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第 07 讲 完全平方公式
课程标准 学习目标
①完全平方公式的推导 1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用；
②完全平方公式的运算 2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；
③完全平方公式的应用 3.会用几何图形说明完全平方公式的意义，体会数形结合的思想方法.
知识点01 完全平方公式
完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.
即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b²
（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍
（2）公式的变化：① a²+b²=(a+b)²-2ab；② a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-
b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。
【即学即练1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）化简： ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查整式化简，平方差公式，完全平方公式．根据题意利用平方差公式和完全平方差公式展开，再合并同类项计算即可．
【详解】解： ，
，
，
．
【即学即练2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式 ，平方差公式
是解题的关键．首先利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再合并同类项，代
值计算，即可求解．
【详解】解：
，
当 时，
原式
．
【即学即练3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式 ．
(1)化简代数式A；
(2)若 是一个完全平方式，求A的值．
【答案】(1)
(2) ．
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、求
完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，整式的加减，是解题关键．
（1）根据完全平方公式，平方差公式，去括号，合并即得；
（2）根据完全平方式特征，知 ，得 ，代入A即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解： 是一个完全平方式，
，
，
．
知识点02 平方差和完全平方差区别
平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b²
平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍
【即学即练1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理原式 ，再运用完全平方公式进行展开，即可作答．
（2）先整理原式 ，再运用平方差公式和完全平方公式进行展
开，最后合并同类项，即可作答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：题型01 判断是否完全平方公式运算
例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】此题主要考查了平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式、完全平方公式计算求解判断即
可．
【详解】解：A． ，故A不符合题意；
B、D． ，故B、D不符合题意；
C． ，故C符合题意．
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查乘法公式，熟记乘法公式是解答的关键．根据完全平方公式和平方差公式逐项判断即
可．
【详解】解：A、 ，此选项计算错误，不符合题意；
B、 ，此选项计算正确，符合题意；
C、 ，此选项计算错误，不符合题意；
D、 ，此选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】根据完全平方公式、平方差公式，逐一进行计算即可得．
本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式的结构特征是解题的关键．
【详解】A、 ，故该选项错误，不符合题意；
B、 ，故该选项错误，不符合题意；
C、 ，故该选项错误，不符合题意；
D、 ，故该选项正确，符合题意，
故选：D．
3．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则，根据完全平方公式、平方差公
式和多项式乘多项式法则对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项不正确，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
题型02 运用完全平方公式进行运算
例题：（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式及整式的加减，熟记公式是解答本题的关键．先利用完全平方公式
展开，再合并同类项即可．
【详解】解：原式
．【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式 是解题的关键．
（1）运用完全平方公式进行计算即可；
（2）运用完全平方公式进行计算即可；
（3）运用完全平方公式进行计算即可；
（4）运用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：
．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）利用完全平方公式展开即可得到结果；
（2）利用完全平方公式展开即可得到结果；
（3）利用完全平方公式展开即可得到结果；
（4）利用完全平方公式展开即可得到结果；
（5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果；
（6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）解：；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
题型03 利用完全平方公式进行简便运算
例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）运用完全平方公式计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)9409
(2)104.04
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式， ．
（1）把 转化成 ，再根据完全平方公式简便计算即可；
（2）把 转化成 ，再根据完全平方公式简便计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川乐山·期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
【答案】(1)252004
(2)1
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查利用平方差公式和完全平方公式简便计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题
关键．
（1）由 ，结合完全平方公式计算即可；
（2）由 ，结合平方差公式计算即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解：
．
2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）利用整式乘法公式计算下列各题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)9975
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键．
（1）将原式化为 ，然后利用完全平方公式求解即可；
（2）将原式化为 ，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）运用完全平方公式计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)3969
(2)9604
(3)
(4)
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据已知得出 ，然后根据完全平方公式求解即可；
（2）根据已知得出 ，然后根据完全平方公式求解即可；
（3）根据已知得出 ，然后根据完全平方公式求解即可；
（4）根据已知得出 ，然后根据完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型04 与乘法公式有关的化简求值问题
例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值： ， ，
．
【答案】 ，32
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算，乘法公式，代入求值是解题的关键．
运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并同类项，然后代入求解即可．
【详解】解：当 ， 时，
原式 ．
2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
【答案】 ，
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后
合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式
．
3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等知识．先根据平
方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把x，y的值代入计
算．
【详解】解：，
，
∵
原式 ．
∴
题型05 通过对完全平方公式变形求值
例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当 ， 时，求下列代数式的值：
(1) ；
(2) .
