文档内容
能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 三角形的边
例题练习题答案
例1 (1)【答案】C
(2)【答案】C
例2 【答案】B
【解析】A、∵5+4 = 9，9 = 9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8 = 16，16 > 15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5 = 10，10 = 10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7 = 13，13 < 14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
练2.1 【答案】B
例3 【答案】c−a+b
练3.1 【答案】A
例4 【答案】A
例5 【答案】A
练5.1 (1)【答案】 解：∵∠BAC＝90∘，AD是边BC上的高
1 1
∴ AB⋅AC = BC⋅AD
2 2
AB⋅AC 6×8
∴AD = = = 4.8(cm)
BC 10
即AD的长度为4.8cm(2)【答案】解：∵△ABC是直角三角形
∠BAC＝90∘，AB = 6cm，AC = 8cm
1 1
( )
2
∴S = AB⋅AC = ×6×8＝24 cm
△
ABC
2 2
又∵AE是边BC的中线
∴BE＝EC
1 1
∴ BE⋅AD = EC⋅AD
2 2
即S = S
△ABE △AEC
1
( )
2
∴S = S = 12 cm
△ △ABC
AEC
2
∴△AEC的面积是12cm 2
例6 【答案】解：∵AD是BC边上的中线
∴D为BC的中点，CD＝BD
∵△ADC的周长−△ABD的周长 = 5cm
∴AC−AB = 5cm
又∵AB+AC = 13cm
∴AC = 9cm
即AC的长度是9cm．
练6.1 【答案】D
例7 【答案】C
例8 【答案】解：∵AD、CF是 △ ABC的角平分线，
1
∴∠DAC = ∠BAC = 30∘，
2
∠ABC = 2∠CBE = 50∘．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 三角形的边自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】解：2种，理由如下：
根据三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，满足条件的选法：
9、12、16；12、16、25，
共有2种选法．
4 【答案】B
【解析】三角形任意两边和大于第三边，两边之差小于第三边，则有：
|c−a+b|+|b−c−a|−|a+c−b|
= c−a+b−b+c+a−a−c+b = b+c−a，
故选B .
5 【答案】∠ABC = 30∘，∠ACB = 120∘．
6 【答案】B
7 【答案】C
8 【答案】B
9 【答案】解：利用面积相等可知，
AD⋅BC AC⋅BE
=
2 2
又∵AD=3，BC=6，AC=5
∴BE=3.6
10 【答案】6
【解析】解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD = AD，即△ACD和△BCD的周长差是AC与BC的差，
∵AC = 9 cm，BC = 3 cm，
∴△ACD和△BCD的周长差是6 cm．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 三角形的边课堂落实答案
1 【答案】D
【解析】直角三角形、锐角三角形和钝角三角形均至少有两个锐角，仅凭∠A是锐角无法判断
△ ABC的形状，三种情况均有可能，故选D．
2 【答案】A
3 【答案】12
5
4 【答案】A
5 【答案】19
【解析】解：∵AD是BC边上的中线
∴BD = CD
∴△ABD和△ACD周长的差 = (AB+BD+AD)−(AC+AD+CD) = AB−AC
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm
∴△ACD周长为：25−6 = 19(cm)
故答案为19．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 三角形的边
精选精练
1 【答案】C
【解析】解：∵∠AED是△ACE的外角，∠ACB = 90∘，
∴∠AED > 90∘，∠AEB > 90∘，
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB > 90∘，
∴图中钝角三角形共有3个：△ADE，△ABD，△ABE．
故选：C．
2 【答案】解： ∵ a，b，c为△ABC的三边长，
∴a−b+c > 0，c−a−b < 0，a+b+c > 0.
∴|a−b+c|−2|c−a−b|+3|a+b+c|= (a−b+c)+2(c−a−b)+3(a+b+c)
= a−b+c+2c−2a−2b+3a+3b+3c
= 2a+6c．
3 【答案】B
4 【答案】
作法：过A、B作三角形的高，由于锐角三角形的三条高交于三角形内的一点，过两条高的
交点作AB的垂线即为所求．
5 【答案】B
6 【答案】D
能力强化 / 初二 / 暑假
第 2 讲 三角形的角
例题练习题答案
例1 【答案】60°
练1.1 【答案】131°
例2 【答案】 解：∵∠A = 30∘
∴∠B+∠C = 180∘ −∠A = 150∘
∵∠C = 2∠B
∴3∠B = 150∘
∴∠B = 50∘
【解析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，把∠C = 2∠B代入求出即可．
练2.1 【答案】 解：∵∠A = 55∘
∴∠B+∠C = 180∘ −∠A = 125∘
∵∠C = 4∠B∴5∠B = 125∘
∴∠B = 25∘
∴∠C = 100∘
练2.2 【答案】 解：∵∠C = 20∘
∴∠A+∠B = 180∘ −∠C = 160∘
∵∠A−2∠B = 70∘
∴3∠B = 90∘
∴∠B = 30∘
∴∠A = 130∘
例3 【答案】C
【解析】∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD = ∠A+∠B，
∵∠A = 70∘，∠B = 60∘，
∴∠ACD = 70∘ +60∘ = 130∘．
故选：C．
练3.1 【答案】B
【解析】 ∵∠2 = 120∘，∠3 = 100∘
∴∠4 = 180∘ −∠3 = 180∘ −100∘ = 80∘
∴∠1 = ∠2−∠4 = 120∘ −80∘ = 40∘
故选：B．
例4 【答案】C
【解析】∵AB//CD
∴∠FEB = ∠C
∵∠FEB = ∠A+∠F，∠A = 35∘，∠F = 40∘
∴∠C = ∠FEB = 35∘ +40∘ = 75∘
故选：C．练4.1 【答案】60
例5 【答案】C
练5.1 【答案】80
【解析】 ∵AD是△ABC的外角平分线，∠B = 30∘，∠DAE = 65∘
∴∠EAC = 2∠DAE = 2×65∘ = 130∘
∵∠EAC是△ABC的外角
∴∠ACB = ∠EAC−∠B = 130∘ −30∘ = 100∘
∴∠ACD = 180∘ −∠ACB = 180∘ −100∘ = 80∘
故答案为：80．
例6 (1)【答案】A
(2)【答案】C
(3)【答案】B
练6.1 【答案】D
练6.2 【答案】C
例7 【答案】A
【解析】 ∵∠A+∠B+∠C+∠D = 360∘
又∵∠A+∠B+∠C = 240∘
∴∠D = 360∘ −240∘ = 120∘
故选：A．
练7.1 【答案】C
例8 【答案】C
【解析】设这个多边形的边数是n，由多边形的内角和公式，
(n−2)×180∘ = 720∘，
解得n = 6，
∴这个多边形的边数是6．
故选：C．
练8.1 (1)【答案】D
(2)【答案】9
例9 【答案】七或八或九练9.1 【答案】五或六或七
能力强化 / 初二 / 暑假
第 2 讲 三角形的角
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】C
3 【答案】105°
4 【答案】A
5 【答案】D
6 【答案】八或九或十
7 【答案】A
8 【答案】①②③④
9 【答案】A
10 【答案】解：设这个多边形的边数为n，
则(n−2)×180∘ = 1260∘，
解得n = 9，
∴这个多边形为九边形，对角线的条数为：
(9−3)×9
= 27（条）．
2
能力强化 / 初二 / 暑假
第 2 讲 三角形的角
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】解：∵DE//BC
∴ ∠C = ∠ADE，∠AED = ∠ABC，∠EDB = ∠CBD又 ∵ BD平分∠ABC
∴ ∠CBD = ∠ABD = ∠EDB
设∠CBD = α，则∠AED = 2α
∵ ∠A+∠AED+∠ADE = 180∘，∠ADE+∠EDB+∠BDC = 180∘
∴ ∠A+∠AED = ∠EDB+∠BDC，即45∘ +2α = α+72∘
解得：α = 27∘
又 ∵ ∠BED+∠AED = 180∘
∴ ∠BED = 180∘ −∠AED = 180∘ −27∘ ×2 = 126∘
3 【答案】120°
4 【答案】C
5 【答案】C
【解析】设这个多边形是n边形，
则(n−2)⋅180∘ = 900∘，
解得：n = 7，
即这个多边形为七边形．
故选：C．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 2 讲 三角形的角
精选精练
1 【答案】B
2 【答案】解：∵∠ADF＝∠B+∠F
∴∠F＝∠ADE−∠B＝50∘ −35∘＝15∘
∴∠CED＝∠ECF+∠F＝115∘ +15∘＝130∘
【解析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和计算即可．
3 【答案】证明：作射线AD，如图，∵∠3 = ∠B+∠1，∠4 = ∠C+∠2，
∴∠3+∠4 = ∠B+∠C+∠1+∠2，
∴∠BDC = ∠B+∠C+∠BAC．
4 【答案】A
【解析】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
故选：A．
5 【答案】解：设一个多边形的边数是n，则另一个多边形的边数是2n．
∵这两个多边形均为每个内角相等的多边形，
∘ ∘
360 360
∴这两个多边形的每个外角的度数分别是 和 ；
n 2n
∘
又∵第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15 ，
∘
∴第一个多边形的外角比第二个多边形的外角大15 ，
∘ ∘
360 360
∘
得到方程： − = 15 ，
n 2n
解得n = 12，
故这两个多边形的边数分别为12，24．
6 【答案】 解：设∠A = x，则∠B = x+20∘，∠C = 2x．
由四边形内角和定理得：
∠A+∠B+∠C+∠D = 360∘，
∴x+ ( x+20∘) +2x+60∘ = 360∘，
解得x = 70∘，
∴∠A = 70∘，∠B = 90∘，∠C = 140∘．
能力强化 / 初二 / 暑假第 3 讲 全等三角形（一）
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】B
例2 【答案】D
【解析】∵△ABC≌△DEF，
∴AB = DE，AC = DF，BC = EF，
∴BE = CF，
故A，B，C正确，D错误
故选：D．
练2.1 【答案】C
