a
0，因此原方程无解；
a ≠ 0 x = 2 a = 0 0 ⋅x = 0
（3）若 ，则 ；若 ，则方程变为 ，而0乘任何数都得0，因
此原方程的解为任意数．
4
2 【答案】 a ≠ b x = a = b
（1）当 时， ；当 时，原方程无解；
b−a
b+3
a ≠ 3 x = a = 3 b = −3 x a = 3
（2）当 时， ；当 且 时， 为任意实数；当 且
a−3
b ≠ −3
时，原方程无解．
k = ±8
3 【答案】
(9 −k)x = 17 9 −k ≠ 0
【解析】方程整理为 ，因为方程的解为正整数，所以 ，所以
17 17
x = 9 −k
．要使得 为正整数，由于k为整数，因此 只能取1或17．
9 −k 9 −k
k = ±8
3
4 【答案】 −
2
k > −3
5 【答案】
x = 5
6 【答案】
2 15 5
【解析】 关于x的方程 (x−a) = 5 +a 的解为 x = + a ，关于x的方程
3 2 2
7 3
3x−2a+2 = 5(x+a)−1 x = − a+
的解为 ．由方程的解相同可得
2 215 5 7 3 15 5
+ a = − a+ a = −1 x = + a
，解得 ，代回 后可以得到方程的解
2 2 2 2 2 2
x = 5
均为 ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 5 讲 含参不等式（组）
例题练习题答案
−3
例1 【答案】 ；0、1、2、3
a 15
例2 【答案】 3(x− ) > 6a x > a
解 得： ，
7 7
7 60
(x−a)+4 > 0 x > a−
解 得： ，
15 7
15 60
a = a−
所以 ，
7 7
15
a = −
所以 ．
2
10 8
例3 【答案】− < a ≤ −
3 3
1
例4 【答案】 a > 0 x >
（1）当 时，不等式的解集为 ；
a
a = 0
当 时，不等式无解；
1
a < 0 x <
当 时，不等式的解集为 ．
a
a > 0 x < 1
（2）当 时，不等式的解集为 ；
a = 0
当 时，不等式无解；
a < 0 x > 1
当 时，不等式的解集为 ．
(2 −m)x > 3
例5 【答案】将原不等式整理，得 ．
3
m > 2 x <
当 时，不等式的解集为 ；
2 −m
m = 2
当 时，不等式无解；
3
m < 2 x >
当 时，不等式的解集为 ．
2 −m
例6 【答案】将 (3a−2)x+2 < 3 整理，得： (3a−2)x < 1 ，
1
x > −
因为原不等式的解集是 ，
4
1
x >
所以 ，
3a−2
1 1
= −
所以 ，
3a−2 4
2
a = −
所以 ．
3−2a−b
例7 【答案】 b−a < 0 x < = −2
由题意得： ， ，
b−a
4a = b b < a < 0
所以 ， ，
7a+8b < 0
所以 ，
a−23b
(7a+8b)x < a−23b x >
整理 ，得： ，
7a+8b
7
x > −
所以解集为 ．
3
4
例8 【答案】 x < a+1
解第二个不等式，得 ．
3
4
a+1 > 5 a > 3 x ≤ 5
当 ，即 时，原不等式组的解集为 ；
3
4 4
a+1 ≤ 5 a ≤ 3 x < a+1
当 ，即 时，原不等式组的解集为 ．
3 3
x < 2
例9 【答案】解第一个不等式得： ，
x < −a
解第二个不等式得： ，
x < 2
因为不等式组解集为 ，
−a ≥ 2
所以 ，
a ≤ −2
所以 ．
a
例10 【答案】 ⎧⎪ ⎪ x ≥
9
⎨
不等式组的解集为： b ，
⎩⎪
⎪x <
8
a
⎧⎪0 < ≤ 1
⎪
9
⎨
依题意得： b ，
⎩⎪
⎪3 < ≤ 4
8
0 < a ≤ 9
{
所以，
24 < b ≤ 32
2 3
1 【答案】 − a < x ≤ a
解不等式组，得 ．
3 2
a > 0
此式表明 ，不等式组至少有一个整数解0．
2
a ≥
要使不等式组有整数解1，则 ；
3
4
a ≥
要使不等式组有整数解2，则 ；
3
a ≥ 2
要使不等式组有整数解3，则 ；
3
−1 a >
要使不等式组有整数解 ，则 ；
2
−2 a > 3
要使不等式组有整数解 ，则 ；
⋯⋯
4 3
≤ a ≤
观察上述数据，当 时，不等式组恰好3个有整数解，分别为0、1、2．
3 2
思维突破 / 初一 / 秋季第 5 讲 含参不等式（组）
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】D
【解析】答案:D
3 【答案】A
4 【答案】D
5 【答案】A
4m+3 2m−1 4m+3+2m−1
【解析】根据三边关系，任选两条边，如： 、 ，由 ＞
17 17
19 −m m 4m+3 −2m+1 19 −m m 5 m 5
得 ＞ ；由 ＜ 得 ＜ .综上， ＜ ＜
7 7
b b
6 【答案】 a > 1 x > a < 1 x <
（1）当 时， ；当 时， ；
a−1 a−1
a = 1 b ≥ 0 a = 1 b < 0
当 且 时，不等式无解；当 且 时，不等式的解为任意实数．
x ≤ 2 x < 2a
（2）解第一个不等式得 ，解第二个不等式得 ．
a > 1 x ≤ 2 a ≤ 1 x < 2a
当 时，不等式组的解集为 ；当 时， ．
m2 −2m−3
7 【答案】 m > 1 x > m = 1
（1）当 时， ；当 时，不等式的解为任意实数；
m−1
m2 −2m−3
m < 1 m ≠ 0 x <
当 且 时， ．
m−1
⎧m > 1
（2）m应满足⎩ ⎨ m2 −2m−3
= 3
，得 m = 5 ．
m−1
（3）将 x = 3 代入原不等式，解得m的取值范围是 0 < m < 5 ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 5 讲 含参不等式（组）
课堂落实答案
3a+4 a+3
1 【答案】 x > a < 5 < x ≤ 4 a ≥ 5
（1） ；（2）当 时， ；当 时，无解．
2 2
2 2
2 【答案】 a > 1 x > a = 1 a < 1 x <
当 时， ；当 时，不等式无解；当 时， ．
a−1 a−1
−2 x ≤ 2
3 【答案】 ；−3
4 【答案】
(a−1)x ≥ (a+1)(a−1) a−1 < 0
【解析】将原不等式整理为 ，由条件可得， 且
a+1 = −2 a = −3
，解得 ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 6 讲 整式的乘法
例题练习题答案
−8a2b2 −6a3b2 2ab3 +2ab2 +10b2
例1 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
−3a5 −3a3b+a2b2 8a4 +2a2b3 −3b6
（ 4 ） ； （ 5 ） ； （ 6 ）
a3 −a3b+2a2b−a2b2 +ab2
．
3
例2 (1)【答案】 ； 2
2
3 −5
(2)【答案】 ；
17
例3 【答案】 4a2 −8b2
化简结果为 ，原式的值为 ．
2
例4 【答案】证明：
a3m+2n = (am)3 ⋅(an)2 = 64 ×4 = 162 = a2p 3m+2n = 2p
，故
∵ (x2 + px+ q)(x2 − 2x− 3)
例5 【答案】解: ,
= x4 − 2x3 − 3x2 + px3 − 2px2 − 3px+ qx2 − 2qx− 3q
,
= x4 + (p− 2)x3 − (2p− q + 3)x2 − (3p+ 2q)x− 3q
,
x2 x3
而题意要求展开后不含 , 项
∴ p− 2 = 0 2p− q + 3 = 0
,
p = 2 q = 7
解得 , .