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了求代数式的值．求代数式的值时要先把代数式化简，然后把字母的值代入化简后
的代数式求值．
首先利用平方差公式化简代数式可得原式 ，然后再把 、 的值代入化简后的代数式计算即可；
首先利用完全平方公式化简代数式可得原式 ，然后再把 、 的值代入化简后的代数式计算
即可．
【详解】（1）解：
，
当 ， 时，
原式
；
（2）解： ，
当 ， 时，
原式 ．
【变式训练】1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知 ， ，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
【答案】(1)26
(2)36
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】（1）把 变形为 ，再把 ， 代入计算；
（2）把 变形为 ，再把 ， 代入计算．
本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式 是解答本题的关键．
【详解】（1）解： ， ，
；
（2）解： ， ，
．
2．（24-25七年级上·上海·期中）已知 ， ，求下列各式的值：
(1) ；
(2)
【答案】(1)13
(2)97
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形求值，即可求解．
（2）根据完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
；
（2）解：
， ，
， ，；
3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知 ， ，分别求下列式子的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)12
(2)21
(3)126
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
（1）根据完全平方公式得出 ， ，根据
得出结果即可；
（2）根据 ， ，求出 ，得出 ，最后代入求值即可；
（3）根据 ， ，变形求出 的值即可．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
，
，
∴ ；
（2）解： ， ，
∵
，
∴ ，
∴解得： ，
；
∴
（3）解： ．
题型06 求完全平方式中的字母系数
例题：已知关于x的式子 是某个多项式的完全平方，那么A是 ．
【答案】 、 和
【详解】解：① ，
∵ ，
∴②若 是多项式的平方，
则 ；
故答案为： 、 和 ．
【变式训练】
1．若 是一个完全平方式，则 ．
【答案】11或 / 或
【详解】解： 是一个完全平方式，
∵ ，
∴ ，解得 或 ，
∴故答案为：11或 ．
2．若整式 是完全平方式，请写出所有满足条件的 是 ．
【答案】 或 或
【详解】解： 当 为 和 的中间项时 ；
当 为 和 的中间项时 ；
当 为 和 的中间项时 ；
故答案为： 或 或 ．
题型07 利用完全平方式求代数式的最值问题
例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很
多数学问题例如：若 ， ，求 的值．
解： ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴得 ．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
(3)求代数式 的最小值，并求出此时的 的值．
【答案】(1)8
(2)
(3)最小值为 ， ，【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
（1）先求得 ，即 ，再把 代入计算，即可求解；
（2）根据 ，再把 ， 整体代入计算即可求解；
（3）先把 变形为 ，再根据 ， ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
即 ，
又 ，
，
；
（2）解： ， ，
，
（3）解：
， ，
∵
当 ， 时， 有最小值，最小值为 ，
此时 ， ，
∴
解得： ， ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式 的多种运用后，要求同
学
们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方
法：
解： ．
， ．
当 时， 的值最小，最小值是1， 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出： 的最小值为___________；
(2)求出代数式 的最小值；(3)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)8
(3)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】（1）根据题意可直接得出答案；
（2）依题意，将所求代数式变形，得出 ，从而可得出答案；
（3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可．
本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，当 时，则 ， ，
即当 时， 有最小值，是 ，
故答案为： ；
（2）解：
则当 时，则 ， ，
则代数式 的最小值是8；
（3）解： ，
∵ ，
∴
，
∴ 的最小值是 ．
2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问
∴
题．观察下列式子：
① ，
；
；
代数式 有最小值 ；
② ，
；
；
代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：(1)代数式 的最小值为______；代数式 的最大值为______；
(2)求代数式 的最小值；
(3)如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，且 ，若 ，求四边形
面积的最大值．
【答案】(1)2；13
(2)
(3)18
【知识点】有理数的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公
式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关
键．
（1）利用材料中的方法进行求解即可；
（2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可；
（3） ，由面积公式，将其转化为 ，设 ，则 ，代入化
简计算，转化为上述求解方法计算即可．
【详解】（1）解： ，
；
；
代数式 有最小值2；
，
；
；
代数式 有最大值13；
故答案为：2；13．
（2）解：
，， ，
∵
，
∴代数式 的最小值为 ；
∴（3）解：根据题意得 ，
，
∵
，
∴
，
，
，设 ，则 ，
∵
，
，
∵
，
四边形 面积的最大值为18．
∴
题型08 完全平方公式在几何图形中的应用
例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为 ，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均
分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出 ， ， 之间的等量关系： ．
(2)若 ， ，求 的值为： ．(3)若 ，求 的值为： ．