例3 【答案】B
【解析】∵△ABC≌△BAD，AD = 5cm，
∴BC = AD = 5cm，
故选：B．
练3.1 【答案】A
【解析】∵△ABD≌△EBC，
∴AB = EB，BD = BC，
∵AB = 3，BC = 5，
∴DE = BD−BE = 5−3 = 2．
例4 【答案】 证明：在△ABF和△DCE中，
AB = DC
{
AF = DE
BF = CE
∴△ABF≌△DCE（SSS）
练4.1 【答案】依次填写：
已知；DE，已知；AC，已知；EF；SSS．
【解析】根据三角形全等的判定方法，出现题中已知条件的需写已知．对应线段写在对应位置．三
边对应相等的两个三角形全等，利用的是定理：SSS．∵BE = CF（已知）
∴BE+EC = CF+EC
即BC = EF
在△ABC和△DEF中
AB = DE(已知)
{
AC = DF(已知)，
BC = EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
例5 【答案】 证明：在△ABC和△DCB中，
AB = DC
{
AC = BD
BC = CB
∴△ABC≌△DCB（SSS）
例6 【答案】证明：在△AOB和△COD中
OA = OC
{
∠AOB = ∠COD
OB = OD
∴△AOB≌△COD（SAS）
练6.1 【答案】证明：在△ABD和△BAC中
AD = BC
{
∠DAB = ∠CBA
AB = BA
∴△ABD≌△BAC（SAS）
例7 【答案】证明：在△AOD和△BOC中
OA = OB
{
∠O=∠O
OD = OC
∴△AOD≌△BOC(SAS)
练7.1 【答案】证明：∵BE = FC
∴BE+EF = CF+EF
即BF = CE在△ABF和△DCE中
AB = DC
{
∠B=∠C
BF = CE
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴∠A = ∠D
【解析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A = ∠D的结论．
例8 【答案】证明：∵AB∥ED
∴∠BAD=∠EDA
在 △ ABF和 △ DEC中
AB = DE
{
∠BAF = ∠EDC
AF = DC
∴ △ ABF≌ △ DEC（SAS）
∴BF=EC
练8.1 【答案】证明：∵AE∥DF，
∴∠A = ∠D．
∵AB = CD，
∴AB+BC = CD+BC．
即AC = BD．
在△AEC和△DFB中，
AE = DF
{
∠A = ∠D，
AC = DB
∴△AEC≌△DFB(SAS)，
∴∠E = ∠F．
【解析】根据平行线的性质可得到∠A = ∠D，根据等式的性质由已知AB = CD可得AC = BD，从而
可利用SAS来判定△AEC≌△DFB，再根据全等三角形的对应角相等即可得到∠E = ∠F．
能力强化 / 初二 / 暑假第 3 讲 全等三角形（一）
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】C
【解析】 ∵∠A = 80∘，∠B = 40∘，
∴∠C = 180∘ −∠A−∠B = 60∘，
∵ΔABC≌ΔDEF，
∴∠F = ∠C = 60∘，
故选：C．
4 【答案】A
【解析】∵△ABC≌△DEB，
∴AB=DE=8，BE=BC=5，
∴AE=AB-BE=3，
故选：A．
5 【答案】C
【解析】解：∵ △ ABC≌ △ AEF，
∴AC = AF，∠EAF = ∠BAC，EF = BC，
故①正确；故③正确；
∴∠FAC = ∠EAB ≠ ∠FAB，故②错误；④正确；
综上所述，结论正确的是①③④共3个．
故选：C．
6 【答案】A
7 【答案】证明：∵C是AB的中点，
∴AC = BC，
在△ACD和△CBE中，
AC = CB
{
CD = BE，
AD = CE
∴△ACD≌△CBE (SSS)．
【解析】根据中点定义可得AC = BC，再利用SSS判定△DCA≌△EBC即可．8 【答案】在△ABD和 △ ACD 中，
_
AB = AC (已知)
{ _
BD = CD (已知)
_
AD = AD (公共边)
_
∴△ABD≌△ACD(SSS)
9 【答案】B
10 【答案】证明：∵BF = CE
∴BC = EF
在 △ ABC 和 △ DEF 中
BC = EF
{
∠ACB = ∠DFE
AC = DF
∴ △ ABC≌ △ DEF(SAS)
∴AB = DE
能力强化 / 初二 / 暑假
第 3 讲 全等三角形（一）
课堂落实答案
1 【答案】B
【解析】A、圆里面的正方形与已知图形不能重合，错；
B、与已知图形能完全重合，正确；
C、中间是长方形，与已知图形不重合，错；
D、中间是长方形，与已知图形不重合，错．
故选：B．
2 【答案】C3 【答案】6
【解析】∵△ABC≌△EDF，
∴AC = EF，
∴AE+CE = EC+CF，即AE = CF，
∴AE+EC+CF = 2AE+CE = AF，
∴2AE+8 = 20，解得AE = 6，
故答案为：6．
4 【答案】B
【解析】根据AB = AC，BE = EC，AE = AE可以推出△ABE≌ △ACE， 理 由 是 SSS， 其 余
△ABD≌△ACD，△BED≌△CED不能直接用SSS定理推出，△ABE和△EDC不全等，
故选：B．
5 【答案】C
【解析】∵OA = OD，
而且∠AOB = ∠DOC，
∴当OB = OC时，可利用“SAS”判断△ABO≌△DCO．
故选：C．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 3 讲 全等三角形（一）
精选精练
1 【答案】D
【解析】 解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
故选：D．
2 【答案】∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=20，
即x=20．故答案为20．
3 【答案】6
4 【答案】②④
5 【答案】DC = EB
理由如下：证明：连接BC
在△BDC和△CEB中
BD = CE
{
DC = EB
BC = CB
∴△BDC≌△CEB（SSS）
∴∠BDC＝∠CEB
∵∠BOD＝∠COE
∴∠ABE＝∠ACD
6 【答案】解：（1）△APO≌△BPO，△ADO≌△BCO，△OCP≌△ODP，△ACP≌△BDP．
（2）证明△APO≌△BPO
∵OP平分∠AOB
∴∠AOP=∠BOP
在△APO和△BPO中
OA = OB
{
∠AOP = ∠BOP
OP = OP
∴△APO≌△BPO（SAS）
能力强化 / 初二 / 暑假
第 4 讲 全等三角形（二）
例题练习题答案
例1 【答案】 证明：在 △ ABF和 △ DCE中，∠AFB = ∠DEC
{
BF = CE
∠B = ∠C
∴△ABF≌△DCE（ASA）
练1.1 【答案】 证明：∵∠COA和∠BOD是对顶角
∴∠COA=∠BOD
在 △ AOC和 △ DOB中，
∠COA = ∠BOD
{
CO = BO
∠C = ∠B
∴△AOC≌△DOB（ASA）
练1.2 【答案】证明：∵AB//CD
∴∠B = ∠C
又∵BF = CE
∴BF−EF = CE−EF
即BE = CF
在 △ ABE和 △ DCF中
∠AEB = ∠DFC
{
BE = CF
∠B = ∠C
∴ △ ABE≌ △ DCF（ASA）
例2 【答案】 证明：∵AB//CD
∴∠ABE = ∠DCF
在 △ ABE和 △ DCF中，
∠A = ∠D
{
∵ ∠ABE = ∠DCF
AE = DF
∴ △ ABE≌ △ DCF（AAS）
练2.1 【答案】 证明：在 △ ABE和 △ ACD中，∠B = ∠C
{
∠A = ∠A
AE = AD
∴ △ ABE≌ △ ACD（AAS）
练2.2 【答案】证明：∵∠1 = ∠2
∴∠1+∠EAC = ∠2+∠EAC，即∠BAC = ∠EAD
∵在△ABC和△AED中
∠C = ∠D
{
∠BAC = ∠EAD
AB = AE
∴△ABC≌△AED(AAS)
【解析】据 ∠1 = ∠2 可 得 ∠BAC = ∠EAD ， 再 加 上 条 件 AB = AE ， ∠C = ∠D 可 证 明
△ABC≌△AED．
例3 【答案】 证明：∵∠A = ∠D = 90∘
∴在Rt △ ABC和Rt △ DCB中，
BC = CB
{
CA = BD
∴Rt △ ABC≌Rt △ DCB(HL)
练3.1 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴△ABD和△CDB是两个直角三角形，
在Rt △ ABD和Rt △ CDB中，
AD = CB
{
BD = DB
∴Rt △ ABD≌Rt △ CDB(HL)．
练3.2 【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC
∴∠B = ∠D = 90∘
∴在Rt △ ABC和Rt △ ADC中，
AC = AC
{
AB = AD
∴Rt △ ABC≌Rt △ ADC(HL)
例4 【答案】C【解析】①当这两条边都是直角边时，结合直角相等，则可用SAS可判定两个三角形全等，当这两
条边一条是斜边一条是直角边时，可用HL判定这两个直角三角形全等，故（1）正确；
②有一锐角和斜边对应相等时，结合直角，可用AAS来判定这两个直角三角形全等，故
（2）正确；
③当一条直角边和一个锐角对应相等时，结合直角，可用AAS或ASA来证明这两个直角三
角形全等，故（3）正确；
④当两个三角形面积相等时，这两个直角三角形不一定会等，故（4）不正确；
综上可知正确的有3个，
练4.1 【答案】D
【解析】解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
能力强化 / 初二 / 暑假
第 4 讲 全等三角形（二）
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】B
【解析】解：1，3，4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它
们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
4 【答案】证明：在△ABC和△ADE中
∠B = ∠D
{
BC = DE
∠C = ∠E
∴△ABC≌△ADE（ASA）
5 【答案】证明：在△ACB和△ECD中∠ACB = ∠ECD
{
∠B = ∠D
AC = EC
∴ △ACB≌△ECD(AAS)
6 【答案】证明：∵MD⊥AB
∴∠MDE = ∠C
∵ME//BC
∴∠B = ∠MED
在△ABC与△MED中
∠B = ∠MED（已证）
{
CB = DE（已知）
∠C = ∠MDE（已证）
∴△ABC≌ △MED（ASA）
7 【答案】C
8 【答案】D
9 【答案】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D = ∠C = 90∘
在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，
AB = BA
{
BC = AD
∴ △ ABC≌ △ BAD（HL）
10 【答案】在Rt△ADB和Rt△CBD中
AD = BC
{
∵
BD = DB
∴Rt△ADB≌Rt△CBD（HL）
∴AB = DC，∠ADB = ∠CBD
∴AD∥BC
能力强化 / 初二 / 暑假第 4 讲 全等三角形（二）
课堂落实答案
1 【答案】B
【解析】∵点C是BE的中点，
∴BC = CE，
∵AB//CD，
∴∠B = ∠DCE，
