文档内容
1.3 勾股定理的应用
11大知识点（基础）+能力提升练（4道）+拓展培优练（3道）
一、梯子滑动模型（勾股定理的应用）
1．如图，一梯子AB斜竖在垂直于地面的墙AC上，若AC=8m，CB=6m，则梯子AB的长为（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得∠ACB=90°，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：由题意可得：∠ACB=90°，
∵AC=8m，CB=6m，
∴由勾股定理可得：AB=10m，
故选：A．
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB=2米，
BC=1.5米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为多少米？
【答案】2.2米
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．分别在
Rt△ABC，Rt△DEC中求出AC，BC，CD即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2米，BC=1.5米，
∴ AC=2.5米，在Rt△DEC中，∵∠EDC=90°，ED=2.4米，EC=AC=2.5米，
∴CD=0.7米，
∴BD=CD+BC=0.7+1.5=2.2米，
答：小巷的宽度为2.2米．
3．如图所示，一架25m长的梯子AC斜靠在与地面OA垂直的墙CO上，此时梯子底端A离墙7m．
(1)求这架梯子的顶端距离地面的高度．
(2)如果梯子的顶端C沿墙下滑了4m，那么梯子底端水平外移了多少m？
【答案】(1)24米
(2)8
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键；
（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）先计算A'C=2，再利用勾股定理计算B'C，再利用线段的和差可得答案．
【详解】（1）解：∵地面OA垂直的墙CO，即∠AOC=90°，
∴AC2=OA2+CO2
∴CO=24(m)，
答：这架梯子的顶端距离地面的高度为24米．
（2）由题意得：CD=4m，AC=BD=25m，
∴OD=CO-CD=24-4=20(m)，
∴OB2=BD2-OD2==225，OB=15（m）
∴AB=OB-OA=15-7=8(m)，
答：梯子底端水平外移了8m．
二、旗杆模型（勾股定理的应用）
1．如图，李明想知道学校旗杆的高度．他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将
绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m．则旗杆的高度为（ ）A．6m B．8m C．10m D．12m
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为xm，根据勾股定理得出x2+62=(x+2) 2，求解即可．
【详解】解：设旗杆的高度为xm，
由题意并结合勾股定理可得：x2+62=(x+2) 2，
解得：x=8，
∴旗杆的高度为8m，
故选：B．
2．如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但
这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为2m，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端
6m，则旗杆的高度为（ ）
A．10m B．9m C．8m D．7m
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度AB为xm，则AC=(x+2)m，在Rt△ABC中，由勾股
定理得出方程求解即可．
【详解】解：设旗杆的高度AB为xm，则AC=(x+2)m，
由题意可知BC=6m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
即x2+62=(x+2) 2，
解得x=8，
即旗杆的高度为8m，
故选：C．
3．今年的耀华数学节，老师布置了一项任务，要求数学小组成员们测量学校旗杆的高．成员发现旗杆上
的绳子垂到地面还多了1.25米．现把绳子拉直，让下端刚好接触地面，此时绳子下端距旗杆底部6.25米，
求耀华中学旗杆的高．
【答案】15m
【分析】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，根据勾股定理列出方程是解题关键．
设AB的长是xm，则AC的长是(x+1.25)m，在Rt△ABC中，由勾股定理求解即可得出结果．
【详解】解：如图，AB表示旗杆，AC表示拉展的绳子，
设AB的长是xm，则AC的长是(x+1.25)m，
根据题意得：BC=6.25m，
在Rt△ABC中
AB2+BC2=AC2，
∴x2+6.252=(x+1.25) 2
解得：x=15，
答：旗杆的高是15m．三、利用勾股计算鸟飞行距离
1．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m的树顶上，两棵树相距12m，则喜
鹊至少要飞 m．
【答案】13
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：AC=12m,BC=10-5=5m,∠ACB=90°，
∴AB=13m．
即喜鹊至少要飞13m．
故答案为：13
2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
的树梢，小鸟至少飞行 米．
【答案】25
【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线
飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可．
【详解】解：如图，设大树高为AB=12米，小树高为CD=5米，连接AC，CD平移到BE，则EB=CD=5米，∠AEC=90°，两树相距EC=BD=24米，
∴AE=AB-EB=12-5=7（米），
在Rt△AEC中，AC=25（米），
故小鸟至少飞行25米．
故答案为：25．
3．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小
鸟至少要飞 米．
【答案】10
【分析】根据勾股定理求出AB的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AB，过点B作BC⊥AD
∵∠ADH=∠BCD=∠BHD=90°
∴四边形BCDH矩形
∴BH=DC=4m，BC=DH=8m
∴AC=AD-CD=10-4=6(m)，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB=10(m)，则小鸟至少要飞10m，
故答案为：10．
四、树枝折断模型（勾股定理的应用）
