文档内容
第 03 讲 同底数幂的除法
课程标准 学习目标
1.经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则;
①同底数幂的除法
2.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运
②成比例线段
算;
③相似多边形的性质
3.科学记数法表示绝对值小于1的数.
知识点01 同底数幂的除法
m, n
(其中 都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
m, n
（2）逆用公式：即 （ 都是正整数）.
【即学即练1】计算：(1) ；
(2) ；
(3) ．
【即学即练2】计算：
(1)
(2) ；
(3)先化简，再求值： ，其中 ．
知识点02 零指数幂与负整数指数幂
我们规定：
a0 =1（a≠0）
.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义。
1
a−n = （a≠0，n是正整数）
an
我们规定： .这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于
这个数的n次幂的倒数.
【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）若 有意义，则a应满足的条件是
．
【即学即练2】（24-25九年级上·重庆·期中）计算： ．
知识点03 科学记数法
我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成
1≤|a|＜10
a×10n的形式，其中n是正整数， ；
类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成
1≤|a|＜10
a×10-n的形式，其中n是正整数， .
【即学即练1】（24-25九年级上·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为 微米，相当于
米，数字 用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为 ，用小数表示
为 m；
（2）某种生物孢子的直径约为 ，用科学记数法表示为 m．题型01 同底数幂的除法
例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型02 同底数幂除法的逆用
例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）求值
(1)已知 ，求 的值；（用含 、 的代数式表示）
(2)已知 ．求 的值．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值．
2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；(3)写出 ， ， 之间的数量关系．
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，
运算法则如下： ．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
(1)填空： ___________， ___________；
(2)如果 ，求出 的值；
(3)如果 ，请直接写出 的值．
题型03 幂的混合运算
例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ．
2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值： ，其中
．
3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值：
(1) ，其中
(2) ，其中
题型04 零指数幂
例题：（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）计算： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果 成立，则 ．
2．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ．3．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知 ，求x的值为 ．
题型05 负整数指数幂
例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习） ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）计算：
2．（2024八年级上·全国·专题练习）如 无意义，则 ．
3．（24-25七年级上·上海·期中）若 ，则 大小关系是 ．（按从
小到大顺序排列）
题型06 零指数幂、负整数指数幂综合计算
例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·全国·期末）计算： ．
2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： ．
3．（2024·云南昆明·一模）计算：
题型07 用科学计数法表示绝对值小于1的数
例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，
某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧
化碳，人的红细胞的直径大约在 左右．数据 用科学记数法表示为 ．
2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌
并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重
要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其
水溶性为 ，0.00017用科学记数法表示为 ．题型08 还原用科学记数法表示的小数
例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）将 化为原数是 ．
【变式训练】
1．（23-24六年级下·山东淄博·期中）一种细菌的半径是 米，用小数表示为 米．
2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数 ，用小数表示为 ．
一、单选题
1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）一张 纸的厚度大约是 ，数据“ ”用科学
记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·吉林松原·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）有下列四个运算结果：① ；② ；③ ；
④ ，其中正确的结果为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②③二、填空题
6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ．
7．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学
记数法表示为 ．
8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 ， ，则 的值为 ．
9．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知 ，则 的值是 ．
10．（24-25七年级上·上海·期中）已知 ，其中 是整数，则 ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）计算：
13．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：
(1)
(2) ．
14．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简：
(1) ；
(2)
(3) ．
15．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知： ， ， ．
(1)求 的值；
(2)证明： ．
16．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元 本、
10元 本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进 本甲种书及 本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的值．（结果用科学记数法表示）17．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数 、 之间的一种运算，记作 ：如
果 ，那么 ；例如 ，记作 ．
【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ；
【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有 ，
例如 ．
（2）小明发现 也成立，并证明如下
设： ，则
因为 ，所以 ，所以 ，
根据以上证明，请计算 ，请写清楚计算过程．
（3）猜想 ，并说明理由．
18．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料：
若 （ 且 ， 是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有
．根据这一结论我们可以解简单的方程：
若 ，求 的值．
解：根据指数运算法则有：
，
∴ ，∴ ，∴ ．
利用上面知识解决下面的问题：
(1)已知 ，求x的值；
(2)如果 ，求 的值．
