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第 05 讲 单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式
课程标准 学习目标
1．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题；
2．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相
①单项式乘单项式
乘的法则；
②单项式乘多项式
3．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的
③多项式乘多项式
乘法运算；
4．掌握单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则的应用．
知识点01 单项式与单项式相乘
单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.
【即学即练1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式
【分析】本题主要查了单项式乘以单项式，积的乘方：
（1）直接根据单项式乘以单项式计算，即可求解；
（2）直接根据单项式乘以单项式计算，即可求解；
（3）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法，即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
知识点02 单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序.
【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】整式乘法混合运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（3）先计算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（4）先计算乘方，再根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：
；
（4）解：原式
．
知识点03 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项
式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两
个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab
对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.
【即学即练1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可；
（2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【即学即练2】（22-23八年级上·四川绵阳·周测）先化简再求值： ，
其中 ；
【答案】 ，
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题考查整数运算中的化简求值，先进行乘法运算，再合并同类项，化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当 时，原式 ．题型01 计算单项式乘单项式
例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、单项式乘以单项式法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、计算单项式乘单项式
【分析】此题主要考查了单项式乘单项式的乘法法则，熟记单项式乘单项式的乘法法则是解题的关键．
根据单项式乘单项式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)﹣2m8n7
(2)
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式
【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
（1）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则进行计算即可；
（2）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则，先算乘方，再算乘法．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式＝
＝
＝ ．
3．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，
【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，然后合并同类项
化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值
例题：（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若 对任意 都成立，则 ．
【答案】1
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的
法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可．【详解】解： ，
，
，
原式子对任意 都成立，
， ，
解得： ， ，
．
故答案为：1．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论 为何值时，等式 恒成立，
则 ， ．
【答案】 1
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同
类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可．
【详解】 恒成立，
．
故答案为：1， ．
3．（20-21七年级下·广东深圳·期中）若 恒成立，则 ．
【答案】0
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，
b 的值，代入求值即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得：
等式左边 ，
∵ ，
∴ ，
∴解得： ，
．
故答案为：0
∴
【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也
是解题的关键．题型03 计算单项式乘多项式
例题：（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）计算:（1） .（2） ．
【答案】
【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值
【分析】根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：（1） ；
（2） ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式、单项式乘多项式，解题的关键是熟练的掌握相关的运算法则．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）计算 计算： ．
【答案】 /
【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值
【分析】此题考查了积的乘方和单项式乘以单项式运算，单项式乘以多项式运算，应用积的乘方和单项式
乘以单项式运算法则进行计算；利用单项式乘以多项式运算法则求解即可．
【详解】
；
．
故答案为： ， ．
2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：（1） ．（2）
．
【答案】
【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值
【分析】本题考查了整式乘法，
（1）根据单项式乘法法则计算；
（2）根据单项式乘以多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【详解】解：（1） ；（2） ；
故答案为：（1） ；（2） ．
题型04 计算多项式乘多项式
例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可；
（2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式
【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则．