【答案】(1)
(2)41
(3)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是
熟练完全平方公式．
（1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式；
（2）直接利用（1）的结论代入即可；
（3）根据 ，求出 ，即可求解．
【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为 或 ，
；
∴
故答案为： ．
（2）解：根据（1）可得 ，
因为 ， ，
所以 ．
（3）解： ，
∵
∴
，
．
【变式训练】
∴
1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可
以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同
的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式： （如图1）．(1)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是_____；
拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
(2)若 ，且 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值；
(4)如图3，在 中， ，点 在边 上， ，在边 上取一点 ，使
，分别以 为边在 外部作正方形 和正方形 ，连接 ，若 的面
积等于 ，设 ，求正方形 和正方形 的面积和．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形：
（1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论进行求解即可；
（3）利用完全平方公式变形计算即可；
（4）设 ，则 ，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可．
【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积
；
∴
（2）由（1）可得 ，
，
，
，
；
（3），
，
，
；
（4）设 ，则 ，
，
，
，
，
令 ，
，
正方形 和正方形 的面积和：
．
2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可
以解决很多数学问题．
例如： 若 ， ，求 的值．
解： ， ，
请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
(1)若 ， ，求 的值．
(2)将边长为 的正方形 和边长为 的正方形 按如图所示方式放置，其中点 在边 上，
连接 ， ，若 ， ， 求阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据 求解即可；
（2）运用割补法阴影部分的面积为： ，根据面积公式结合题意化
简整理得 ，将已知代入计算即可．
【详解】（1）解： ， ，
；
（2）
3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索：
若x满足 ，求 的值．
解：设 ，
则 ，
．
请仿照上面的方法求解问题：
∴
(1)若x满足 ，求 的值．
(2)已知正方形 的边长为 分别是 、 上的点，且 ， ，长方形 的
面积是 ，分别以 、 为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平
方差公式之间的转换．
（1）设 ， ，根据题意进行计算即可得；
（2）根据题意可得， ， ，设 ， ，长方形 的面积
， ，即可得出 ，则
即可得出答案．
【详解】（1）解：设 ， ，
则 ， ，
；
∴（2） 正方形 的边长为 ， ，
∵ ， ，
∴设 ， ，
则 ， ，
，
∴ ，
∴
，
∴阴影部分的面积为 ．
∴
一、单选题
1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式是完全平方式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
根据完全平方公式的形式为 求解即可．【详解】解：A． 不是完全平方式；
B． 是完全平方式；
C． 不是完全平方式；
D． 不是完全平方式．
故选：B．
2．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若 是完全平方式，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征
判断即可确定出m的值．
【详解】解： 是完全平方式，
，∵
故选：B．
∴
3．（辽宁省抚顺市等2地2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题）实数 ， 满足 ，
，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式得出 ，进而根据 ，即可求
解．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
又 ，
∵
故选：A．
∴
4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若m，n是实数，则 的值必是（ ）．
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，先整理原式为 ，因为 ，则 ，即可
作答．
【详解】解：
，
m，n是实数，且 ，
∵
，
∴
则 的值必是非正数，
故选：C．
5．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用
4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方
形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积 小正方形的面积 个矩形的面
积，据此求解即可．
【详解】解： 大正方形的面积 小正方形的面积 个矩形的面积，
∵
．
故选：B．
∴
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ．【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
7．（22-23八年级上·四川绵阳·周测）已知： ， ，则代数式的值：（1） ；
（2） ．
【答案】 37
【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是：
（1）根据完全平方公式变形得到 ，然后把 ， 的值整体代入求解即
可；
（2）根据完全平方公式得到 ，然后把 ， 整体代入求解即可．
【详解】解： ， ，
∵
∴
，
故答案为：37；
， ，
∵
∴
，
，
故答案为： ．
∴
8．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）将4个数 ， ， ， 排成2行、2列，两边各加一条竖线记成
，定义 ，上述记号就叫做二阶行列式．若 ，则 ．
【答案】2
【知识点】整式的混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、合并同类项、运用完全平方
公式进行运算【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，去括号，合并同类项，解一元一次方程等知识
