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第 03 讲 同底数幂的除法
课程标准 学习目标
1.经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则;
①同底数幂的除法
2.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运
②成比例线段
算;
③相似多边形的性质
3.科学记数法表示绝对值小于1的数.
知识点01 同底数幂的除法
m, n
(其中 都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
m, n
（2）逆用公式：即 （ 都是正整数）.
【即学即练1】计算：(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂的除法运算即可求解；
（2）根据同底数幂的除法运算即可求解；
（3）根据同底数幂的除法运算即可求解．
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．
（3）解： ．
【点睛】本题主要考查整式的乘除法的运算，掌握其运算法则是解题的关键．
【即学即练2】计算：
(1)
(2) ；
(3)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】(1)
(2)
(3) ，－25．
【分析】（1）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解；
（2）把 作为一个整体，从左往右计算，即可求解；
（3）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ．
（3）原式= = = ，
当 =－5时，原式=－25．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则，零指数幂，
负整数指数幂法则是解题的关键．
知识点02 零指数幂与负整数指数幂我们规定：
a0 =1（a≠0）
.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义。
1
a−n = （a≠0，n是正整数）
an
我们规定： .这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于
这个数的n次幂的倒数.
【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）若 有意义，则a应满足的条件是
．
【答案】 且
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，0指数幂和负整数指数的底数不能为0，
根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则列不等式求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
【即学即练2】（24-25九年级上·重庆·期中）计算： ．
【答案】0
【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，掌握零次幂，负指数幂，有理数的混合运算法则是解
题的关键．
分别算出乘方，零次幂，负指数幂的结果，再根据有理数的加减运算法则计算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为： ．
知识点03 科学记数法
我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成
1≤|a|＜10
a×10n的形式，其中n是正整数， ；
类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成
1≤|a|＜10
a×10-n的形式，其中n是正整数， .
【即学即练1】（24-25九年级上·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为 微米，相当于
米，数字 用科学记数法表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关
键．将一个数表示成 的形式，其中 ，n为整数，当绝对值小于1时，n为负整数，由第一
个非零数字前零的个数决定；确定a、n的值成为解题的关键．据此求解即可．
【详解】解： ．
故选：C．
【即学即练2】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为 ，用小数表示
为 m；
（2）某种生物孢子的直径约为 ，用科学记数法表示为 m．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、还原用科学记数法表示的小数
【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
（1）根据科学记数法表示方法将小数点向左移动5个单位即可．
（2）根据科学记数法表示方法解答即可．
【详解】解：（1） 用小数表示为 ．
故答案为： ．
（2） 用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
题型01 同底数幂的除法
例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】本题主要查了同底数幂相除．根据同底数幂除法法则计算，即可求解．
【详解】解： ．
故答案为：【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】（1）根据同底数幂的除法运算即可求解；
（2）根据同底数幂的除法运算即可求解；
（3）根据同底数幂的除法运算即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查整式的乘除法的运算，掌握其运算法则是解题的关键．
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算【分析】（1）把 当作一个整体，根据同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可；
（2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算；
（3）先根据同底数幂的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数幂的除法法则计算即
可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查整式的乘除混合运算，掌握相应的运算法则、掌握运算顺序是解题的关键．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】（1）利用同底数幂的除法法则计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法和除法法则计算即可；
（3）利用积的乘方和同底数幂的除法法则计算即可；
（4）先把 ，底数 作为一个整体，利用同底数幂的乘法和除法计算即可；
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．（3）解： ．
（4）解： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练运用这些运算法则是解题的关键．
题型02 同底数幂除法的逆用
例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）求值
(1)已知 ，求 的值；（用含 、 的代数式表示）
(2)已知 ．求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同体数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）逆运用同底数幂的乘法解答即可；
（2）逆运用同底数幂的除法，幂的乘方解答即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用．
（1）首先根据同底数幂的乘法法则求出m的值，然后利用同底数幂的乘除法的法则及幂的乘方的法则对
所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方对 整理为 ，然后求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∴
∴∴
∴
；
（2）
∴
∴
∴ ．
2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)写出 ， ， 之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂
的运算性质是解题的关键．
（1）根据 ，代入计算即可；
（2）根据 ，结合 代入计算即可；
（3）根据 ，结合 变形即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
（3）解：∵ ，
又 ，∴ ，
∴ ．
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，
运算法则如下： ．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
(1)填空： ___________， ___________；
(2)如果 ，求出 的值；
(3)如果 ，请直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2)3
(3) 或 或
【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂的除法运算
【分析】（1）直接利用例题的方法计算；
（2）利用例题方法得出 ，解方程即可；
（3）分类讨论，指数相等时， 时， 时，分别计算即可．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为 ； ；
（2）解： ，
，
，
，
解得： ，
；（3）解： ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
或 或 ．
【点睛】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键．
题型03 幂的混合运算
例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、幂的混合运算