（1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解；
（2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解；
【详解】（1）解：；
（2）
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ．
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】本题考查了多项式的乘法：
（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
题型05 已知多项式乘积不含某项求字母的值
例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若 的乘积中不含 项，求n的值．【答案】4
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．先根据整式的乘法运
算算出结果，然后令 项前面的系数为零，求出n的值．
【详解】解：
，
乘积中不含 项，
∵ ，
∴ ．
【变式训练】
∴
1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 的积中不含 与 项．
(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)12
【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算．
（1）将 展开，根据结果不含 与 项，即含 与 项的系数为0进行求解即可；
（2）将（1）所求值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
的积中不含 与 项，
，；
（2）解： ， ，
∵
∴
．
2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项是
．
(1)求 ， 的值．
(2)先化简再求值 ．
【答案】(1) ，
(2)35
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关
键．
（1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含 的一次项，常数项是 可得
， ，求解即可获得答案；
（2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将 ， 的值代入求解即可．
【详解】（1）解：
∵
，
又 展开式中不含 的一次项，常数项是 ，
， ，
∵
∴解得 ， ；（2）原式
，
， ，
∵原式
∴
．
题型06 整式乘法混合运算
例题：（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)3
【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查了整式的混合运算．
（1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可．
（2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式
【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则．
（1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解；
（2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解；【详解】（1）解：
；
（2）
2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】整式乘法混合运算
【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键．
（1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项；
（2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项；
（3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项；
（4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项．
【详解】（1）解：
（2）
（3）（4）
题型07 多项式乘多项式——化简求值
例题：（23-24七年级下·浙江金华·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式乘法混合运算
【分析】本题考查整式的乘法，熟练整式乘法的计算方法是解题的关键．
先根据整式的乘法化简原式，再带入数值求解即可．
【详解】原式 ，
，
，
当 时，
原式 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值 ，其中
， ．
【答案】 ；6
【知识点】已知字母的值，化简求值、整式乘法混合运算
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法混
合运算法则进行化简，然后再代入数值进行计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，
．
2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；2
【知识点】已知字母的值，化简求值、整式乘法混合运算
【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据多项式乘法运算法则进行化简计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
把 代入得：原式 ．
3．（23-24八年级上·北京大兴·期末）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【知识点】整式乘法混合运算、有理数四则混合运算
【分析】本题考查了整式化简求值，运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，
代值计算，即可求解；掌握单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，括号前是“ ”时，去括号时要变
号是解题的关键．
【详解】解：原式
；
当 ， 时，
原式
．
题型08 (x+p)(x+q)型多项式乘法
例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式：
回答下列问题：
(1)总结公式： _____ ；
(2)已知a，b，m均为整数，若 ，求m的值．
【答案】(1)
(2) 或【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．
（1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常
数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可；
（2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解
即
可．
【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现： ，
故答案为： ；
（2）解： ，
∵， ，
a，b，m均为整数，
∴
∵ ，
∴
或 或 或 ，
∴ 或 ，
∴m的值为 或 ．
【变式训练】
∴
1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
(1)计算 __________；
根据你发现的规律，猜想 __________；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) ； ；
(2)n的值为
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及
常数项，发现规律得猜想；
（2）利用（1）的猜想先求出 ，再根据 得关于m、n的方程，求解即可．
【详解】（1）解：
根据上面的计算，可发现：
故答案为： ； ；
（2）解：由（1）的规律知： ，
，
∵ ．
∴ ， ．
∴ ．
答：n的值为 ．
∴
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关
键．
2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践
问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法 ”的结果的一般性规律问题：