例6 【答案】512
a = 1.345
例7 【答案】设 ，
∴ = a(a−1)2a−a3 −a(a−1)2
原式
= −a
= −1.345
7 7 7 4 2 5
例8 【答案】 − x4 − x2 + x a4b− a3b2 + a
（1） ；（2） ．
2 16 6 27 9 34x−1
例9 【答案】（1）商式： ，余式：0；
15 75
5x2 −5x+ −
（2）商式： ，余式： ．
2 2
x2 −3x+1
例10 【答案】（1）商式： ，余式：0；
2x+1 −1
（2）商式： ，余式： ．
1 【答案】2013
x2 +3x = 1
【解析】由条件得
= x4 +3x3 −x3 −3x2 +3x2 +9x+4x+2009
原式
= (x2 +3x)(x2 −x+3)+4x+2009
= x2 −x+3 +4x+2009 = x2 +3x+2012 = 2013
思维突破 / 初一 / 秋季
第 6 讲 整式的乘法
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】D
5 【答案】D
−12ab2 −6x2y2z3
6 【答案】（1） ； （2） ；
−6a2b−16ab2 −25xy2z2 −35yz3
（3） ； （4） ；
−5x5 +5x4 −2x3 +2x2 +1 4x3 −13x2 −21x+5
（5） ； （6） ．
x2 +3x−2
7 【答案】（1）商式： ，余式：0；
x2 +2x+2 x+1
（2）商式： ，余式： ．
9 7
x63 = (x7) = 29 = 512 y63 = (y9) = 37 = 2187
8 【答案】解：∵ ， ，
512 < 2187 x63 < y63 x < y
∵ ，∴ ，∴ ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 6 讲 整式的乘法课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】A
−a7
3 【答案】（1） ；（2）0
−2x2 −17x+14 −4y +1
4 【答案】（1） ；（2） ．
1 3
5 【答案】化简结果为 2x2 +1 ，当 x = − 时，原式值为 ．
2 2
x2 −2x−2 0
6 【答案】商式： ，余式： ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】B
–
±√9 = ±3
【解析】 ，
故选：B．
2 【答案】D
3 【答案】D
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】A
x ≤ 2015
7 【答案】
8 【答案】一
9 【答案】2019
– −− −−−
3+√2 √32 6 √3 220
10 【答案】 ＜ ＜ ＜
11 【答案】25
−5
12 【答案】
−1 a ≤ 0
13 【答案】 ＜
−3a2 +5ab−2b2
14 【答案】（1） ;
−9a3b2 +18a3bc
（2） ．
(2 −k)x = 9
15 【答案】解：原方程可化为 ，
2 −k = ±1,±3,±9
因为方程有整数解，故 ，k = 1,3,−1,5,−7,11
解得 ．
a = 2 c = 5
16 【答案】由题可知 , ,
c+2a = 9
所以 ，
c+2a ±3
所以 的平方根为 ．
(−3,2) (2,5) (3,−1)
17 【答案】（1） ， ，
（2）见图
33
（3）
2
S = S −S −S −S
【解析】 ΔABC GFCH ΔABG ΔAFC ΔHBC．
= 3x−8
18 【答案】（1）原式 ；
⎧ −2x−1,x < −2
⎨ −4x−5,−2 ≤ x < −1
（2）原式=⎩ ．
2x+1,x ≥ −1
– – –
[√1] [√2] [√3]
19 【答案】解：观察可得， 、 、 的值为1，共3个数；
– –
[√4] ...... [√8]
、 、 的值为2，共5个数；
......
−− −−
[√81] ...... [√99]
、 、 的值为9，共19个数；
−−−
[√100]
的值为10，共一个数．
故 原 式
= 3 ×1 +5 ×2 +7 ×3 +9 ×4 +11 ×5 +13 ×6 +15 ×7 +17 ×8
．
+19 ×9 +10 = 625
(a−3)x = −9
20 【答案】解：（1）原方程化简为 ,
9
a = 3 a ≠ 3 x =
当 时，无解；当 时， ．
3 −a
(a+1)x > 9
（2）原不等式化解为
a = −1
当 时，无解；
9
a < −1 x <
当 时， ；
a+19
a > −1 x >
当 时， ．
a+1
21 【答案】解：去分母，得
x−a−1 +a(x−a2 −1)+ax = a(a2 +a+3)
，
(a2 +a+3)x−a−1 −a3 −a = a4 +a3 +3a
即 ，
移项，合并同类项，得
(a2 +a+3)x = a4 +2a3 +5a
，
a4 +2a3 +5a
x =
系数化为1得： ．
a2 +a+1
3a x+2b y = 5c ,
22 【答案】 { 1 1 1
解 ： 依 题 意 ， 方 程 组 可 写 为
3a x+2b y = 5c
2 2 2
⎧ 3 2
⎪
⎪a ( x)+b ( y) = c ,
⎪
1 5 1 5 1
⎨
，
⎪ 3 2
⎩⎪
⎪a ( x)+b ( y) = c
2 5 2 5 2
3 2 a u+b v = c ,
记 u = x,v = y ，则u，v是方程组 { 1 1 1 的解，题目已经告诉我们
5 5 a u+b y = c
2 2 2
u = 3,
{
这个方程组的解为 ，
v = 4
5 5 x = 5, 3a x+2b y = 5c ,
x = u = 5,y = v = 10 { { 1 1 1
故 ，即 为方程组 的
3 2 y = 10 3a x+2b y = 5c
2 2 2
解．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 8 讲 乘法公式（一）
例题练习题答案
1
例1 【答案】（1） x2 −4 （2） 16y2 −9 （3） 16x4 −
4
9x4 −64 x4 −y2z2 50n4 −18m2
（4） （5） （6）
999991 −1
例2 【答案】（1） （2）
例3 (1)【答案】
a128 −1
764 −1
(2)【答案】
6
11
