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第 07 讲 完全平方公式
课程标准 学习目标
①完全平方公式的推导 1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用；
②完全平方公式的运算 2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；
③完全平方公式的应用 3.会用几何图形说明完全平方公式的意义，体会数形结合的思想方法.
知识点01 完全平方公式
完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.
即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b²
（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍
（2）公式的变化：① a²+b²=(a+b)²-2ab；② a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-
b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。
【即学即练1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）化简： ．
【即学即练2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）先化简，再求值： ，其中
．【即学即练3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式 ．
(1)化简代数式A；
(2)若 是一个完全平方式，求A的值．
知识点02 平方差和完全平方差区别
平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b²
平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍
【即学即练1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
题型01 判断是否完全平方公式运算
例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．题型02 运用完全平方公式进行运算
例题：（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ．
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
题型03 利用完全平方公式进行简便运算
例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）运用完全平方公式计算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川乐山·期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）利用整式乘法公式计算下列各题：
(1) ；(2) ．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）运用完全平方公式计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型04 与乘法公式有关的化简求值问题
例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值： ， ，
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值： ，其中 ， ．
2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ．
题型05 通过对完全平方公式变形求值
例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当 ， 时，求下列代数式的值：
(1) ；
(2) .
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知 ， ，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
2．（24-25七年级上·上海·期中）已知 ， ，求下列各式的值：
(1) ；
(2)
3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知 ， ，分别求下列式子的值：(1) ；
(2) ；
(3) ．
题型06 求完全平方式中的字母系数
例题：已知关于x的式子 是某个多项式的完全平方，那么A是 ．
【变式训练】
1．若 是一个完全平方式，则 ．
2．若整式 是完全平方式，请写出所有满足条件的 是 ．
题型07 利用完全平方式求代数式的最值问题
例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很
多数学问题例如：若 ， ，求 的值．
解： ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴得 ．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
(3)求代数式 的最小值，并求出此时的 的值．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式 的多种运用后，要求同
学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方
法：
解： ．
， ．
当 时， 的值最小，最小值是1， 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出： 的最小值为___________；
(2)求出代数式 的最小值；
(3)若 ，求 的最小值．2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问
题．观察下列式子：
① ，
；
；
代数式 有最小值 ；
② ，
；
；
代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式 的最小值为______；代数式 的最大值为______；
(2)求代数式 的最小值；
(3)如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，且 ，若 ，求四边形
面积的最大值．
题型08 完全平方公式在几何图形中的应用
例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为 ，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均
分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出 ， ， 之间的等量关系： ．
(2)若 ， ，求 的值为： ．
(3)若 ，求 的值为： ．【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可
以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同
的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式： （如图1）．
(1)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是_____；
拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
(2)若 ，且 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值；
(4)如图3，在 中， ，点 在边 上， ，在边 上取一点 ，使
，分别以 为边在 外部作正方形 和正方形 ，连接 ，若 的面
积等于 ，设 ，求正方形 和正方形 的面积和．
2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可
以解决很多数学问题．
例如： 若 ， ，求 的值．
解： ， ，
请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
(1)若 ， ，求 的值．
(2)将边长为 的正方形 和边长为 的正方形 按如图所示方式放置，其中点 在边 上，
连接 ， ，若 ， ， 求阴影部分面积．
3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索：若x满足 ，求 的值．
解：设 ，
则 ，
．
请仿照上面的方法求解问题：
∴
(1)若x满足 ，求 的值．
(2)已知正方形 的边长为 分别是 、 上的点，且 ， ，长方形 的
面积是 ，分别以 、 为边作正方形，求阴影部分的面积．
一、单选题
1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式是完全平方式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若 是完全平方式，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
3．（辽宁省抚顺市等2地2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题）实数 ， 满足 ，
，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D． 或
4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若m，n是实数，则 的值必是（ ）．
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
5．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用
4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ．
7．（22-23八年级上·四川绵阳·周测）已知： ， ，则代数式的值：（1） ；
（2） ．
8．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）将4个数 ， ， ， 排成2行、2列，两边各加一条竖线记成
，定义 ，上述记号就叫做二阶行列式．若 ，则 ．
9．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式 是某个多项式
的平方，则M为 ．
10．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）我们定义：一个整式能表示成 （a、b是整式）的形
式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为 （x、y是整式），所以M
为“完美式”．若 （x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为 ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式：
(1) ；
(2) ．
13．（24-25八年级上·全国·期中）利用乘法公式计算：
(1) ；
(2) ．14．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
．
15．（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
16．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）某广场有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，
规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为 米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边
长为 米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示．
(1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）；
(2)若 ， ，请求出绿化地带的面积．
17．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）同学们，你们好！下面我们一起分析这样一个例题．
例题：求多项式 的最小
值．
解：
，
，
，
的最小值为2，
的最小值为2．
在认真分析例题后，解答下列问题：
(1)求多项式 的最小值；
(2)求多项式 的最大值；
(3)直接写出多项式 的最小值．18．（24-25八年级上·四川内江·期中）【探究】
若 满足 ，求 的值．
设 ， ，则 ，
．
【应用】
∴
请仿照上述方法解决下面的问题：
（1）若 满足 ，则 的值为______；
（2）若 满足 ，求 的值；
【拓展】
（3）已知正方形 的边长为 （ ）， 、 分别是边 、 上的点，且 ， ，
长方形 的面积是8，分别以 、 为边作正方形 和正方形 ．
① ______， ______；（用含 的式子表示）
②求阴影部分的面积．