观察发现：（1）① ；
② ；
③ _________；
④ _________．
规律总结：（2） _________．
应用规律：（3）①若 ，求 的算术平方根；
②若 的结果不含 的项，求 的立方根．
【答案】（1）③ ；④ ；（2） ；（3）①4；②1．
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项
求字母的值
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，立方根，算术平方根，求代数式的值，利用多项式乘多项式法
则发现规律得到猜想是解决本题的关键．
（1）根据多项式乘多项式法则计算即可得解；
（2）观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想；
（3）①利用猜想得， ， ，从而代入 求解即可；②由（2）的规律知：
，进而求得 ，即可得解．【详解】解：观察发现：（1）③ ，
故答案为： ；
④ ，
故答案为： ．
规律总结：（2）① ；
② ；
③ ；
④ ；
根据上面的计算，可发现：
故答案为： ；
应用规律：（3）① ，
， ，
∴ ，
∴ 的算术平方根为 ；
∴ ②由（2）的规律知： ，
的结果不含 的项，
∵ ，
∴ ，
的立方根为1．
∴
∴
题型09 多项式乘法中的规律性问题
例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
观察下列各式：
；
；
；
……
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得 _______________；(2)请你利用上面的结论解答下列小题：
①若 ，求 的值．
②计算 的值．（结果用幂表示）
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题
【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）①根据（1）中发现的规律即可解决问题．②根据（1）中发现的规律即可解决问题．
本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，能根据题意得出 为正
整数）是解题的关键．
【详解】（1）解：因为 ；
；
；
，
所以 ．
故答案为： ．
（2）①由（1）中结论可知，
，
所以 ，
则 ，
所以 ，
则 ．
②由（1）中结论可知，
，
所以 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知
．
(1)根据以上式子计算：
① ；② ．
(2)请你进行下面的探索：
① ____________；
② ____________；
③ ____________．
【答案】(1)① ；②
(2)① ；② ；③
【知识点】多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从
而进行解题．
（1）①直接利用题中的结论代入数值计算；② 中，把 按升幂进行排列，把
化为 ，然后套用规律进行解答，需要处理好符号；
（2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案．
【详解】（1）解：① ；
② ；
（2）解：① ；
② ；
同理可知：
③
故答案为 ① ；② ；③ ．
2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三
∶
角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之
和，它给出了 （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在
三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中的系数．(1)根据上面的规律不难发现， 的展开式共有____________项，请写出它的展开式
；
(2) 的展开式共有__________项，系数和为___________；
(3)利用上面的规律计算： ；
(4)运用：若今天是星期二，经过 天后是星期___________．
【答案】(1)6项， ；
(2)共有（ ）项，系数和为 ；
(3)1；
(4)三．
【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能
力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
（1）观察规律可知， 的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜
边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答；
（2） 的展开式共有 项，写出前几项系数，得出一般规律即可；
（3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可；
（4）根据规律展开 后看最后一项即可．
【详解】（1）解：根据上面规律， 的展开式共有6项，
则 ；
（2）解： 的展开式共有 项，
系数和为 ，
系数和为 ，
系数和为 ，
故 系数和为 ；
（3）解：根据规律可知：
；
（4）解： 的最后一项是1，
则 的余数是1，若今天是星期二，经过 天后是星期三．
题型10 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积
例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生
取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长
为 米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积．
【答案】 平方米
【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积
【分析】该题主要考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．根据题意列式化简即可．
【详解】解：根据题意，可得停放自行车的面积
平方米．
故停放自行车的面积为 平方米．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为 ，宽为 ，物业公司
计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米．
(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
(2)若 ，求出此时绿化的总面积S．
【答案】(1)
(2)【知识点】整式乘法混合运算
【分析】本题考查了整式加减运算的应用，代数式求值．熟练掌握整式加减运算的应用，代数式求值是解
题的关键．
（1）由题意得： ，计算求解即可；
（2）将 ，代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：当 时， ，
当 时，绿化的总面积为 ．
∴ 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为 米、宽
为 米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为
米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．
(1)求安装健身器材的区域面积；
(2)若 ， ，求篮球场的面积．
【答案】(1)安装健身器材的区域面积为 平方米；
(2)篮球场的面积为420平方米．
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，代数式表示式，求代数式的值，解题的关键在于利用数
形结合的思想解决问题．
（1）根据“安装健身器材的区域面积 长方形场地面积 篮球场面积”列式计算，即可解题；
（2）根据长方形面积列出代数式，再将 ， 代入式子中计算，即可解题．
【详解】（1）解：安装健身器材的区域面积为：
平方米；
（2）解：由题知，篮球场的面积为： ，当 ， 时，
篮球场的面积为： （平方米），
答：篮球场的面积为420平方米．
3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南
方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽
米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪．
(1)求该观景区草坪的面积．
(2)当 ， 时，草坪的面积是多少？
【答案】(1)
(2)草坪的面积是4400平方米．
