文档内容
新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
第一章 特殊平行四边形
1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.
2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.
3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步
发展合情推理和演绎推理的能力.
2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思
考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.
3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生
的能力.
1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结
——证明——应用”的数学活动提升科学素养.
3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.
四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等
特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之
一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性
质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.
本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经
验和体验,促进其良好数学观的形成.
本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还
要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.
【重点】 菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.
【难点】 平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.
1.本章对菱形、矩形的性质与判定的研究,都需要先探索、猜想得到结论后再证明.教学中,可以利用教
科书上的素材,也可以根据实际情况构建更现实、更贴近学生的问题情境,引导学生进行相关的探索、猜想
活动.充分调动学生的积极性与主动性,引导学生探索、发现结论、体会探索结论的各种方法,理解猜想后
还应该给予证明的意义,感受合情推理与演绎推理的关系.2.在学习本章之前,学生已经掌握几何证明的基本要求、基本步骤和基本方法.本章中的大部分结论都
是先通过合情推理探索,再利用演绎推理加以证明.在教学中应把证明作为探索活动的自然延续与必要发展,
让学生对发现的结论进行分析说明,然后按照几何证明的要求进行表达,实现合情推理和演绎推理的有机结
合.注意通过一定的练习进一步培养学生的几何证明能力,避免过分追求证明题的数量和证明技巧,把握证
明的难度.
3.探索图形有关性质的过程,往往可以启发证明的思路,在教学过程中,应充分考虑探索与证明的关系,为
学生的积极思考创设条件.同时,要鼓励学生大胆探寻新颖独特的证明思路和证明方法,引导学生与同学在
交流中比较证明方法的异同,提高演绎推理的能力.
4.在菱形、矩形、正方形的性质与判定方法的探索与证明的过程中蕴含着一些数学思想方法,教学中
有目的地让学生感悟、领会这些思想方法,并应用于解决相关问题的过程中.
本章教学时间约需8课时,具体分配如下:
1 菱形的性质与判定 3课时
2 矩形的性质与判定 3课时
3 正方形的性质与判定 2课时
1 菱形的性质与判定
理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.
1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.
2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.
【重点】
1.菱形的概念和性质.
2.探索菱形的判定方法
【难点】 菱形的概念和性质在生活中的应用.
第 课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说
理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.
从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对
称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习
和合作交流的意识.
【重点】 菱形的概念和性质.
【难点】 菱形性质的灵活应用.
【教师准备】
1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.
2.多媒体课件.
3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.
【学生准备】
复习平行四边形的性质
导入一:
请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:
(1)投影图片中有平行四边形吗?
(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?
【师生活动】 复习平行四边形的定义及性质.
【学生活动】 自主观察,小组合作交流,探究投影图片中平行四边形的新特征.
导入二:
1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四
边形形状的图案?
[设计意图] 通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.提高学生发现数学、应用数学的意识
和学习兴趣.
一、情景交流
[过渡语] 今天我们来学习一种特殊的平行四边形,让我们一起观察、猜想、探究、归纳、论证吧!
结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么
四边形?
【学生活动】 通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.
【教师活动】 投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.
二、学生活动,归纳概念
思路一
请口答下列问题.
(1)上述图形都是平行四边形吗?
(2)上述图形都有一组邻边相等吗?
(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?
小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.
【老师点评】 (1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.
【课件展示】 像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
思路二
【师】 同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同
学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD相比较,还有不同点吗?
【生】 投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.
【师】 同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
[设计意图] 通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.让学生观察图形,从直观上把握菱形的
特点,从而给出菱形的定义,让学生明确菱形不但是平行四边形,而且有其特点“一组邻边相等”.同时,让学
生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩,从而提高学生学习数学的兴趣.
三、共同探究
【想一想】
(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】 菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.
(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.
【学生活动】 分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.
【教师活动】 教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线
三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.
【做一做】
请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:
(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?
(2)菱形中有哪些相等的线段?
【学生活动】 分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.
【教师活动】 教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教
师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.
【师生结论】 (1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴
互相垂直.(2)菱形的四条边相等.
[设计意图] 通过学生自己操作剪、折菱形纸片,探索菱形的对称性,不仅增加学生学习的兴趣,并为新
课归纳菱形的性质做铺垫.
【验证提升】 证明菱形性质
【师】 通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨
的逻辑证明.
【教师活动】 如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.
⊥
求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC BD.
【师生共析】 (1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.
(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰
三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.
【学生活动】 写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.
指名学生在黑板上演示证明过程.
证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,
∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).
∵AB＝AD,
∴AB＝BC＝CD＝AD.
(2)∵AB＝AD,
∴ΔABD是等腰三角形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABD中,
∵OB＝OD,
⊥
∴AO BD,
⊥
即AC BD.
【教师活动】 展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格
式,提高学生的逻辑证明能力.
【教师活动】 请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】 小组交流,共同总结.
【教师活动】 多媒体课件展示
定理:菱形的四条边相等.
定理:菱形的对角线互相垂直.
最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.
[设计意图] 学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质,教师在参与学生活动的过程中,应该关注学生
的口述论证过程,并根据学生的认知水平加以引导,尽量减少学生推理论证过程中的困难.
四、展示交流
【教师活动】 例题讲解.
(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°,BD＝6,求菱形的边长
AB和对角线AC的长.
〔解析〕 因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的
边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根
据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB＝AD(菱形的四条边相等),
⊥
AC BD(菱形的对角线互相垂直),
1 1
OB＝OD＝ BD＝ ×6＝3(菱形的对角线互相平分).
2 2
在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,
∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.
在RtΔAOB中,由勾股定理,得:
OA2＋OB2＝AB2,
∴OA＝❑√AB2-OB2＝❑√62-32 ＝3❑√3,
∴AC＝2OA＝6❑√3.
[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;
(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.
1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:
(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;
(2)菱形的四条边都相等;
(3)菱形的对角线互相垂直平分.
3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.
1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是 ( )
A.20 B.15 C.10 D.5
解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以
ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.
2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝ cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角
1
形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝ BD＝1 cm,所以OA＝❑√AB2-OB2＝❑√22-12＝❑√3(cm),所以
2
AC＝2❑√3 cm.故填2❑√3.
3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?
解:四边形ABCD是菱形.
理由:∵AB∥CD,AB＝CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵CD＝BC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD＝∠CBE.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴CB＝CD,CA平分∠BCD.
∴∠BCE＝∠DCE.
又∵CE＝CE,
∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).
∴∠CBE＝∠CDE.
在菱形ABCD中,∵AB∥CD,
∴∠AFD＝∠CDE.
∴∠AFD＝∠CBE.
第1课时
菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的性质:
菱形的四条边相等
菱形的对角线互相垂直
例1
一、教材作业
【必做题】教材第4页随堂练习.
【选做题】
教材第4页习题1.1的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为 ( )
A.5 cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm
2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为 ( )
A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶1
3.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
4.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于 .
5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC＝ .
6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.
【能力提升】
7.如图所示,两个全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环
运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在 点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD＝2❑√3,那么AP的长为
.
⊥
9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE AB,垂足为E.
(1)求∠ABD的度数;
(2)求线段BE的长.
【拓展探究】
10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运
动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证AE＝EC;
(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5×4＝20(cm).故选C.)
1
2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝ AD,所以∠A＝
2
30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)1 1
3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝ AC＝3,OB＝ BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝
2 2
❑√OA2＋OB2＝❑√32＋42 ＝5.故选A.)
4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是
1 1
ΔACD的中位线,所以OE＝ AD＝ AB＝4.故填4.)
2 2
5.5 (解析:因为点A,B在数轴上对应的数为-4和1,所以AB＝1-(-4)＝5.因为四边形ABCD是菱形,所以BC＝
AB＝5.故填5.)
6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.
{AB＝AD,
在ΔABE和ΔADF中, ∠B＝∠D,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.
BE＝DF,
7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程
为8×1＝8(cm),2015÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)
8.2❑√3或4❑√3
9.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又
⊥
∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE AB,∠ABD＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.
10.C
11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC
的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝
60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF＝CF,∴点
F是线段BC的中点.
本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是本课时知识的基
础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设
情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还
可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩
盖了其他学生的疑问.
教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆
探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明
方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.
随堂练习(教材第4页)
解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角
线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.
习题1.1(教材第4页)
1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝
BC,∴ΔABC是等边三角形.
1 1 1 1
⊥
2.解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AD＝DC＝CB＝BA,AC BD,AO＝ AC＝ ×8＝4,DO＝ BD＝ ×6＝3,在
2 2 2 2
RtΔAOD中,由勾股定理,得AD＝❑√AO2＋DO2＝❑√42＋32＝5. ∴菱形ABCD的周长为4AD＝4×5＝
20.
⊥
3.证明:在菱形ABCD中,AD＝AB,AC BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC.
4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为
ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.
(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生
正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重
要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何
语言的规范性和严谨性.
(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通
过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.
(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激
发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.
(2014·莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC
上的一动点,则EF＋BF的最小值是 .〔解析〕 如图所示,连接DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD＝120°,∴∠ABC＝
⊥ ⊥
60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点,∴CE AB,∴CE CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE
1
＝ BC＝2,CE＝❑√BC2-BE2＝❑√42-22 ＝2❑√3.在RtΔECD中,CE＝2❑√3,DC＝4,∴ED＝2❑√7.根据
2
两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2❑√7.∴EF＋BF的最小值为2❑√7.故填2❑√7.
第 课时
1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得
判定四边形是菱形的经验.
启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩
证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.
【重点】 探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.
【难点】 明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.
【教师准备】 木条和橡皮筋
【学生准备】 复习上课时的相关知识.导入一:
人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的
启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱
形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.
那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?
导入二:
什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?
教师提示:判定方法应该从三个方面分析:
边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形.
角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
那么,菱形的判定有什么方法呢?
[设计意图] 通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.
一、由菱形的定义判定
[过渡语] 接下来我们研究怎样判断一个四边形是菱形.
【学生活动】 明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等
的平行四边形是菱形.
【思考】 除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方
法吗?
二、菱形的判定(1)
思路一
⊥
已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC BD.求证▱ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA＝OC.
⊥
∵AC BD,
∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.
∴BA＝BC.
∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).
【思考】 从上述证明过程中,你得出什么结论?
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
思路二【学生活动】 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上
一根橡皮筋,做成一个四边形.
(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?
猜想:四边形的对角线互相平分.
(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?
猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形.
(3)你能证明你的猜想吗?
猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.
已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).
⊥
又∵AC BD,
∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,
∴AB＝BC,
∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
三、菱形的判定(2)
[过渡语] 菱形的判定还有其他的方法吗?
思路一
学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接
BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?
请你画一画.
通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.
证明上述结论.
[设计意图] 采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几
何思维.
思路二
问题
我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得
到两弧交点C,连接BC,CD即可.【学生活动】 (1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻
找原因.
原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定.
(2)你能得出什么结论?
学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.
[设计意图] 通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,
培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽
象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.
猜想:四条边相等的四边形是菱形.
如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA.
求证四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB＝CD,BC＝AD,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
又∵AB＝BC,
∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
[设计意图] 由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并
激发学生探究的欲望.
[知识拓展] 四条边相等的四边形是菱形.
在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝❑√5,OA＝2,OB＝1.
求证▱ABCD是菱形.
证明:在ΔAOB中,∵AB＝❑√5,OA＝2,OB＝1,
∴AB2＝AO2＋OB2.
∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角.
⊥
∴AC BD.
∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
[知识拓展] (1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.
(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.1.下列命题正确的是 ( )
A.对角线互相平分的四边形是菱形
B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
答案:D
2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 ( )
A.等腰梯形B.正方形
C.长方形 D.菱形
答案:D
⊥
3.如图所示,在ΔABC中,AD BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形AEDF是菱形.
⊥
解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF证明EF AD,利用对角线互相垂直的平行四
边形是菱形来判定.
证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,
∴DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
连接EF,如图所示,
∵ 点E,F分别是AB和AC的中点,
∴EF∥BC.
⊥ ⊥
又∵AD BC,∴AD EF,∴平行四边形AEDF是菱形.
第2课时
1.根据菱形的定义进行判定
2.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.定理:四条边相等的四边形是菱形
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第7页随堂练习.
【选做题】
教材第7页习题1.2的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 ( )
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B.四条边都相等的四边形是菱形
C.一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是菱形
⊥
2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝
DO.使得▱ABCD是菱形的条件有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,如果要使▱ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是
.
4.如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件:
时,四边形EFGH是菱形.
【能力提升】
5.如图所示,在ΔABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC交AC于点F.求证四边
形DECF是菱形.⊥
6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF BD,分别交AD,BC于点
E,F,求证四边形BEDF是菱形.
【拓展探究】
7.如图所示,分别以ΔABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,请
回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形ADEF为菱形?
(3)当ΔABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?
【答案与解析】
1.B
2.C
3.AB＝AD(答案不唯一)
4.AB＝CD
5.证明:如图所示,∵DE∥AC,DF∥BC,
∴四边形DECF为平行四边形,∠2＝∠3.
∵CD平分∠ACB,
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3,
∴DE＝EC.
∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OB＝OD.
∴∠EDO＝∠FBO,∠OED＝∠OFB.
∴ΔOED≌ΔOFB.
∴DE＝BF.
又∵ED∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
⊥
∵EF BD,
∴▱BEDF是菱形.
7.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.
(2)当AB＝AC时,四边形ADEF为菱形.
(3)当∠BAC＝60°时,∠DAF＝180°,即D,A,F三点在一条直线上,此时以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.
为了体现新课标的要求,在菱形判定的教学方面,采用直观操作与几何论证相结合的探究式的教学方法,
既关注学生学习的结果,也关注他们学习的过程,进一步培养学生的形象思维和逻辑推理能力,学生采用动手
试验、自主探索与合作交流相结合的方式,使学习过程直观化、形象化.
学习过程中要做到以学生为主体,这方面做得
不够到位.应该让学生自己动手探索并完成结论的证明,使学生觉得自己进行的探索是有意义的,有价
值的,也是有科学性的、有创造性的,从而培养他们树立自主学习的信心.
作业要更加合理,做到既有巩固新知识的基础性较强的习题,又有综合性较强、解题思路较灵活的选做
题,尽量满足不同层次的学生的要求.
随堂练习(教材第7页)
解:所画菱形ABCD如图所示,使对角线AC＝6 cm,BD＝4 cm.习题1.2(教材第7页)
1.证明:在平行四边形ABCD中,AE∥FC,∴∠EAO＝∠FCO,∵EF垂直平分AC,∴AO＝CO,又∠AOE＝
⊥
∠COF,∴ΔAOE≌ΔCOF,∴OE＝OF.又∵OA＝OC,EF AC,∴四边形AFCE是菱形.
⊥
2.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD,OA＝OC,AC BD.∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴OH
⊥
＝OF,OE＝OG,又∵HF EG,∴四边形EFGH是菱形.
3.解:四边形CDC'E是菱形.证明如下:由题意得∠C＝∠DC'E,C'D＝CD,∵AD∥BC,∴∠DC'E＝∠BEC',∴∠C＝
∠BEC',∴C'E∥DC.∴四边形CDC'E是平行四边形.又∵C'D＝CD,∴四边形CDC'E是菱形.
