文档内容
第一章 勾股定理（复习讲义）
1．了解勾股定理的意义，体会勾股定理及其逆定理之间的整体联系。
①了解勾股定理的基本内容；②了解勾股定理逆定理的内容；③体会勾股定理与勾股定理逆定理之间的相
互关系和整体联系。
2．能用勾股定理及其逆定理进行证明和计算。
①掌握勾股定理的多种证明方法；②能够利用勾股定理求解直角三角形的边长；③能够利用勾股定理逆定
理判断一个三角形是否为直角三角形。
3．理解并利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
①理解勾股数的概念，能够识别和应用勾股数解决实际问题；②能够利用勾股定理解决平面展开图中的最
短路径问题；③能够在实际问题中灵活运用勾股定理及其逆定理，进行问题分析和求解。
知识点01 勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c
如图：直角三角形 ABC 的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么
a2 b2 c2
.
知识点02 勾股定理证明（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
知识点03 勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
知识点04 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
知识点05 勾股定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在
具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第
三边的平方比较而得到错误的结论.
知识点06 平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用
勾股定理求解
题型一 勾股数的判断
【例1】在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6
【变式1-1】下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5
【变式1-2】下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角
三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：
3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾
为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其
弦是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积
【例2】以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为
（ ）A．3 B．2 C．5 D．4
【变式2-1】如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积
依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式2-2】如图，分别以 的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底
月牙”．当 ， 时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）
A．18 B． C．24 D．48
【变式2-3】如图， 中， ，分别以 的三条边为一条边在 的外部作
等腰直角三角形， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，下列结论一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
题型三 判断能否构成直角三角形
【例3】（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）满足下列条件的 中，不是直角三角形的是( )
A． B．
C． D．
【变式3-2】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知 中， ， ， 的对边分别是 ， ，
．下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）在 中， ， ， 的对边分别记为 ， ， ，
下列结论中不正确的是（ ）
A．如果 ，那么 是直角三角形且
B．如果 ，那么 是直角三角形
C．如果 ，那么 是直角三角形
D．如果 ，那么 是直角三角形
题型四 勾股定理与网格问题
【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格， 的顶点 ， ，
均在格点上．若 于点 ，则线段 的长为
【变式4-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶
点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)线段 的长为 ，线段 的长为 ， 线段 的长为 ；
(2) 的面积是 ．
【变式4-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，
在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形 的每一个顶点都在格点上，
(1)求 的度数；
(2)求格点四边形 的面积．
【变式4-3】（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）网格中的小正方形边长均为1， 的三个顶点均
在格点上，完成下列问题：
(1) ______； ______； ______；
(2)求 的面积
(3)求 边上的高
题型五 用勾股定理解三角形
【例5】在 中， ．
(1)若 ， ，则 ______；(2)已知 ， ，求 、 的值．
【变式5-1】如图，在 中， ，点 在 的延长线上，过点 作 于点 ，交
于点 ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【变式5-2】如图，点 、 把线段 依次分成 、 、 三段．若以 、 、 为边组成
的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的“勾股分点”．
(1)若 ， ， ，则点 、 线段 的“勾股分点”（填“是”或“不是”）．
(2)若 、 是线段 的“勾股分点”， ， ，且 是组成的直角三角形的一条直角边，
求 的长．
【变式5-3】如图，在 中， 于点 ， ， ．
(1)求 的长；
(2)若点 是射线 上的一个动点，过点 作 于点 ．
①当点 在线段 上时，若 ，求 的长；
②设直线 交射线 于点 ，连接 ，若 ，求 的长．
题型六 勾股定理与折叠问题【例6】如图，有一块直角三角形纸片的两直角边 ， ，现将 沿直线AD折叠，使
点C落在点E，求CD的长．
【变式6-1】如下图，在长方形纸片 中， ．现将该纸片沿 折叠，使点A，C
重合．求：
(1) 的长；
(2)重叠部分 的面积．
【变式6-2】如图，将边长为 的正方形 折叠，使点D落在 边的中点E处，点A落在F处，折
痕为 ．
(1)求线段 长．
(2)求线段 的长．
【变式6-3】如图，将长方形纸片 沿对角线 折叠，使点 落到点 位置， 与 交于点 ．(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)在（2）的条件下，若点 为线段 上任一点， 于 于 ．求 的值．
题型七 勾股定理的应用
【例7】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧
隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由 调整为 、大型汽车限速值由
调整为 ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方
的C处（即 ），过了 小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长；
(2)这辆小汽车在 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据： ）
【变式7-1】《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸
齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘
的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．【变式7-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾
股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量：
①测得水平距离 的长为 ；
②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线 为
③该同学身高1.6m
(1)求风筝的垂直高度
(2)如果该同学想让风筝沿 方向下降 ，则他应该往回收线多少米？
【变式7-3】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生在消防日举行了
消防演练．如图，云梯 长为10米，云梯顶端 靠在教学楼外墙 上（墙与地面垂直），云梯底端
与墙角 的距离为6米．（结果保留1位小数，参考数据： ， ， ）
(1)求云梯顶端 与墙角 的距离 的长；
(2)假如云梯顶端 下方3米 处发生火灾，需将云梯顶端 下滑到着火点 处，则云梯底端在水平方向上
