文档内容
1．3 勾股定理的应用
1．能熟练运用勾股定理求最短距离；(难点)
2．能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．(重点)
一、情境导入
一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通
过？为什么？
二、合作探究
探究点一：求几何体表面上两点之间的最短距离
【类型一】 长方体上的最短线段
如图①，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从D出发，沿长
方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？
解析：可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短
距离即为所求．
解：如图②，在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；
如图③，在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.
因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5cm.
方法总结：此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃
而解．
【类型二】 圆柱上的最短线段
为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红
色油纸，如图①.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4
第 1 页 共 2 页圈，应裁剪多长的油纸？
解析：将圆筒侧面展开成平面图形，利用平面上两点之间线段最短求解，构造直角三角
形，利用勾股定理来解决．
解：如图②，在Rt△ABC中，因为AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝
AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．
方法总结：解决这类问题的关键就是转化，即把曲面转化为平面，曲线转化成直线，构造
直角三角形，利用勾股定理求出未知线段长．
探究点二：利用勾股定理解决实际问题
如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到
达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．
解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．
解：如图，过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，
∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C两点间的距离为
500m.
方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角
形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．
三、板书设计
通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际问题抽象成数学问
题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．在利用勾股定理解决
实际问题的过程中，感受数学学习的魅力．
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