如图所示,将一张正方形纸片经两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平,得到的图形是( )
〔答案〕 D
第 课时
菱形面积的特殊计算方法.
通过三角形、平行四边形等特殊图形面积的计算,类比推导出菱形面积的计算方法.培养类比推导的数学思维习惯,鼓励探索尝试精神.
【重点】 菱形面积计算的特殊方法.
【难点】 菱形面积计算的特殊方法的总结.
【教师准备】 课堂上演练的习题.
【学生准备】 复习巩固前面2个课时所学的内容.
导入一:
同学们已经了解了三角形、正方形、平行四边形等图形面积的计算,那么菱形的面积怎样计算呢?
导入二:
如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD＝6 cm,∠ABC＝60°,
则四边形ABCD的面积等于 .
你能解答这个问题吗?
[过渡语] 我们借助三角形和平行四边形面积的计算方法,能不能计算出菱形的面积呢?
菱形的面积计算
问题
(教材例3)如图所示,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD长10 cm.求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E,
∴∠AED＝90°(菱形的对角线互相垂直),
1 1
∴DE＝ BD＝ ×10＝5(cm)(菱形的对角线互相平分).
2 2
∴AE＝❑√AD2-DE2＝❑√132-52 ＝12(cm).
∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)(菱形的对角线互相平分).
(2)菱形ABCD的面积
＝ΔABD的面积＋ΔCBD的面积
＝2×ΔABD的面积
1
＝2× ×BD×AE
2
1
＝2× ×10×12
2
＝120( cm2).
【思考】 如果例3中,已知菱形ABCD的两条对角线的长度为12 cm和10 cm,怎样直接计算出菱形
的面积?
[知识拓展] 菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
菱形是特殊的平行四边形,所以平行四边形的面积公式同样适用于菱形,即“底×高”,要注意底与高必
须是相互对应的.另外由于菱形的特殊性,它的面积等于其两条对角线长的乘积的一半.
1.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线相交于点O,ΔABC的面积为2,菱形ABCD的面积是 .答案:4
2.菱形的两条对角线长是8 cm和10 cm,则菱形的面积是 cm2.
答案:40
3.一个菱形的两条对角线长分别为7 cm和8 cm,则这个菱形面积为 ( )
A.56 cm2 B.28 cm2
C.14 cm2 D.36 cm2
答案:B
4.如图所示,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空
白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为 .
解析:根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求出面积,再根据中心对称的性质判断出阴影部分
1
的面积等于菱形的面积的一半解答.∵菱形的两条对角线的长分别为6和8,∴菱形的面积＝ ×6×8＝24,由
2
1
中心对称的性质,得阴影部分的面积＝ ×24＝12.故填12.
2
第3课时
例3
结论:菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半
一、教材作业
【必做题】
教材第9页随堂练习的1,2题
【选做题】
教材第9页习题1.3的4题
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,菱形ABCD的周长是20,对角线AC,BD相交于点O,若BD＝6,则菱形ABCD的面积是 ( )A.6 B.12 C.24 D.48
⊥
2.(2014·陕西中考)如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,对角线AC＝6.若过点A作AE BC,垂足为E,则AE的
长为( )
12 24
A.4 B. C. D.5
5 5
3.(2014·兰州中考)如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足(a-1)2＋❑√b-4＝0,那么菱形的面积等于
.
4.已知菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,并且CA∶BD＝1∶2,若AB＝3,求菱形ABCD的面积.
【能力提升】
5.如图所示,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且∠A＝∠EDF＝60°,有下列结论:①AE＝BF;②ΔDEF是等边
三角形;③ΔBEF是等腰三角形;④∠ADE＝∠BEF.其中结论正确的个数是( )
A.3 B.4 C.1 D.2
6.如图所示,AD是ΔABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.四边形AEDF是菱形吗?说
明你的理由.
【拓展探究】
7.如图所示,在矩形ABCD中,AB＝4 cm,BC＝8 cm.点P从点D出发向点A运动,同时点Q从点B出发向点
C运动,点P,Q的速度都是1 cm/s,在运动过程中,四边形AQCP可能是菱形吗?如果可能,那么经过多少秒后,
四边形AQCP是菱形?此时求出菱形AQCP的周长和面积.【答案与解析】
1.C
2.C
3.2
1 1 (1 ) 2 1 36
4.解:设CA＝x,BD＝2x,则OA＝ AC＝ x,OB＝x,所以 x ＋x2＝9,即 x2＋x2＝9,x2＝ ,所以S
2 2 2 4 5 菱形ABCD
1 36
＝ x·2x＝x2＝ .
2 5
5.A (解析:首先连接BD,易证得ΔADE≌ΔBDF,然后可证得DE＝DF,AE＝BF,即可得ΔDEF是等边三角形,然
后可证得∠ADE＝∠BEF.)
6.解:四边形AEDF是菱形.理由如下.
∵DE∥AC,∴∠ADE＝∠DAF.
∵AD是ΔABC的角平分线,∴∠DAE＝∠DAF,∴∠ADE＝∠DAE,∴AE＝ED.
又∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴平行四边形AEDF是菱形.
7.解析:(1)设经过x s后,四边形AQCP是菱形,根据菱形的四条边相等列方程即可求得所需的时间.(2)根据
(1)可求得菱形的边长,从而求得其周长及面积.
解:四边形AQCP可能是菱形.
设经过x s后,四边形AQCP是菱形,
由题意,得42＋x2＝(8-x)2,解得x＝3,
即经过3 s后,四边形AQCP是菱形.
此时菱形的边长为5,
∴菱形AQCP的周长＝5×4＝20(cm),
菱形AQCP的面积＝5×4＝20(cm2).
本课时的重点是在计算三角形面积和平行四边形面积的基础上计算菱形的面积,充分利用知识的迁移,
通过类比,顺利地实现了本课时的教学目标.
在处理菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半的时候,应该提醒学生容易出错的地方,特别是这种计
算方法只适合菱形,而不适合一般的平行四边形.在处理本课时教材的例题的时候,可以让学生自己去交流和证明,并鼓励学生用不同的思路去证明同一
结论.
随堂练习(教材第9页)
1.提示:(1)菱形的每一个内角的度数分别为60°,120°,60°,120°. (2)另一条对角线的长为2❑√102-52＝10
❑√3.
⊥ ⊥
2.证明:∵DE是BC的垂直平分线,∴DE BC,BD＝DC,BE＝CE,又∵∠ACB＝90°,即AC BC,∴DE∥AC,又
∵D为BC中点,∴E为AB边的中点,∴CE＝AE＝BE,∵∠BAC＝60°,∴ΔACE是正三角形,∴CE＝AC.在ΔAEF中,
∠AEF＝∠DEB＝∠CAB＝60°,而AF＝CE,又CE＝AE,∴AE＝AF,∴ΔAEF也为正三角形,∴AF＝EF,∴CE＝AC
＝AF＝EF,∴四边形ACEF为菱形.
习题1.3(教材第9页)
1.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝BC,AD＝CD,∠A＝∠C,∵BE＝BF,∴AE＝CF,∴ΔADE≌ΔCDF. (2)由
(1)知ΔADE≌ΔCDF,∴DE＝DF,∴∠DEF＝∠DFE.
1 1
⊥
2.证明:如图所示,在菱形ABCD中,AC BD,∴S ＝S ＋S ＝ AC·OB＋ AC
菱形ABCD ΔABC ΔADC 2 2
1 1
·OD＝ AC(OB＋OD)＝ AC·BD.
2 2
1 1
⊥
3.解:∵四边形ABCD是菱形,AC＝16,BD＝12,∴AC BD,AO＝OC＝ AC＝8,BO＝OD＝ BD＝6.在
2 2
1 1
RtΔAOB中,由勾股定理得AB＝❑√AO2＋BO2＝10,∵S ＝ ×AC×BD＝AB×DH,∴ ×16×12＝
菱形ABCD 2 2
10DH,∴DH＝9.6.
1 1 1 1
4.证明:∵四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,DC,AC,BD的中点,∴FG＝ AD,HE＝ AD,FH＝ BC,GE＝
2 2 2 2
BC.∵AD＝BC,∴FG＝FH＝HE＝EG.∴四边形EGFH是菱形.
如果仅知道菱形两条对角线的长,你能求出菱形的面积吗?
画图,想想菱形的对角线有什么特殊的地方呢?不难发现,菱形的对角线将菱形分成了四个直角三角形(如图(1)所示),这四个直角三角形还是全等的呢!
(你能证明吗?)
于是菱形的面积就等于这四个直角三角形的面积之和,即S ＝S ＋S ＋S ＋S
菱形ABCD ΔADO ΔABO ΔCDO ΔBCO
(1 ) 1 1 1 1
·AO·DO
＝4S ＝4 ＝4 · AC· ·BD ＝ AC·BD.
ΔADO 2 2 2 2 2
原来菱形的面积还可以由对角线长求出呀!
回顾一下解决问题的过程.我们解决问题的切入点是菱形的对角线互相垂直平分,如果将条件改为“对
角线互相垂直”,此时四边形的面积还能利用对角线长的乘积的一半表示吗?这时和菱形情况类似,如图(2)
1 1
所示四边形也被对角线分成四个直角三角形,那么S ＝S ＋S ＋S ＋S ＝ ×AO×OD＋
四边形ABCD ΔADO ΔABO ΔCDO ΔBCO 2 2
1 1 1 1 1 1
AO×BO＋ OC×OD＋ BO×OC＝ AO×(OD＋OB)＋ OC×(OD＋OB)＝ ×(AO＋OC)×BD＝ AC×BD.
2 2 2 2 2 2
2 矩形的性质与判定
1.掌握矩形的定义,理解矩形与平行四边形的关系.
2.理解并掌握矩形的性质及判定定理,会用矩形的性质及判定定理进行推导证明.
3.会初步运用矩形的定义、性质、判定来解决有关问题,进一步培养学生的分析能力.
1.经历探索矩形的概念、性质、判定的过程,发展学生合情推理的意识.
2.通过灵活运用矩形的性质和判定定理解决有关问题,掌握几何思维方法,并渗透运动联系、从量变到
质变的观点.
3.从矩形与平行四边形的区别与联系中,体会特殊与一般的关系.1.在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中,体验数学知识充满探索性和创造性,感受证明的必要性,
提高严谨的推理能力,体会逻辑推理的思维价值.
2.通过小组合作展示活动,培养学生的合作意识和学习的自信心.
3.通过对实际问题的操作提高学生学会综合运用知识的能力,并能在此过程中让学生感受解决问题后
的成就感,提高他们对数学的学习兴趣.
【重点】
1.矩形的性质及判定.
2.直角三角形斜边上的中线和斜边的关系.
【难点】 矩形性质的灵活运用.
第 课时
1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别和联系.
2.会初步运用矩形的概念和性质解决有关问题.
1.经历探索矩形的概念和性质的过程,渗透运动联系,从量变到质变的观点.
2.通过灵活运用矩形的性质解决有关问题,渗透几何思维方法.
1.通过小组合作展示活动,培养学生的合作意识和树立学习的自信心.
2.通过探究学习,培养学生严谨的推理能力,体会逻辑思维推理的价值.
【重点】 矩形的性质.
【难点】 矩形的性质的灵活应用.
【教师准备】 演示活动的平行四边形框架.
【学生准备】 课前预习矩形的性质,准备矩形纸片.
导入一:回答下列问题:
【问题1】 什么叫做平行四边形?它具有哪些性质?
【问题2】 想一想,这里面展示的物体都是一些什么形状的图形?
【师】 咱们中国有句古话“不以规矩,不成方圆.”“方”指的就是我们小学学过的长方形、正方形,
“矩”就是古代画“方”的一种工具.到了初中阶段,我们就把长方形叫做矩形,这节课我们就来研究矩形.
(板书课题)
[设计意图] 问题1温故而知新,为学习矩形的概念和性质做好铺垫;问题2通过展示学生熟悉的矩形
的图片,让学生感受到矩形在我们的生活中无处不在,从而激发学生探究知识的欲望.
导入二:
复习回顾:
【问题1】 平行四边形具有哪些性质?
平行四边 边 角 对角线 对称性
形
【问题2】 菱形是特殊的平行四边形,它具有哪些性质?
边 角 对角线 对称性
菱形
今天我们继续学习另一种特殊的平行四边形——矩形,先来观看平行四边形角度变化的动画.
教师板书课题.
[设计意图] 通过复习,巩固平行四边形和菱形的知识,为学习矩形做好知识铺垫,通过图形变化,感受矩
形与平行四边形的关系,进而导入矩形的性质和判定.
一、矩形的定义
教师演示活动的平行四边形框架,学生观察并思考:
(1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗?
(2)在运动过程中四边形不变的是什么?改变的是什么?
(3)在角的大小改变过程中有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形?
归纳上述问题,得出矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
[处理方式] 利用四边形的不稳定性,通过教具演示,使平行四边形的内角发生变化,学生发现在运动过
程中四边形的对边仍保持相等,所以仍然是平行四边形.但是,角度是不断变化的.当有一个内角是直角时,平行四边形就演变成了矩形,从而自然地得到了矩形的定义需满足的两个条件:(1)是平行四边形;(2)有一个角
是直角.定义是本节的关键点,因此观察过程不能省略.
[设计意图] 让学生观察从平行四边形到矩形的变化过程,事实上是在学生已有的平行四边形相关认
知的基础上让他们认识到矩形是平行四边形,但却是特殊的平行四边形.从已有的知识出发,通过教具演示,
让学生经历了矩形概念的探究过程,自然而然地给出矩形的概念.
二、矩形的性质
思路一
1.观察试验,发现问题
教师在平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别固定在相对的两个顶点上,作为它的对角线,拉动一对
不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.学生观察并思考:
(1)随着∠ABC的变化,两条对角线的长度是怎样变化的?
(2)当∠ABC是直角时,平行四边形变成了矩形,此时其他内角有何变化?两条对角线的长度有何关系?
(注:如果教具制作有困难,可以使用几何画板软件的拖动、测量功能,会取得更好的效果,见下图)
∠ABC＝63.5°
∠BAD＝116.5°
∠ADC＝63.5°
∠DCB＝116.5°
AC＝7.64 cm
BD＝11.85 cm
∠ABC＝90.0°
∠BAD＝90.0°
∠ADC＝90.0°
∠DCB＝90.0°
AC＝9.97 cm
BD＝9.97 cm2.明确定理,推理证明
操作、思考、交流、归纳后,教师在学生口答的基础上,引导学生猜想矩形的性质并板书:
矩形的性质1 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质2 矩形的对角线相等.
【思考】 怎样证明你的猜想?请同学们自己完成.
已知:如图所示,四边形ABCD是矩形,∠ABC＝90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证:(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°;
(2)AC＝BD.
(多媒体课件展示两个定理的已知、求证,请两位同学分别板演证明过程)
3.动手操作,完善性质
问题1
请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,转一转,观察并思考以下问题:
(1)矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么?
(2)矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
结论:矩形是中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.
问题2
请你总结一下矩形有哪些性质?
学生归纳概括矩形的性质,教师提示可以从四个方面来说:
从边来说,矩形的对边平行且相等;
从角来说,矩形的四个角都是直角;
从对角线来说,矩形的对角线相等且互相平分;
从对称性来说,矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
[处理方式] 让学生分组探索,教师可引导学生根据研究平行四边形获得的经验,分别从边、角、对角
线三个方面探索矩形的特性,学生通过动手测量,动脑思考,动口讨论,自主发现矩形的性质.性质定理的证明
让学生上台板演,既规范了证明的书写格式,也体现了数学的严谨性.