1．《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意
思是：一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几
尺？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+32=(10-x) 2 B．x2-102=(6+x) 2
C．32=102-x2 D．x2=(10+x) 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即
可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，
由题意得，x2+32=(10-x) 2，
故选：A．
2．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（ ）
A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺
【答案】A
【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用．设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解．
【详解】解：设折断处离地面的高度是x尺，
根据勾股定理得x2+32=(9-x) 2，
解得x=4．
故折断处离地面的高度是4尺，
故选：A．
3．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地
面）的根部C处．若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米．
【答案】19
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，利用勾
股定理先求出BD=5m，即可得到AD=9m，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示：过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，则∠D=90°，
由题意可得：BC=13m,DC=12m，
故BD=5m，
∴AD=4+5=9m，
则AC2=AD2+CD2=225，AC=15（m）
故AC+AB=15+4=19m，
故答案为：19．五、杯中笔模型（勾股定理的应用）
1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，
设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ）
A．2cm70，
故小汽车超速了．
3．某条道路限速60km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测
仪A正下方5m的B处，过了1s，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离AC为13m．
(1)求BC的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【答案】(1)12m
(2)未超速
【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三
角形中进行解决．（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：根据题意，得AB=5m，AC=13m,
由勾股定理，得BC2+AB2=AC2，
∴BC=12m，
故BC的长为12m．
（2）解：12÷1=12m/s，
50
∵60km/h= m/s>12m/s，
3
∴这辆小汽车未超速．
八、利用勾股定理判断是否受台风影响问题
1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，
如图，台风中心沿东西方向AB由A向B移动，AB长100km．已知海港C到A的距离为60km，到B的距
离为80km．台风的影响范围为台风中心周围50km内．
(1)海港C受台风影响吗？请说明理由．
(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港C受台风影响，见解析
(2)台风影响该海港持续的时间为1.4小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港
C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：海港C受台风影响．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC=60km，BC=80km，AB=100km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
1 1
∴ AC⋅BC= CD⋅AB，
2 2
∴60×80=100×CD，
60×80
∴CD= =48(km)，
100
∵以台风中心为圆心周围50km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响，
（2）解：如图，当EC=50km，FC=50km时，正好影响C港口，
∵ED=14(km)，
∴EF=28km，
∵台风的速度为20km/h，
∴28÷20=1.4（小时），
即台风影响该海港持续的时间为1.4小时．
2．如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点
A，B的距离分别为150m和200m，又AB=250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【答案】(1)学校C会受噪声影响．理由见解析
(2)环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的
关键．
（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，再利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角
形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED，进而得到EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
【详解】（1）解：学校C会受噪声影响．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=150m,BC=200m,AB=250m，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
1 1
∴S = AC·BC= CD·AB，
△ABC 2 2
150×200
∴150×200=250×CD，解得：CD= =120米．
250
∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）解：如图：当EC=130m,FC=130m时，在EF上行驶时，正好影响学校C，
∵ED=50m，同理DF=50m，
∴EF=100m，
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50=2（分钟），
∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
3．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国
影响最大的台风，风力影响半径130 km（即以台风中心为圆心，130 km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若
A,C之间相距150 km,A,B之间相距200 km．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析；
(2)5小时．
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键．
（1）如图，过A作AH⊥BC于H，由勾股定理得到AH=120km，由此即可求解；
（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，由勾股定理得
MH=50( km)，MN=2×50=100( km)，由此即可求解．
【详解】（1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下：
如图，过A作AH⊥BC于H，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90∘，
∴BC=250km，
1 1
∵△ABC的面积= BC⋅AH= AB⋅AC，
2 2
∴250AH=200×150，
∴AH=120km，
∵AH<130km，
∴农场A会受到台风的影响；（2）解：如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，
∴AM=AN=130km，
∵AM=AN,AH⊥BC，
∴MH=NH，
由勾股定理得MH=NH=50( km)，
∴MN=2×50=100( km)，
∵台风中心的移动速度为20km/h，
∴台风影响该农场持续时间是100÷20=5（小时）．
九、利用勾股定理选址问题
1．如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，
且CD=4km．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．
请求出点P与点C之间的距离．
19
【答案】 km
8
【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设PC=xkm，根据勾股定理可得
12+x2=22+(4-x) 2，即可解得PC的长．
【详解】解：设PC=xkm，则PD=(4-x)km，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+PC2，
在Rt△BDP中，BP2=BD2+PD2，
∵AP=BP，
∴AC2+PC2=BD2+PD2，
∴12+x2=22+(4-x) 2，
19
解得x= ，
819
∴PC= km．
8
2．如图，在一条笔直的马路EF同侧有A，B两个小区，A小区到马路的垂直距离AC为10千米，B小区到
马路的垂直距离BD为2千米，CD的长度为15千米．
(1)求A，B小区之间的距离；
(2)现要在线段CD上修建一个车站E，使得车站E到A，B两小区的距离相等，此时车站E应修建在离点C
多远处？
【答案】(1)17千米
(2)4.3千米
【分析】（1）过点B作BH⊥AC于H，可得四边形CDBH是长方形，得到BH=CD=15千米，
HC=BD=2千米，即得AH=AC-HC=8千米，再利用勾股定理即可求解；
（2）设CE=x千米，则DE=(15-x)千米，由AE=BE利用勾股定理解答即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，则∠AHB=∠BHC=90°，
∵∠HCD=∠CDB=90°，
∴四边形CDBH是长方形，
∴BH=CD=15千米，HC=BD=2千米，
∴AH=AC-HC=10-2=8千米，
∴AB=17千米，
答：A，B小区之间的距离为17千米；
（2）解：如图，设CE=x千米，则DE=(15-x)千米，
由题意得，AE=BE，
∴由勾股定理得，102+x2=22+(15-x) 2，整理得，30x=129，
解得x=4.3，
答：车站E应修建在离点C 4.3千米处．
3．如图甲，笔直的公路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，
已知DA=10 km，CB=5 km，现在计划在公路的AB段上建一个土特产品收购站E．
(1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
(2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，计算得到距
离的和最短值为 km．
65
【答案】(1) km
8
(2)图见解析，25
【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用
是解题的关键．
（1）设AE=x km，则BE=(20-x) km，在Rt△ADE与Rt△BCE中，由勾股定理结合DE=CE得出方程，
求出x的值即可求解；
（2）作点C关于AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则点E即为所求，DC'长即为距离的和最短值，
过点C'作C'F⊥DA交DA的延长线于点F，在Rt△DFC'中由勾股定理求出DC'的长即可．
【详解】（1）解：（1）设AE=x km，则BE=(20-x) km，
在Rt△ADE与Rt△BCE中，由勾股定理得，
AD2+AE2=DE2，BE2+BC2=CE2，
∵DE=CE，
∴AD2+AE2=BE2+BC2，∴102+x2=(20-x) 2+52，
65
解得x= ，
8
65
即收购站E应建在离A点 km处；
8
（2）如图，作点C关于AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则点E即为所求，DC'长即为距离的和最
短值，
过点C'作C'F⊥DA交DA的延长线于点F，
则DC'=25 km．
故答案为：25．
十、勾股定理逆定理的实际应用
1．如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形
ABCD中，∠ACB=90°，AB=15m，BC=9m，AD=5m，DC=13m．
(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】(1)△ACD是直角三角形，理由见解析