例4 【答案】
20
a = 15 b = 14
例5 【答案】 ， ．x2 +4x+4 4a2 −12a+9 4a2 −20ab+25b2
例6 【答案】（1） （2） （3）
9a2 +6ab+b2 4x2 +12xy +9y2 a2b2 +2abcd +c2d2
（4） （5） （6）
x4 −1 256 −y4 13x2 +13y2
例7 【答案】（1） （2） （3）
10xy +24y2 a2 −b2 −c2 +2bc
（ 4 ） （ 5 ） （ 6 ）
a2 +2ab+b2 −c2 +2cd −d2
−3
例8 【答案】
【解析】该题考查的是整式变形
x2 −2x−3 = x2 −2x+1 −4 = (x−1)2 −4
，
m = 1 k = −4
所在 ， ，
m+k = −3
则
例9 【答案】先化简：
= 2x2 −2y2 +x2 +2xy +y2 −xy +x2 −2xy +y2 +xy = 4x2
原式 ；
发现原式的值与y无关，所以将y的值抄错不影响最终计算结果．
14 ab = 14 (a−b)2 = 25
例10 【答案】（1） ；（2） ， ．
a+b+c = 0 (a+b+c)2 = 0
1 【答案】（1）∵ ，∴
a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc = 0
∴
a2 +b2 +c2 = 1 2ab+2ac+2bc = −1
∵ ，∴
1
ab+bc+ca = −
∴
2
(ab+bc+ca)2 = a2b2 +b2c2 +c2a2+2abc(a+b+c)
（2）
1
a2b2 +b2c2 +c2a2 =
∴
4
思维突破 / 初一 / 秋季
第 8 讲 乘法公式（一）
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】A
5 【答案】D(2x+3y)(2x−3y) 9x2 +24xy +16y2
6 【答案】（1） （2） ；
−3a2 +3b2 a2b2 +c2d2 +a2c2 +b2d2
（3） （4） ；
x4 −x2 +10x−25 n4 −m8
（5） （6） ；
2a2 +2b2 +2c2 −4bc 8ab+24bc
（7） （8） ．
x2 +y2 = (x+y)2 −2xy = 12 −2 ×(−1) = 3
7 【答案】 ，
x4 +y4 = (x2 +y2) 2 −2x2y2 = 32 −2 ×(−1)2 = 7
．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 8 讲 乘法公式（一）
课堂落实答案
9y2 −x2 4x2 +4x+1
1 【答案】（1） （2） ；
25m2 +60mn2 +36n4 x8 −y8
（3） （4） ；
9a2 −b2 +4bc−4c2 4x2 +y2 +9z2 −4xy +6yz −12zx
（5） （6） ．
2 【答案】C
3 【答案】C
4 【答案】（1）21； （2）433．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 9 讲 乘法公式（二）
例题练习题答案
x3 +1 y3 +8
例1 【答案】（1） （2）
27a3 −1 −8x3 −1
（3） （4）
x−2y
例2 【答案】
4x2 −6xy +9y2
4y
9x2
16y2
a6 −b6 28x3
例3 【答案】（1） （2）63
例4 【答案】 a6 +16a3b3 +128b6
64
x3 +6x2 +12x+8 8b3 +36b2 +54b+27
例5 【答案】（1） （2） ．
8a3 −36a2 +54a−27 8a3 −12a2 +6a−1
例6 【答案】（1） （2）
x6 −3x5 +3x4 −x3 8a3b3 −36a2b3 +54ab3 −27b3
（3） （4）
17
例7 【答案】
．
3
例8 【答案】（1）343； （2）27305．
1 1
例9 【答案】（1） z ， 9y2 ， xz （2） a2 +b2 +c2 +2ab−2bc−2ac
4 2
1 1
x2 + y2 +4z2 − xy −yz −2xz −2c (−ab+2bc+2ca)
（3） （4） ，
4 2
25
例10 【答案】
2
a+b = −(c+d)
1 【答案】证明：由已知得
(a+b)3 = [−(c+d)]3
∴
a3 +3a2b+3ab2 +b3 = −c3 −3c2d −3cd2 −d3
∴
a3 +b3 +c3 +d3 = −3ab(a+b)−3cd(c+d)
∴
a+b = −(c+d) c+d = −(a+b)
又∵ ，
∴
a3 +b3 +c3 +d3 = 3ab(c+d)+3cd(a+b)= 3(abc+bcd +cda+dab)
思维突破 / 初一 / 秋季
第 9 讲 乘法公式（二）
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
8y3 +27
3 【答案】（1）
1
125a3 − b6
（2）
8
27y3 +108y2 +144y +64
（3）
216a6 −540a4b+450a2b2 −125b3
（4） ．
= a4 +2a3 +2a2 +2a+1 −a4 −2a3 −3a2 −2a−1 = −a2
4 【答案】（1）原式（2）原式
= [(a−b)+(b−c)][(a−b)2 −(a−b)(b−c)+(c−b)2]−(a−b)3
−(b−c)3
= (a−b)3 +(b−c)3 −(a−b)3 −(b−c)3 = 0
．
5 65 4175
5 【答案】 −
（1） ；（2） ；（3）
3 3 9
思维突破 / 初一 / 秋季
第 9 讲 乘法公式（二）
课堂落实答案
8 −y3 27a3 +1
1 【答案】（1） ； （2） ；
8a3 +12a2 +6a+1 8b3 −36b2 +54b−27
（3） ； （4） ；
a6 −3a4 +3a2 −1 a3 +b3 +8c3 −6abc
（5） ； （6） ．
2 【答案】（1）12； （2）52．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 10 讲 几何初步综合
例题练习题答案
例1 【答案】当点B在AC之间时, AC = AB +BC ，则 AB = 4 ， BC = 6 ；
当点A在BC之间时, AC = BC −AB ，则 AB = 20 ， BC = 30 .