A、根据SAS证△ABC≌△DCE，故本选项错误；
B、∵∠ACB = ∠E，CB = CE，∠B = ∠DCE，
∴△ABC≌△DCE(ASA)，故本选项正确；
C、根据AAS证三角形全等，故本选项错误；
D、根据条件不能证△ABC和△DCE全等，故本选项错误．
故选：B．
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】HL
5 【答案】D
【解析】条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB = CD
{
，
BE = CF
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 4 讲 全等三角形（二）
精选精练
1 【答案】全等理由是：∵BE丄CE，AD丄CE
∴∠BEC＝∠CDA＝90∘
∵∠ACB＝90∘
∴∠BCE+∠ACD＝90∘
又∵∠CAD+∠ACD＝90∘
∴∠BCE＝∠CAD
△BEC和△CDA中
∠E = ∠CDA
{
AD = CE
∠BCE = ∠CAD
∴△BEC≌△CDA(ASA)
2 【答案】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠EBC+∠C＝90∘，∠FAE+∠C＝90∘
∴∠EBC＝∠FAE
在△BEC和△AEF中
∠BEC = ∠AEF
{
∵ BE = AE
∠EBC = ∠EAF
∴△BEC≌△AEF（ASA）
3 (1)【答案】证明：∵CF⊥AE，BD⊥BC
∴∠DBC = ∠EFC = 90∘
∴∠CEA+∠BCD = ∠BCD+∠D = 90∘
∴∠CEA = ∠D
在△ACE和△CBD中
∠CEA = ∠BDC
{
∠ACE = ∠CBD
AC = CB
∴△ACE≌△CBD(AAS)
∴AE = CD
【解析】由条件证明△ACE≌△CBD即可证得AE = CD；(2)【答案】解：∵AC = BC = 12cm，AE是BC边的中线
1
∴CE = BC = 6cm
2
∵△ACE≌△CBD
∴BD = CE = 6cm
【解析】由中线可求得CE的长，再由全等三角形的性质可知CE = BD，可求得BD．
4 【答案】证明：∵E是AB的中点
∴AE＝BE
∵AD//BC，
∴∠DAE＝∠EBF，∠ADE＝∠EFB
在△ADE和△BFE中
∠DAE＝∠FBE
{
∠ADE＝∠BFE
AE = BE
∴△ADE≌△BFE(AAS)
5 【答案】5或10
6 【答案】证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD
∴∠AEC = ∠CFD = 90∘
在Rt △ BCE和Rt △ DCF中
CB = CD
{
BE = DF
∴Rt △ BCE≌Rt △ DCF(HL)
∴EC = FC
在Rt △ ACE和Rt △ ACF中
AC = AC
{
EC = FC
∴Rt △ ACE≌Rt △ ACF(HL)
能力强化 / 初二 / 暑假第 5 讲 全等与角平分线
例题练习题答案
例1 【答案】B
练1.1 【答案】证明：∵AB//CD
∴∠A = ∠ECD
在△ABC和△CED中，
AB = CE
{
∠BAC = ∠ECD
AC = CD
∴ △ ABC≌ △ CED(SAS)
∴BC = ED
练1.2 【答案】证明：∵∠1 = ∠2
∴∠1+∠DAE = ∠2+∠DAE
∴∠BAE = ∠CAD
∵AE⊥BE，AD⊥CD
∴∠AEB = ∠ADC = 90 ∘
在△ABE和△ACD中，
∠AEB = ∠ADC
{
∠BAE = ∠CAD
AB = AC
∴ △ ABE≌ △ ACD(AAS)
∴BE = CD，得证．
例2 【答案】B
练2.1 【答案】B
练2.2 【答案】B
例3 【答案】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，AD平分∠BAC
∴∠BFD = ∠CED = 90∘，DF = DE
在Rt △ ADF与Rt △ ADE中，
AD = AD
{
DF = DE∴Rt △ ADF≌ △ Rt △ ADE(HL)
∴AF = AE
在△BFD与△CED中，
∠BFD = ∠CED
{
DF = DE
∠FDB = ∠EDC
∴ △ BFD≌ △ CED(ASA)
∴BF = CE
∴AF+BF = AE+CE
∴AB = AC
练3.1 【答案】解：∵AB = 6，S = 12，
△ABD
1
∴ ×AB×DE = 12，
2
∴DE = 4，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF = DE = 4．
【解析】
例4 【答案】证明：∵D是BC的中点
∴BD = CD，
又∵BE = CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴在Rt △ BDE和Rt △ CDF中，
BD = CD
{
BE = CF
∴Rt △ BDE≌Rt △ CDF(HL)，
∴DE = DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．
【解析】由于D是BC的中点，那么BD = CD，而BE = CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL可以证明
Rt △ BDE≌Rt △ CDF，可得DE = DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分
线上，即AD平分∠BAC．
练4.1 【答案】55°
【解析】解：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC = QD，∴OQ是∠AOB的平分线，
∵∠AOB = 70∘，
1
∴∠AOQ = ∠AOB = 35∘，
2
∴∠CQO = 90∘ −35∘ = 55∘
故答案为55°．
例5 【答案】证明：过点D作DH⊥AB于H，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，
∵∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D，
∴DH = DM，DH = DN，
∴DM = DN，
∴CD平分∠ACB．
练5.1 【答案】C
【解析】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．
故选：C．
练5.2 【答案】B
能力强化 / 初二 / 暑假
第 5 讲 全等与角平分线
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】A、添加BC = BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加∠A = ∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
C、添加∠ACB = ∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；D、添加AC = DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误．
故选：D．
2 【答案】D
【解析】∵AD是△ABC的中线，
∴BD = CD，又∠CDE = ∠BDF，DE = DF，
∴ △ BDF≌ △ CDE，故④正确；
由 △ BDF≌ △ CDE，可知CE = BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由 △ BDF≌ △ CDE，可知∠FBD = ∠ECD，
∴BF//CE，故③正确．
故选：D．
3 【答案】C
【解析】A、正确．
∵BD = CE
∴BD+DE = CE+DE，即BE = CD
∵∠ADB = ∠AEC = 100∘
∴∠ADE = ∠AED
又∵AE = AD
∴ △ ABE ≌△ ACD(SAS)
B、正确．
在 △ ABD和 △ ACE中，
BD = CE
{
∠ADB = ∠AEC
AD = AE
∴ △ ABD ≌△ ACE(SAS)
C、错误．
∵∠ADB = ∠AEC = 100∘
∴∠ADE = ∠AED = 80∘
∴∠DAE = 20∘D、正确．
∵∠BAE = 70∘，∠ADB = ∠AEC = 100∘
∴∠C = ∠B = ∠AEC−∠BAE = 30∘
故选：C．
4 【答案】解：（1）你添加的条件是：∠MAC = ∠NBD；
（2）证明：在△ACM和△BDN中，
∵∠M = ∠N，AM = BN，∠MAC = ∠NBD，
∴ △ ACM≌ △ BDN(ASA)．
【解析】
5 【答案】C
【解析】 A、∠C = ∠C ′ ,AC = A ′ C ′ ,BC = B ′ C ′ ，根据SAS可以判定 △ ABC≌ △ A ′ B ′ C ′ ；
B、∠B = ∠B ′ ,∠C = ∠C ′ ,AB = A ′ B ′ ，根据AAS可以判定 △ ABC≌ △ A ′ B ′ C ′ ；
C、∠A = ∠A ′ ,AB = A ′ B ′ ,BC = B ′ C ′ ，SSA不能判定两个三角形全等，故C选项符合题
意；
D、AB = A ′ B ′ ,BC = B ′ C ′ ,AC = A ′ C ′ ，根据SSS可以判定 △ ABC≌ △ A ′ B ′ C ′ ，
故选：C．
6 【答案】C
7 【答案】①②④
【解析】解：∵AD平分∠BAC
∴∠DAC = ∠DAE
∵∠C = 90∘，DE⊥AB
∴∠C = ∠AED = 90∘
∵AD = AD
∴△DAC≌△DAE(AAS)
∴∠CDA = ∠EDA
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE = 60∘，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE = AB，AE = AC
∴BE+AC = AB∴④BE+AC = AB正确；
∵∠BDE = 90∘ −∠B，∠BAC = 90∘ −∠B
∴∠BDE = ∠BAC
∴②∠BAC = ∠BDE正确．
故答案为①②④．
8 【答案】A
9 【答案】7.5
10 【答案】证明：∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴∠CDF = ∠BEF = 90∘，
在 △ CDF和 △ BEF中，
∠CDF = ∠BEF
{
∠CFD = ∠BFE
CD = BE
∴ △ CDF≌ △ BEF(AAS)
∴DF = EF，
∴点F在∠A的平分线上．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 5 讲 全等与角平分线
课堂落实答案
1 【答案】B
【解析】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定
△ABD≌△ACD；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；
故选：B．
2 【答案】AC = BD（答案不唯一）
3 【答案】A4 【答案】OP=OM=ON
【解析】解：∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N
∴OP=ON，OP=OM
∴OP=ON=OM．
故填OP=ON=OM．
5 【答案】A
【解析】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF = OD = OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC = 100∘，