(2)6720元．【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角
形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC=12cm，在△ACD中，易求
AC2+AD2=122+52=132=CD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°；
（2）分别利用三角形的面积公式求出S +S ，即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花
△ABC △ADC
费．
【详解】（1）解：△ACD是直角三角形，理由如下：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15m，BC=9m，
∴AC=12cm
在△ACD中，AD=5m，DC=13m，AC=12cm
∴AC2+AD2=122+52=132=CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠DAC=90°；
1 1 1 1
（2）∵S +S = ×AC×BC+ ×AC×AD= ×12×9+ ×12×5=84cm2 ，，
△ABC △ADC 2 2 2 2
∴S =84cm2 ，
四边形ABCD
费用=84×80=6720（元）．
答：铺满这块空地共需花费6720元．
2．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小
区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色
空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，
CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．求这片绿地的面积．
【答案】这片绿地的面积是114m2
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理等知识．
连接AC，勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，然后
由三角形面积公式即可得出结论．【详解】解：如图，连接AC，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AC=15(m)，
∵AD2+AC2=82+152=289，CD2=172=289，
∴AD2+AC2=DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
1 1
∴S = AD⋅AC= ×8×15=60(m2)，
△DAC 2 2
1 1
∴S = AB⋅BC= ×9×12=54(m2)，
△ACB 2 2
∴S =60+54=114(m2)，
四边形ABCD
答：这片绿地的面积是114m2．
3．如图，我校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和三角形EDC，给八
年级的学生分别种“番茄”和“土豆”．经测量，∠EDC=90°，DC=3，CE=5，BD=7，AB=8，
AE=1．
(1)求DE的长；
(2)求四边形ABDE的面积．
【答案】(1)DE=4
(2)18
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾
股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理即可求得CE=5；
（2）由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠A=90°，然后由三角形面积公式列式计算即可．【详解】（1）解：∵∠EDC=90°，DC=3，CE=5，
∴DE=4；
（2）解：∵DC=3，CE=5，BD=7，AB=8，AE=1，DE=4，
∴AC=AE+CE=6，
∵BC=BD+CD=3+7=10，AB=8，
∴AB2+AC2=100=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°，
∴S =S -S
四边形ABDE △ABC △CDE
1 1
= AB⋅AC- DC⋅DE
2 2
1 1
= ×6×8- ×3×4=24-6=18
2 2
答：四边形ABDE的面积为18．
4．如图，A，B两村庄相距150米，C为供气站，AC=120米，BC=90米，为了方便供气，现有两种方
案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C站铺设管道到点H处，再从点H处分别向A村、B两
村铺设．
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由见解析
(2)方案一所修的管道较短，说明见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是
解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AB，即可得出结果．
【详解】（1）解：△ABC是直角三角形．理由如下：；∵AC2+BC2=1202+902=22500，AB2=1502=22500，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
1 1
（2）解：∵△ABC的面积= AB⋅CH= AC⋅BC，
2 2
AC⋅BC 120×90
∴CH= = =72（米）；
AB 150
∵AC+BC=120+90=210（米），
CH+AB=72+150=222（米），
210米<222米，
∴方案一所修的管道较短．
十一、最短距离问题
1．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华
表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙
的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为6米，柱身高约16米，
1 1
∴AB=6米，AE= AD= ×16=8（米），
2 2
∴BE=10（米），
故雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2=20（米），故选：A．
2．如图，圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面
上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【答案】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm
【分析】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键．把圆