∵ C BC = 4
例2 【答案】解：（1） 点 对应的数为6， ，
∴ B 6 −4 = 2
点 表示的数是 ，
∵ AB = 12
，
∴ A 2 −12 = −10
点 表示的数是 ．
∵ P Q A C
（2）① 动点 、 分别同时从 、 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时
t
间是 ，
∴ AP = 6t CQ = 3t
， ，
1
∵ M AP N CQ CN = CQ
为 的中点， 在 上，且 ，
31 1
∴ AM = AP = 3t CN = CQ = t
， ，
2 3
∵ A −10 C
点 表示的数是 ， 表示的数是6，
∴ M −10 +3t N 6 +t
表示的数是 ， 表示的数是 ．
∵ OM = |−10 +3t| BN = BC +CN = 4 +t OM = 2BN
② ， ， ，
∴ |−10 +3t| = 2(4 +t) = 8 +2t
，
−10 +3t = 8 +2t t = 18
由 ，得 ，
2
−10 +3t = −(8 +2t) t =
由 ，得 ，
5
2
t = 18 t = OM = 2BN
故当 秒或 秒时 ．
5
OM = |−10 +3t| BN = 4 +t |−10 +3t| = 2(4 +t)
【解析】（2） ， ，∴
例3 【答案】①如图1，
∠AOB = 2α ∠BOC = 3α ∠COA = 5α = 45∘
设 ，则 ， ，
∠AOB = 18∘ ∠BOC = 27∘
∴ ， ；
图1
②如图2，
∠AOB = 2α ∠BOC = 3α ∠COA = α = 45∘
设 ，则 ， ，
∠AOB = 90∘ ∠BOC = 135∘
∴ ， .
图2
10∘
例4 【答案】
10∘ 14∘ 30∘ 42∘
或 或 或例5 【答案】B
例6 【答案】证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知）
∴CF∥DE（垂直于同一条直线的两条直线平行）
∠1 = ∠BCF
∴ （两直线平行，同位角相等）
∠1 = ∠2
∵ （已知）
∠BCF = ∠2
∴ （等量代换）
∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行）
例7 【答案】证明：∵AC∥DE，
∴∠2=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∴AB∥CE，
∴∠B+∠BCE=180°，
∵∠B=∠3，
∴∠3+∠BCE=180°，
∴AE∥BD．
【解析】根据平行线的性质求出∠2=∠4．求出∠1=∠4，根据平行线的判定得出AB∥CE，根据平行
线的性质得出∠B+∠BCE=180°，求出∠3+∠BCE=180°，根据平行线的判定得出即可．
例8 【答案】根据三角形外角定理可得，
∠ACE = ∠A +∠ABC ∠PCE = ∠P +∠PBC
， ，
BP ∠ABC CP ∠ACE
∵ 是 的角平分线， 是 的角平分线，
1 1
∠ACE = ∠P + ∠ABC
∴ ，
2 2
1
∠P = ∠A
∴ ．
2
例9 【答案】连接AP并延长，根据内外角关系
∠P = ∠A +∠ABP +∠ADP
可得 ①
连接AC并延长，根据内外角关系∠C = ∠A +2∠ABP +2∠ADP
可得 ②
1
2∠P −∠C = ∠A ∠P = (∠A +∠C)
①×2-②，得 ，即
2
1
例10 【答案】∵ ∠P = 180∘ − (∠FBC +∠ECB) ，
2
∠FBC +∠ECB
∵
= 360∘ −(∠ABC +∠ACB)
= 360∘ −(180∘ −∠A)
1
∠P = 90∘ − ∠A
∴
2
1 【答案】解析：
（1）AB∥CD
证明：如图1，过E作MN∥AB，
∠B = ∠BEN
∴ ，
∠B +∠D = ∠BED
∵ ，
∠BEN +∠DEN = ∠BED
，
∠D = ∠DEN
∴ ，
∴CD∥MN
∴AB∥CD．
∠B +∠D+∠E = 360∘
（2）
证明：如图2，过E作MN∥AB，
故MN∥AB∥CD，
∠B +∠BEM = 180∘
∴ ，
∠D+∠DEM = 180∘
∴ ，
∠B +∠BEM +∠D+∠DEM = 360∘
∴ ，
∠B +∠D+∠BED = 360∘
即 ．
∠E = ∠B −∠D
（3）
证明：如图3，过E作MN∥AB，
故MN∥AB∥CD，
∠B = ∠BEN
∴ ，
∠D = ∠DEN
∴ ，
∠E = ∠BEN −∠DEN
∵ ，
∠E = ∠B −∠D
∴ ．
∠E +∠G = ∠B +∠F +∠D
（4）
证明：如图4，分别过E、F、G作MN、ST、PQ平行AB，则AB∥MN∥ST∥PQ∥CD，
∠B = ∠BEN ∠NEF = ∠EFS
∴ ， ，
∠SFG = ∠FGQ ∠QGD = ∠D
， ，
∠B +∠EFS +∠SFG+∠D = ∠BEN +∠NEF +∠FGQ+∠QGD
∴ ，
∠E +∠G = ∠B +∠F +∠D
即 ．
（ 5 ）
∠E +∠E +⋯+∠E = ∠B +∠D+∠F +∠F +⋯+∠F
1 2 n 1 2 n−1．
证明同（4），略．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 10 讲 几何初步综合
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
【解析】 ∠3 = ∠5 是同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB∥CD．
故选：D．
3 【答案】A
4 【答案】B
5 【答案】C
60∘
6 【答案】(1) ∵ BE ∠ABD
7 (1)【答案】证明: 平分 (已知),
∴ ∠ABD = 2∠1
(角平分线的定义).
∵ DE ∠BDC
平分 (已知),
∴ ∠BDC = 2∠2
(角平分线的定义).
∴ ∠ABD+∠BDC = 2∠1 +2∠2 = 2(∠1 +∠2)
(等量代换).
∵ ∠1 +∠2 = 90∘
(已知),
∴ ∠ABD+∠BDC = 180∘
(等式的性质).
∴ AB // CD
(同旁内角互补，两直线平行).
∵ ∠1+ ∠2 = 90∘
(2)【答案】 ,
∴ ∠BED = 180∘ − (∠1+ ∠2) = 90∘
,
∴ ∠BED = ∠EDF + ∠3 = 90∘
,
∵ ∠2 = ∠EDF
,
∴ ∠2+ ∠3 = 90∘
.