∴∠ABC+∠ACB = 180∘ −100∘ = 80∘，
1 1
∴∠OBC+∠OCB = (∠ABC+∠ACB) = ×80∘ = 40∘，
2 2
在△OBC中，∠BOC = 180∘ −(∠OBC+∠OCB) = 180∘ −40∘ = 140∘．
故选：A．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 5 讲 全等与角平分线
精选精练
1 【答案】证明：（1）∵AB//CD，
∴∠BAC = ∠ECD，
（2）在△BAC和△ECD中，
∠B = ∠E
{
∠BAC = ∠ECD，
AC = CD
∴ △ BAC≌ △ ECD(AAS)，
∴BC = DE．
2 【答案】解：在BC上截取GH＝GC，连接EH，∵EG⊥BC，GH＝GC，
易证 △ EGH≌ △ EGC（SAS）
∴EH＝EC，∠EHC＝∠C，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠EHC＝∠ABC，
∴EH//AB，
∴∠DBF＝∠EHF，∠D＝∠DEH，
又EH＝EC＝BD，
易证 △ BDF≌ △ HEF（ASA），
∴BF＝FH，
∴FG = FH+HG = BF+GC．
3 【答案】C
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，
∵ 点O是ΔABC的两外角平分线的交点，
∴ OE = OG，OF = OG，
∴ OE = OF = OG，
∴ 点O在∠B的平分线上，故②③④正确，
只有点G是AC的中点时，BO = CO，故①错误，
综上所述，说法正确的是②③④．
故选：C．
4 【答案】18
5 【答案】证明：（1）作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N．
∵∠EDM = ∠EDN，EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∴EM = EN，
又∵BE = EC，
易证Rt △ BEM≌Rt △ CEN(HL)，
∴∠EBM = ∠ECN，
∵∠EDB = ∠EDC，
易证 △ EDB≌ △ EDC(AAS)，
∴DB = DC．
（2）过D作DF//BC于F，
则DF⊥AC，∠ADF = ∠ABC，∠FDC = ∠DCB，
∵DB = DC
∴∠DBC = ∠DCB，
∴∠ADF = ∠CDF，
易证 △ ADF≌ △ CDF(AAS)，
∴AD = CD，
∴DB = DC = DA，即点D是AB中点．
6 (1)【答案】证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E = ∠DFC = 90∘，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形．
在Rt △ BDE与Rt △ CDF中，
BD = CD
{
，
BE = CF
∴Rt △ BDE≌Rt △ CDF(HL)，
∴DE = DF，∴AD平分∠BAC．
(2)【答案】AB+AC = 2AE．理由如下：
∵BE = CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD = ∠CAD．
∵∠E = ∠AFD = 90∘，
∴在△AED与△AFD中，
∠AED = ∠AFD
{
∠EAD = ∠FAD，
AD = AD
∴ △ AED≌ △ AFD(AAS)，
∴AE = AF，
∴AB+AC = AE−BE+AF+CF = AE+AE = 2AE．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 6 讲 轴对称
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】C
例2 【答案】A
练2.1 【答案】B
例3 【答案】D
练3.1 【答案】55∘
例4 【答案】解：（1）如图，ΔABC为所作；
′ ′ ′ ′ ′ ′
（2）如图，△A B C 为所作，A (0, −3)，B (4,3)，C (−4,5)．练4.1 【答案】解：（1）如图所示：四边形A B C D ，即为所求；
1 1 1 1
A (−4,4)，B (−1,3)，C (−3,3)，D (−3,1)；
1 1 1 1
（2）如图所示：四边形A B C D ，即为所求；
2 2 2 2
（3）如图所示：四边形A B C D ，即为所求．
3 3 3 3例5 【答案】D
练5.1 【答案】22cm
练5.2 【答案】A
例6 【答案】连接OB，
∵ON是AB的垂直平分线，
∴OA = OB，
∵OA = OC，
∴OB = OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上．
练6.1 【答案】D
练6.2 【答案】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE＝CE，
在Rt △ ODE与Rt △ OCE中，
OE = OE
{
DE = CE
∴Rt △ ODE≌Rt △ OCE(HL)，
∴OC＝OD；
（2）∵ △ DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 6 讲 轴对称
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】 解： ∵△ ABC与 △ A ′ B ′ C ′ 关于直线l对称，
∴△ ABC与 △ A ′ B ′ C ′ 全等，
∴ ∠B ′ = ∠B = 135∘，
′ ′
AB = A B = 20cm，
′ ′
A C =AC = 30cm，
′ ′
BC = B C = 15cm．
4 【答案】
5 【答案】A
6 【答案】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA = DCAC = 2AE = 10cm
∵△ABD的周长为17cm，
∴AB+BD+AD = AB+BD+DC = AB+BC = 17cm
∴△ABC的周长 = AB+BC+AC = 27cm．
7 【答案】 ED垂直平分AB，
∴AE = EB，
∴∠EAB = ∠B，
∴∠AEC = ∠EAB+∠B = 2∠B，
∵在△ACE中，∠C = 90∘，∴∠CAE+∠AEC = 90∘，
∵∠CAE = ∠B+30∘，
∴∠B+30∘ +2∠B = 90∘，
∴∠B = 20∘，
∴∠AEC = 2∠B = 40∘．
8 【答案】D
9 【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∠BAD = ∠CAD
{
∠ABD = ∠ACD，
AD = AD
∴△ABD≌△ACD（AAS）
∴∠BDA = ∠CDA，BD=CD
∵∠BDA+∠CDA=180∘
∴∠BDA = ∠CDA=90∘
∴AD⊥BC
又∵BD=CD
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∵点P在直线AD上，
∴PB = PC．
10 (1)【答案】∠ABC = ∠ACB；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC = ∠CEB = 90∘，
在Rt△CDB和Rt△BEC中，
CB = BC
{
CD = BE
Rt△CDB≌Rt△BEC（HL），
∴∠ABC = ∠ACB．
(2)【答案】证明：∵∠ABC = ∠ACB，∴AB = AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
由（1）可知Rt△BEC≌Rt△CDB，
∴∠FBC = ∠FCB，
∴FB = FC，
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AF垂直平分线段BC．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 6 讲 轴对称
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】1、3
3 【答案】105°
4 【答案】A
5 【答案】A
能力强化 / 初二 / 暑假
第 6 讲 轴对称
精选精练
1 【答案】C
2 【答案】3、4、5、6、7、8；
正n边形有n条对称轴．
3 【答案】C
4 (1)【答案】 坐标系如图；(2)【答案】 ′ ′ ′
如图，△A B C 即为所求；
(3)【答案】(2, −1)
(4)【答案】4
5 【答案】C
6 【答案】∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD = AD
{
DE = DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE = AF，又DE = DF，
∴AD垂直平分EF．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 7 讲 阶段自检期中试卷答案
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】A
6 【答案】A
7 【答案】C
8 【答案】C
9 【答案】C
10 【答案】D
11 【答案】18
【解析】∵△ABC中，∠B=70°，∠C=34°．
∴∠BAC=180°﹣（70°+34°）=76°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=38°．
∵Rt△ABD中，∠B=70°，
∴∠BAD=20°．
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=38°﹣20°=18°．
12 【答案】2c
13 【答案】10
14 【答案】80∘
15 【答案】∠ABC
16 【答案】直角
17 【答案】 2
6cm
18 【答案】15
19 【答案】解：（1）由条件可得a = 5，b = 8，故第三边c的取值范围是3 < c < 13．
（2）第三边c的取值可能有9个，故符合要求的三角形有9个．
20 【答案】 设∠B = x，则∠ACB = 180∘ −∠A−∠B = 140∘ −x，
∵CD平分∠ACB，1 1
∴∠BCD = ∠ACB = 70∘ − x．
2 2
∵CE是ΔABC的高，
∴∠BCE = 90∘ −x．
1 1
∴∠DCE = 70∘ − x− ( 90∘ −x ) = x−20∘ = 10∘，解得x = 60∘，
2 2
故∠ACB = 80∘．
21 【答案】证明：∵BE = CF
∴BE+EC = CF+EC
∴BC = EF
在△ABC和△DEF中
∠A = ∠D
{
∵ ∠B = ∠DEF
BC = EF
∴△ABC≌△DEF（AAS）
22 (1)【答案】 证明：如图，∵∠ABC = ∠CBF = 90∘，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中
AE = CF
{
，
AB = CB
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
(2)【答案】解：∵AB = CB，∠ABC = 90∘，
∴∠BAC = ∠BCA = 45∘，
∵∠CAE = 30∘，
∴∠BAE = 45∘ −30∘ = 15∘，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF = ∠BAE = 15∘，