柱体展开，连接AB，然后可知AE和BE，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求
【详解】解：如解图，圆柱体的展开图为长方形ACDE，
所以∠AEB=90°，
1
由题意可知，BE= DE=9cm,AE=12cm，
2
所以在 Rt△ABE中，
由勾股定理得，AB2=AE2+BE2=122+92=225=152，
所以 AB=15cm，
则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm1．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A
上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？
【答案】13
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关
键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为(3+1)×3=12，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得AB=13，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是13．
2．综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD
模型
抽象
测绘数
①测得水平距离ED的长为15米②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17
米
据
③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.8米
说明 点A，B，E，D在同一平面内
请根据表格信息，解答下列问题．
(1)求线段AD的长；
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
【答案】(1)9.8米
(2)小明同学应该再放出8米线
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；
（1）如图，过点B作BC⊥AD于点C，利用勾股定理求解AC=8，再进一步解答即可；
（2）如图，设风筝沿DA方向再上升12米后到达点F处，连接BF，利用勾股定理求解BF=25，进一步
可得答案．
【详解】（1）解：如图，过点B作BC⊥AD于点C．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=ED=15米，AB=17米，
由勾股定理，得AC=8（米），
则AD=AC+CD=AC+BE=8+1.8=9.8（米）．
（2）解：如图，设风筝沿DA方向再上升12米后到达点F处，连接BF，
则CF=8+12=20（米）．
由勾股定理，得BF=25（米），
故BF-AB=25-17=8（米）．
答：小明同学应该再放出8米线．3．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（AB=10
尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是AB的中点），它高出水面1尺（MP=1尺）.如果把这
根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN=BN），求水的深度PN.
【答案】12尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键．
根据题意可得1+PN=BN，然后Rt△BPN中运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵AB=10，点P是AB的中点，
∴BP=5.
∵MP=1，MP+PN=BN，
∴1+PN=BN.
在Rt△BPN中，根据勾股定理可得：BN2=52+PN2.
∴(1+PN) 2=52+PN2，解得PN=12.
答：水的深度PN为12尺．
4．某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时
36海里的速度沿北偏西40°方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东50°的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦
截到该船只．
(1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？
(2)求此时该船只所在处C与AB的距离为多少海里？
【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里
(2)此时该船只所在处C与AB的距离为14.4海里
【分析】本题考查了利用勾股定理解决航海问题．
（1）先求得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理求解即可；（2）作CD⊥AB于D，利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：∵∠MAB=∠NBA=90°，∠MAC=50°，∠NBC=40°，
∴∠CAB=40°，∠CBA=50°，
∴∠ACB=90°，
∵AB=30，BC=36×0.5=18，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=24，
∴24÷0.5=48，
答：巡逻艇的速度为每小时48海里；
（2）解：作CD⊥AB于D，
1 1
∴ AB×CD= AC×BC，
2 2
24×18 72
∴CD= = =14.4，
30 5
答：此时该船只所在处C与AB的距离为14.4海里．
1．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动
风筝离地面垂直高度探究
课题
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以
问题
木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想
背景
测量风筝离地面的垂直高度．
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长
为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17m．牵线放风筝的手
到地面的距离为1.8m．
测量
数据
抽象
模型
问题 经过讨论，兴趣小组得出以下问题：（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂
产生 直高度AD．
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12m，且BC长度不变，则他应该再放出多
少米线？
问题
……
解决