[设计意图] 学生通过类比平行四边形的性质及观察从平行四边形到矩形的变化过程,从边、角、对
角线三方面不难发现矩形的性质.学生自己讨论得出的结论会更让他们乐于接受,而方法也在此过程中渗透
给了学生.
思路二
(1)想一想:(展示问题,引导学生讨论、解决)
①矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能举一些这样的性质吗?
②矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?
③你认为矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流.
结论:矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.
(2)问题:矩形的边具有怎样的性质?
(学生思考、回答)
结论:对边平行且相等.(具有平行四边形的边所具有的边的性质)
(3)问题:矩形的角除了“有一个内角是直角”外,还具有哪些一般平行四边形不具备的性质?
(学生思考、回答)
结论:矩形的四个角都是直角.
(4)让学生进行如下操作后,思考问题:(教具演示)矩形的对角线有什么性质?在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别固定在相对的两个顶点上,拉动一对不相邻的顶点,改
变平行四边形的形状.
(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度分别是怎样变化的?
(2)当∠α是直角时,平行四边形变成矩形,此时两条对角线的长度有什么关系?
(小组操作,思考、交流、归纳)
当∠α是锐角或钝角时,两条对角线的长度不相等.
当∠α是直角时,平行四边形变为矩形,这时两条对角线的长度相等.
结论:矩形的两条对角线相等.
三、直角三角形的性质定理
1.议一议:观察右图中的矩形ABCD,你能得出哪些结论?图中存在哪些特殊的三角形?
矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,那么BO是RtΔABC中一条怎样的特殊线段?它与AC边的长
度有什么大小关系?由此你能得到怎样的结论?
生总结结论,师板书:
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.做一做:你能借助矩形加以证明吗?
3.练一练:在ΔABC中,∠ABC＝90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD＝3 cm,则AC＝ cm;
(2)若∠C＝30°,AB＝5 cm,则AC＝ cm,BD＝ cm.
[处理方式] 在议一议中,学生小组讨论,容易得出:图中共有四个直角三角形,四个等腰三角形,并且有
OA＝OB＝OC＝OD,从而得出结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.然后在做一做中由教师引导,
寻找定理证明的思路,即通过构造矩形,把三角形问题转化为矩形问题.由一生口答,教师板书证明过程,进一
步规范证明的书写格式.练一练比较简单,由学生口答.[设计意图] 先从矩形的对角线的相关性质推出直角三角形的性质,达到“学数学,用数学”的目的.再
通过习题,让学生掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质,达到学以致用的目的,培养了
学生的应用意识.
[知识拓展] 矩形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的所有性质外,还具有以下性质:(1)矩形的四
个角都是直角;(2)矩形的对角线相等;(3)矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形.
(教材例1)如图所示,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD＝120°,AB＝2.5,求这个矩形对角线
的长.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC＝BD(矩形的对角线相等),
1 1
OA＝OC＝ AC,OB＝OD＝ BD(矩形的对角线互相平分),
2 2
∴OA＝OD.
∵∠AOD＝120°,
1
∴∠ODA＝∠OAD＝ (180°-120°)＝30°.
2
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角),
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.
[设计意图] 这个例题主要目的是应用矩形的性质来解决问题.在学过矩形的性质后,如何熟练、灵活
的应用矩形的性质解决实际问题是关键.
名称
矩形
特征
定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
边 对边平行且相等
角 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分且相等
性质
轴对称性 轴对称图形,有两条对称轴
直角三角形斜边上的中
推论
线等于斜边的一半
1.下列说法错误的是 ( )
A.矩形的对角线互相平分
B.矩形的对角线相等
C.有一个角是直角的四边形是矩形
D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
解析:根据矩形定义,得有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.故选C.
2.已知矩形的一条对角线长为10 cm,两条对角线所成的角为120°,则矩形的边长分别为 .解析:因为矩形的对角线相等且平分,且两条对角线所成的角是120°,所以矩形的较短的边长为5 cm,较
长的边长为5❑√3 cm.故填5 cm,5❑√3 cm.
3.(2014·泉州中考)如图所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,CD边上,BE＝DF,连接CE,AF.求证AF
＝CE.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴DC∥AB,DC＝AB,
∴CF∥AE.
∵DF＝BE,∴CF＝AE,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF＝CE.
第1课时
1.矩形的定义
2.矩形的性质
3.直角三角形的性质定理
例1
一、教材作业
【必做题】
教材第13页习题1.4的1,2题.
【选做题】
教材第13页习题1.4的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若OA＝2,则BD的长为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.12.如图所示,将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是( )
A.❑√3 B.2❑√3 C.❑√5 D.2❑√5
3.如图所示,矩形ABCD的周长为20 cm,两条对角线相交于O点,过点O作AC的垂线EF,分别交AD,BC于
E,F点,连接CE,则ΔCDE的周长为 ( )
A.5 cm B.8 cm C.6 cm D.10 cm
4.如图所示,把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠,若∠1＝58°,则∠AEG＝ 度.
【能力提升】
5.如图所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上,ΔDEF为等腰直角三角形,∠DEF＝90°,AD＋CD＝
10,AE＝2,求AD的长.
【拓展探究】
6.为了向建国六十六周年献礼,某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动,八(3)班开展了手工制作竞赛,每个同
学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的前两个步骤是:①先裁下一张长BC＝20
cm,宽AB＝16 cm的矩形纸片ABCD,②将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,…,请你
根据步骤①②解答下列问题:(1)找出图中∠FEC的余角;
(2)计算EC的长.
【答案与解析】
1.A(解析:因为OA＝2,所以AC＝2OA＝4.由题意知BD＝AC,所以BD＝AC＝4.故选A.)
2.D(解析:根据题意知四边形AFEB与四边形CEFD全等,有EC＝AF＝AE,由勾股定理,得AB2＋BE2＝AE2,即
42＋(8-AE)2＝AE2,解得AE＝AF＝5,所以BE＝3,作EG ⊥ AF于点G,则四边形AGEB是矩形,有AG＝3,GF＝
2,GE＝AB＝4,由勾股定理,得EF＝2❑√5.故选D.)
⊥
3.D (解析:∵四边形ABCD为矩形,∴AO＝OC.∵EF AC,∴AE＝EC.∴ΔCDE的周长＝CD＋DE＋EC＝CD＋
DE＋AE＝CD＋AD＝10(cm).故选D.)
4.64(解析:根据矩形的对边平行,得AD∥BC,∴∠DEF＝∠1＝58°.再根据题意,得∠GEF＝∠DEF＝58°.最后根据
平角的定义,得∠AEG＝180°-58°×2＝64°.)
5.解:先设AD＝x.∵ΔDEF为等腰直角三角形,∴DE＝EF,∠FEB＋∠DEA＝90°.又∵∠AED＋∠ADE＝
90°,∴∠FEB＝∠EDA.又∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝∠A＝90°,∴ΔADE≌ΔBEF(AAS).∴AD＝BE＝x.∴AD＋
CD＝AD＋AB＝AD＋AE＋BE＝x＋x＋2＝10,解得x＝4,即AD＝4.
6.解:(1)∠CFE与∠BAF. (2)设EC＝x cm.则EF＝DE＝(16-x) cm,AF＝AD＝20 cm.在RtΔABF中,BF＝
❑√AF2-AB2 ＝12(cm),FC＝BC-BF＝20-12＝8(cm).在RtΔEFC中,EF2＝FC2＋EC2,即(16-x)2＝82＋x2,解得
x＝6.∴EC的长为6 cm.
教学过程中充分利用学生手中的矩形实物:如教材、课桌等让学生通过观察、测量和思考讨论等活动
得出矩形的性质,再引导学生进行推理证明及应用,通过探索证明开拓学生的思路,提高学生的思维能力,帮
助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握矩形的性质定理,体验数学学习过程中推理的严谨
性.
由于学生之间存在很大差异,分层教学做得不够到位,一些有关矩形的证明与计算拓展得不是很到位.
在问题的设计上加强分层教学,促进学生全体进步,应高度重视学生的主动参与、亲自研究、动手操作,
培养学生自主学习的能力和创新意识.
随堂练习(教材第13页)解:在矩形ABCD中,OB＝OA,BD＝2OB,∠BAD＝90°.∵OA＝4,∴OB＝4,∴BD＝8.在RtΔABD中,AD＝
❑√BD2-AB2＝❑√82-62 ＝2❑√7.
习题1.4(教材第13页)
1.解:∵对角线与一边的夹角为45°,所以矩形的长和宽相等.设矩形的边长为x.由题意得x2＋x2＝62,解得x＝3
❑√2,即这个矩形的各边长均为3❑√2.
1
2.解:如图所示,设这个矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB＝60°,AC＝BD＝15,∴AO＝ ·AC＝
2
1
7.5,BO＝ BD＝7.5,∴OA＝OB,∴ΔAOB是等边三角形,∴AB＝7.5.
2
3.解:四边形ADCE是菱形.证明如下:∵∠ACB＝90°,D为AB的中点,∴AD＝CD.∵AE∥CD,CE
∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形.∴四边形ADCE是菱形.
4.已知:如图所示,CD是边AB的中线,且CD＝AD＝BD,求证:ΔABC是直角三角形. 证明:∵AD＝CD,∴∠A＝
∠1.同理∠2＝∠B.∵∠2＋∠B＋∠A＋∠1＝180°,即2(∠1＋∠2)＝180°,∴∠1＋∠2＝90°,即∠ACB＝90°,∴ΔABC是
直角三角形.
本课时是建立在平行四边形的性质与判定以及菱形的性质与判定基础上的,它既是平行四边形的延伸,
又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持,为进一步研究其他图形奠定基础.依据新课标要求,矩形的
性质不能只停留在知识教学上,而是要把经历探索图形的基本性质的过程提高学生基本的推理能力放在首
要位置.矩形是平行四边形中的一种特殊图形,在生活中有着广泛的应用,所以教材中很多地方以图片的形
式呈现了矩形的“原型”,旨在唤起学生的生活经验,促进数学学习.
⊥ ⊥
如图所示,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE AC,CF BD,垂足分别为E,F.求证BE＝
CF.〔解析〕 可运用矩形的性质结合已知条件证明BE,CF所在的三角形全等.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AC＝BD,∴BO＝CO.
⊥ ⊥
∵BE AC,CF BD,
∴∠BEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠BOE＝∠COF,
∴ΔBOE≌ΔCOF.
∴BE＝CF.
第 课时
1.经历并了解矩形判定方法的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法.
2.掌握矩形的判定方法,能根据判定方法进行初步运用.
1.在探索判定方法的过程中培养学生的合情推理意识、主动探究的习惯.
2.在画矩形的过程中,培养学生动手实践能力,积累数学活动经验.
1.激发学生学习数学的热情,培养学生勇于探索的精神和独立思考合作交流的良好习惯,体验数学活动
来源于生活又服务于生活,提高学生的学习兴趣.
2.通过与他人的合作,培养学生的合作意识和团队精神.
【重点】 矩形的判定定理.
【难点】 矩形的判定定理的证明及灵活应用.
【教师准备】 直尺、演示教具.
【学生准备】 直尺、白纸.导入一:
【问题1】 投影图片展示门窗、建筑物墙砖、数学教材,观察所展示物体的形状都是什么图形?
【问题2】 一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们最后
决定买相框送给她,在里面摆放她们三个人的合影,为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么用
什么方法可以确定她们拿的就是矩形的相框呢?
[设计意图] 利用学生感兴趣的生活事例,贴近生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在
不知不觉中感受学习数学的乐趣,这也为本课时的后续学习做好铺垫.
导入二:
【问题】 什么是矩形?它具有哪些性质?
[处理方式] 根据学生的回答,将矩形的定义和性质主动呈现出来,同时强化知识之间的联系,根据学生
的回答,借助多媒体课件呈现用文字语言、符号语言和图形语言表述的矩形的性质.
【师】 日常生活中矩形随处可见,但是有的时候需要判断一个四边形是不是矩形?如教室的黑板、数
学教材……那么如何判断一个四边形是矩形呢?这就是本课时我们所要研究的重要内容.
教师板书课题.
[设计意图] 复习矩形的性质,为后续的判定定理的学习奠定基础.因为判定定理与性质定理是互逆的,
运用多媒体课件将性质的符号语言投射出来,便于学生更好地将图形语言、符号语言与文字语言有机结合;
通过谈话和日常生活的实际需要,转到矩形的判定,符合学习数学的真正目的.
一、矩形的判定(一)
[处理方式] 边说明、边演示,用上、下一样长,左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做
成一个木条框一定是矩形吗?还要满足什么条件?教具演示由平行四边形 矩形 平行四边形的过程,
得出“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”.【学生活动】 观察教师演示木条框由平行四边形 矩形 平行四边形的操作过程,明确变为矩
形时的条件.知道“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以作为判定矩形的方法,这种方法就是矩形的
定义法.
二、矩形的判定(二)
【教师活动】 提出问题,激发学生探索的积极性,还有没有其他的判定方法呢?下面我们再来做一做
这样的试验,用刚才演示的木条框,对角线用橡皮筋连接.教师逐渐演示,配合多媒体课件的呈现,引导学生得
出结论.
如下图所示的是一个平行四边形的木条框,拉动一对不相邻的顶点,平行四边形的形状会发生变化.
(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化?
【学生活动】 观察教师的演示,随着∠α的变化,两条对角线(两条橡皮筋)的长度将发生的变化:当∠α
由小变大时,其中一条对角线变长,而另一条对角线变短;当∠α是直角时,两条对角线长度相等.这就是矩形的
对角线的性质.
【教师活动】 进一步提出问题,通过学生的观察得出结论,然后理性的引导学生证明结论的正确性.
(2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想?
【学生活动】 通过观察、思考提出猜想,得出结论,再证明结论的正确性.从而得到矩形的判定方法:
对角线相等的平行四边形是矩形.
【教师活动】 引导学生明确证明文字命题的步骤:(1)弄清命题的题设和结论;(2)依据命题的题设和结
论,画出图形;(3)根据图形写出已知、求证;(4)证明.根据分析,多媒体课件逐步演示.
定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图所示,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,且AC＝DB.求证▱ABCD是矩形.
〔解析〕 依据矩形的定义,只要证出有一个角是直角即可.由平行四边形的性质可知AB∥DC,AB＝
CD,条件有AC＝DB,再加上公共边BC＝CB,可得ΔABC≌ΔDCB.从而∠ABC＝∠DCB.再依据两直线平行,同旁
内角互补,可得∠ABC＝∠DCB＝90°.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB＝DC,AB∥DC.
又∵BC＝CB,AC＝DB,
∴ΔABC≌ΔDCB.
∴∠ABC＝∠DCB.
∵AB∥DC,∴∠ABC＋∠DCB＝180°.
1
∴∠ABC＝∠DCB＝ ×180°＝90°.
2
∴▱ABCD是矩形(矩形的定义).
【学生活动】 在上述过程中,明确文字命题的证明方法和步骤及规范的书写格式.确定此结论是正确
的,并可以作为判定定理来使用.
