文档内容
3乘法公式
一、单选题
1．若代数式x2−4x+a可化为(x−b) 2−1，则a+b是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．8
2．下列各式可以表示为完全平方式的是（ ）
A．x2+8x+16 B．x2−2xy−y2 C．x2+2xy+4 y2 D．9x2+12xy+ y2
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．(2a) 4=8a4
C．a3 ⋅a4=a7 D．(a+2b) 2=a2+4b2
( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
4．计算 1− 1− 1− 1− ⋯⋯ 1− 1− 的结果是（ ）
22 32 42 52 192 202
1 19 21 21
A． B． C． D．
2 20 20 40
5．如果9x2−kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）.
A．±15 B．15 C．±30 D．3
二、填空题
6．已知x2−2mx+16是完全平方式，则m的值为
7．二次三项式x2−6x+k是一个完全平方式，则k的值是
3
8．若x−y=√3，xy=− ，则x2+ y2= ．
4
9．分解因式： a2−6a+9 = ．
10．(2a−3) 2= ．
11．小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是x2+■xy+9 y2，但中间项的某一部分不慎
被墨汁污染了，则■处所对应的数是（写出所有可能的值）
三、计算题
12．初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形
中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
1 / 8（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ．
（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（22﹣1）（24+1）
＝1•（2+1）（22+1）（24+1）
＝ ．
（请你将以上过程补充完整．）
1
（3）利用以上的结论和方法、计算： +（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
2
13．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以
得到(a+b) 2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若xy=7,x+ y=5，直接写出x2+ y2的值______；
（2）类比应用：填空：①若x(3−x)=4，则x2+(x−3) 2=______；
②若(x−2019)(x−2023)=2，则(x−2019) 2+(x−2023) 2=_______；
（3）知识迁移，两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB=∠COD=90°）如图2所示放置，其
中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD=16,S +S =60，求一块三角板的面积．
△AOC △BOD
14．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
2 / 8例如：由图①可以得到(a+b) 2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若xy=5，x+ y=7，直接写出x2+ y2的值为___________；
（2）类比应用：填空：
①若x(4−x)=2，则x2+(x−4) 2=___________；
②若(x−3)(x−5)=2，则(x−3) 2+(x−5) 2=___________；
（3）知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，
先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以AD，CD为边分别向外扩建正方形ADGH、
正方形DCEF的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，
求原有长方形用地ABCD的面积．
四、解答题
15．对于任意有理数a、 b、c、d，定义一种新运算：
[a c]
=a2+b2−cd．
b d
[ 1 2]
（1） =______；
−1 3
（2）对于有理数x、y，若 (x+ y)=10，xy=22．
[2x−y 3x−y]
①求 的值：
y x−y
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G 在同一条直线上，
点E在边CD上，连接BD、BF．若 AD=x,AB=nx,FG= y,EF=ny，图中阴影部分的面积为45，
求n的值．
3 / 8五、综合题
16．数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片B、两张长方形纸片C，拼成如
图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式______________；（用含a、b的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为(2a+b)(3a+2b)的大长方形，则需要A,B,C三种纸
片各多少张？
（3）如图3，S ,S 分别表示边长为x、y的正方形面积，且M、N、P三点在一条直线上，若
1 2
S +S =40， x+ y=8，求图中阴影部分的面积．
1 2
17．通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为
4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正
方形．
（1）【知识生成】
请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：
方法一： ；
方法二： ；
（2）【得出结论】
根据（1）中的结论，请你写出代数式(m+n) 2 ，(m−n) 2 ，mn之间的等量关系为 ；
（3）【知识迁移】
根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足：a+b=8，ab=7，求a−b的值．
4 / 818．探索代数式a2﹣b2与代数式（a+b）（a﹣b）的关系.
（1）当a=5，b=2时,分别计算两个代数式的值．
（2）当a=7，b=﹣13时,分别计算两个代数式的值．
（3）你发现了什么规律?
（4）利用你发现的规律计算：8892﹣1112．
六、实践探究题
19．中国最古老的天文学和数学专著《周髀算经》在记载“勾股圆方图”时说：“勾实之矩以股弦
差为广，股弦并为袤，而股实方其里.……股实之矩以勾弦差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里.”将
这段话实践起来：如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为b(a>b)的正方形，则余下的阴影部
分面积等于一个以(a+b)为长、(a−b)为宽的长方形面积，如图2.
（1）请列式表示：图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为
；
（2）图1和图2两图中阴影部分面积相等，你能写出（1）中代数式之间的等量关系吗？
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=14，a−b=2，求a2−b2的值.
5 / 8答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
2．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
4．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
5．【答案】C
【知识点】完全平方式
6．【答案】±4
【知识点】完全平方式
7．【答案】9
【知识点】完全平方式
3
8．【答案】
2
【知识点】完全平方公式及运用
9．【答案】(a−3) 2
【知识点】完全平方公式及运用
10．【答案】4a2−12a+9
【知识点】完全平方公式及运用
11．【答案】6或−6
【知识点】完全平方式
12．【答案】（1）（a＋b）（a−b）＝a2−b2
（2）28−1
332
（3）
2
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
13．【答案】（1）11
（2）1，20
（3）一块直角三角板的面积为34．
6 / 8【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
14．【答案】（1）39
（2）①12②8
（3）800m2
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
15．【答案】（1）−4
（2）①56；②2
【知识点】完全平方公式的几何背景
16．【答案】（1）(a+b) 2=a2+2ab+b2
（2）需要A,B,C三种纸片各6张、2张、7张
（3）12
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
17．【答案】（1）(m+n) 2−4mn；(m−n) 2
（2）(m+n) 2−4mn=(m−n) 2
（3）a−b=6或a−b=−6．
【知识点】完全平方公式的几何背景
18．【答案】（1）解：当a=5，b=2时，
a2﹣b2=25﹣4=21，
（a+b）（a﹣b）=7×3=21 .
（2）解：当a=7，b=﹣13时，
a2﹣b2=49﹣169=﹣120，
（a+b）（a﹣b）=﹣6×20=﹣120 .
（3）解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
（4）解：8892﹣1112=778000
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用
19．【答案】（1）a2−b2；(a+b)(a−b)
（2）解：a2−b2=(a+b)(a−b)
（3）解：若a+b=14，a−b=2，
则a2−b2=(a+b)(a−b)=14×2=28
7 / 8【知识点】平方差公式的几何背景
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