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【答案】（1）9.8米；（2）8米
【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，
两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
（1）利用勾股定理求出的AC长，再加上CD的长度，即可求出AD的高度；
（2）根据勾股定理计算即可得到结论．
【详解】解：（1）由题意得，∠ACB=90°，BC=15米，AB=17米，
在Rt△ABC中，由勾股定理，可得：AC=8（米），
AD=AC+CD=8+1.8=9.8（米）．
答：风筝离地面的垂直高度为9.8米；
（2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米，
所以A'C=AC+A A'=8+12=20米，
在Rt△A'BC中，∠A'CB=90°，BC=15米，
由勾股定理，可得A'B=25（米），
则应该再放出25-17=8（米），
答：他应该再放出8米长的线．
2．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路
AB，AD，BD，DC，已知AB=20km，AD=12km，BD=16km，CD=30km．(1)通过计算说明公路BD是否与AD垂直；
(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段BC），并在大道BC上的E处修建一座凉亭方便
游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段DE），且DE⊥BC．若修建互通大道
BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道BC，DE的总费用．
【答案】(1)公路BD与AD垂直，计算见解析
(2)818万元
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论；
（2）根据勾股定理及面积法求得BC+DE，于是得到结论．
【详解】（1）解：在△ABD中，∵AB=20km，AD=12km，BD=16km，
∴122+162=400=202，即AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴公路BD与AD垂直．
（2）解：由（1）知∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°．
在Rt△BCD中，CD=30km，BD=16km，
∴BC=34(km)，
∵DE⊥BC，
1 1 1 1
∴S = CD⋅BD= BC⋅DE，即 ×30×16= ×34×DE，
△BCD 2 2 2 2
240
解得DE= ，
17
240
∴34×17+ ×17=578+240=818（万元）．
17
答：修建互通大道BC，DE的总费用是818万元．
3．如图，李师傅在两墙AB，CD之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为2.5m的梯子MN，此时
梯子底端N距离墙角B点0.7m．(1)此时梯子MN的顶端M点距离地面有多高？
(2)若梯子底端N点没有固定好，向后滑动到墙角D处，使梯子顶端M沿墙AB下滑了0.4m到P点处，求梯
子底端N向后滑动的距离．
【答案】(1)梯子MN的顶端M点距离地面有2.4m高
(2)梯子底端N向后滑动的距离为0.8m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理直接求解即可；
（2）由（1）知BM=2.4m，进而勾股定理求得BD=1.5m，根据DN=BD-BN即可求解．
【详解】（1）解：本题题意得：MN=2.5m,BN=0.7m,∠PBD=90°，
∴ BM=2.4m，
∴梯子MN的顶端M点距离地面有2.4m高；
（2）解：由（1）知BM=2.4m，
根据题意得：MP=0.4m,PD=MN=2.5m,∠PBD=90°，
∴BP=BM-PM=2m，
∴ BD=1.5m，
∴DN=BD-BN=1.5-0.7=0.8m，
∴梯子底端N向后滑动的距离为0.8m
4．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时
间完成了实地测量．测量结果如下表．
测量实物图
项目 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项
背景 目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
测量过程
项目 步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N．将
测量示意图
方案 系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出
NE的长度．步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水
平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用
皮尺测出点A与点B之间的距离．
步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离．
测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分 0.5m
各项
数据
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6m
小丽身高 1.5m
请根据表格所给信息，完成下列问题．
(1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系：
(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高．
【答案】(1)MN=AM-0.5
(2)9.5米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）根据AM=MN+NE，结合题意即可获得答案；
（2）结合题题确定NC=AB=1.5m，AC=NB=6m，AC⊥MN，设AM=xm，则MC=(x-2)m，在
Rt△ACM中，利用勾股定理解得x的值，然后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，可知NE=0.5m，
则MN=AM-NE=AM-0.5．
故答案为：MN=AM-0.5；
（2）解：如下图，
∵∠ACN=∠CNB=∠ABN=90°
∴四边形ABNC是矩形，
∴NC=AB=1.5m，AC=NB=6m，AC⊥MN，
设AM=xm，则MC=MN-NC=AM-0.5-1.5=(x-2)m，在Rt△ACM中，可有 AC2+MC2=AM2，
即62+(x-2) 2=x2，
解得x=10，
∴AM=10m，
∴MN=AM-0.5=9.5(m)，
答：学校旗杆MN的高为9.5m．