滑动的距离 为多少米．
【变式7-4】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工
具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 处，如果圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为
，那么最短的路线长是______；
(2)应用二：解决实际问题．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时，即水平
距离 ，踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，求绳索 的长．
题型八 利用勾股定理的逆定理求解
【例8】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ，求 的度数．
【变式8-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图， 在四边形 中． ，
，
(1)求 的度数．
(2)求四边形 的面积．【变式8-2】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地 ， ，
， ．从点A修了一条垂直 的小路 （垂足为E），E恰好是 的中点，且
．
(1)求边 的长；
(2)连接 ，判断 的形状；
(3)求这块空地的面积．
【变式8-3】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形 中， ， ， ．
(1)求证： ：
(2)如果 平分 ，且 ，求 的面积．
基础巩固通关测
一、单选题
1．下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（ ）
A．9 B．24 C．35 D．40
2．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（ ）A．3 B．9 C．16 D．25
3．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
4．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈
尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？
设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在 中， ， ， ．点E、F分别是边 、 上的点，连结 ，
将 沿 翻折，使得点 的对称点落在边 的中点 处，则 的长为（ ）
A． B． C．3 D．2二、填空题
6．写一组你喜欢的勾股数 ．
7．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之
前的高度是 m
8．在直角三角形 中， ， ， ，则 ．
9．如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 ， ， ，
若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
10．如图，已知 ， ，点 为 的边 上一动点，则当 时，
为直角三角形．
三、解答题
11．如图，在 中， ， 于 ， ， ，求 的长．12．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中
， 于点 ， 尺， 尺，求 的长度．
13．如图所示，有一块直角三角形纸片， ，将斜边 翻折，使点B落在
直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长．
14．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意
图
①测得水平距离 的长为 米．
边的长
测量数据
度
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 米．
请计算：如果小明想要风筝沿 方向再上升 米， 长度不变，则他应该再放出多少米线？
15．如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，沿着射线 以 的
速度运动，运动时间为 ．(1)若 ，则t的值为_____；
(2)当 时，求t的值；
(3)当 是直角三角形时，求t的值．
能力提升进阶练
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，5，6
2．已知 的三边分别为a，b，c，当三角形的边，角满足下列关系，不能判定 是直角三角形的
是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置 处摆绳 与地面垂直，摆绳长 ，向前荡起到最高点
处时距地面高度 ，摆动水平距离 为 ，然后向后摆到最高点 处．若前后摆动过程中绳始终
拉直，且 与 成 角，则小丽在 处时距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．由题意可知， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
即小丽在 处时距离地面的高度是 ，
故选：A．
4．已知直角三角形纸片 的两直角边长分别是 ， ，现将 按如图所示那样折叠，使点A与点B
重合，折痕为 ，则 的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．
5．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
6．如图，正方形A的面积为 ．
7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1， 各顶点均在网格的格点上， 于点
D，则 的长为 ．
8．如图，有一张直角三角形纸片沿直线 折叠，使一直角边落在斜边上，且点 与点 重合，已知
， ，则 的长是 ．
9．如图，无盖长方体盒子的长为 ，宽为 ，高为 ，若 ，一只蚂蚁沿着盒子的表面
从 点爬到 点，需要爬行的最短路程为 ．10．如图， 中， ， ， ，点 为线段 上一个动点，连接 ，将
沿直线 翻折得到 ，线段 交直线 于点 ．若 为直角三角形，则 的长是
．
三、解答题
11．某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔
记本电脑的宽 为 ，当顶部边缘 离桌面的高 时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员
调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高 时，用眼舒适度比较理想．已知点
， ， ， 在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离 ．
12．如图，在 中， ， 垂足为 ．
(1)若记 为 ， 为 ，直接写出 ___________；
(2)若 ， ，求 的长度．
13．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其进行了探究：如图1，在一个支架的横杆点 处
用一根细绳悬挂一个小球 ，小球 可以自由摆动．如图2， 表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从 摆到 位置，此时过点 作 于点 ，当小球摆到 位置时， 与
恰好垂直（图中的点 ， ， ， 在同一平面上），过点 作 于点 ，测得
．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
14．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架 ，
，两轮轮轴的水平距离 （购物车车轮半径忽略不计）， ， 均与地面平行．
(1)猜想两支架 与 的位置关系并说明理由；
(2)若 的长度为 ， ，求购物车把手点 到 的距离．
15．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门 和西门 之间修建了四边形 循环步道．如
图，经勘测，点 在点 的正南方向上，点 在点 的正东方向上， ，且点 到点 的距离
相等， 米， 米．
(1)求 两点之间的距离；(2)嘉淇准备从西门 跑步到东门 去见小明，因 之间的道路整修不能通行，嘉淇决定选择一条较短
线路，请通过计算说明嘉淇应选择 路线，还是 路线？
16．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直
角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等
于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 ，
化简便得出结论 ．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双
求法”．
【方法运用】
千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角
形 和直角三角形 按如图2所示放置，其三边长分别为 ， ，显然
．
①请用 分别表示出梯形 的面积________， 的面积________；并求出四边形 的面积
（用含c的式子表示，要写过程）
②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 ；
【方法迁移】
（1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到 ，则 边上的高为________；
（2）如图4，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求x的值．