三、矩形的判定(三)
【教师活动】 通过谈话,引导探索其他判定方法,判定方法2实际上是矩形的对角线性质定理的逆定
理,那么矩形的其他性质的逆命题,能否作为矩形的判定方法呢?引导从矩形性质的逆命题中探索.得出结论
之后,引导证明结论.设置问题:
想一想:矩形的四个角是直角,反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?
【学生活动】 积极探索,多生互相补充、完善得出结论:“有三个角是直角的四边形是矩形”.
【教师活动】 给出完整的证明过程,给学生以示范引领.
[设计意图] 这三种判定方法学生呈现的顺序可能不同,根据具体情况及时调整,让学生确信这三种方
法切实可行、正确无疑.当学生知道判定方法后,自然引入实际应用,即教材中的议一议,又与导入的问题相
对称,起到前呼后应的作用.
[知识拓展] 判定矩形的方法有两个思路,可以由四边形直接判定是矩形,方法有:有三个角是直角的四
边形是矩形.也可以先判断是平行四边形,再由平行四边形判定是矩形,方法有:(1)有一个角是直角的平行四
边形是矩形;(2)对角线相等的平行四边形是矩形.
(教材例2)如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ΔABO是等边三角形,AB＝4,求▱ABCD
的面积.
【教师活动】 引导分析解题方法,鼓励学生利用多种方法解决问题.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA＝OC,OB＝OD.
又∵ΔABO是等边三角形,
∴OA＝OB＝AB＝4,∠BAC＝60°.
∴OA＝OB＝OC＝OD＝4,
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角).
在RtΔABC中,由勾股定理,得AB2＋BC2＝AC2,∴BC＝❑√AC2-AB2＝❑√82-42＝4❑√3.
∴S ＝AB·BC＝4×4❑√3＝16❑√3.
▱ABCD
【学生活动】 积极探索多种解题方法,尝试用不同的方法解决问题,小组合作交流探索的成果,体验成
功的喜悦.
[设计意图] 一方面想通过例题的示范引领,规范书写的具体格式;另一方面通过一题多法,开拓学生的
思维,提高学生的解题能力,小组合作交流既有利于培养学生的语言表达能力,又有利于多种解题方法的形成
与选择,还可以增强学生集体荣誉感及相互配合、相互协作的能力.1.矩形的判定方法
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)对角线相等的平行四边形是矩形.
(3)有三个角是直角的四边形是矩形.
2.判定一个四边形是矩形的方法与思路是:
1.下列说法正确的是 ( )
(1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边
形是矩形;(4)有三个角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边形是矩形;(6)对角线相等且有一个角
是直角的四边形是矩形;(7)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.
A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5)
C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(7)
答案:B
2.如图所示,工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行:
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗框,如图①所示,即AB＝CD,EF＝GH;
(2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是 ,根据的数学道理是 .
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角,如图③所示,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时,
如图④所示,说明窗框合格.这时窗框是 ,根据的数学道理是 .
答案:平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 矩形 有一个角是直角的平行四边形
是矩形
3.如图所示,在▱ABCD中,AB＝6,BC＝8,AC＝10,求证四边形ABCD是矩形.
证明:∵在ΔABC中,AB＝6,BC＝8,AC＝10,
∴AC2＝AB2＋BC2,∴∠ABC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形.第2课时
1.矩形的判定(一)
2.矩形的判定(二)
3.矩形的判定(三)
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第16页习题1.5的1,2题.
【选做题】
教材第16页习题1.5的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是 ( )
⊥
A.AB＝BCB.AC BD
C.∠ABC＝90° D.∠1＝∠2
2.如图所示,在RtΔABC中,∠C＝90°,AC＝3,BC＝4,P在AB边上(不与A,B重合的一动点),过点P分别作
⊥ ⊥
PE AC于点E,PF BC于点F,则线段EF的最小值是 .
3.如图所示,在ΔABC中,∠C＝90°,BC>AC,点D,E,F分别是ΔABC三边的中点,求证四边形DCEF是矩形.
【能力提升】4.如图所示,在ΔABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交ΔACB
的外角平分线于点F.
1
(1)求证OC＝ EF;
2
(2)当点O位于AC边的什么位置时,四边形AECF是矩形?并给出证明.
【拓展探究】
5.如图所示,在RtΔABC中,∠ABC＝90°.将RtΔABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到ΔDEC,点E在AC上,
再将未旋转前的RtΔABC沿着AB边所在直线翻转180°得到ΔABF.连接AD.
(1)求证四边形AFCD是菱形;
(2)连接BE并延长交AD于点G,连接CG,则四边形ABCG是什么特殊的平行四边形,为什么?
【答案与解析】
1.C(解析:A.是邻边相等,可判定平行四边形ABCD是菱形;B.是对角线互相垂直,可判定平行四边形ABCD是
菱形;C.有一个角等于90°,可判定平行四边形ABCD是矩形;D.是对角线平分对角,可判定平行四边形ABCD
是菱形.故选C.)
2.2.4(解析:连接CP,利用勾股定理求出AB＝5,判断出四边形CFPE是矩形,根据矩形的对角线相等可得EF
⊥
＝CP,再根据垂线段最短可得当CP AB时,线段CP的值最小,然后根据三角形的面积公式列出方程求出
12
CP＝ ＝2.4,即EF的最小值是2.4.故填2.4.)
5
3.证明:∵D,E,F分别是ΔABC三边的中点,
∴DF∥AC,EF∥BC.
∵∠C＝90°,∴∠CEF＝90°,∠CDF＝90°,
∴四边形DCEF是矩形.
4.(1)证明:∵CE平分∠ACB,∴∠BCE＝∠OCE.
∵MN∥BC,∴∠BCE＝∠OEC,∴∠OEC＝∠OCE,∴OE＝OC.同理,OC＝OF.
1
∴OC＝OE＝OF,∴OC＝ EF.
2(2)解:当点O位于AC边的中点时,四边形AECF是矩形.证明如下:由(1)知OE＝OF.
∵O为AC边的中点,∴OA＝OC ,
∴四边形AECF是平行四边形.
1 1
∵∠ECO＝ ∠ACB,∠OCF＝ ∠ACD,
2 2
1
∴∠ECF＝∠ECO＋∠OCF＝ (∠ACB＋∠ACD)＝90°,
2
∴四边形AECF是矩形.
5.证明:(1)∵RtΔDEC是由RtΔABC绕C点旋转60°得到的,
∴AC＝DC,∠ACB＝∠ACD＝60°,
∴ΔACD是等边三角形,∴AD＝DC＝AC.
又∵RtΔABF是由RtΔABC沿AB边所在直线翻转180°得到的,
∴AC＝AF,∠ABF＝∠ABC＝90°,∴∠FBC是平角,∴点F,B,C三点共线,
∴ΔAFC是等边三角形,∴AF＝FC＝AC,
∴AD＝DC＝FC＝AF,∴四边形AFCD是菱形.
(2)四边形ABCG是矩形.理由如下:
⊥
由(1)可知ΔACD是等边三角形,DE AC于E,∴AE＝EC.
∵AG∥BC,∴∠EAG＝∠ECB,∠AGE＝∠EBC,∴ΔAEG≌ΔCEB,∴AG＝BC,
∴四边形ABCG是平行四边形.∵∠ABC＝90°,
∴四边形ABCG是矩形.
课堂是学生展示自己的一个舞台,在课堂教学中,给予学生充分的时间和空间展示自己,不仅有利于提高
学生的积极性,更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法,同时还能让教师发现学生存在的问题,
这对于课堂教学是非常有利的.
几何教学有时对学生想象能力要求比较高,有些学生在这方面很有优势,而有一些学生可能要差一点,课
堂教学不能过急.
几何教学中要合理地把握学生的课堂兴奋点,合理安排时间,让学生在注意力最集中时完成重要的知识
内容,掌握本课时重要的学习方法.还要注意不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问,应该争
取关注每一个学生.
随堂练习(教材第16页)
证明:在▱ABCD中,AB＝CD,∵M是AD的中点,即AM＝DM,又∵MB＝MC,∴ΔBAM≌ΔCDM,∴∠A＝∠D,在
▱ABCD中,AB∥CD,∴∠A＋∠D＝180°,∴∠A＝∠D＝90°.∴四边形ABCD是矩形.
习题1.5(教材第16页)
1.解:(1)四边形ABEC是平行四边形. (2)当∠BAC＝90°时,四边形ABEC是矩形.
2.解:四边形ACBD是矩形.证明如下:∵BD平分∠ABN,∴∠ABD＝∠NBD,∵CD∥MN,
∴∠CDB＝∠NBD,∴∠ABD＝∠CDB,∴OB＝OD.同理可证OC＝OB,∴OC＝OD,又∵AO＝BO,∴四边形ACBD是
平行四边形.由题意知∠ABC＋∠ABD＝90°,∴四边形ACBD是矩形.
3.解:如图所示,连接对角线AC,BD,分别过点B,D作AC的平行线,分别过点A,C作BD的平行线,相邻两条平
行线的交点分别为E,F,G,H,四边形EFGH即为所求作的矩形.如图所示,在ΔABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延
长线于点F,且AF＝DC,连接CF.
(1)求证D是BC的中点;
(2)如果AB＝AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
〔解析〕 (1)可证ΔAFE≌ΔDBE,得出AF＝BD,进而根据AF＝DC,得出D是BC中点的结论;(2)若AB＝
⊥
AC,则ΔABC是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的性质知AD BC.由AF与DC平行且相等,知四边
形ADCF是平行四边形,从而证得四边形ADCF是矩形.
证明:(1)∵E是AD的中点,∴AE＝DE.
∵AF∥BC,
∴∠FAE＝∠BDE,∠AFE＝∠DBE.
∴ΔAFE≌ΔDBE.∴AF＝BD.
∵AF＝DC,∴BD＝DC,即D是BC的中点.
解:(2)四边形ADCF是矩形.
证明如下:∵AF＝DC,AF∥DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
⊥
∵AB＝AC,BD＝DC,∴AD BC.
∴∠ADC＝90°.
∴平行四边形ADCF是矩形.
第 课时1.矩形的性质与判定方法的应用.
2.在复习的过程中,提升推理论证能力,通过复习,提高学生运用知识的能力.
通过对前2个课时知识的复习,感悟在证明过程中所运用的归纳、转化等数学方法.
通过观察、讨论、交流、归纳等数学活动加深对本课时知识的理解,发展学生的数学思维,增强学生学
好数学的愿望与信心.
【重点】 矩形的有关性质与判定方法.
【难点】 如何运用矩形的性质与判定来解决问题.
【教师准备】 预想学生证明过程中容易出错的地方.
【学生准备】 矩形的性质与判定的整理.
导入一:
回答下列问题.
问题1 矩形有哪些性质?
问题2 如何判定一个平行四边形是矩形?
问题3 如何判定一个四边形是矩形?
[处理方式] 3个问题由学生口答完成,在学生口答时先让学生叙述出文字语言,再让学生结合图形说
出如何用数学符号来表达矩形的性质及判定,教师适时点评、矫正.
[设计意图] 通过对矩形的性质及判定的复习,使学生进一步加深对矩形的性质及判定的理解,为新课
的学习做好铺垫.
导入二:
[过渡语] 马虎同学的作业中有这样一道题目:
如图所示,四边形ABCD中,
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝BC＝CD＝DA,OA＝OB＝OC＝OD.
(2)∵AB＝CD,AC＝BD,OA＝OC,OB＝OD,∴四边形ABCD是矩形.
同学们帮助他看一下有没有错误,如果有,你能改正过来吗?[处理方式] 教师适时提出问题,着重针对矩形的性质与判定展开,问题由学生口答完成,在学生口答时
先让学生叙述出文字语言,再让学生结合图形说出如何用数学符号来表达矩形的性质及判定,教师适时点评、
矫正.
[设计意图] 通过改错的形式对矩形的性质及判定进行复习,激发学生的兴趣,同时进一步加深对矩形
的性质及判定的理解,为新课的学习打好基础.
[过渡语] 你能利用矩形的性质解决下面的问题吗?
一、矩形性质的应用
⊥
(教材例3)如图所示,在矩形ABCD中,AD＝6,对角线AC与BD相交于点O,AE BD,垂足为E,ED＝
3BE.求AE的长.
〔解析〕 先根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB＝OD,然后得出OE＝BE,进而判断出ΔABO
1
是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出∠ABO＝60°,进而得出∠ADB＝30°,最后根据AE＝ AD计算即
2
可得解.
[处理方式] 先给学生10秒钟时间分析例3中的图形特点及已知条件,再分别口述解题思路,教师板书.
在学生口述的过程中,教师可进行有针对性的提问,让学生明确每一步的依据.
解:∵四边形ABCD是矩形,
1
∴AO＝BO＝DO＝ BD(矩形的对角线相等且互相平分),∠BAD＝90°(矩形的四个角都是直角).
2
∵ED＝3BE,∴BE＝OE.
⊥
又∵AE BD,∴AB＝AO.
∴AB＝AO＝BO,即ΔABO是等边三角形.
∴∠ABO＝60°.
∴∠ADB＝90°-∠ABO＝90°-60°＝30°.
1 1
在RtΔAED中,∵∠ADE＝30°,∴AE＝ AD＝ ×6＝3.
2 2
【解题策略】 本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,主要利用了矩形的对角线相等且互
相平分的性质,熟记性质是解题的关键.
⊥
【变式训练1】 如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE BD,垂足为点
E,若ED＝3EO,AE＝2❑√3,求BD的长.[处理方式] 让一名学生主动到黑板板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨.学生完成后及
时点评,借助投影图片展示学生出现的问题并进行矫正.可展示学生解法的多样性,拓展学生的思路.
[过渡语] 你能判定一个四边形是矩形吗?
二、矩形判定的应用
(教材例4)已知:如图所示,在ΔABC中,AB＝AC,AD是ΔABC的一条角平分线,AN为ΔABC的外角∠CAM
⊥
的平分线,CE AN,垂足为E.求证:四边形ADCE是矩形.
〔解析〕 要想说明一个四边形是矩形,可以选择说明这个四边形的三个角是直角或先说明它是一个
平行四边形,再说明对角线相等.
[处理方式] 学生思考并分析题意,通过交流讨论,得出证明的方向.由一名学生板演,其余学生在练习本
上完成,然后借助投影图片展示并矫正问题、规范解题.
证明:∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM,
1 1
∴∠CAD＝ ∠BAC,∠CAN＝ ∠CAM.
2 2
1 1
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM)＝ ×180°＝90°.
2 2
⊥
在ΔABC中,∵AB＝AC,AD为∠BAC的平分线,∴AD BC.∴∠ADC＝90°.
⊥
∵CE AN,∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
【变式训练2】 在例4中,连接DE,交AC于点F,如图所示.(1)试判断四边形ABDE的形状,并证明你的结论;
(2)线段DF与AB有怎样的关系?证明你的结论.
[处理方式] 先让学生理解题意,明确证明的方向,再进行证明.一名学生板演,其余学生在练习本上完成.
完成后,借助投影图片展示学生的证明过程,让学生进行评价.对于出现的问题要及时强调.
[设计意图] 活动的设计意在进一步让学生理解如何运用矩形的判定定理来证明一个四边形是矩形.
培养学生的应用意识,强化步骤书写的规范性.