8 【答案】∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∠ADC = ∠EFC = 90∘
∴ ，
∴AD∥EF，
∠1 = ∠DAB ∠2 = ∠DAC
∴ ， ，
∠1 = ∠2
∵ ，
∴ ∠DAB = ∠DAC ，即AD平分∠BAC
思维突破 / 初一 / 秋季
第 10 讲 几何初步综合
课堂落实答案
27
1 【答案】 27
或
4
∠COD = 20∘
2 【答案】
∠DOE +∠COF = 360∘ −140∘ −100∘ = 120∘ ∠COD = 20∘
提示 ，
3 【答案】 解：CD∥AB．
证明：∵CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°，∵∠ACE＝136°，
∴∠ACD＝360°﹣136°﹣90°＝134°，
∵∠BAF＝46°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAF＝180°﹣46°＝134°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 11 讲 全等三角形（一）
例题练习题答案
例1 【答案】B
例2 【答案】A
【解析】解：由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、
大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以
①②③④都正确的
故选：A．
例3 (1)【答案】D
(2)【答案】C
例4 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
例5 【答案】在△ABD和△CBD中，
⎧⎪ AB = CB(
已知
)
⎨AD = CD ( )
∵ 已知
⎩⎪
BD = BD ( )
公共边
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
AD = CF
例6 【答案】证明：∵ ，
AD+CD = CF +CD AC = DF
∴ ，即 ，在△ABC和△DEF中
⎧AB = DE
⎨AC = DF
⎩
BC = EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
例7 【答案】在△ABC和△DEC中，
⎧⎪ CA = CD (
已知
)
⎨∠ACB = ∠DCE ( )
∵ 对顶角相等
⎩⎪
CB = CE ( )
已知
∴△ABC≌△DEC（SAS）
AE = DC AD = BE ∠AEB = ∠DEC = ∠ADC
例8 【答案】∵ ， ，又 ，
∴△AEB≌△CDA，∴ AB = AC ，
AE = AB −1 = AC −1 = AC −CE
又 ，
CE = 1
∴ ．
例9 【答案】证明：（1）∵DA⊥AB，EA⊥AC
∠DAB = ∠EAC = 90∘
∴ ，
∠DAB +∠BAC = ∠EAC +∠BAC ∠DAC = ∠BAE
∴ ，即 ，
在△DAC和△BAE中
⎧AD = AB
⎨∠DAC = ∠BAE
⎩
AC = AE
∴△DAC≌△BAE（SAS）
BE = CD
∴
∠D = ∠B
（2） ，
由8字型DOAB可得： ∠DAB = ∠DOB = 90∘ ，
∴BE⊥CD
BM = BN BM⊥BN
例10 【答案】解： ，
AD⊥BC AE⊥CE
证明如下：由题， ， ，
∠AEC = ∠ADC = 90∘ ∠BAD = ∠DCE
∴ ， （2分）
∵ CM = AB ， AN = BC ，∴△BAN≌△MCB（2分）
BN = BM ∠BMC = ∠ABN AB⊥CM ∠CMB +∠MBE = 90∘
∴ ， ，∵ ，∴
∠MBN = ∠MBE +∠ABN = ∠MBE +∠CMB = 90∘
∴ ， ∴
BM⊥BN
（4分）
△CDF
1 (1)【答案】解: 是等腰直角三角形,理由如下:
∵ AF⊥AD ∠ABC = 90∘
, ,∴ ∠FAD = ∠DBC
,
△FAD △DBC
在 与 中,
⎧AD = BC
⎨∠FAD = ∠DBC
⎩ ,
AF = BD
∴ △FAD ≅△DBC(SAS)
,
∴ FD = DC
,
∴ △CDF
是等腰三角形,
∵ △FAD ≅△DBC
,
∴ ∠FDA = ∠DCB
,
∵ ∠BDC + ∠DCB = 90∘
,
∴ ∠BDC + ∠FDA = 90∘
,
∴ △CDF
是等腰直角三角形;
AF⊥AB A AF = BD DF CF
(2)【答案】作 于 ,使 ,连结 , ,如图,
∵ AF⊥AD ∠ABC = 90∘
,
∴ ∠FAD = ∠DBC
,
△FAD △DBC
在 与 中,
⎧AD = BC
⎨∠FAD = ∠DBC
⎩ ,
AF = BD
∴ △FAD ≅△DBC(SAS)
,
∴ FD = DC
,
∴ △CDF
是等腰三角形,
∵ △FAD ≅△DBC
,
∴ ∠FDA = ∠DCB
,
∵ ∠BDC + ∠DCB = 90∘
,
∴ ∠BDC + ∠FDA = 90∘
,
∴ △CDF
是等腰直角三角形,
∴ ∠FCD = 45∘
,
∵ AF // CE AF = CE
且 ,
∴ AFCE
四边形 是平行四边形,
∴ AE // CF
,∴ ∠APD = ∠FCD = 45∘
.
思维突破 / 初一 / 秋季
第 11 讲 全等三角形（一）
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】A
6 【答案】提示：证明△ABC≌△FED（SSS），
∴ ∠A = ∠F ，∴AB∥EF．
7 【答案】提示：证明△ADE≌△CDE（SAS），
∠DAE = ∠DCE ∠C = 37∘
∴ ，∴ ．
AEC BDC
8 【答案】提示：证明△ ≌△ （SAS），
AE = BD
∴ ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 11 讲 全等三角形（一）
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】B4 【答案】提示：证明△ABE≌△ACD（SSS），故 ∠ADE = ∠AED ；
或证明△ABD≌△ACE（SSS），故 ∠ADB = ∠AEC ， ∠ADE = ∠AED ．
5 【答案】解：∵OA=OB，∠O=∠O，OD=OB，
∴△OAD≅△OBC，
∠C = ∠D
∴ ，
∠O = 50∘ ∠D = 35∘
∵ ， ，
∠OAD = 180∘ −50∘ −35∘ = 95∘
∴ ，
∠AEC = 95∘ −35∘ = 60∘
∴ .
思维突破 / 初一 / 秋季
第 12 讲 全等三角形（二）
例题练习题答案
∠ABD ∠CBD
例1 【答案】∵ = （角平分线的定义）
在△ABD和△CBD中
⎧∠BDA = ∠BDC
（已知）
⎨BD = BD
⎩ （公共边）
∠ABD = ∠CBD
（已证）
∴△ABD≌△CBD（ASA）
例2 【答案】∵DE∥AB
∠EDA = ∠BAC
∴
在△ABC和△DAE中
⎧∠C = ∠E
⎨∠BAC = ∠ADE
∵⎩
AB = DA
∴△ABC≌△DAE（AAS）
例3 (1)【答案】在△ADC和△AEB中
⎧∠C = ∠B
⎨AC = AB
⎩
∠A = ∠A
∴△ADC≌△AEB（ASA）
(2)【答案】由（1）知，△ADC≌△AEB
AD = AE
∴AB −AD = AC −AE BD = CE
∴ ，即
∴△BMD和△CME中
⎧∠B = ∠C
⎨∠BMD = ∠CME
⎩
BD = CE
∴△BMD≌△CME（AAS）
例4 【答案】∵AC⊥BC，BD⊥AD．
∴△ABC与△BAD是直角三角形
在Rt△ABD和Rt△BAC中
AB = BA
{
∵
BD = AC
∴△ABD≌△BAC（HL）
例5 【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中
AD = BC
{
AB = BA
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
AC = BD ∠CAB = ∠DBA
∴ ，
在△ACE和△BDF中，
⎧∠CAB = ∠DBA
⎨∠AEC = ∠BFD = 90∘
⎩
AC = BD
∴△ACE≌△BDF（AAS）
CE = DF
∴
例6 【答案】A
例7 (1)【答案】B
(2)【答案】D
(3)【答案】D
例8 【答案】C
例9 (1)【答案】HL；ABP；DEQ；AAS
(2)【答案】AAS；ABP；DEQ；AAS（其他答案对均可）
(3)【答案】SSS；ABP；DEQ；SAS
BF⊥AC CE⊥AB
例10 【答案】证明：∵ ，
∠BED = ∠CFD = 90∘
∴△ BED △ CFD
在 和 中，
∠BED = ∠CFD = 90∘
，
∠BDE = ∠CDF BD = CD
，
△ BED △ CFD AAS
∴ ≌ （ ） ，
DE = DF
∴
Rt △ AED Rt △ AFD
在 和 中，
DE = DF AD = AD
， ，
Rt △ AED Rt △ AFD HL
∴ ≌ （ ）
∠EAD = ∠FAD
∴
∴点D在 ∠BAC 的平分线上
1 【答案】证明：设∠DME为∠5，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠5，即∠BME=∠CMD．
在△BME和△CMD中，
⎧⎪ ∠3=∠4
⎨BM=CM
，
⎩⎪
∠BME=∠CMD
∴△BME≌△CMD （ASA），
∴ME=DM．
在△BMD和△CME中，
⎧⎪ BM=CM
⎨∠1=∠2
，
⎩⎪
MD=ME
∴△BMD≌△CME（SAS），
∴BD=CE.