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值．
（1）根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）把 ， 代入（1）中的代数式，即可得到结论．
【详解】（1）解：该观景区草坪的面积 平方米；
（2）解：当 ， 时，
（平方米），
答：草坪的面积是4400平方米．
题型11 整式运算中的新定义型问题
例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式 ， ， ， （a．b，
c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母
x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：
对于多项式 ， ， ， ，因为
，所以多项式 ， ， ， 是一组黄金多项式，其黄金因子为 ．
(1)小贤发现多项式 ， ， ， 是一组黄金多项式，其列式为
请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．
(2)若多项式 ， ， ， （n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值．(3)若多项式 （m为有理数） ， ， 是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m
的值．
【答案】(1)12
(2) 的值为 或8或2
(3) 的值为
【知识点】新定义下的实数运算、计算多项式乘多项式、多项式乘多项式——化简求值
【分析】（1）根据整式的四则混合运算法则计算 ，根据“黄金因子”的定义即可
解答；
（2）分三种情况，分别计算① ② ；③
，根据“黄金多项式”的定义即可解答；
（3）分三种情况，分别计算① ，② ，③
，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答．
本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解
题的关键．
【详解】（1）解：
，
这组黄金多项式的黄金因子是 ；
（2）解：若多项式 ， ， ， 是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
这是一组黄金多项式，
，
；
②
．
这是一组黄金多项式，
，
；
③
．这是一组黄金多项式，
，
，
综上所述， 的值为 或8或2；
（3）解：①
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为 ，不合题意，舍去；
②
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为 ，不合题意，舍去；
③
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为 ，符合题意，
综上所述， 的值为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算： （其中m、n为常
数），如 ．
(1)填空：当 ， 时， __________；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)3
(2)81
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）根据条件结合新定义的运算方法判断出 ， ，可得结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：3；
（2） ， ，
， ，
整理得： ， ，解得： ，
．
【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆
用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题．
2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运
算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“ ”，对于任意有理数a，b，c，d，规定
，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如： ．
请解答下列问题：
(1)填空： ______；
(2)若 的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求 的值，其中 ；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形
内，其中 ，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为 ，右
上角长方形的面积为 ．当 ，求 的值．
【答案】(1)(2)
(3)
(4)24
【知识点】新定义下的实数运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式：
（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义求出 ，再根据不含x的一次项，即可
含x
的一次项的系数为0进行求解即可；
（3）根据新定义求出 ，再利用整体代入法代值计算即可；
（4）根据所给图形可得 ，根据 推出 ，再根据新定义
，进而一步步利用整体代入法降次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解：
代数式中不含x的一次项，
∵ ，
∴
；
∴（3）解：
，
∵
原式 ；
∴（4）解：根据题意得： ，
整理得： ，∴
．
一、单选题
1．（24-25八年级上·北京·期中）计算 的结果是（ ）．
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式
【分析】本题考查单项式乘单项式．先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可求解．
【详解】解： ，
故选：C．
2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指
数不变，作为积的因式，据此即可求出答案．
【详解】解 ，
，
， ，
，
故选: C．3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在展开多项式 中，常数项为 ，则a
等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式．首先利用多项式乘以多项式的法则得出常数项，进而得出a
的值．
【详解】解：
，
常数项为 ，
，
∴解得 ，
故选：C．
4．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、单项式乘多项式的应用、计算多项式乘多项式
【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的
关键．
【详解】解： ，故①计算正确；
，故②计算错误；
，故③计算正确；
，故④计算错误；
，故⑤计算正确；
计算正确的有3个，
故选：D．
∴
5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡
片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为 、宽为 的大长方形，则需要卡片C的张数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，掌握相关运算法则是解题关键．根据长方形面积公式列
式并展开，即可得到答案．
【详解】解：由图形可知， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，
，
拼成大长方形需要卡片 的张数为2， 的张数为2，C的张数为3，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算：
【答案】 /
【知识点】计算单项式乘多项式及求值
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
根据单项式乘以多项式的运算求解即可．
【详解】解：
．
7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 的结果中不含x的一次项，则
【答案】 /
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则得出
，结合题意得出 ，计算即可得解．
【详解】解： ，
的结果中不含x的一次项，
∵ ，
∴解得： ，
故答案为： ．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）一块长方形铁皮的长为 ，宽为 ．在它的四个角上