1.矩形的性质
(1)矩形的四个角都是直角.
(2)矩形的对边相等.
(3)矩形的对角线平分且相等.
2.矩形的判定方法
(1)一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)三个角是直角的四边形是矩形.
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
1.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,∠ACB＝30°,BD＝4,则此矩形的面积是( )
A.2❑√3 B.4❑√3 C.8❑√3 D.8
答案:B
2.如图所示,矩形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F处,若∠BAF＝50°,则∠DAE等于 ( )
A.10°B.20°C.30°D.40°
答案:B3.一个平行四边形,如果对角线 ,则此平行四边形就变成矩形;如果对角线 ,则此平行四
边形就变成菱形.
答案:相等 互相垂直
4.已知一个长为a cm的矩形的面积等于腰长为a cm的等腰直角三角形的面积,则此矩形的周长等于
cm.
答案:3a
5.如图所示,四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成的.M,N分别是BC和AD的中
点.求证四边形BMDN是矩形.
提示:利用等边三角形的三线合一可以证明.
6.如图所示,将矩形纸片折叠,使A点落在对角线BD上,折痕是DG,若AB＝2,BC＝1,求AG的长.
❑√5-1
答案:AG＝
2
第3课时
1.矩形性质的应用
例3
2.矩形判定的应用
例4
一、教材作业
【必做题】
教材第18页习题1.6的2,3题.
【选做题】
教材第18页习题1.6的5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,把一长方形纸片沿MN折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置.若∠AMD'＝36°,则∠NFD'等于 (
)
A.144° B.126° C.108° D.72°⊥
2.如图所示,在ΔABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE DF,交DF的延长线于点E,已知∠A
＝30°,BC＝2,AF＝BF,则四边形BCDE的面积是 ( )
A.2❑√3 B.3❑√3 C.4 D.4❑√3
3.如图所示,E,F是矩形ABCD对角线AC上的两点,试添加一个条件: ,使得ΔADF≌ΔCBE.
【能力提升】
4.(2014·玉林中考)下列命题是假命题的是 ( )
A.四个角相等的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.对角线垂直的四边形是菱形
D.对角线垂直的平行四边形是菱形
5.如图所示,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于点E,AD＝8,AB＝4,则DE的长为
.
6.(2014·娄底中考)如图所示,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是 (添加一个条件即
可).
【拓展探究】
7.在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接AF,CE.(1)求证ΔBEC≌ΔDFA;
(2)连接AC,当CA＝CB时,判断四边形AECF是什么特殊的四边形?并证明你的结论.
【答案与解析】
1.B(解析:∵∠AMD'＝36°,∴∠NMD＝∠NMD'＝72°.∵AD∥BC,∴∠BNM＝∠NMD＝72°.又∵∠D'＝∠D＝
90°,∴∠NFD'＝360°-72°×2-90°＝126°.故选B.)
2.A (解析:∵DE是AC的垂直的平分线,F是AB的中点,∴DF∥BC,∴∠C＝90°,又∵∠E＝∠CDE＝90°,∴四边形
BCDE是矩形.∵∠A＝30°,∠C＝90°,BC＝2,∴AB＝4,∴AC＝❑√42-22＝2❑√3.∴CD＝❑√3.∴四边形BCDE的面
积为2×❑√3＝2❑√3.故选A.)
3.∠FDA＝∠CBE(解析:答案不唯一,如∠FDA＝∠CBE.理由:∵四边形ABCD是矩形,∴AD＝
BC,AD∥BC,∴∠DAF＝∠ECB,在ΔADF和ΔCBE中,∠DAF＝∠ECB,AD＝BC,∠FDA＝∠CBE,∴ΔADF≌ΔCBE.)
4.C(解析:四个角相等的四边形是矩形,所以A选项为真命题;对角线相等的平行四边形是矩形,所以B选项
为真命题;对角线垂直的平行四边形是菱形,所以C选项为假命题,D选项为真命题.故选C.)
5.5(解析:设DE＝x,则AE＝8-x.根据折叠的性质,得∠EBD＝∠CBD.∵AD∥BC,∴∠CBD＝∠ADB.∴∠EBD＝
∠EDB.∴BE＝DE＝x.在直角三角形ABE中,根据勾股定理,得x2＝(8-x)2＋42,解得x＝5,即DE＝5.)
6.AC＝BD (解析:答案不唯一,根据矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形,有一个角是直角的平
行四边形是矩形,可添加AC＝BD,也可添加▱ABCD中的一个内角为90°.)
7.解析:(1)根据平行四边形的性质推出BC＝AD,∠B＝∠D,AB＝CD,得出BE＝DF,根据SAS即可推出答案;(2)
由AE∥CF,AE＝CF得到四边形AECF是平行四边形,根据等腰三角形的性质得出∠AEC＝90°,根据矩形的判
定即可推出答案.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD,∠B＝∠D,AB＝CD.∵E,F分别是AB,CD的
中点,∴BE＝DF＝AE＝CF,在ΔBEC和ΔDFA中,BE＝DF,∠B＝∠D,BC＝AD,∴ΔBEC≌ΔDFA. (2)解:四边形
AECF是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∵AE＝CF,∴四边形AECF是平行四边形,∵AC＝
⊥
BC,E是AB的中点,∴CE AB,∴∠AEC＝90°,∴平行四边形AECF是矩形.
对于本课时的知识,不能机械地照搬教材内容,应该视各班学生情况而定,对教材内容进行再加工,灵活
运用,使教材内容得到升华.也不应加大习题量,题目在精不在多,扎实的讲解和学习比大量练习要更有效果.
把关注学生能力的培养提到首位,达到本课时所要完成的真正目标.
在同一题目中,通过一题多问或者一题多解等形式,既可以使优生有所突破,又可以使学困生受到关注,
获得解题的成就感,这就对我们的备课和选题提出了更高的要求.
本课时是综合应用的一节课,应给予学生充分的时间和空间展示自己,不仅有利于提高学生的积极性,更
有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法,同时还能让教师发现学生存在的问题,这对于课堂教学
是非常有利的.随堂练习(教材第18页)
证明:∵ΔABD和ΔBCD是两个全等的正三角形,∴AD＝BD＝AB＝BC,∠ADB＝∠DBC＝60°,∴MB∥DN.又∵N
1 1
⊥
为AD中点,∴ND＝ AD,NB AD,∴∠DNB＝90°.同理BM＝ BC,∴ND＝BM,∴四边形BMDN是平行四边形,
2 2
又∵∠DNB＝90°,∴平行四边形BMDN是矩形.
习题1.6(教材第18页)
1.解:在矩形ABCD中,∠ABC＝90°,AC＝BD＝4,在RtΔABC中,∠ACB＝30°,AC＝4,∴AB＝2,∴BC＝❑√42-22
＝2❑√3.∴S ＝2×2❑√3＝4❑√3.
矩形ABCD
⊥
2.解:在矩形ABCD中,∠BAD＝90°.∵∠EAD＝3∠BAE,∴4∠BAE＝90°,∴∠BAE＝22.5°,∵AE BD,即∠AEB＝
90°,∴∠ABE＝90°-22.5°＝67.5°,∵四边形ABCD是矩形,∴OB＝OA,∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°,∴∠EAO＝∠BAO-
∠BAE＝67.5°-22.5°＝45°.
3.证明:∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BC,AB＝DE,AE＝BD.∵D为BC的中点,∴CD＝BD.∴CD＝AE.又
⊥
∵CD∥AE,∴四边形ADCE是平行四边形.∵AB＝AC,D为BC的中点,∴AD BC,即∠ADC＝90°,∴平行四边形
ADCE是矩形.
4.解:如图所示,EF为折痕,连接AC,EF与AC相交于点H,∵将矩形沿EF折叠,A,C重合,∴AH＝HC,AE＝
⊥
EC,∴EF AC.在矩形ABCD中,∠B＝90°,AD∥BC,∴∠CAD＝∠BCA,在ΔAHF和ΔCHE中,∠CAD＝∠BCA,AH
＝HC,∠AHF＝∠CHE＝90°,∴ΔAHF≌ΔCHE,∴HF＝EH.在RtΔABC中,AB＝6 cm,BC＝8 cm,∴AC＝
❑√AB2＋BC2 ＝10 cm,∴AH＝5 cm,在RtΔAEH中,EH2＋AH2＝AE2,即EH2＋52＝AE2,① 在RtΔABE中,
25 25
BE＝BC-EC＝BC-AE＝8-AE,∴BE2＋AB2＝AE2,即(8-AE)2＋62＝AE2,∴AE＝ cm,将AE＝ cm代入①中,
4 4
15 15
得EH＝ cm,∴EF＝ cm.
4 2
5.解:如图所示,连接PO.S ＝AB·BC＝3×4＝12.在RtΔABC中,AC＝❑√AB2＋BC2＝❑√32＋42＝
矩形ABCD
1 1 5 1 1
5.由题意得AC＝BD,AO＝ AC,DO＝ BD,所以AO＝DO＝ .所以S ＝S ＋S ＝ AO·PE＋
2 2 2 ΔAOD ΔAPO ΔPOD 2 21 1 5 5 1 1 5
DO·PF＝ AO·(PE＋PF)＝ × (PE＋PF)＝ (PE＋PF).又因为S ＝ S ＝ ×12＝3,所以 (PE
2 2 2 4 ΔAOD 4 矩形ABCD 4 4
12
＋PF)＝3,解得PE＋PF＝ .
5
因为从认知角度上,本课时的知识对学生来说缺乏挑战性,大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质
和判定方法,所以在教学时,我们应该把目标上升一个层次,从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生
如何找到解题思路,从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否能合理使用严密的数学语言严格证明,
从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程.能力的培养不仅是本课时教学过程中
的近期目标,更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标,也必然能带动学生情感态度目标的达成.
同时,在教学中,还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学方案,做到让每一个学生都能在课堂上有所收
获.
(2013·南通中考)如图所示,AB＝AC,AD＝AE,DE＝BC,且∠BAD＝∠CAE.求证四边形BCDE是矩
形.
证明:∵∠BAD＝∠CAE,
∴∠BAD-∠BAC＝∠CAE-∠BAC,
∴∠BAE＝∠CAD,{
AE＝AD,
在ΔBAE和ΔCAD中, ∠BAE＝∠CAD,
AB＝AC,
∴ΔBAE≌ΔCAD(SAS),
∴∠BEA＝∠CDA,BE＝CD,
又∵DE＝BC,∴四边形BCDE是平行四边形.
∵AE＝AD,∴∠AED＝∠ADE,
又∵∠BEA＝∠CDA,
∴∠BED＝∠CDE,
∵四边形BCDE是平行四边形,
∴BE∥CD,
∴∠CDE＋∠BED＝180°,
∴∠BED＝∠CDE＝90°,
∴四边形BCDE是矩形.
3 正方形的性质与判定
1.掌握正方形的定义、性质及判定方法.
2.会运用特殊四边形的判定条件对正方形进行有关论证.
3.能利用正方形的性质和判定解决实际问题.
1.经历探究正方形判定条件的过程,发展学生初步的综合推理能力和探究的习惯,逐步掌握说理的基本
方法.
2.利用特殊平行四边形的性质及判定解决实际问题.
1.进一步加深对“特殊与一般”的认识,领悟类比的思想方法.
2.通过对正方形有关知识的学习,感受正方形的完美特征.
3.理解特殊四边形之间的内在联系,培养学生辩证看问题的观点.
【重点】 正方形的性质与判定定理.
【难点】 灵活运用正方形的性质与判定解决问题.
第 课时知道正方形在现实生活中的广泛应用,熟悉正方形的有关性质并灵活应用.
经历探索正方形的性质的过程,在观察、操作和分析的过程中,进一步增强主动探究的意识,体会说理的
基本方法.
体验数学活动来源于生活又服务于生活,体现正方形的图形美,提高学生的学习兴趣.
【重点】 正方形的定义和性质.
【难点】 正方形的性质的灵活应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习平行四边形、矩形、菱形的性质.
导入一:
(多媒体课件展示图片):回答下列问题.
问题1 上述图片中的四边形都是特殊的平行四边形,除菱形、矩形外,还有一种特殊的平行四边形,观
察这些特殊的平行四边形,你能发现它们有什么样的共同特征?与同伴交流.
问题2 观察特征,填写下表:
图形名称角
数量关系
边 位置关系
线
数量关系
对角线
位置关系
对称性
问题3 议一议:这种特殊的平行四边形与我们学过的菱形、矩形以及平行四边形之间有什么联系与
区别?如何给它下个定义?
[处理方式] 问题1,2由学生口答完成.对于问题3,先让学生思考、探讨、猜想、归纳,然后给出正方形
的概念,最后用多媒体课件给出与平行四边形、菱形、矩形之间的关系,并给出正方形的定义.
正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
[设计意图] 利用学生感兴趣的多媒体课件展示图片,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生
的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让学生进一步体会平行四边形、菱形、矩形、
正方形之间的联系与区别,这也为新课的学习做好铺垫.
导入二:
活动内容:动手做风车.
(学生在动手中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系)
问题1 做风车需要准备一张什么样的纸啊?
问题2 你们是如何把一张矩形的纸片折叠出正方形的?
问题3 结合菱形和矩形的定义想一想,什么样的四边形是正方形?
[处理方式] 问题1,2由学生口答完成.对于问题3,先让学生回答菱形与矩形的定义,然后结合折纸的过
程尝试总结正方形的定义.
正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
其定义包含了两层意思:(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形);(2)有一个角是直角的平行四边形(矩
形).
所以说正方形既是菱形又是矩形.
[设计意图] 从学生的实际生活出发,创设情境,提出问题,激发学生强烈的好奇心和求知欲.学生经历了
将实际问题抽象为数学问题的建模过程.
一、正方形的性质
思路一
活动内容1:(多媒体课件展示)议一议,想一想:
(1)正方形是矩形吗?是菱形吗?
(2)你认为正方形有哪些性质?与同伴交流.
1.正方形既是矩形,又是菱形,它具有矩形与菱形的所有性质.
2.定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
定理:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
[处理方式] 学生讨论交流,互相补充.教师适时点评、板书.
[设计意图] 本活动意在引导学生通过自主探究、合作交流,对正方形从感性认识上升到理性认识.先
从观察正方形入手,感悟正方形的特征,让学生再次感受正方形与平行四边形、菱形、矩形的联系与区别.活动内容2:你能自己画图,用符号语言写出已知、求证,并证明这两个定理吗?
[处理方式] 在老师的指导下,让学生通过自己画图,写已知、求证,并证明.教师巡视、点拨,并把典型
问题用投影图片展出,供学生鉴赏与纠正,以便从中吸取教训.必要时候用多媒体课件展示自己的证明过程.
注意及时表扬激励.
[设计意图] 通过探索、证明定理,让学生体会探索与证明中所蕴涵的抽象、推理的数学思想,进一步
发展合情推理的能力.
活动内容3:想一想,画一画,正方形有几条对称轴?与同伴交流.
[处理方式] 先让学生探讨交流,学生动手画正方形的对称轴,然后老师用多媒体课件展示下图:
[设计意图] 让学生自己动手画图、思考、交流,教师用多媒体课件演示,让学生感悟正方形的对称性.
培养学生勇于探索、团结协作交流的精神.激发学生学习的积极性与主动性.