思维突破 / 初一 / 秋季
第 12 讲 全等三角形（二）
自我巩固答案
1 【答案】A【解析】ASA可证△ABD≌△AEC， ，所以 ，故选A
2 【答案】D
3 【答案】C
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】提示：证明：△ABC≌△EDC（ASA），故 AB = ED ．
7 【答案】提示：证明△BDE≌△CDF（AAS），
BE = CF
∴ ．
8 【答案】提示：证明△ABF≌△CDE（ASA），故 BF = DE ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 12 讲 全等三角形（二）
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】提示：证明△ABE≌△DCE（ASA），则 AE = DE ，故 AC = BD ．
4 【答案】（1）在Rt△ADB和Rt△CBD中，
AD = BC
{
，
BD = DB
∴Rt△ADB≌Rt△CBD（HL），
AB = DC
∴ ；
（2）∵Rt△ADB≌Rt△CBD，
∠ADB = ∠CBD
∴ ，
∴AD∥BC．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 13 讲 全等三角形综合（一）
例题练习题答案例1 【答案】提示：先证明：△DMB≌△EMC（AAS），
BM = CM DM = EM DC = EB
∴ ，又∵ ，可得
∵∠A为公共角，∴△ACD≌△ABE（AAS）
AB = AC
∴
例2 【答案】证明：∵AD为中线
BD = CD
∴
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∠BED = ∠CFD = 90∘ ∠AED = ∠AFD = 90∘
∴ ，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中
BD = CD
{
BE = CF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
DE = DF
∴
∴在Rt△ADE和Rt△ADF中
AD = AD
{
DE = DF
Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∠EAD = ∠FAD
∴
∴AD平分∠BAC
∠1 = ∠2 ∠3 = ∠4
例3 (1)【答案】∵ ，
∠DCB = ∠ABC
∴
∴△ABC≌△DCB（ASA）
AB = CD
∴
(2)【答案】由(1)知,△ABC≌△DCB
AB = CDAC = BD
∴ ,
∠1 = ∠2
又∵
∴△ABD≌△DCA（SAS）
∠ADB = ∠DAC
∴
在ACBD构成的8字型中，可得： ∠ADB = ∠DAC = ∠3 = ∠4
∴AD∥BC
△ DBN ≅△ EBM AAS
例4 【答案】提示，先证 ( ) ，
DB = EB
∴ ，DN = EM CN = AM
∵ , ,
AE = CD
∴ ，
△ ABE ≅△ CBD(SAS)
∴ ，
AB = BC
∴ ．
OA = OD BO = OC OE = OF
例5 【答案】因为 ， ， ，
可证△AOB≌△DOC，
△AOE≌△DOF，△EOB≌△FOC，最后证得△AEB≌△DFC．
∠AEB = ∠DEC = ∠ADC
例6 【答案】（1） ，
易证△ABE≌△CAD（SAS）；
AB = CA AE = CD
（2）由（1）可得 ， ，
AB = CA = AE +EC = CD+CE
∴ ．
例7 【答案】（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC
∠AEB = ∠CFD = 90∘
∴
∵AB∥CD
∠A = ∠C
∴
又∵
∴△ABE≌△CDF（AAS）
BE = DF
∴
∴△BEG≌△DFG（AAS）
FG = GE
∴
∴BD平分EF
（2）成立，
证明过程同（1）
例8 【答案】见解析
【解析】（1）∵BE＝DF，
∴BE－EF＝DF－EF，
即BF＝DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，
AD = BC
{
，
DE = BF
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）；（2）如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADO与△CBO中，
⎧⎪ ∠ADO∠CBO
⎨∠AOD∠COB
⎩⎪
AD = CB
△ ADO ≅△ CBO
∴ （AAS），
∴AO＝CO．
(1) ∠ACB = 90∘
例9 【答案】 ∵ ，
∠ACD+∠ECB = 90∘
∴
AD MN D BE MN E.
又∵ ⊥ 于 ， ⊥ 于
∠ADC = ∠CEB = 90∘ ∠ACD+∠DAC = 90∘
∴ ， ，
∠DAC = ∠ECB
∴ ，
AC = BC
又∵ ，
ADC CEB
∴△ ≌△ ，
CD = BE AD = CE
∴ ， ，
DE = CE +CD = AD+BE
∴ ．
(2) ADC CEB
①△ ≌△ 依然成立，
DE = AD+BE
② 不成立，
DE = AD−BE
可证
(1)
证明方法和第 问一样
【解析】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，⎧⎪ ∠CDA = ∠BEC
⎨∠DAC = ∠ECB
⎩⎪
AC = BE
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE.
（2）DE=AD−BE，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中
⎧⎪ ∠ACD = ∠CBE
⎨∠ADC = ∠BEC
⎩⎪
AC = BC
△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC−CD=AD−BE.