∴∠CFA = 90∘ −15∘ = 75∘．23 【答案】
30∘；全等的两个三角形对应角相等
24 【答案】BM = BN，BM⊥BN．证明过程如下：
∵AD、CE分别是BC、AB边上的高
∴∠ADB = ∠CEB = 90∘
∴∠BAD = 90∘ −∠ABC = ∠BCE
在△ABN和△CMB中
AN = BC
{
∠BAN = ∠MCB
AB = CM
∴△ABN≌△CMB（SAS）
∴BN = BM，∠BMC = ∠ABN
∴∠MBN = ∠MBE+∠EBN = ∠MBE+∠BME = 90∘
∴BM⊥BN
25 【答案】22.5∘．
26 【答案】48∘ ≤ x ≤ 72∘．
【解析】设另外两角分别为α、β，不妨令α ≤ β，然后分类讨论．
①当α ≤ β ≤ x，则α = x−18∘，
∵180∘ = x+α+β = 2x−18∘ +β且3x−36∘ ≤ x+α+β ≤ 3x−18∘，
解得54∘ ≤ x ≤ 72∘；
②当α ≤ x ≤ β，则β = α+18∘，
α ≥ x−18∘，
同理可得3x−18∘ ≤ x+α+β ≤ 3x+18∘，
解得54∘ ≤ x ≤ 66∘；
③当x ≤ α ≤ β，则x = β−18∘，同理可得3x+18∘ ≤ x+α+β ≤ 3x+36∘，
解得48∘ ≤ x ≤ 54∘．
综上所述，48∘ ≤ x ≤ 72∘．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
例题练习题答案
例1 (1)【答案】C
(2)【答案】22cm
(3)【答案】D
练1.1 【答案】20°； 40°，40°； 50°，50°或80°，20°
例2 【答案】50
【解析】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=∠ACE，
1 1
∴∠A= ∠ACE= ×100°=50°．
2 2
故答案为：50．
练2.1 【答案】B
例3 【答案】50°或130°
【解析】分顶角为锐角和钝角两种情况考虑。
练3.1 【答案】20
例4 【答案】证明：∵AD⊥BC，AE⊥CE，
∴∠ADB = ∠E = 90∘，
又∵∠ACE = ∠B，AD = AE，
∴ △ ABD≌ △ ACE（AAS），
∴AB = AC，
∴ △ ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC，
∴D是BC的中点．
练4.1 【答案】 （1）解：∵AB = AC，∠BAC = 100∘，
AD⊥BC，垂足为点D，
1
∴∠BAD = ∠BAC = 50∘；
2
（2）解：∵AB = AC，BC = 8cm，
AD⊥BC，垂足为点D，
1
∴BD = BC = 4cm．
2
例5 【答案】证明：如图，过A作AM⊥BC于M，
∵AB = AC，
∴∠BAC = 2∠BAM．
∵AD = AE，
∴∠D = ∠AED，
∴∠BAC = ∠D+∠AED = 2∠D，
∴∠BAC = 2∠BAM = 2∠D，
∴∠BAM = ∠D，
∴DE∥AM．
∵AM⊥BC，
∴DE⊥BC．
练5.1 【答案】证明：连接AD，∵AB = AC，D是BC的中点，
∴∠EAD = ∠FAD，
在 △ AED和 △ AFD中，
AE＝AF
{
∠EAD＝∠FAD，
AD＝AD
∴ △ AED≌ △ AFD(SAS)，
∴DE = DF
【解析】首先连接AD，由AB = AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD = ∠FAD
，又由SAS，可判定 △ AED≌ △ AFD，继而证得DE = DF．
例6 【答案】D
练6.1 【答案】D
例7 【答案】A
【解析】解：共有5个．
（1）∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
1 1
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，
2 2
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC=∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A=36°，AB=AC，
1
∴∠ABC=∠ACB= （180°-36°）=72°，
2
又BD是∠ABC的角平分线，1
∴∠ABD= ∠ABC=36°=∠A，
2
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．
故选：A．
练7.1 【答案】B
例8 【答案】证明：∵∠B = ∠3−∠1，∠C = ∠4−∠2，
又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴∠B = ∠C，
∴AB = AC，
即△ABC是等腰三角形．
练8.1 【答案】证明：∵∠ACB = 90∘，CD⊥AB，
∴∠CDA = 90∘，
∴∠CAF+∠CFA = 90∘，∠FAD+∠AED = 90∘，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF = ∠FAD，
∴∠CFA = ∠AED = ∠CEF，
∴CE = CF．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】B【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD∥BC，∠1=70°，
∴∠C=∠1=70°，
∴∠B=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°，
故选：B．
7 【答案】C
8 【答案】A
9 【答案】B
10 【答案】解：
∵∠C = 180∘ −∠A−∠B = 55∘，
∴∠C = ∠A，
∴AB = BC，
∴△ABC是等腰三角形．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】62°，56°或59°，59°
3 【答案】B
4 【答案】C
【解析】解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，1
∴∠C= （180°-70°）=55°．
2
故选：C．
5 【答案】D
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
精选精练
1 【答案】45°
2 【答案】解：∵BP = PQ = QC = AP = AQ，
∴∠PAQ = ∠APQ = ∠AQP = 60∘，∠B = ∠BAP，∠C = ∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP = ∠APQ，∠C+∠CAQ = ∠AQP，
∴∠ABC = ∠BAP = ∠CAQ = ∠ACQ = 30∘．
3 (1)【答案】15∘；
(2)【答案】20∘；
(3)【答案】 1
∠BAD = 2∠EDC(或∠EDC = ∠BAD)；
2
(4)【答案】仍成立，理由如下：
∵AD = AE，
∴∠ADE = ∠AED，
∴
∠BAD+∠B = ∠ADC = ∠ADE+∠EDC = ∠AED+∠EDC = (∠EDC+∠C)+∠
，
又∵AB = AC，
∴∠B = ∠C，
∴∠BAD = 2∠EDC，1
即∠EDC = ∠BAD．
2
4 【答案】（1）解：①∵AD = AC，∠CAD = α，
1 1
∴∠BCA = ( 180∘ −α ) = 90∘ − α，
2 2
②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG = 90∘，
1 1
∴∠CAG = ∠DAG = ∠CAD = α，
2 2
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG = 90∘，
1 1
∴∠DCE = ∠DAG = ∠CAD = α，
2 2
1
即∠BCF = α；
2
（2）证明：∵∠B = 45∘，AG⊥BC，
∴∠BAG = 45∘，
∵∠BAC = 45∘ +∠CAG，∠AFC = 45∘ +∠DCE，∠DCE = ∠DAG，∠CAG = ∠DAG，
∴∠BAC = ∠AFC，
∴AC = FC．
【解析】
5 【答案】解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO = ∠OBC，
又MN//BC，∴∠MOB = ∠OBC，
∴∠MOB = ∠MBO，
∴MB = MO，
同理可得∠NOC = ∠NCO，
∴NO = NC，
∴(AB+AC+BC)−(AM+AN+MN)
= (AM+MB+AN+NC+BC)−(AM+AN+MN)
= (AM+MO+AN+NO+BC)−(AM+AN+MN)
= (AM+AN+MN+BC)−(AM+AN+MN)
= BC，
又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC = 20，AM+AN+MN = 12
，
则BC = 20−12 = 8．
【解析】
6 【答案】（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF = ∠CAF，
∵AF//BC，
∴∠DAF = ∠B，∠CAF = ∠ACB，
∴∠B = ∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB = AC，∠B = 40∘，
∴∠ACB = ∠B = 40∘，
∴∠BAC = 100∘，
∴∠ACE = ∠BAC+∠B = 140∘，
∵CG平分∠ACE，
1
∴∠ACG = ∠ACE = 70∘，
2
∵AF//BC，
∴∠AGC = 180∘ −∠BCG = 180∘ −40∘ −70∘ = 70∘．
【解析】能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 特殊的等腰三角形与直角三角形
例题练习题答案
例1 【答案】15
练1.1 【答案】 3
30；
2
例2 【答案】15∘
练2.1 【答案】∠E = 45∘
【解析】解： ∵ 在等边三角形ABC中，
∴ AB = AC（等边三角形的意义），AD⊥BC（已知），
1
∴ ∠CAD = ∠BAC（等腰三角形三线合一），
2
∵ ∠BAC = 60 ∘ （等边三角形的性质），
∴ ∠CAD = 30 ∘ （等量代换），
∵ AD = AC（已知），
∴ ∠ACD = ∠ADC（等边对等角），
∵ 在ΔACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD = 180 ∘ （三角形的内角和等于180度），
∴ ∠ACD = 75 ∘ （等式的性质），
∵ 在ΔACE中，∠EAC+∠ACE+∠E = 180 ∘ （三角形的内角和等于180度），
∴ ∠E = 45 ∘ （等式的性质）．
例3 【答案】 证明：∵∠ADC = ∠ADE+∠CDE = 60∘ +∠CDE，
∠ADC = ∠B+∠BAD = 60∘ +∠BAD，
∴∠BAD = ∠CDE，
在△ABD和△DCE中，∠B = ∠C
{
AB = DC ，
∠BAD = ∠CDE
△ABD≌△DCE，
∴AD = ED，
又∵∠ADE = 60∘，
∴△ADE是等边三角形．
练3.1 【答案】（1）∵AB = AC，
∴ ΔABC是等腰三角形，
∴∠B = ∠C，
∵∠BAC = 120∘ ，
1
∴ ∠B = ∠C = × ( 180∘ −120∘) = 30∘.