思路二
活动内容1:问题:
(1)正方形是菱形吗?是矩形吗?
(2)你认为正方形有哪些性质?
由正方形的定义,可知正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.所以它应该具
备菱形和矩形的所有性质.
总结:
正方形的性质1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
正方形的性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
[处理方式] 学生讨论交流,学生之间互相补充.教师适时点评,强调正方形既是菱形又是矩形,性质的归
纳从边、角、对角线三个方面来叙述.
[设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,对正方形从感性认识上升到理性
认识.
活动内容2:正方形性质的证明.
[处理方式] 学生根据文字命题画图,写出已知、求证,再结合活动1的结果,独立完成证明的书写,指名
学生板演.
[设计意图] 本活动的设计意在培养学生的推理及书写能力.活动内容3:正方形的对称性.
问题:正方形有几条对称轴?
[处理方式] 学生通过折纸或者画图去发现正方形的对称轴,并能用准确的语言去叙述.如果学生在活
动1中提出了正方形的对称性,可以在活动1中讨论完成.
二、正方形性质的应用
活动内容:我们学习完正方形的性质后,你能顺利地利用正方形的性质解题吗?请同学们看例题.
(教材例1)如图所示,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE＝CF.BE与DF
之间有怎样的关系?请说明理由.
[处理方式] 本题利用正方形的性质来判断两条线段的关系,这种关系包括数量关系和位置关系.可以
⊥
先鼓励学生用自己的思路进行猜想.比如可以从旋转的角度来看,从而猜想BE＝DF,且BE DF,在猜想的
基础上再展开证明.
⊥
解:BE＝DF,且BE DF.理由如下:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC＝DC,∠BCE＝90°(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
∴∠DCF＝180°-∠BCE＝180°-90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF,
∴ΔBCE≌ΔDCF.
∴BE＝DF.
(2)延长BE交DF于点M(如图所示).
∵ΔBCE≌ΔDCF,
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°,
∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
⊥
∴BE DF.
三、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系
议一议:平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系?你能用一个图直观地表示出它们之间的关系吗?
与同伴交流.
(学生画图)
(多媒体课件展示)
[设计意图] (1)使学生熟练运用通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质,解决具体问题.实际上
就是充分锻炼学生的理论依据(本课时是关于正方形的性质)图形化的能力,也锻炼了学生文本信息图形化
的能力.充分锻炼学生的空间观念.
(2)使学生养成阶段性回顾总结的习惯,使其逐渐养成良好的学习品质.同时又是对知识结构的再建过程,
是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段.
[知识拓展] 由正方形的性质可以得出:正方形的两条对角线把正方形分成了4个全等的等腰直角三
角形.已知正方形的边长可以利用勾股定理求出其对角线的长度.
1.正方形的性质
正方形的性质1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
正方形的性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
2.特殊平行四边形的包含关系
1.正方形的四条边 ,四个角 ,两条对角线 .
答案:相等 都是直角 相等且互相垂直平分
2.如图所示,四边形ABCD为正方形,E,F分别为CD,CB延长线上的点,且DE＝BF.求证∠AFE＝∠AEF.
提示:可证ΔECF是等腰三角形,ΔABF≌ΔADE,利用等腰三角形和全等三角形的性质证明.3.如图所示,E为正方形ABCD内一点,且ΔEBC是等边三角形,求∠EAD与∠ECD的度数.
答案:∠EAD＝15°,∠ECD＝30°.
第1课时
1.正方形的性质
正方形的有关性质:
2.正方形性质的应用
例1
3.平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系
一、教材作业
【必做题】
教材第22页习题1.7的1,2题.
【选做题】
教材第22页习题1.7的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线平分一组对角
2.如图所示,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE＝DF,AE,BF相交于点O,下列结论:①AE＝
⊥
BF;②AE BF;③AO＝OE;④S
ΔAOB
＝S
四边形DEOF
.其中错误的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【能力提升】
3.如图所示,在正方形ABCD中.E为对角线AC上一点,连接EB,ED.
(1)求证ΔBEC≌ΔDEC.
(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB＝140°.求∠AFE的度数.
⊥
4.如图所示,四边形ABCD是正方形,G是BC上任意一点(点G与B,C不重合),AE DG于E,CF∥AE交DG
于F.
(1)在图中找出一对全等三角形,并加以证明;
(2)求证AE＝FC＋EF.
【拓展探究】
⊥ ⊥
5.在正方形ABCD中,点P是CD边上一动点,连接PA,分别过点B,D作BE PA,DF PA,垂足分别为E,F,
如图①所示.
(1)请探究BE,DF,EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系?若点P在DC的延长线上,如图②所示,则这三
条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点P在CD的延长线上呢?如图③所示,请分别直接写出结论;
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明.【答案与解析】
1.C(解析:A.对角线互相垂直是菱形的性质,而正方形是菱形,故正方形和菱形都具有此性质;B.对角线互相平
分是平行四边形的性质,正方形和菱形都是平行四边形,均具有此性质;C.菱形中,只有正方形的对角线相等;
D.对角线平分一组对角是菱形的性质,而正方形是菱形,故正方形和菱形都具有此性质.故选C.)
2.A(解析:∵四边形ABCD是正方形,∴CD＝AD.又∵CE＝DF,∴DE＝AF,又∵AB＝AD,∠BAD＝∠ADE＝
90°,∴ΔADE≌ΔBAF.∴①AE＝BF,S
ΔADE
＝S
ΔBAF
,∠DEA＝∠AFB,∠EAD＝∠FBA.∴④S
ΔAOB
＝S
四边形DEOF
.∵∠ABF＋
⊥
∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°,∴∠AFB＋∠EAF＝90°,∴②AE BF.错误的结论是③AO＝OE.故选A.)
3.(1)解:∵四边形ABCD是正方形,∴CD＝CB,∠DCA＝∠BCA,又∵CE＝CE,∴ΔBEC≌ΔDEC. (2)证明:∵∠DEB
＝140°,ΔBEC≌ΔDEC,∴∠DEC＝∠BEC＝70°,∴∠AEF＝∠BEC＝70°,在正方形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DAC＝
∠BAC,∴∠DAC＝45°,∴∠AFE＝180°-70°-45°＝65°.
⊥
4.(1)解:ΔAED≌ΔDFC.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝DC,∠ADC＝90°.又∵AE DG,CF∥AE,∴∠AED
＝∠DFC＝90°,∴∠EAD＋∠ADE＝∠FDC＋∠ADE＝90°,∴∠EAD＝∠FDC.∴ΔAED≌ΔDFC(AAS). (2)证明:由
(1)知ΔAED≌ΔDFC,∴AE＝DF,ED＝FC.∵DF＝DE＋EF,∴AE＝FC＋EF.
5.解:(1)在图①中BE,DF,EF这三条线段的长度具有这样的数量关系:BE-DF＝EF;在图②中BE,DF,EF这三
条线段的长度具有这样的数量关系:DF-BE＝EF;在图③中BE,DF,EF这三条线段的长度具有这样的数量关
⊥ ⊥
系:DF＋BE＝EF. (2)对图①中结论证明如下:∵BE PA,DF PA,∴∠BEA＝∠AFD＝90°,∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,∠BAD＝90°,∴∠BAE＋∠DAF＝∠ADF＋∠DAF＝90°,∴∠BAE＝
∠ADF,∴ΔBAE≌ΔADF,∴BE＝AF,AE＝DF,∵AF-AE＝EF,∴BE-DF＝EF.
合理使用教材.教材只是为教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调
整.让学生通过搜集材料亲自去感受数学在实际生活中的应用,体会数学的实际价值.培养学生善于观察生
活、搜集数学信息、对信息进行整理的能力.
留给学生充分的独立思考的时间,给予他们充分交流、自由争论的时间不够.因为只有给予充分的时间,
学生自身的知识结构才能更好地重建,才有可能碰撞出灵感,产生新的问题,毕竟源自于自身思考的问题才是
带领学生更深入思考的利器.
课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组
织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.
随堂练习(教材第21页)
1.解:共有8个等腰三角形,分别是ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔCOB,ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.
2.解:共有3对全等三角形,分别是ΔDCF≌ΔBCF,ΔDAF≌ΔBAF,ΔADC≌ΔABC.选ΔDCF≌ΔBCF,证明如下:∵四
边形ABCD是正方形,∴DC＝BC,∠ACD＝∠ACB＝45°,又∵CF＝CF,∴ΔDCF≌ΔBCF.
习题1.7(教材第22页)
1.解:设正方形的边长为x cm,由题意得x2＋x2＝22,解得x＝❑√2.故正方形的边长为❑√2 cm.
2.解:∵ΔCBE是等边三角形,∴BE＝BC,∠EBC＝60°,在正方形ABCD中,AB＝BC,∠ABC＝90°,∴BE＝AB,∠ABE
＝30°,∴∠AEB＝75°.
3.证明:在正方形ABCD中,AB＝AD＝CD,∠BAP＝∠ADQ＝90°,∵PD＝CQ,∴AP＝DQ,∴ΔBAP≌ΔADQ,∴BP＝
⊥
AQ,∠ABP＝∠DAQ,由题意得∠ABP＋∠APB＝90°,∴∠DAQ＋∠APB＝90°,∴BP AQ.
4.解:三种方案如下:①如图(1)所示,连接AC,BD,交于点O.②如图(2)所示,连接正方形两组对边的中点,得
EF,GH,交于点O.③如图(3)所示,取AE＝BG＝CF＝DH,连接EF,GH,交于点O.学生已经较为系统地学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定,已经具有了四边形的基本认
知与知识结构,这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来.
⊥
如图所示,M为正方形ABCD边AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN DM,且交∠CBE的
平分线于N.
(1)求证MD＝MN;
(2)若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”,其余条件不变,则结论
“MD＝MN”成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
〔解析〕 (1)要证MD＝MN,就要构建ΔDFM≌ΔMBN,只需取AD的中点F,连接FM,依据正方形的性质
即可证明;(2)只需作AF'＝AM,其余证法与(1)相同.
证明:(1)如图所示,取AD的中点F,连接FM.
由题意知∠FDM＋∠DMA＝∠BMN＋∠DMA＝90°,
∴∠FDM＝∠BMN.
又∵BN平分∠CBE,AF＝AM,∠FAM＝∠CBE＝90°,
∴∠DFM＝∠MBN＝90°＋45°＝135°.
1 1
又∵AF＝ AD＝ AB＝AM＝MB＝DF,即DF＝MB,
2 2
∴ΔDFM≌ΔMBN.
∴DM＝MN.
解:(2)结论“DM＝MN”仍成立.证明如下:
如图所示,在AD上截取AF'＝AM,连接F'M.∵DF'＝AD-AF',MB＝AB-AM,AD＝AB,AF'＝AM,
∴DF'＝MB.
∵∠F'DM＋∠DMA＝∠BMN＋∠DMA＝90°,
∴∠F'DM＝∠BMN.
由题意知∠DF'M＝∠MBN＝135°,
∴ΔDF'M≌ΔMBN.
∴DM＝MN.
第 课时
1.经历并了解正方形判定方法的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法.
2.掌握正方形的判定方法,能根据判定方法进行初步应用.
1.在探索判定方法的过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯.
2.在画正方形的过程中,培养学生的动手实践能力,积累数学活动的经验.
1.激发学生学习数学的热情,培养学生勇于探索的精神和独立思考、合作交流的良好习惯,体验数学活
动来源于生活又服务于生活,提高学生的学习兴趣.
2.通过与他人的合作,培养学生的合作意识和团队精神.
【重点】 正方形的判定定理.
【难点】 正方形的判定定理的证明及灵活应用.
【教师准备】 长方形纸片,剪刀,多媒体课件.
【学生准备】 长方形纸片,剪刀,复习平行四边形、矩形、菱形的判定方法.导入一:
活动内容:回答下列问题.
问题1 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形,那么请思考一下,它们之间有什么关系?你能用
一个图直观地表示它们之间的关系吗?与同伴交流.
问题2 如图所示,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形?
问题3 议一议:满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?与同伴交流一下.
[处理方式] 对于问题1,由学生尝试画出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图,目的是让
学生理清它们之间的联系和区别.对于问题2,先让学生折纸,然后用剪刀剪出一个正方形,并引导学生思考怎
样判定一个图形是正方形.这也为新课的学习做好铺垫.
[设计意图] (1)以问题串的形式引入新课,让学生明确本课时所要解决的问题.
(2)让学生回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,矩形和菱形的性质和判定的探索过程及
其得出的结论,目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系,即合情推理与演绎推理的相互依
赖和相互补充的辩证关系.
导入二:
活动内容:回答下列问题.
问题1 我们已经学过平行四边形、菱形、矩形、正方形的概念,你知道它们之间有什么联系吗?请用
一个图来表示.
问题2 请你将一张矩形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形?与同伴交
流后,试一试.
[处理方式] 对于问题1,由学生口答,动手画图完成.学生给出下面两种图示,教师注意引导;对于问题2,
先让学生充分交流后,动手剪一剪,试一试.并试着让学生回答这样做的理由.[设计意图] 利用学生的感官,形象记忆平行四边形、菱形、矩形、正方形的联系与区别.通过动手操
作,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,为新课的学习做好铺垫.
一、正方形的判定
思路一
活动内容1:(多媒体课件展示)请你思考:满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?
思考后与同伴交流.并证明你的结论.
1.对角线相等的菱形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.有一组邻边相等的矩形是正方形.
[处理方式] 学生讨论交流,在导学案上完成后再展示说明,学生之间互相补充.教师适时点评,强调紧扣
课本,正方形既是矩形,又是菱形.
[设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,从感性认识上升到理性认识.在这
一过程中让学生再次感受既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
活动内容2:(多媒体课件展示)仔细观察下面图示的变化:[处理方式] 多媒体展示由菱形或矩形转变为正方形的过程,学生口述判定定理,进一步加深印象.
[设计意图] 通过图示的转化过程,进一步加深对正方形的判定定理的理解和认识.
思路二
活动内容1:请同学们根据“有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”证明以
下命题.(多媒体课件展示)
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)对角线垂直的矩形是正方形.
(4)对角线相等的菱形是正方形.
[处理方式] 学生讨论交流,在导学案上完成后再展示说明,学生之间互相补充.教师适时点评.命题(1)
(2)由正方形的定义可以直接证明,较为简单;命题(3)可利用“对角线垂直的平行四边形”先判断其为菱形,
得一组邻边相等,再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得以证明;命题(4)可利用“对角线相等的平行
四边形”先判断其为矩形,得一个角为直角,再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得以证明.
正方形的判定定理(多媒体课件展示):
定理:有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
定理:对角线垂直的矩形是正方形.
定理:对角线相等的菱形是正方形.
[设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,以正方形的定义为依据,结合平行
四边形、菱形、矩形的判定定理经过推理探究,发现正方形的判定定理.展示定理并让学生识记、掌握.
活动内容2:请同学们观察大屏幕,理解并识记正方形的判定定理.每种判定定理是不是都可以判定四边
形既是矩形又是菱形?(多媒体课件展示)
[处理方式] 学生讨论交流,得出结果.教师适时强调判定正方形的方法较多,不必死记结论,要明确判定
正方形的基本思路:一个四边形既是矩形又是菱形,这个四边形就是正方形.