例10 【答案】（1）见解析
（2）CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME
【解析】（1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴∠ABC=∠DCB=45°，
∴BD=DC，
∵∠BDC=∠MDN=90°，
∴∠BDN=∠CDM，
∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，
在△DBN和△DCM中，
⎧⎪ ∠BDN = ∠CDM
⎨ BD = DC
，
⎩⎪
∠DBN = ∠DCM
∴△DBN≌△DCM（ASA）．（2）结论：NE﹣ME=CM．
证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．
作DF⊥MN于点F，又 ND⊥MD，∴DF=FN，
在△DEF和△CEM中，
⎧⎪ ∠DEF = ∠CEM
⎨∠DFE = ∠CME
，
⎩⎪
DE = CE
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴ME=EF，CM=DF，
∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．
39∘
1 【答案】 ．
【解析】连接BD、AE，易证 △ DAB ≌ △ BCF （SAS），
BD = BF ∠BDF = ∠BFD
得到 ， ，
AD // CF
∵ ，
∠ADF = ∠CFD
∴ ，
∠ABF = ∠DFB +∠ADF = ∠BFC +2∠CFD
∴ ，
∠BAF = ∠AFC +2∠CFE
同理 ，
∠AFB = 51∘ ∠ABF +∠BAF = 129∘
由题可知 ，可得 ，
∠BFC +2∠CFD+∠AFC +2∠CFE = 51∘ +2∠DFE = 129∘
，
∠DFE = 39∘
解得： ．
思维突破 / 初一 / 秋季第 13 讲 全等三角形综合（一）
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】D
4 【答案】提示，先证△ABC≌△DCB，再证△ABE≌△DCE， BE = CE ．
5 【答案】提示：证明△ABE≌△ACD（AAS），则 AB = AC ，故 BD = CE ，
△BDF≌△CEF（AAS），则 DF = EF ．
6 【答案】提示：证明△AMC≌△BMD（SSS），则 ∠CAB = ∠DBA ，
△ACB≌△BDA（SAS），则 AD = BC ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 13 讲 全等三角形综合（一）
课堂落实答案
1 【答案】B
AO = BO
2 【答案】提示：由题意 ，
先证△OCB≌△ODA（SAS），
∠A = ∠B
故 ，
再证△ACP≌△BDP（AAS），
再证△OAP≌△OBP（SAS），
∠AOP = ∠BOP
故 ．
3 【答案】△ADC≌△ADB≌△AEB；
△EFB≌△DFB；△AEF≌△ADF
提示，△EFB≌△DFB可以利用二次全等进行证明，先证△ADB≌△AEB，得到
BE = BD ， ∠EBF = ∠DBF ， BF = BF ，△EFB≌△DFB．
4 【答案】提示，先证△ABE≌△ACF（ASA）， AB = AC ， ∠B = ∠C ，再证△AMB≌△ANC．
思维突破 / 初一 / 秋季第 14 讲 全等三角形综合（二）
例题练习题答案
例1 【答案】8
例2 (1)【答案】连接AO，过点O分别做AC，BC，AB的垂线交于点D，E，F；
∵CO平分 ∠ACB ，BO平分 ∠ABC ，
∴OD=OE，OE=OF，
∴OD=OF，
∴点O在∠A的平分线上．
(2)【答案】连接CD，过点D分别做AM,BC,CN的垂线交于点E,F,G,
∵AD平分∠BAC，BD平分∠MBC,
∴DE=DF，DE=DG，
∴DF=DG，
∴点D在∠NCB的平分线上．
例3 【答案】D
例4 【答案】 DP⊥AC 于P，
∵BD是 ∠ABC 的平分线，
CD是 ∠ACE 的平分线，
DM = DN = DP
∴ ，
∴AD是 ∠CAN 的角平分线，
∠CAD 55∘
∴ 为 ．例5 【答案】4
【解析】过点O作OM⊥AB于M，
延长MO交CD于N
∵AB∥CD
∴MN⊥CD于N
OM = OE = ON
根据角平分线的性质，可得
∴AB、CD间的距离为 OM +ON = 4
例6 【答案】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
CD=AD
{
，
DE=DF
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD=∠C，
∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．
【解析】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
CD=AD
{
，
DE=DF
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD=∠C，
∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．
∠BAC = ∠DAE
例7 (1)【答案】∵
∠BAD = ∠CAE
∴
∠BAC = ∠BOC
∵
∴由BOAC构成的8字型： ∠B = ∠C
∴△ABD≌△ACE（ASA）
(2)【答案】过A分别作AM⊥BD，AN⊥CE
∴△BAM≌△CAN（AAS）
AM = AN
∴
∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL）
∠BOA = ∠EOA
∴
∴OA平分∠BOE例8 【答案】
在BC上截取 BF = BD ，只需证明 CE = CF 即可，
∵BP平分∠ABC
∴△BPD≌△BPF（SAS）
∠BPD = ∠BPF
∴
1
∠BPC = 90∘ + ∠A = 120∘
由角平分线角度模型， ，
2
∠BPD = ∠BPF = ∠CPF ∠CPE = 60∘
∴ = ，
又∵CP平分∠ACB
∴△CPF≌△CPE（ASA）
CE = CF
∴
BD+CE = BC
∴
例9 【答案】延长BA、CE交于点F，
CE = EF
容易得 ，
△ABD≌△ACF．
1
CE = BD
．
2
AB > AC
例10 (1)【答案】∵ ，
∴在AB上截取 AM = AC ，连结CM，作∠BAC的角平分线交CM于点D
∵AD平分∠BAC
∴△ADM≌△ADC（SAS）
∠AMD = ∠C
∴
在△BMD中，由外角定理： ∠B +∠MDB = ∠AMD
∠AMD > ∠B
∴∠C > ∠B
∴
∠C > ∠B
(2)【答案】∵
∴由外角定理，可以在AB上找一点M，使得 ∠AMD = ∠C
其余与（1）同理
1 (1)【答案】Rt△BEP≌Rt△BFP（HL）
∠BPE = ∠BPF
∴
Rt△PDG≌Rt△PDF（HL）
∠GPD = ∠FPD
∴
1
∠BPD = ×180∘ = 90∘
∴
2
(2)【答案】在DB上截取 DM = GD ，
GD+BE = BD
∵
BE = BM
∴
∵PD平分∠BDC
∴△PDG≌△PDM（SAS）
PG = PM ∠PMD = ∠PGD = 90∘
∴ ，
∴Rt△BEP≌Rt△BMP（HL）
PE = PM
∴
PE = PG
∴
(3)【答案】在AB上截取 AF = AC ，只需证明 BD = BF 即可，
∵AC∥BD
∠CAB +∠DBA = 180∘
∴∵AE、BE分别平分∠CAB、∠ABD
1
∠EAB +∠EBA = (∠CAB +∠DBA) = 90∘
∴ ，
2
∠AEB = 90∘
∴
∵AE平分∠CAB
∴△CAE≌△FAE（SAS）
∠CEA = ∠FEA
∴
∠CEA +∠BED = 90∘ ∠FEA +∠BEF = 90∘
∵ ，
∠BEF = ∠BED
∴
又∵BE平分∠ABD
∴△FBE≌△DBE（ASA）
BD = BF
∴
AB = AC +BD
∴
思维突破 / 初一 / 秋季