点，根据二阶行列式的定义及已知条件正确列出方程是解题的关键．
根据二阶行列式的定义及已知条件可得 ，将方程左边利用完全平方公式
展开，然后去括号，合并同类项，解一元一次方程即可求出 的值．
【详解】解：根据二阶行列式的定义可得：
，
展开，得： ，
去括号，得： ，
合并同类项，得： ，
解得： ，
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式 是某个多项式
的平方，则M为 ．
【答案】 或
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征
判断即可求出M．
【详解】解：① ，
∵ ，
∴
②若 中M是多项式的平方，
则 ；
故答案为： 或 ．
10．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）我们定义：一个整式能表示成 （a、b是整式）的形
式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为 （x、y是整式），所以M
为“完美式”．若 （x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为 ．
【答案】34
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式的应用．利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的
形式，根据“完全式”的定义得 ，从而得到k的值．
【详解】解：，
S为“完全式”，
，
，
故答案为：34．
三、解答题
11．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值、计算多
项式乘多项式
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式，解题的关键是
掌握以上运算法则．
（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可；
（2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项；
（3）首先根据平方差公式计算，然后根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先利用完全平方公式计算，然后合并即可求解；
（2）先分组，再按照完全平方公式计算．
【详解】（1）
；
（2）
．
13．（24-25八年级上·全国·期中）利用乘法公式计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查的是乘法公式的应用，熟记乘法公式是解本题的关键；
（1）利用平方差公式与完全平方公式先计算乘法运算，再合并即可；
（2）把原式化为： ，再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
14．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ；
【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查整式混合运算及化简求值，先计算完全平方式，再去括号、合并同类项，最后将
代入求值．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式 ．
15．（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．
（1）原式提取 变形后，利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： ，
．
16．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）某广场有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为 米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边
长为 米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示．
(1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）；
(2)若 ， ，请求出绿化地带的面积．
【答案】(1) 平方米
(2)275平方米
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、整式加减的应用、完全平方公
式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了整式的混合运算和加减运算，代数式求值，熟练运算法则是解题的关键．
（1）根据图形的面积之差列式即可求解；
（2）将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解： ．
绿化地带的面积为 平方米．
∴（2）解：当 ， 时， （平方米）．
17．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）同学们，你们好！下面我们一起分析这样一个例题．
例题：求多项式 的最小值．
解：
，
，
，
的最小值为2，
的最小值为2．
在认真分析例题后，解答下列问题：
(1)求多项式 的最小值；
(2)求多项式 的最大值；(3)直接写出多项式 的最小值．
【答案】(1)1
(2)28
(3)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查配方法的运用，掌握完全平方公式的运用是解题的关键．
（1）根据材料提示，找到一次项系数，根据完全平方公式变形计算即可；
（2）先将代数式变形得 ，再对括号中的式子进行配方，即可求解；
（3）运用分组得到 ，再运用完全平方公式，非负性进行判定即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
的最小值为1，
的最小值为1；
（2）解：
，
，
，
的最大值为28，
的最大值为28；
（3）解： ，计算如下，
，
，，
∵
，
∴ 的最小值为 ．
18．（24-25八年级上·四川内江·期中）【探究】
若 满足 ，求 的值．
设 ， ，则 ，
．
【应用】
∴
请仿照上述方法解决下面的问题：
（1）若 满足 ，则 的值为______；
（2）若 满足 ，求 的值；
【拓展】
（3）已知正方形 的边长为 （ ）， 、 分别是边 、 上的点，且 ， ，
长方
形 的面积是8，分别以 、 为边作正方形 和正方形 ．
① ______， ______；（用含 的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）5；（2）8；（3）① ；②12
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；
主要围绕图形面积展开分析．
（1）设 ，根据已知等式确定出所求即可；
（2）设 ，结合已知可得 ，将 两边分别平方，然后
整体代换即可求解；
（3）①设正方形 边长为x，进而根据图象可以表示出 与 ；
②根据 ，阴影部分面积 ，运用题中方法求出阴影部分面积即
可．
【详解】解：（1）设 ，则 ，
；
解：设 ，
则 ，
，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
∴（3）① 四边形 是长方形， ，四边形 是正方形，
∵ ，
， ，
故答案为： ．
② 长方形 的面积是 8 ，
∵ ，
阴影部分面积 ，
设 ，
则 ，
，
，
又 ，
，
．
即阴影部分的面积是 12 ．