[设计意图] 由于判定正方形的方法较多,学生应用时容易混淆,因此不必要求学生死记结论,而是要引
导学生明确判定正方形的基本思路:一个四边形既是矩形又是菱形,这个四边形就是正方形,降低难度.
二、正方形判定的应用
(教材例2)已知:如图所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形
BECF是正方形.〔解析〕 思路1:要证四边形BECF是正方形,可以先证明四边形BECF是菱形,然后证明四边形
BECF中有一个角是直角即可;思路2:要证四边形BECF是正方形,也可以先证明四边形BECF是矩形,然后
证明四边形BECF中有一组邻边相等即可.
证法1:∵BF∥CE,CF∥BE,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC＝∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
1 1
∴∠EBC＝ ∠ABC＝45°,∠ECB＝ ∠DCB＝45°,
2 2
∴∠EBC＝∠ECB,
∴EB＝EC,
∴▱BECF是菱形.
在ΔEBC中,∠EBC＝∠ECB＝45°,
∴∠BEC＝90°,
∴菱形BECF是正方形.
证法2:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC＝∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
1 1
∴∠EBC＝ ∠ABC＝45°,∠ECB＝ ∠DCB＝45°,
2 2
∴∠EBC＝∠ECB＝45°.
∵BF∥CE,CF∥BE,
∴∠FBC＝∠FCB＝45°,
∴∠EBF＝∠ECF＝∠BEC＝90°,
∴四边形BECF是矩形.
∵∠EBC＝∠ECB,
∴EB＝EC,
∴矩形BECF是正方形.
三、中点四边形
活动内容:(多媒体课件展示)先猜一猜,画一画,与同伴交流后,再证明.
(1)我们知道,任意画一个四边形,以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.那么,任意画一个正方
形,以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的四边形?
(2)以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以平行四边形的各边中点为顶点呢?
(3)以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系?
[处理方式] 开展小组竞学,学生画图、观察、思考、交流讨论,通过类比和转化归纳出如图所示的几
种情况.各小组派代表展示自己小组的猜想和验证,讲解过程中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使
验证的过程更加严谨.把学习的主动权交给学生,真正体现了学习的自主性,也激发了学生学习数学的兴趣.
教师适时指导,引导学生归纳总结,提高学生的概括能力.对学习能力较弱的学生进行个别指导,对学习能力
较强的学生鼓励他们研究更多个图形.得出结论:
(1)以任意四边形的各边中点为顶点的四边形是平行四边形;
(2)以矩形的各边中点为顶点的四边形是菱形;
(3)以菱形的各边中点为顶点的四边形是矩形;
(4)以正方形的各边中点为顶点的四边形是正方形.
……
学生们展示完自己的结论后,老师利用几何画板进行演示,让学生们观察中点四边形的边和角的变化情
况,体会图形运动变化的过程,验证同学们归纳的结论的正确性,给予学生直观的感受.
[知识拓展] 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系,
归纳如下:
(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;
(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;
(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;
(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形.
1.正方形的判定定理.
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)对角线垂直的矩形是正方形.
(4)对角线相等的菱形是正方形.
2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.
(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;
(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;
(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形.
3.证明四边形是正方形的基本思路如下图:
1.下列说法中正确的有 ( )
①有一个角为直角的菱形是正方形;
②四个角相等的四边形是正方形;
③四条边都相等的四边形是正方形;
④有一组邻边相等的矩形是正方形;
⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形;
⑥对角线相等的菱形是正方形;
⑦对角线互相垂直的矩形是正方形;
⑧对角线互相垂直平分的四边形是正方形.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案:B
2.如图所示,在ΔABC中,AB＝AC,D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,连接DE,DF.
(1)求证DE＝DF.
(2)你能添加一个条件,使四边形EDFA是正方形吗?若能,请证明.
提示:(1)利用三角形的中位线定理可以证明;(2)添加条件∠A＝90°;先证明四边形AEDF是菱形,然后根
据有一个角是直角的菱形是正方形得出即可.
3.如图(1)所示,E,F,G,H分别是正方形ABCD四边的中点,试判断四边形EFGH的形状,并给出证明.如果
改变E,F,G,H的位置,但仍满足AE＝BF＝CG＝DH,如图(2)所示,结果如何呢?提示:四边形EFGH是正方形.如果改变E,F,G,H的位置,但仍满足AE＝BF＝CG＝DH,仍可得四边形
EFGH是正方形.可先证明ΔAEH≌ΔBFE≌ΔCGF≌ΔDHG,然后利用全等三角形的性质可得到结论.
第2课时
1.正方形的判定
2.正方形判定的应用
3.中点四边形
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.
一、教材作业
【必做题】
教材第25页习题1.8的2,3题.
【选做题】
教材第25页习题1.8的4题.
二、课后作业
【基础巩固】
⊥
1.(2014·株洲中考)已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB＝BC,②∠ABC＝90°,③AC＝BD,④AC BD
四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,则有下列四种选法,其中错误的是( )
A.选①② B.选②③ C.选①③ D.选②④
2.如图所示,在ΔABC中,∠ACB＝90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE＝BF,添加一个
条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 ( )A.BC＝AC
⊥
B.CF BF
C.BD＝DF
D.AC＝BF
【能力提升】
3.(2014·资阳中考)如图所示,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE＝3,点Q为对角线AC
上的动点,则ΔBEQ的周长的最小值为 .
4.如图所示,在矩形ABCD中,AF,BE,CE,DF分别是矩形的四个内角的平分线,E,M,F,N是其交点,求证四边形
EMFN是正方形.
【拓展探究】
5.如图所示,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)判断四边形EFGH的形状,并说明你的理由;
(2)连接BD和AC,当BD,AC满足什么条件时,四边形EFGH是正方形?
【答案与解析】1.B(解析:A.由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以
由①②可得四边形ABCD是正方形,正确;C.由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等
的平行四边形是矩形,所以由①③可得四边形ABCD是正方形,正确;D.由②得有一个角是直角的平行四边形
是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以由②④可得四边形ABCD是正方形,正确.故选项
A,C,D不符合题意.B.由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,
所以由②③不能得出四边形ABCD是正方形,错误,故本选项符合题意.故选B.)
2.D(解析:根据垂直平分线的性质:垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE＝EC,BF＝FC,结合
BE＝BF得出四边形BECF是菱形;当
AC＝BF时,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D错误,符合题意.)
3.6(解析:连接BD,DE,∵四边形ABCD是正方形,∴点B与点D关于直线AC对称,此时DE的长即为BQ＋QE
的最小值,∵DE＝❑√AD2＋AE2＝❑√42＋32＝5,∴ΔBEQ周长的最小值＝BQ＋QE＋BE＝DE＋BE＝5
＋1＝6.故填6.)
4.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴四个内角均为90°,∵AF,BE,CE,DF分别是四个内角的平分线,∴∠EBC＝
∠ECB＝45°,∠BAF＝∠ABE＝45°,∴ΔEBC为等腰直角三角形,AM＝BM,∴∠E＝90°,同理,∠F＝∠EMF＝∠ENF
＝90°,∴四边形MFNE为矩形,在ΔDAF和ΔCBE中,∵AD＝BC,∠E＝∠F＝90°,∠DAF＝∠CBE＝
45°,∴ΔDAF≌ΔCBE(AAS),∴AF＝BE,∵AM＝BM,∴AF-AM＝BE-BM,即FM＝EM,∴四边形MFNE是正方形.
1
5.解:(1)四边形EFGH是平行四边形.理由如下:连接AC,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC,且EF＝ AC,
2
1
同理,HG∥AC,且HG＝ AC,∴EF∥HG,且EF＝HG,∴四边形EFGH是平行四边形. (2)连接BD,当BD＝AC,
2
1
⊥
且BD AC时,四边形EFGH是正方形.理由如下:∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,∴EF＝GH＝
2
1
⊥ ⊥
AC,EH＝FG＝ BD,EH∥BD,GH∥AC,∵BD＝AC,BD AC,∴EH＝EF＝FG＝GH,EH GH,∴四边形EFGH
2
是正方形.
在新课标中,教材只是一个载体,因此,本课时中教师充分利用这个载体和学生已有的知识、经验进行教
学,教学设计不拘泥于教材,由一般到特殊再到一般,符合学生的认知基础和认知规律,体现了新课标的观念,
水到渠成,效果非常好.
本课时容量较大,由于采用了多媒体辅助教学
手段,会对学生的思维造成一定的束缚,对于学生的创造性有所限制.
在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他
学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
随堂练习(教材第24页)(1)已知:如图(1)所示,四边形ABCD是菱形,且∠ABC＝90°.求证:四边形ABCD是正方形.证明:连接BD,∵四边
形ABCD是菱形,∴BD平分∠ABC,∴∠ABD＝45°,在菱形ABCD中,AB＝AD,∴∠ADB＝∠ABD＝45°,∴∠BAD＝
90°,同理,可证∠BCD＝90°,∴菱形ABCD也为矩形,∴四边形ABCD是正方形. (2)已知:如图(2)所示,四边形
⊥
ABCD是矩形,且AC BD,垂足为点O.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OD＝
⊥
OB.又∵AC BD,∴AB＝AD,同理,AB＝BC＝CD,∴矩形ABCD也为菱形,∴四边形ABCD是正方形.
习题1.8(教材第25页)
1.已知:如图所示,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,且AC＝BD.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵
四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD也是平行四边形,又∵AC＝BD,∴四边形ABCD也为矩形,∴四边形
ABCD是正方形.
⊥
2.证明:连接AC交BD于点O,∵四边形ABCD是正方形,∴OA＝OC,OD＝OB,AC BD,又∵BE＝DF,∴OF＝
OE,∴四边形AECF是菱形.
3.解:四边形EFGH是正方形.证明如下:在正方形ABCD中,AB＝BC＝CD＝AD,∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝
90°,∵AE＝BF＝CG＝DH,∴BE＝CF＝DG＝AH,∴ΔEAH≌ΔFBE≌ΔGCF≌ΔHDG,∴HE＝EF＝FG＝GH,∠AEH
＝∠BFE,∴四边形EFGH是菱形.在RtΔBEF中,∠BFE＋∠FEB＝90°,∴∠AEH＋∠FEB＝90°,∴∠HEF＝90°,∴四
边形EFGH是正方形.
1
4.解:重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 .证明如下:重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分的面
4
1 1
积为正方形ABCD面积的 ,即S ＝S ＝S ＝S ＝ S .重叠部分为四边形时,如图所示,设
4 ΔAOB ΔBOC ΔCOD ΔAOD 4 正方形ABCD
OA'与AB相交于点E,OC'与BC相交于点F.∵四边形ABCD是正方形,∴OA＝OB,∠EAO＝∠FBO＝
⊥
45°,AO BD.又∵∠AOE＝90°-∠EOB,∠BOF＝90°-∠EOB,∴∠AOE＝∠BOF,∴ΔAOE≌ΔBOF.∴S ＋S ＝
ΔAOE ΔBOE
1 1
S ＋S ,∴S ＝S .又∵S ＝ S ,∴S ＝ S .
ΔBOF ΔBOE ΔAOB 四边形EBFO ΔAOB 4 正方形ABCD 四边形EBFO 4 正方形ABCD复习题(教材第26页)
1.解:设该菱形为菱形ABCD,两对角线交于点O,则ΔAOB为直角三角形,直角边长分别为2 cm和4 cm,则由
勾股定理,得AB＝❑√OA2＋OB2＝❑√22＋42＝2❑√5(cm),即菱形的边长为2❑√5 cm.
2.解:四边形ABCD是正方形.理由如下:由OA＝OB＝OC＝OD易证得四边形ABCD是矩形.又∵OA＝OB＝
❑√2
AB,∴OA2＋OB2＝AB2,∴∠AOB＝90°,∴四边形ABCD是正方形.
2
3.解:不一定,还有可能是矩形.
4.已知:如图所示,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC＝60 cm,周长为200 cm.求:(1)BD的长;(2)菱
1
⊥
形的面积.解:(1)因为菱形四边相等,对角线互相垂直平分,所以AB＝ ×200＝50(cm),AC BD且OA＝OC
4
1 1
＝ AC＝ ×60＝30(cm),OB＝OD.在RtΔAOB中,OB＝❑√AB2-AO2＝❑√502-302 ＝40(cm).所以BD
2 2
1 1
＝2OB＝80 cm. (2)S ＝ AC·BD＝ ×60×80＝2400(cm2).
菱形ABCD 2 2
⊥
5.已知:如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC BD,且AC＝BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.
1 1 1
求证:四边形EFPQ为正方形.证明:∵E,Q分别为AB,AD的中点,∴EQ BD.同理FP BD,EF
2 2 2
AC.∴EQFP.∴四边形EFPQ为平行四边形.∵AC＝BD,∴EF＝EQ.∴▱EFPQ为菱形.
⊥ ⊥
∵AC BD,∴EF EQ.∴∠QEF＝90°.∴菱形EFPQ是正方形.6.解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥EC,∠DAC＝45°,∴∠DAE＝∠E.∵AC＝CE,∴∠E＝∠CAE.∴∠CAE＝
1 1
∠DAE,∴∠DAE＝ ∠DAC＝ ×45°＝22.5°.
2 2
7.解:(1)是正方形.因为此菱形的对角线相等,对角线相等的菱形是正方形. (2)是正方形.因为此四边形的对
角线互相垂直、平分且相等,所以这个四边形是正方形.
8.证明:∵DE∥AF,DF∥AE,∴四边形AEDF是平行四边形.∵AE∥DF,∴∠EAD＝∠ADF.∵AD平分∠BAC,∴∠EAD
＝∠DAF,∴∠ADF＝∠DAF,∴AF＝DF,∴四边形AEDF是菱形.
1 1
⊥
9.证明:如图所示,∵BE AC,ME为RtΔBEC的中线,∴ME＝ BC.同理,MF＝ BC,∴ME＝MF.
2 2
10.已知四边形ABCD是正方形,对角线AC＝BD＝l.求正方形的周长和面积.解:在正方形ABCD中,AB＝
❑√2 ❑√2
BC,∠ABC＝90°.在RtΔABC中,AB2＋BC2＝AC2,2AB2＝l2,所以AB＝ l.所以正方形的周长为4AB＝4× l
2 2
(❑√2 ) 2 1
＝2❑√2l,S ＝AB2＝ l ＝ l2.
四边形ABCD 2 2
11.证明:∵PC∥OD,PD∥OC,∴四边形CODP是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴OD＝OC.∴平行四边形
CODP是菱形.
12.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA＝OB＝OC＝OD,∵AM＝BP＝CN＝DQ,∴OM＝OP＝ON＝OQ,∴四边形
MPNQ是平行四边形,MN＝PQ,∴四边形MPNQ是矩形.
13.证明:由题意得∠ACB＝∠CED＝∠DFC＝90°,∴四边形CEDF是矩形,∵CD平分∠ACB,∴∠ECD＝
45°,∴∠EDC＝45°,∴CE＝ED.∴矩形CEDF是正方形.
14.解:由题意得AP＝4t cm,DQ＝(20-t) cm,当四边形APQD为矩形时,则AP＝DQ,即4t＝20-t,∴t＝4.