都剪去一个边长为 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的内表面积为 ．
【答案】
【知识点】计算单项式乘多项式及求值
【详解】
．
9．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号 的意义是： ，则当
时， 的值为 ．
【答案】9
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运
算的运算法则，得出 的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值．
【详解】解：根据题意，可得：
，
，
∵ ，
∴
∴．
故答案为：9．
10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，为某年某月的日历（数字隐去）其中 ， ， ， 代表
当日的数字，设 代表的数字为 ，则 ．（用含 的代数式表示）
【答案】 /
【知识点】单项式乘多项式的应用、计算多项式乘多项式
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
设 代表的数字为 ，然后表示出C代表的数字为 ，B代表的数字为 ，D代表的数字为
，然后代入 利用整式乘法的运算法则求解即可．
【详解】解： 设 代表的数字为 ，
C代表的数字∵为 ，B代表的数字为 ，D代表的数字为 ，
∴
∴
．
故答案为： ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用法则，准确计算．
（1）根据多项式乘以单项式的法则即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式的法则即可求解．
【详解】（1）（2）
12．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】本题主要考查整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算法则是解题关键．
（1）利用多项式乘以多项式计算，再合并同类项即可；
（2）先计算多项式乘以多项式，然后去括号，合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）先化简再求值： ，其中
， ．
【答案】 ，
【知识点】多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行多项式乘以多项式的计算，再合并同类项，进行化简，
再代值计算即可．
【详解】解：原式
；当 ， 时，原式 ．
14．（24-25八年级上·吉林松原·期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在
一个长为 米，宽为 米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道．
(1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积；
(2)若 ， ，求剩余草坪的面积．
【答案】(1) 平方米
(2)260平方米
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用；
（1）根据图形利用平移的性质可得剩余草坪的面积为宽为 米，长为 米的长方形面积，
根据多项式乘以多项式，即可求解；
（2）将 ， 代入（1）中结果，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：依题意，剩余草坪的面积为
答：剩余草坪的面积为 平方米．
（2）当 ， 时，原式 ，
剩余草坪的面积是260平方米．
∴
15．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）若 的积中不含 与 项．
(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计
算，是解题的关键：
（1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含 与 项，得到 与 项的系数为0，进行
求解即可；
（2）先化简，再把 ， 的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
∵
，
积中不含 与 项
∵
，
∴
；
∴
（2） ，
∵ ，
∴
∴
，
．
16．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成
问题：
①
②
③
④
(1)规律探究： (________________)；
(2)知识运用：
① ________________；
②利用上述规律计算： ．【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题主要考查了整式的乘法，有理数的乘方等知识点，
(1)根据探索材料找到规律直接写出答案；
(2) 把 代入(1)中的等式进行求值即可； 把 代入(1)中式子计算即可；
熟练掌握相应的运算法则，找到规律是解决此题的关键．
【详解】（1）解： ①
∵
②
③
④
，
∴故答案为： ；
（2）解： 由（1）知， ，
，
故答案为：
把 代入 中得，
，
．
17．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回
的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于
1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左
右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了 （ 为非负
整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：【知识应用】
(1)补充完整 的展开式， ______；
(2) 的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；
(3)今天是星期五，过了 天后是星期几？
【答案】(1)6，4，
(2)8，
(3)星期六
【知识点】多项式乘法中的规律性问题
【分析】（1）根据三角形系数图中的系数确定规律，计算完善即可．
（2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律 共 项，所有项系数的和为
，即可得到答案．
（3）根据题意，得
，看余数解答即可．
本题考查了杨辉三角形的理解与应用，正确理解题意，会探索发现规律，转化应用是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得
故 ，
故答案为：6，4， ．
（2）解：根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，
当 时，有2项；所有项的系数和为 ；
当 时，有 项；所有项的系数和为 ；
当 时，有 项；所有项的系数和为 ；
，故找到规律为： 共 项，所有项系数的和为 ，
故 的展开式中共有8项，所有项的系数和为 ．
故答案为：8， ．
（3）解：今天是星期五，过了 天后是星期六．理由如下：
根据题意，得
，
∵
且 都能被7整除， ，
除以7余1，
∴如果今天是星期五，过了 天后是星期六．
18．（2025七年级下·全国·专题练习）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问
∴
题：“已知代数式 的值与 的取值无关，求 的值．”通常的解题方法是：把 看作
字母， 看作系数进行合并同类项， 代数式的值与 的取值无关， 含 的项的系数为0． 原式
， ，则 ∵． ∴ ∵
【理解应用】
∴
（1）若关于 的多项式 的值与 的取值无关，求 的值．
（2）已知 ，且 的值与 的取值无关，求 的值．
【能力提升】
（3）将七张如图1所示的小长方形纸片（长为 、宽为 ）按照图2的方式无缝隙、不重叠地放在大长方
形 内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部分的面积为 ，左下角阴影部
分的面积为 ．当 的长度变化时，若 的值始终保持不变，则 之间有怎样的数量关系？
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【知识点】整式加减中的无关型问题、整式乘法混合运算
【分析】本题考查了整式运算中的无关型问题，注意计算的准确性即可．
（1）根据 即可求解；（2）计算 得 ，即可求解；
（3）设 ，则 ．计算
，即可求解；
【详解】解：（1） ．
代数式的值与 的取值无关，
∵ ，
∴
解得 ．
（2）
．
的值与 的取值无关，
∵ ，
∴
解得 ．
（3）设 ，则 ．
．
∴ 的值与 的取值无关，
∵ ，
∴ ．
∴