2
（2）∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴ ∠BAE = ∠DAC = 90∘，
∴ ∠AED = ∠ADE = 90∘ −30∘ = 60∘，
∴ ∠AED = ∠ADE = ∠DAE = 60∘，
∴ ΔADE是等边三角形．
练3.2 【答案】证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B=60°，
又∵AB∥DC，
∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°，
∴△OCD是等边三角形．
【解析】根据OA=OB，得∠A=∠B=60°；根据AB∥DC，得出对应角相等，从而求得∠C=∠D=60°，
根据等边三角形的判定就可证得结论．
例4 【答案】D
练4.1 【答案】证明： ∵ AB = AC，∠BAC = 120∘
∴ ∠B = ∠C = 30∘
∵ D是BC中点
∴ AD⊥BC且AD平分∠BAC∴ ∠BAD = 60∘，∠ADB = 90∘
1
∴ AD = AB
2
又 ∵ DE⊥AB
∴ ∠DEA = 90∘
∴ ∠ADE = 90∘ −∠BAD = 90∘ −60∘ = 30∘
1
∴ AE = AD
2
1
∴ AE = AB
4
练4.2 【答案】D
例5 (1)【答案】4
(2)【答案】62∘
练5.1 【答案】4
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 特殊的等腰三角形与直角三角形
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】∵CE = CB ∴∠E = ∠CBE
∵BE = AB ∴∠E = ∠BAC
∠ACD = ∠E+∠CBE = 2∠E
又∵AD = AC ∴∠ACD = ∠ADC = 2∠E
∵在等腰△ACD中，B是底边DC的中点∴∠DAB = ∠BAC = ∠E（三线合一）
∴∠DAC = 2∠DAB = 2∠E
∴∠DAC = ∠ACD = ∠ADC = 60∘，即△ACD为等边三角形
6 【答案】D
【解析】 解：∵∠B = 30∘，∠C = 90∘，AC = 20m，
∴AB = 2AC = 40m．
7 【答案】D
8 【答案】（1）证明： ∵ AB = AC，∠C = 30∘，
∴ ∠B = 30∘，∠BAC = 120∘，
∵AB⊥AE ，
∴ ∠DAC = 30∘，
∴ ∠DAC = ∠C，
∴ AE = EC；
（2） ∵ ∠C = 30∘，DE⊥AC，
∴ EC = 2DE = 4，
∵ AB⊥AE，∠B = 30∘，
∴ BE = 2AE = 8，
∴ BC = 12．
9 【答案】C
10 【答案】C
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 特殊的等腰三角形与直角三角形
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】A5 【答案】 △ AED ≅△ CFD; △ CED ≅△ BFD; △ ACD ≅△ BCD
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 特殊的等腰三角形与直角三角形
精选精练
1 【答案】证明：延长BD至F，使DF = BC，连接EF，
∵ AE = BD，ΔABC为等边三角形，
∴ BE = BF，∠B = 60∘，
∴ ΔBEF为等边三角形，
∴ ∠F = 60∘，
在ΔECB和ΔEDF中
BE = EF
{
∠B = ∠F = 60∘
BC = DF
∴ ΔECB ≅ ΔEDF(SAS)，
∴ EC = ED．
2 【答案】证明： ∵ ΔABC为等边三角形，
∴ ∠B = ∠ACB = 60∘，AB = AC，
即∠ACD = 120∘，
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠1 = ∠2 = 60∘，
在ΔABD和ΔACE中，AB = AC
{
∠B = ∠1，
BD = CE
∴ ΔABD ≅ ΔACE(SAS)，
∴ AD = AE，∠BAD = ∠CAE，
又∠BAC = 60∘，
∴ ∠DAE = 60∘，
∴ ΔADE为等边三角形．
3 【答案】B
4 (1)【答案】设AP = x，则BQ = x ，
∵∠BQD = 30∘，∠C = 60∘ ，
∴∠QPC = 90∘ ，
∴QC = 2PC，即x+6 = 2（6−x） ，
解得x = 2 ，
即AP = 2 ．
(2)【答案】如图，
过P点作PF∥BC，交AB于F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA = ∠FPA = ∠A = 60∘ ，
∴PF = AP = AF ，
∴PF = BQ ，
又∵∠BDQ = ∠PDF，∠DBQ = ∠DFP ，∴△DQB≌△DPF，
∴DQ = DP 即D为PQ中点，
(3)【答案】运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，
理由：∵PF = AP = AF ，PE⊥AF，
1
∴EF = AF，
2
又∵△DQB≌△DPF，
1
∴DF = DB，即DF = BF，
2
1 1
∴ED = EF+DF = (AF+BF) = AB = 3
2 2
5 (1)【答案】 证明： ∵ 将 △ BOC绕点C按顺时针方向旋转60 ∘ 得 △ ADC,
∴ ∠OCD = 60 ∘ ,CO = CD，
∴△ OCD是等边三角形；
(2)【答案】解： △ AOD为直角三角形．
理由: ∵△ COD是等边三角形，
∴ ∠ODC = 60 ∘ ,
∵ 将 △ BOC绕点C顺时针方向旋转60 ∘ 得 △ ADC,
∴ ∠ADC = ∠BOC = α，
∴ ∠ADC = ∠BOC = 150 ∘ ，
∴ ∠ADO = ∠ADC−∠CDO = 150 ∘ −60 ∘ = 90 ∘ ,
∴△ AOD是直角三角形．
6 【答案】解：（1） ∵ ΔABC和ΔDBE均为等腰直角三角形，
∴ AB = BC，BD = BE，∠ABC = ∠DBE = 90∘，
∴ ∠ABC−∠DBC = ∠DBE−∠DBC，
即∠ABD = ∠CBE，
∴ ΔABD ≅ ΔCBE，
∴ AD = CE．
（2）垂直．延长AD分别交BC和CE于G和F，∵ ΔABD ≅ ΔCBE，
∴ ∠BAD = ∠BCE，
∵ ∠BAD+∠ABC+∠BGA = ∠BCE+∠AFC+∠CGF = 180∘，
又 ∵ ∠BGA = ∠CGF，
∴ ∠AFC = ∠ABC = 90∘，
∴ AD⊥CE．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法
例题练习题答案
例1 【答案】 7
（1）a
1
( )7
（2）
2
25
（3）(−5)
8
（4）(x−y)
练1.1 【答案】 5 9 6 10
（1）m ；a ；（2）2 ，(m−n)
例2 【答案】 6
（1）原式=8 ；
3m
（2）原式=a ；
6
（3）原式=a ；
9
（4）原式=(2x+y) .
例3 【答案】 3
(1)8x
3
(2) −8x4
2 6
(3) x y
9
6
(4)−8(x+y)
例4 【答案】 15 13 15−13
（1）3 ÷3 = 3 = 9
14 2 14−2 12
（2）y ÷y = y = y
4 4 4 64
( )7 ( )4 ( )3
（3） − ÷ − = − = −
3 3 3 27
5 4 4
（4）(−a) ÷(−a) = (−a) = a
( )3 ( )2
2 2 6 4 2
（5） a ÷ −a = a ÷a = a
10n 2n 10n−2n 8n
（6）a ÷a = a = a
例5 【答案】 1 1
3 2 3 3 3 2
（1）−9a b （2） x y z （3）− a b
2 2
练5.1 【答案】 3 3 3 3 4
（1）−6x y （2）3a b （3）−6a
例6 【答案】C
练6.1 【答案】 6
4.74×10
例7 【答案】 3 2 2 3
(1)12a b −2a b ；
3 2 2
(2)x y+2x y ；
4 2 2 2
(3)2m n+2m n −2m n；
2 2 2 2
(4)−6a b +a b−4ab ．
练7.1 【答案】 1 1
2
(1) x −xy+ x
2 2
2 2 6
(2)12mn −2m n
例8 【答案】 2
（1）6x +x−2；
2 2
（2）2x −14xy+24y ；
2 2
（3）6m −11mn+4n ；
3
（4）x −1．
练8.1 【答案】 2 2 2 2
(1)49m −64n (2)9y −x例9 【答案】根据题意得：S = (3b+2a)(3a+b)−3a⋅3b
阴影
2 2
= 9ab+3b +6a +2ab−9ab
2 2
= 6a +3b +2ab
能力强化 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法
自我巩固答案
1 【答案】B
【解析】A、5a 3
−a
3
= (5−1)a
3
= 4a
3
，正确；
B、2 m 与3 n 的底数不相同，不能进行运算，故本选项错误；
C、2 m ⋅2 n = 2 m+n ，正确；
( )
D、−a 2 ⋅ −a 3 = a 2+3 = a 5 ，正确．
故选：B．
2 【答案】 11
(m−n)
3 【答案】D
【解析】 2 3 5 2 3 5
A:x +x ≠ x ，x ⋅x = x
( )3
3 9
B: x =x
2 3
C:x⋅x = x
2 2 3
D:x(−2x) = x⋅4x = 4x
所以正确答案为D
4 【答案】C
【解析】 4 4 4 4 4 4
(−2xy) = (−2) ×x ×y = 16x y ．
故选：C．
5 【答案】B
6 【答案】 6
（1）−a
（2）y−x
7 【答案】C( )
【解析】 2 3
A、 6x ⋅(3xy) = 18x y
( )
2 2 3
B、 2ab ⋅(−3ab) = −6a b
( )
2 3 2
C、 −3yx ⋅(−3xy) = 9x y
( )
2 2 4 3
D、(mn) −m n = −m n
故选C．
8 【答案】 10 5
（1）−32a b
4
（2）60x
3
（3）3a b
3
2n+1 4
（4）− x y
2
9 【答案】 1 1
阴影部分面积为：2a⋅3b− ⋅2b⋅a− ⋅3b⋅2a = 2ab ．
2 2
10 【答案】 27 20
2 2 3 3 3 2
原式 = − x yz +3xy z +12xyz− y z
5 3
能力强化 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】D
4 【答案】 2
x
5 【答案】D
能力强化 / 初二 / 暑假第 10 讲 整式乘法
精选精练
1 【答案】 a+b
原式 = 7
3
= 7
= 343
2 【答案】C
3 【答案】25
4 【答案】（1）1
（2）−8
5 【答案】1
4
6 【答案】 2 2
解：(a+2b)(a+b) = a +3ab+2b ，分别需要A、B、C类卡片各1张、2张和3张．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
例题练习题答案
例1 【答案】D
例2 【答案】 （1）原式 = m 2 −9n 2
（2）原式 = (x−5)(x+5) = x 2 −25
练2.1 【答案】 （1）原式 = 9x 2 −16y 2
（2）原式 = (4m−n)(4m+n) = 16m 2 −n 2
例3 【答案】 （1）原式 = x 2 −161 1 1 1
( )2 ( )2
4 2 8 4
（2）原式 = − y − x = y − x
5 3 25 9
练3.1 【答案】（1）原式 = (−1−2x)(−1+2x)
= (−1+2x)(−1−2x)
2 2
= (−1) −(2x)
2
= 1−4x ；
1 1
( )( )
（2）原式 = − +2x − −2x
5 5
1
( )2
2
= − −(2x)
5
1
2
= −4x ．
25
例4 【答案】 2 2
a −b = (a+b)(a−b)
练4.1 【答案】 2 2
（1）a −b ；
（2）a−b；a+b；(a+b)(a−b)；
2 2
（3）(a+b)(a−b) = a −b ．
例5 【答案】 （1）原式 = a 2 +4ab+4b 2 ；
（2）原式 = a 2 −4ab+4b 2 ；
（3）原式 = (x+y) 2 = x 2 +2xy+y 2 ；
（4）原式 = (x−y) 2 = x 2 −2xy+y 2 ．
练5.1 【答案】 2 2
（1）原式=9a +b +6ab；
2 2
（2）原式=x +4y −4xy；
2
（3）原式=9+4a −12a；
2 2
（4）原式=y −4xy+4x .