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算
法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，6
【知识点】零指数幂、幂的混合运算
【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类
项，得出 ，然后把 代入 ，进行计算，即可作答．
【详解】解：
把 代入 ，
得
3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值：
(1) ，其中
(2) ，其中
【答案】(1) ，
(2) ，
【知识点】幂的混合运算
【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解；
（2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，原式 ；
（2）解：
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
题型04 零指数幂
例题：（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）计算： ．
【答案】1
【知识点】零指数幂
【分析】本题考查了零指数幂．熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据零指数幂求解作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果 成立，则 ．
【答案】
【知识点】零指数幂
【分析】本题主要考查了零指数幂成立的条件，解题的关键是熟练掌握 ．根据零指数幂成立
的条件，得出 ，求出结果即可．
【详解】解：如果 成立，那么 ，
解得： ．
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ．
【答案】5
【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂
【分析】此题考查了零指数幂和有理数的乘方运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算零指数幂和有理数的乘方，然后计算加减．【详解】解：
．
故答案为：5．
3．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知 ，求x的值为 ．
【答案】 或 或
【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂
【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，
负1的偶数次幂等于 是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于 ．
直接利用零指数幂的性质以及 的偶数次幂等于 分别化简求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴当 且 时，
解得： ；
当 时，
解得： ；
当 且 为偶数时，
解得： ；
∴ 的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
题型05 负整数指数幂
例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习） ．
【答案】4
【知识点】负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，结合 的运算法则进行计算，即可作答．
【详解】解： ，
故答案为：4．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）计算：【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根
据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得．
【详解】解： ，
故答案为： ．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）如 无意义，则 ．
【答案】4
【知识点】负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知 无意义，可知 ，然后代入 求值．
【详解】解：∵ 无意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为4．
3．（24-25七年级上·上海·期中）若 ，则 大小关系是 ．（按从
小到大顺序排列）
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了负指数幂和零指数幂．解决本题的关键是根据负指数幂的法则可得 、 、根
据 指数幂运算法则可得 ，然后根据计算的结果比较它们之间的大小关系为 ．
【详解】解： ，
，，
，
．
故答案为： ．
题型06 零指数幂、负整数指数幂综合计算
例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算： ．
【答案】9
【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂
【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减．
【详解】解：
．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·全国·期末）计算： ．
【答案】 ．
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂运算法则进行
计算即可，解题的关键是熟知相关运算法则．
【详解】解：原式
．
2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则，掌握相关运算法则是解题关
键．根据题意利用负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则进行化简，然后根据实数运算法
则进行计算即可．【详解】解：
．
3．（2024·云南昆明·一模）计算：
【答案】
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、求一个数的立方根、实数的混合运算
【分析】本题主要考查了实数的运算，根据 ，再计算
可得答案．
【详解】解：原式
．
题型07 用科学计数法表示绝对值小于1的数
例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，
某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法： 为整数，进行表示即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧
化碳，人的红细胞的直径大约在 左右．数据 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键；
根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为 ，其中 ，指数由原数左边起第一个
不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌
并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重
要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为 ，0.00017用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数
（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移为正，向右移为负）．
【详解】解： ，
故答案为： ．
题型08 还原用科学记数法表示的小数
例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）将 化为原数是 ．
【答案】
【知识点】还原用科学记数法表示的小数
【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原
是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．将科学记数法 表
示的数，还原成通常表示的数，就是把 的小数点向左移动 位所得到的数．
【详解】解：把数据 中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24六年级下·山东淄博·期中）一种细菌的半径是 米，用小数表示为 米．
【答案】
【知识点】还原用科学记数法表示的小数
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： 米 米，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数 ，用小数表示为 ．
【答案】
【知识点】还原用科学记数法表示的小数
【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法， （ 其中 正整数）表示的数，
“还原”成通常表示的数，就是把 的小数点向左移动 位所得的数，据此解答即可．
【详解】解： ．
故答案为：一、单选题
1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，熟知同底数幂除法计算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故选：A．
2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）一张 纸的厚度大约是 ，数据“ ”用科学
记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故选：D．
3．（24-25八年级上·吉林松原·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，根据以上运算法则逐项分析判断，即可
求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】负整数指数幂、零指数幂
【分析】此题考查了零指数幂，负指数幂，正确掌握零指数幂，负指数幂的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 ，故选项错误，不符合题意；