第 14 讲 全等三角形综合（二）
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】提示：过点M向DA做垂线段MN，与DA交于点N．
则 MN = MB ，∵M为CB的中点，∴ MB = MC ，
则 MN = MC ．∴MD平分 ∠ADC ．5 【答案】连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
BE = CE,
{
EF = EG,
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG
6 【答案】提示：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质得到 DN = DM ，根据
∠AED+∠AFD = 180∘ ∠AED = ∠CFD
四边形内角和定理得到 ，故 ，再证明
△EMD≌△FND（AAS），则 DE = DF ．
思维突破 / 初一 / 秋季第 14 讲 全等三角形综合（二）
课堂落实答案
1 【答案】B
【解析】该题考查的是角平分线性质．
角平分线到角两边的距离相等；
∠MON PA = 2
∵OP是 的角平分线且
∴点P到OM的距离也为2，即PQ的最小值为2
所以答案选B
2 【答案】2：3：4
【解析】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，
∵AB=20，BC=30，AC=40，
∴S ：S ：S =2：3：4．故答案为：2：3：4．
△ABO △BCO △CAO
3 【答案】5cm
OD⋅BC OD⋅AB OD⋅AC OD×18
【解析】 连接OA，∴ + + = 45 ．即 = 45 ．
2 2 2 2
4 【答案】证明：∵CD=CA，E是AD的中点，
∴∠ACE=∠DCE．
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF．
∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，
∴∠ACE+∠ACF=90°．
即∠ECF=90°．
∴CE⊥CF．
思维突破 / 初一 / 秋季第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】A
2 【答案】C
【解析】∵∠2＝∠3，
∴∠DCE＝∠3＋∠ACD＝∠2＋∠ACD＝∠ACB，
即：∠ACB＝∠DCE，
又∵AC＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∠1＋∠BAC＝∠DAC＝∠3＋∠CEA，
∵∠1＝∠3，
∴∠BAC＝∠CEA
在△ABC和△EDC中，
∠ACB＝∠DCE，AC＝CE，∠BAC＝∠E，
∴△ABC≌△EDC，
∴DE＝AB．
3 【答案】B
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】D
a6 −6a4b+12a2b2 −8b3
7 【答案】
8 【答案】110°
9 【答案】√ √ √ ×
10 【答案】124
216
11 【答案】
12 【答案】50°
±6
13 【答案】1
14 【答案】（1） 4a2+4ab+b2 ； （2） -9y2
4
12x -3a2b−3ab2 +7b3
（3） （4）
15 【答案】20°
【解析】∵AB∥CD，∠ABC＝46°，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°，
∵EF∥CD，∠CEF＝154°，
∴∠ECD＝180°－∠CEF＝180°－154°＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD－∠ECD＝46°－26°＝20°．
16 【答案】解：∵∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=15°（已知）
∴∠AFC=∠DFG=∠ACB-∠CAD=90°.（三角形外角的性质）
∴∠D=180°-∠DGF-∠DFG=30°（三角形内角和定理）
又∵∠B=30°
∴∠B=∠D
△ ABC △ ADE
在 和 中
⎧∠ACB = ∠AED
⎨∠B=∠D
∵⎩
AB=AD
∴ △ ABC ≅△ ADE （AAS）
△ ADB △ BCA
17 【答案】证明：在 和中，
⎧AD = BC
⎨∠ADB=∠CBA
⎩
AB=BA
∴ △ ADB ≅△ BCA （SAS）
∴ ∠D=∠C，
△ ADE △ BCE
在 中
⎧∠D = ∠C
⎨∠DEA=∠CEB
⎩
AD=BC
∴ △ ADE ≅△ BCE （AAS）
∴∠DAE=∠CBE.
18 【答案】证明：
（1）∵∠BAC=90°，
∴∠CAE=∠BAC=90°，
在Rt△BAD和Rt△CAE中
BD = CE
{
AB = AC∴Rt△BAD≌Rt△CAE（HL），
∴AD=AE；
（2）由（1）可知Rt△BAD≌Rt△CAE，
∴∠ADB=∠E，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠E=90°，
∴∠BFE=90°，即BF⊥CE．
19 【答案】提示：过D作DF⊥BA于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DF=DE，
由∠ABE+∠ADC=180°，可得∠BAD+∠DCB=180°，
∴∠DAF=∠DCE，
∴
△ DFA ≅△ DEC(AAS)，
∴EC=AF，
由 △ DFB ≅△ DEB 得BF=BE，
∴BE=BF=BA+AF=AB+CE
20 (1)【答案】如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点， BP = PA ．
3 −x = x−(−1)
依题意得 ，
x = 1
解得 ；
【解析】根据点P到点A、点B的距离相等，结合数轴可得答案；
(2)【答案】由 AB = 4 ，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在
A点左侧，或B点右侧．
①P在点A左侧， PA = −1 −x ， PB = 3 −x ，
(−1 −x)+(3 −x) = 5
依题意得 ，
x = −1.5
解得 ；
②P在点B右侧， PA = x−(−1) = x+1 ， PB = x−3 ，(x+1)+(x−3) = 5
依题意得 ，
x = 3.5
解得 ；
【解析】此题要分两种情况：①当P在AB左侧时，②当P在AB右侧时，然后再列出方程求解即
可；
(3)【答案】设运动t分钟，此时P对应的数为 −t ，B对应的数为 3 −20t ，A对应的数为
−1 −5t
．
①B未追上A时， PA = PB ，则P为AB中点．B在P的右侧，A在P的左侧．
PA = −t−(−1 −5t) = 1 +4t PB = 3 −20t−(−t) = 3 −19t
， ，
1 +4t = 3 −19t
依题意有 ，
2
t =
解得 ；
23
②B追上A时，A、B重合，此时 PA = PB ．A、B表示同一个数．
−1 −5t = 3 −20t
依题意有 ，
4
t =
解得 ．
15
2 4
即运动 或 分钟时，P到A、B的距离相等．
23 15
【解析】点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢．故P点总
位于A点右侧，B可能追上并超过A．P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论．
(2a+b)2+(b+1)2=0
21 【答案】（1）由条件可得， ，（3分）
2a+b = 0 a = 1
{ { 2
由完全平方数的非负性得 （1分），解得 （1分）
b+1 = 0 b = −1
(x−1)2 +(y +2)2 +(z −3)2 = 0
（2）由条件可得， （2分）
⎧⎪ x−1 = 0 ⎧⎪ x = 1
⎨ y +2 = 0 ⎨ y = −2
由完全平方数的非负性得 ，（1分）解得 ，（1分），
⎩⎪ ⎩⎪
z −3 = 0 z = 3
x+y +z = 2
故 （1分）