例6 【答案】B
练6.1 【答案】（1）m+n；m−n；
2 2
（2）(m+n) −(m−n) = 4mn
2 2
理由如下：右边 = (m+n) −(m−n)2 2 2 2
= m +2mn+n −(m −2mn+n )
= 4mn
左边 = 2m⋅2n=4mn，
所以结论成立．
练6.2 【答案】B
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
【解析】 2
(2x+1)(2x−1) = 4x −1 ，
故选：D．
3 【答案】D
4 【答案】D
5 【答案】 2
（1）16x −9
2 2
（2）25y −x
2 2
（3）p −(mn)
1
4
（4）9x −
9
6 【答案】C
7 【答案】 2 2
（1）16a +24ab+9b ；
2
（2）9a −30a+25；
2 2
（3）4x +16xy+16y ．
8 【答案】 2 2
（1）原式=4a +12ab+9b
4 1
2 2
（2）原式=4x + xy+ y
5 252 2
（3）原式=9m −30mn+25n
1 1 1
2 2
（4）原式= x − xy+ y
4 3 9
9 【答案】 2 2 2 2
原式=4(a −2ab+b )−(4a −b )
2
=−8ab+5b
10 【答案】解：（1）小正方形的边长是(x−y)；
2
（2）大正方形的面积为(x+y) ，
四周四个小长方形的面积为4xy，
2
中间小正方形的面积为(x−y) ，
∴ (x+y) 2 −(x−y) 2
( )
2 2 2 2
= x +2xy+y − x −2xy+y
= 4xy；
2 2
故答案为：(x+y) −(x−y) = 4xy
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】B
【解析】 2 2
解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a −b ；
剩余部分通过割补，拼成的平行四边形的面积为(a+b)(a−b)，
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
2 2
∴a −b = (a+b)(a−b)．
故选：B．
3 【答案】C
4 【答案】A
5 【答案】C【解析】∵大正方形的面积-小正方形的面积 = 4个矩形的面积，
2 2 2 2
∴(a+b) −(a−b) = 4ab，即4ab = (a+b) −(a−b) ．
故选：C．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
精选精练
1 【答案】
a
2
−b
2＝(a+b)(a−b)
2 【答案】4
2 2
m −n
9
【解析】 2
( )2
2
原式 = − m −n
3
4
2 2
= m −n
9
3 【答案】 2 2
x −y +18y−81
【解析】原式 = [x−(y−9)][x+(y−9)] = [x+(y−9)][x−(y−9)]
2 2 2 2
= x −(y−9) = x −y +18y−81
4 【答案】 (1)原式 = 9x 2 +81+54x
(2)原式 = 9x 2 +4y 2 −12xy
(3)原式 = x 2 y 2 z 2 +4+4xyz
(4)原式 = 9x 2 +4y 2 +16+12xy+24x+16y
5 【答案】（a+b+c）2
= a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc
6 【答案】 2 2
（1）(a+b)(2a+b) = 2a +3ab+b
（2）6；11；3
能力强化 / 初二 / 暑假第 12 讲 因式分解
例题练习题答案
例1 (1)【答案】×；×；√；×
【解析】①不是乘积的形式；②不是将多项式进行分解的变形；③是因式分解；④结果不是整
式乘积的形式．
(2)【答案】B
【解析】 2 2
因为x +px+q = (x+3)(x−5) = x −2x−15，所以p = −2，q = −15．
练1.1 (1)【答案】B
(2)【答案】B
【解析】 2
∵(3x+2)(x+p) = 3x +(3p+2)x+2p，
2
(3x+2)(x+p) = mx −nx−2，
∴m = 3，3p+2 = −n，2p = −2．
故p = −1，n = 1，mnp = −3．
例2 (1)【答案】C
(2)【答案】A
练2.1 (1)【答案】y(x−y)
(2)【答案】D
例3 【答案】（1）原式=3xy(4x−5y)
（2）原式=3(x−2)(2x+1)
练3.1 【答案】 1
（1）原式= ma(m+5)
5
（2）原式=(x−1)(x+2)
例4 【答案】（1）(2y+x)(2y−x)
（2）(8+a)(8−a)
（3）(3m+1)(3m−1)
（4）(3x−2)(3x+2)练4.1 【答案】 1 1
（1）原式=(2− x)(2+ x)
3 3
4 1 4 1
（2）原式=( x− y)( x+ y)
5 2 5 2
例5 【答案】A
练5.1 (1)【答案】D
(2)【答案】D
例6 【答案】 ( 2 )( 2 )
（1）原式 = 2a x+y x−y （2）原式 = (a+b)(1+a)(1−a)
练6.1 【答案】 ( 2 )( 2 ) ( 2 )
（1）原式 = 4+a 4−a = 4+a (2+a)(2−a)
( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2
（2）原式 = a +b a −b = a +b (a+b)(a−b)
例7 【答案】 2 2 2
（1）(a−b) ；（2）(ab−3) ；（3）(2x−3y+1)
练7.1 【答案】 2 2 2
（1）(x+y) ；（2）(m−5) ；（3）(2x+2y−5)
例8 (1)【答案】 ( 2 ) 2
原式 = 2 x −2x+1 = 2(x−1) ；
【解析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可；
(2)【答案】 ( 2 )( 2 ) 2 2
原式= x +4+4x x +4−4x = (x+2) (x−2) .
【解析】原式利用平方差公式，完全平方公式分解即可．
练8.1 (1)【答案】 2 2
原式 = 9x (a−b)−y (a−b) = (a−b)(3x+y)(3x−y)
(2)【答案】 3 2 2 3 2 2 2
a b+2a b +ab = ab(a +2ab+b ) = ab(a+b) ．
当a+b = 4，ab = −6，原式 = −6×16 = −96．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】D【解析】原式 = (m+1+1)(m−1) = (m+2)(m−1)，故余下的部分是m+2，故选D．
3 【答案】A
4 【答案】B
5 【答案】D
【解析】 3 2 2 2
解：x −xy = x(x −y ) = x(x+y)(x−y)，
故选：D．
6 【答案】B
( )
【解析】 由 x 2 +4 (x+2)(x−▴)得出▴ = 2，
( )
2
则 x +4 (x+2)(x−2)
( )( )
2 2
= x +4 x −4
4
= x −16，
∴(cid:0) = 16．
7 【答案】B
8 【答案】C
9 【答案】（1）原式 = [(2m−n)+13(m+n)][(2m−n)−13(m+n)]
= −3(5m+4n)(11m+14n)；
2 2 2
（2）原式 = 8x −16y −7x −xy+xy
2 2
= x −16y = (x+4y)(x−4y)．
10 【答案】 2 2
（1）3a(x−y) （2）−ab(2x−1)
能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解
课堂落实答案
1 【答案】A
【解析】B、不是整式乘积；C、不是恒等变形；D不是整式乘积的形式．
2 【答案】B
3 【答案】 2
(a+b−1)【解析】 2
(a+b)(a+b−1)−a−b+1 = (a+b)(a+b−1)−(a+b−1) = (a+b−1)
4 【答案】 （1）原式 = 2a ( m 2 −n 2 ) = 2a(m+n)(m−n)
（2）原式 = [(m+n)+2(m−n)][(m+n)−2(m−n)] = (3m−n)(3n−m)
5 【答案】 2
原式=(a−5b)
能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解
精选精练
1 【答案】×；×；√；×；×
2 【答案】（1）提取公因式法；2
（2）2014；
[ ]
2 n−1 n
（ 3 ） 原 式 =(1+x) 1+x+x(x+1)+x(x+1) +…+x(x+1) = (1+x)(1+x)
n+1
= (1+x) ．
3 【答案】（1）原式 = (3a+5b)(x−y)
（2）原式 = 5a(y−x)[2(y−x)+x]
= 5a(y−x)(2y−x)
2
（3）原式 = (x−y) (x−y−1)
2
（4）原式 = (5a−10b)(a−2b)
3
= 5(a−2b)
4 【答案】4(2a−b)(a−2b)
【解析】 2 2
原式 = (3a−3b) −(a+b)
= (3a−3b+a+b)(3a−3b−a−b)
= (4a−2b)(2a−4b)
= 4(2a−b)(a−2b)
5 【答案】n+1
2n
6 【答案】原式
= (x−y)
2
+4(x−y)+42
= (x−y+2)
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 分式的概念与性质
例题练习题答案
例1 (1)【答案】C
(2)【答案】B
(3)【答案】2或−1
练1.1 (1)【答案】②⑤⑥
(2)【答案】D
(3)【答案】D
例2 (1)【答案】D
(2)【答案】D
(3)【答案】B
(4)【答案】D
(5)【答案】A
练2.1 (1)【答案】C
(2)【答案】D
(3)【答案】D
(4)【答案】D
(5)【答案】D
例3 (1)【答案】D
(2)【答案】6x−8y
4x+3y(3)【答案】A
练3.1 (1)【答案】D
(2)【答案】B
(3)【答案】D
例4 【答案】B
【解析】 0.3a+b 3a+10b
解：A、 = ，此选项错误；
a+0.4b 10a+4b
2
a −4 (a+2)(a−2) a+2
B、 = = ，此选项正确；