B、 ，故选项错误，不符合题意；
C、 ，故选项正确，符合题意；
D、 ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）有下列四个运算结果：① ；② ；③ ；
④ ，其中正确的结果为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②③
【答案】C
【知识点】负整数指数幂、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】依据负整数指数幂、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、除法法则进行计算，即可得出结论．
【详解】解：① ，正确；
② ，正确；
③ ，正确；
④ ，正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、除法法则，解题的关键是计
算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算．二、填空题
6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查了零次幂和负整数指数幂，据此相关运算法则进行计算，即可作答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
7．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学
记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形
式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的
数字前面的0的个数所决定．由此即可解答．
【详解】解： ，
故答案为∶ ．
8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题主要考查同底数幂的除法的逆用和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方的
法则是解题的关键．
先逆用法则，即 ，再入计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知 ，则 的值是 ．
【答案】32
【知识点】同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算．由 得 ，进而由同底数幂的乘除
法的逆运算即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：32．
10．（24-25七年级上·上海·期中）已知 ，其中 是整数，则 ．
【答案】3，1，
【知识点】零指数幂、有理数的乘方运算
【分析】本题主要考查了零指数幂及有理数的乘方，解题的关键是掌握零指数幂和1的任何次幂都是1是
解题的关键．
分三种情况讨论：① 时，② 时，③ 时，分别求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴①当底数 时，
解得： ，
②当底数 时，
解得： ，
∴ ，
③当指数 时，
解得： ，
∴整数x的值是3，1， ．
故答案为：3，1， ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】零指数幂、有理数的乘方运算、负整数指数幂、实数的混合运算
【分析】本题考查实数的运算，
（1）根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算即可；
（2）根据有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可；
掌握相应的运算法则、运算顺序、性质及公式是解题的关键．
【详解】（1）解：；
（2）
．
12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）计算：
【答案】
【知识点】幂的乘方运算、零指数幂、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了整式的运算，零指数幂，先根据幂的乘方、积的乘方法则、零指数幂的意义化简，然
后合并同类项即可．
【详解】解：原式 ．
13．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算
【分析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法与除法运算；
（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法与除法运算即可；
（2）先变形，再利用同底数幂的乘法与除法法则运算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
14．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简：
(1) ；(2)
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，以及同底数幂的乘法，除法，熟练掌握相关运算法则是解题关
键．
（1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂除法的运算法则进行计算即可；
（2）运用幂的乘方和积的乘方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
15．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知： ， ， ．
(1)求 的值；
(2)证明： ．
【答案】(1)125
(2)见解析
【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可；
（2）利用 ，即可求解．
本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
16．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元 本、
10元 本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进 本甲种书及 本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的值．（结果用科学记数法表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式、用科学记数法表示绝对值小于1的数、用科学记数
法表示绝对值大于1的数
【分析】（1）根据题意即可直接列出代数式；
（2）将 ， 代入代数式 求值，并将结果用科学记数法表示即可；
（3）将 ， 代入代数式 求值，并将结果用科学记数法表示即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
；
（2）解：当 ， 时，
；
（3）解： ， ，
．
【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，科学记数法—表示较大的数，科学记数法—表示较小的
数等知识点，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为 的形式，其中， 为整数，表示时关键是要正确确定 的值以及 的值；确定 的值时，要看把原数变成
时，小数点移动了多少位， 绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值 时， 是正数，当原数
的绝对值 时， 是负数，据此确定 的值以及 的值即可．
17．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数 、 之间的一种运算，记作 ：如
果 ，那么 ；例如 ，记作 ．
【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ；
【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有 ，
例如 ．
（2）小明发现 也成立，并证明如下
设： ，则
因为 ，所以 ，所以 ，
根据以上证明，请计算 ，请写清楚计算过程．
（3）猜想 ，并说明理由．
【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析
【知识点】同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方运算、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键．
（1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可；
（2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可；
（3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可．
【详解】解：（1） ， ，
， ，
故答案为：3，0；
（2）设： ，则 ，
，
，
，
故答案为：42；
（3）猜想 ，理由如下：
设： ，则 ，
，，
．
故答案为：2．
18．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料：
若 （ 且 ， 是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有
．根据这一结论我们可以解简单的方程：
若 ，求 的值．
解：根据指数运算法则有：
，
∴ ，∴ ，∴ ．
利用上面知识解决下面的问题：
(1)已知 ，求x的值；
(2)如果 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、积的乘
方的逆用
【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、幂的乘方运算、积的乘方的逆用、解一元一次方程等知识，熟
练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）将原式整理为 ，进而可得 ，求解即可；
（2）将原式整理为 ，进而可得 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
则 ，解得 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