2 2 a−2
(a−2) (a−2)
−a+b a−b
C、 = − ，此选项错误；
c c
D、若c = 0，则变形无意义；
故选：B．
练4.1 【答案】D
例5 【答案】 2 2
b 5a c 1 x−2
（1） ；（2）− ；（3） ；（4） ．
c 3bd m 2x+4
练5.1 【答案】 2 2
2a 2m 4 a b 2−a 1
（1） ；（2）− ；（3）− ；（4） ；（5） ；（6） ．
5 3n 4 a+1 2+a 2
3b 3y (3x−y) (x+1)
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 分式的概念与性质
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】D5 【答案】D
6 【答案】C
7 【答案】D
8 【答案】D
【解析】 2 2
x −y (x+y)(x−y) x−y
= = ，
2 x(x+y) x
x +xy
故选：D．
9 【答案】 4y 1 x
（1） ；（2） ；（3） ．
−3x x−a x+y
10 (1)【答案】 1
−
2
4b
(2)【答案】a−2b
a+2b
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 分式的概念与性质
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】B
3 【答案】A
4 【答案】D
5 【答案】B
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 分式的概念与性质精选精练
1 【答案】B
【解析】 2 x+1
解：A、当分母3x−2 ≠ 0，即当x ≠ 时，分式 有意义．故本选项正确；
3 3x−2
ab
2 2
B、当分母a −b ≠ 0，即a ≠ ±b时，分式 有意义．故本选项错误；
2 2
a −b
1 2x+1
C、当分子2x+1 = 0，即x = − 时，分式 值为0．故本选项正确；
2 4x
2 2
x −y
D、当分母y−x ≠ 0，即x ≠ y时，分式 有意义．故本选项正确；
y−x
故选：B．
2 【答案】D
3 【答案】−1或3或5．
4 (1)【答案】 10x−6y
原式 =
60x+5y
(2)【答案】 12x−30y
原式 =
20x+15
(3)【答案】 40x−39y
原式 =
25x+20y
(4)【答案】 10a−8b
原式 =
12a+15b
5 【答案】A
6 【答案】解：（1）②；
x−1
（2）∵分式 为和谐分式，且a为正整数，
2
x +ax+4
∴a = 4或5．
能力强化 / 初二 / 暑假第 14 讲 分式计算
例题练习题答案
例1 【答案】 2
（1） ；
2
3x
2bd
（2） ．
5ac
例2 【答案】 a+2 1 1 1
（1）原式 = ⋅ = = ；
a−2 a(a+2) a(a−2) 2
a −2a
a−1 (a+2)(a−2) a+2 a+2
（2）原式 = ⋅ = = ．
2 (a+1)(a−1) (a−2)(a+1) 2
(a−2) a −a−2
练2.1 【答案】 2
a+2 (a−2) a−2
解：（1）原式 = ⋅ = ；
a(a−2) a+2 a
x−1 (x+2)(x−2) x+2
（2）原式 = ⋅ = ．
x−2 2 x−1
(x−1)
例3 【答案】 2
ab 4cd −3 1
解：（1）原式 = ⋅ ⋅ = ；
2 2 2 2d ac
2c −3a b
2
2x (5x+3)(5x−3) x 2x
（2）原式 = ⋅ ⋅ = ．
5x−3 3 5x+3 3
练3.1 【答案】 2 2
x (x−3) x(x+3)(x−3) (x−2)
原式 = ÷ ⋅
(x−2)(x−3) 2 2x
(x+3)
2 2 2
x (x−3) (x+3) (x−2)
= ⋅ ⋅
(x−2)(x−3) x(x+3)(x−3) 2x
(x+3)(x−2)
= ．
2(x−3)
例4 (1)【答案】 2 4 3
最简公分母是a b c ．4 2 4 3
c c a a b
= ，− =− ；
2 4 2 4 3 3 2 4 3
a b a b c bc a b c
(2)【答案】最简公分母是2(x+2)(x−2)．
2
1 1 2 x −x −x −2x
= = ， = = ．
2 (x+2)(x−2) 2(x+2)(x−2) 4−2x 2(x−2) 2(x+2)(x−2)
x −4
练4.1 【答案】 2
最简公分母是12a(x+2) ．
y 3y(x+2) 3xy+6y
= = ，
4a(x+2) 2 2
12a(x+2) 12ax +48ax+48a
x x 2ax
= = ．
2 2 2
6(x +4x+4) 6(x+2) 12ax +48ax+48a
例5 【答案】 2 2 2
2a +3−a −4 a −1
（1）原式= = = a−1；
a+1 a+1
2 2 2
a +b +2ab (a+b) a+b
（2）原式= = = ．
2 2 (a+b)(a−b) a−b
a −b
练5.1 【答案】 2 2 2 2 2 2 2 2
a +2ab+b +a −2ab+b 2a +2b a +b
（1）原式 = = = ；
2ab 2ab ab
b−2a−c+b−c −2a+2b−2c
（2）原式 = = = −2．
a−b+c a−b+c
例6 【答案】 2 2 2 2 2 2
(a+b)(a−b) 2b a −b +2b a +b
（1）原式= + = = ；
a+b a+b a+b a+b
1 6 x+1
（2）原式 = − −
x−5 (x+5)(x−5) 2(x+5)
2(x+5) 12 (x+1)(x−5)
= − −
2(x+5)(x−5) 2(x+5)(x−5) 2(x+5)(x−5)
2(x+5)−12−(x+1)(x−5)
=
2(x+5)(x−5)2
−x +6x+3
= ．
2(x+5)(x−5)
练6.1 【答案】 4x x
原式 = −
(x+2)(x−2) x−2
4x x(x+2)
= −
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2
4x−x −2x
=
(x+2)(x−2)
x(2−x)
=
(x+2)(x−2)
x
=− ．
x+2
能力强化 / 初二 / 暑假
第 14 讲 分式计算
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】−a−3
2
3 【答案】1
4 【答案】C
【解析】 1-x 1+x 2
解：原式= + = ，故选C．
(1+x)(1-x) (1+x)(1-x) 2
1-x
5 【答案】B
能力强化 / 初二 / 暑假第 14 讲 分式计算
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】D
4 【答案】 2(x−3) (x+3)(x−2) 1 1
（1）原式 = ⋅ ⋅ = − ；
2 −4(x−3) x+3 2x−4
(x−2)
2 2
x −y y(x−y) x+y
（2）原式 = ⋅ = ．
xy 2 2x
2(x−y)
5 【答案】D
【解析】 y x 1
2
∵分式 ， ， 的分母是2x，3y ，4xy，
2x 2 4xy
3y
2
∴它们的最简公分母为12xy ．
6 【答案】A
7 【答案】D
【解析】 2
a 4 a 4 (a+2)(a−2) a+2
− = − = = ，
a−2 2 a(a−2) a(a−2) a(a−2) a
a −2a
故答案为：D．
8 【答案】D
9 【答案】B
10 【答案】 2 2
1−x−2 1−x −x−x
解：（1）原式 = + = ；
x+2 x+2 x+2
2 2
x −x +1 1
（2）原式 = = ．
x+1 x+1
能力强化 / 初二 / 暑假
第 14 讲 分式计算精选精练
1 【答案】A
2 【答案】 (x+y)(x−y) x+5y
解：原式= ⋅
2 2
(x+5y) (x−y)
x+y
=
(x+5y)(x−y)
3 【答案】D
4 【答案】 2(x+3) 12 (x−1)(x−3)
解：原式 = − −
2(x+3)(x−3) 2(x+3)(x−3) 2(x+3)(x−3)
2 2
−x +6x−9 (x−3) x−3
= = − = − ．
2(x+3)(x−3) 2(x+3)(x−3) 2(x+3)
5 【答案】C
6 【答案】 2 2 4
解：原式 = + +
2 2 4
1−x 1+x 1+x
4 4
= +
4 4
1−x 1+x
8
= ．
8
1−x
能力强化 / 初二 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】C6 【答案】A
7 【答案】C
8 【答案】A
9 【答案】C
10 【答案】B
11 【答案】 8
a
12 【答案】15
13 【答案】 2
9−4x
14 【答案】 16
2
15 【答案】−12
16 【答案】x(x−y)(x+y)
17 【答案】0
18 【答案】8
19 【答案】 10 5 2 2 2
（1）−24x y ；（2）3a −2ab；（3）2x −3x−2；（4）9x −30x+25．
20 【答案】 3
（1）(a−b) ；
2
（2）(x−2) ；
2
（3）y(x−1) ；
（4）(c−a)(c−b)．
21 【答案】 2
解：化简结果为4x −13x，值为17．
22 【答案】 1 1
[ ] [ ]
2 2 2 2 2 2
解：x +y = (x+y) +(x−y) = 3，xy = (x+y) −(x−y) = 1．
2 4
23 【答案】（1）±3，−5；（2）5
24 【答案】证明：
∵BC∥DE
∴∠BCA = ∠E
在△ABC和△DAE中
∠B = ∠DAE
{
∵ BC = AE
∠ACB = ∠E∴△ABC≌△DAE（ASA）
∴AB = AD
25 【答案】证明：
（1）∵AD、BE为△ABC的高
∴∠ADB = ∠ADC = ∠BEC = 90∘
∴∠DBH = ∠DAC
在△ADC和△BDH中
∠ADC = ∠BDH
{
∵ ∠DAC = ∠DBH
AC = BH
∴△ADC≌△BDH（AAS）
∴DC = DH
（2）由（1）知，△ADC≌△BDH
∴BD = AD
∴△ABD是等腰直角三角形
∴∠ABC = 45∘
26 【答案】20∘或70∘．
27 【答案】 1 1
− 、
2 4