15.解:重叠部分是等腰三角形.理由如下:由折叠可知∠DBC＝∠DBF,又∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DBC＝
∠ADB,∴∠DBF＝∠ADB,∴ΔBFD是等腰三角形.16.解:由题意知矩形ABCD≌矩形FGCE,∴AB＝FG,BC＝GC,AC＝FC,∴ΔABC≌ΔFGC,∴∠ACB＝
∠FCG.∵∠ACB＋∠ACD＝90°,∴∠FCG＋∠ACD＝90°,即∠ACF＝90°.∵AC＝CF,∴ΔACF是等腰直角三角形.
∴∠AFC＝45°.
17.提示:小颖的这块纱巾不一定是正方形.根据老板的方法,只能说明这块纱巾的两组对角分别相等,四条边
都相等,这只能保证纱巾是菱形,并不能保证它是正方形.正方形的对称轴共有四条,除了两条对角线所在的
直线外,还有两条是两组对边中点所在的直线.所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折,看另一组对边是
否重合.若另一组对边不能重合,那么此纱巾不是正方形;若另一组对边能重合,那么此纱巾一定是正方形.
18.证明:∵▱ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,∴∠CDF＝∠ADF,∠DCF＝∠BCF,又∵在▱ABCD中,
AD∥BC,∴∠ADC＋∠BCD＝180°,∴∠CDF＋∠FCD＝90°,∴∠F＝90°,同理,∠H＝∠HEF＝∠HGF＝90°,∴四边形
EFGH是矩形.
19.提示:如图所示.
20.提示:举例如下:四边形 平行四边形 正方形
21.已知线段a,b.求作菱形ABCD,使得a,b分别为菱形ABCD的两条对角线.作法:如图所示,(1)先画线段AC
b
＝a.(2)作AC的垂直平分线,与AC的交点为O,以交点O为圆心, 为半径画弧分别交AC的垂直平分线于
2
B,D两点.(3)顺次连接AB,BC,CD,DA,四边形ABCD就是所求作的菱形.
本课内容从属于“图形与几何”中的“图形的判定”,因而务必服务于演绎推理教学的远期目标,让学
生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程,体会证明的必要性,掌握用综合法证明的格式,初步感受公理
化思想,发展空间观念,同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标.如图所示,在四边形ABCD中,AB＝
⊥ ⊥
BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM AB,PN CD,垂足分别为M,N.
(1)求证∠ADB＝∠CDB;
(2)若∠ADC＝90°,求证四边形MPND是正方形.
证明:(1)∵对角线BD平分∠ABC,
∴∠ABD＝∠CBD.
在ΔABD和ΔCBD中,AB＝CB,∠ABD＝∠CBD,BD＝BD,
∴ΔABD≌ΔCBD(SAS),
∴∠ADB＝∠CDB.
⊥ ⊥
(2)∵PM AD,PN CD,
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°,∴四边形MPND是矩形.
∵∠ADB＝∠CDB,∴∠ADB＝45°,
∴PM＝MD,
∴四边形MPND是正方形.
1.熟悉菱形、矩形、正方形的定义及理解它们之间的关系.
2.理解和掌握菱形、矩形、正方形的性质及判定,会进行简单的计算与证明.
1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.
2.经历课前准备,总结、探索三种特殊平行四边形的关系,发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力.
3.在具体问题的证明过程中,有意识地渗透试
验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.通过“猜想—总结—证明—应用”的数学活动提升科学素养.
【重点】
1.三种特殊平行四边形的性质和判定的复习.
2.三种特殊平行四边形的关系.
【难点】 总结菱形、矩形、正方形的判定方法的多样性和系统性.
专题一 菱形的性质与判定
【专题分析】菱形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的性质外,还具有自身特有的性质,解决问题时可以灵
活使用.判定一个四边形是否为菱形,可以结合具体条件选择合适的菱形的判定定理来判定,为利用菱形的
性质解决问题提供条件.
如图所示,在ΔABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延
长线于点F,连接CF.
(1)求证AF＝DC;
⊥
(2)若AB AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
〔解析〕 (1)先根据条件证明ΔAFE与ΔDBE全等,然后根据全等的性质结合三角形的中线推出结论;
(2)先证明四边形ADCF是平行四边形,再判定其是菱形.
证明:(1)∵E是AD的中点,∴AE＝ED.
∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠DBE,∠FAE＝∠BDE,
∴ΔAFE≌ΔDBE,
∴AF＝DB.
∵AD是ΔABC中BC边上的中线,∴DB＝DC,
∴AF＝DC.
解:(2)四边形ADCF是菱形.
证明:由(1)知AF＝DC.
又∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
⊥
又∵AB AC,∴ΔABC是直角三角形,
1
∵AD是其BC边上的中线,∴AD＝ BC＝DC.
2
∴平行四边形ADCF是菱形.
[方法归纳] 菱形的判定可以从边与对角线两方面考虑,从边看:邻边相等的平行四边形和四条边相等
的四边形是菱形;从对角线看:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【针对训练1】 (2014·南京中考)如图所示,在ΔABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB,交
BC于点F.(1)求证四边形DBFE是平行四边形;
(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?
证明:(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,即DE是ΔABC的中位线,∴DE∥BC.
又∵EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形.
解:(2)(本题答案不唯一,下列解法供参考)
当AB＝BC时,四边形DBFE是菱形.
1
∵D是AB的中点,∴BD＝ AB.
2
1
∵DE是ΔABC的中位线,∴DE＝ BC.
2
∵AB＝BC,∴BD＝DE,
由(1)知四边形DBFE是平行四边形,
∴四边形DBFE是菱形.
(2014·枣庄中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,过点A,C作对角线AC的垂线,分别交CB和
AD的延长线于点E,F,AE＝3,则四边形AECF的周长为( )
A.22 B.18 C.14 D.11
⊥
〔解析〕 在菱形ABCD中,∠BAC＝∠BCA,∵AE AC,∴∠BAC＋∠BAE＝∠BCA＋∠E＝90°,∴∠BAE＝
∠E,∴BE＝AB＝4,∴EC＝BE＋BC＝4＋4＝8,同理,可得AF＝8,则AF＝EC,又∵AD∥BC,∴四边形AECF是平行
四边形,∴四边形AECF的周长＝2(AE＋EC)＝2×(3＋8)＝22.故选A.
[规律方法] 本题主要运用菱形的性质以及平行四边形的性质求出四边形AECF的周长,注意熟练掌
握并灵活运用菱形的性质是关键.
【针对训练2】 已知一个菱形的周长是20 cm,两条对角线的长度之比是4∶3,则这个菱形的面积是
( )
A.12 cm2 B.24 cm2 C.48 cm2 D.96 cm2
〔解析〕 设菱形的对角线的长分别为8x cm和6x cm,已知菱形的周长为20 cm,故菱形的边长为5
cm,根据菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直平分,即可知(4x)2＋(3x)2＝25,解得x＝1,故菱形的对角线的
1
长分别为8 cm和6 cm,所以菱形的面积＝ ×8×6＝24(cm2).故选B.
2
专题二 矩形的性质与判定
【专题分析】
矩形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的性质外,还具有自身特有的性质,解决问题时可以灵
活使用.判定一个四边形是否为矩形,可以结合具体条件选择合适的矩形的判定定理来判定,为利用矩形的
性质解决问题提供条件.
(2014·湘潭中考)如图所示,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F,若AD＝
3,BD＝6.(1)求证ΔEDF≌ΔCBF;
(2)求∠EBC.
〔解析〕 (1)首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE＝BC,∠E＝∠C＝90°,对顶角∠DFE＝∠BFC,
利用AAS可判定ΔDEF≌ΔBCF;(2)在RtΔABD中,根据AD＝3,BD＝6,可得出∠ABD＝30°,然后利用折叠的性
质可得∠DBE＝30°,继而可求得∠EBC的度数.
证明:(1)由折叠的性质和矩形的性质可得DE＝BC,∠E＝∠C＝90°,
在ΔDEF和ΔBCF中,
{∠DFE＝∠BFC,
∠E＝∠C,
DE＝BC,
∴ΔDEF≌ΔBCF(AAS).
解:(2)在RtΔABD中,
∵AD＝3,BD＝6,∴∠ABD＝30°,
由折叠的性质可得∠DBE＝∠ABD＝30°,
∴∠EBC＝90°-30°-30°＝30°.
[易错提示] 此类问题具有一定的综合性,解题时要注意认真审题,恰当运用翻折变换的性质,依此提供
证题所需的信息.此题容易出错的地方:①不能由折叠的性质结合矩形的性质得出三角形全等的条件;②根
据AD,BD的长无法得出∠ABD的度数.
【针对训练3】 (2014·沈阳中考)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在
边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证OE＝OF.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
1 1
∴∠ADC＝∠BCD＝90°,AC＝BD,OD＝ BD,OC＝ AC,即OD＝OC.
2 2
∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠ADC-∠ODC＝∠BCD-∠OCD,即∠EDO＝∠FCO.
又∵DE＝CF,∴ΔODE≌ΔOCF.
∴OE＝OF.(2014·百色中考)如图所示,已知点E,F在四边形ABCD的对角线延长线上,AE＝CF,DE∥BF,∠1
＝∠2.
(1)求证ΔAED≌ΔCFB;
⊥
(2)若AD CD,四边形ABCD是什么特殊的四边形?请说明理由.
〔解析〕 (1)由DE∥BF,可得∠E＝∠F,结合已知条件,利用AAS便可说明ΔAED≌ΔCFB;(2)由
ΔAED≌ΔCFB,可得AD＝CB,∠EAD＝∠FCB,利用等角的补角相等,可得∠DAC＝∠BCA,进而得到AD∥BC,根
据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形,再利用“有一个角为
直角的平行四边形是矩形”,便可得到四边形ABCD是矩形.
证明:(1)∵DE∥BF,∴∠E＝∠F.
又∵∠1＝∠2,AE＝CF,
∴ΔAED≌ΔCFB(AAS).
解:(2)四边形ABCD是矩形.理由如下:
由(1)知ΔAED≌ΔCFB,
∴AD＝CB,∠EAD＝∠FCB,
∴180°-∠EAD＝180°-∠FCB,即∠DAC＝∠BCA,
∴AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.
⊥
∵AD CD,∴∠ADC＝90°,
∴▱ABCD为矩形.
[方法归纳] 矩形的判定方法:一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;三
个角是直角的四边形是矩形.
⊥
【针对训练4】 如图所示,ΔABC中,AB＝AC,AD BC于D,AE是ΔBAC的外角平分线,DE∥AB交AE
于点E,求证四边形ADCE是矩形.
证明:∵在ΔABC中,AB＝AC,
∴∠ABC＝∠ACB.
⊥
又∵AD BC,∴BD＝CD.
∵AE是ΔBAC的外角平分线,
∴∠1＝∠EAC.
又∵∠1＋∠EAC＝∠ABC＋∠ACB,∴∠EAC＝∠ACB,∴AE∥BD.
又∵DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE＝BD,AB＝DE,
∴AE∥CD,AE＝CD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵AB＝AC,AB＝DE,∴AC＝DE,
∴▱ADCE是矩形.
专题三 正方形的性质与判定
【专题分析】
正方形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的性质外,还具有自身特有的性质,解决问题时可以
灵活使用.判定一个四边形是否为正方形,可以结合具体条件选择合适的正方形的判定定理来判定,为利用
正方形的性质解决问题提供条件.
(2014·扬州中考)如图所示,已知RtΔABC中,∠ABC＝90°,先把ΔABC绕点B顺时针旋转90°后至
ΔDBE,再把ΔABC沿射线AB平移至ΔFEG,DE,FG相交于点H.
(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由;
(2)连接CG,求证四边形CBEG是正方形.
〔解析〕 (1)因为旋转、平移不改变图形的形状和大小,可以得到对应边和对应角相等,在判断
⊥
DE FG后,主要运用了“两个锐角互余的三角形是直角三角形”进行证明;(2)在已知∠GEF为直角的条
件下,需要证明四边形CBEG是平行四边形,得到四边形CBEG为矩形,再加上邻边BE＝EG,即可判定矩形
CBEG为正方形.
⊥
解:(1)DE FG.理由如下:
由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE,∠ABC＝∠DBE＝90°,
∴∠BDE＋∠BED＝90°,
∴∠GFE＋∠BED＝90°,
⊥
∴∠FHE＝90°,即DE FG.
(2)∵ΔABC沿射线AB平移至ΔFEG,
∴CB∥GE,CB＝GE.
∴四边形CBEG是平行四边形.
又∵∠GEF＝∠ABC＝90°,
∴四边形CBEG是矩形.
又∵EG＝BE,
∴四边形CBEG是正方形.
[规律方法] (1)结论性探究题的解题策略是从结论出发,执果索因,直到已知条件和定理.
(2)在证明一个四边形是正方形时,通常先证明其为平行四边形,再证明其为矩形(或菱形),最后得到正方
形.(3)本题中涉及两个基本图形和一个基本思路:如图(1)所示的是典型的“三垂线”图形,当∠B＝∠BEG＝
∠GHE＝90°时,∠BED＝∠G,反之也可以成立;如图(2)所示的也是有关正方形问题的经典图形,DE和GF若相
等必垂直,反之也可以成立.
【针对训练5】 如图所示,点P是正方形ABCD的边AB上一点(不与A,B重合),连接PD并将线段PD
绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于 ( )
A.75°B.60°C.45°D.30°
⊥
〔解析〕 过点E作EF AB,交AB的延长线于点F,则∠F＝90°.∵四边形ABCD为正方形,∴AD＝
AB,∠A＝∠ABC＝90°,∴∠ADP＋∠APD＝90°,由旋转可得PD＝PE,∠DPE＝90°,∴∠APD＋∠EPF＝90°,∴∠ADP
＝∠EPF.在ΔAPD和ΔFEP中,∠ADP＝∠FPE,∠A＝∠F＝90°,PD＝EP,∴ΔAPD≌ΔFEP,∴AP＝FE,AD＝FP,又
∵AD＝AB,∴PF＝AB,即AP＋PB＝PB＋BF,∴AP＝BF,∴BF＝EF,又∵∠F＝90°,∴ΔBEF为等腰直角三角形,
∴∠EBF＝45°,又∵∠ABC＝90°,∴∠CBE＝45°.故选C.
⊥
(2014·自贡中考)如图所示,四边形ABCD是正方形,BE BF,BE＝BF,EF与BC交于点G.
(1)求证AE＝CF.(2)若∠ABE＝55°,求∠EGC的大小.
〔解析〕 (1)用SAS证明ΔABE≌ΔCBF;(2)根据∠EGC＝∠EBG＋∠BEF,∠EBG＝90°-∠ABE,ΔBEF是等
腰直角三角形求解.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB＝BC,∠ABC＝90°.
⊥
∵BE BF,∴∠EBF＝90°,
∴∠ABE＝∠CBF.
∵AB＝BC,∠ABE＝∠CBF,BE＝BF,
∴ΔABE≌ΔCBF,∴AE＝CF.
解:(2)∵BE＝BF,∠EBF＝90°,
∴∠BEF＝45°.
∵∠ABC＝90°,∠ABE＝55°,∴∠GBE＝35°,
∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.
[方法归纳] 证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等,从而得到对应线段相等.本
题要充分利用正方形的性质“四边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,且每一条对角线
平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰
直角三角形的两锐角相等为45°,底边上的高线、中线、顶角的平分线重合,且等于底边的一半.三角形全等
的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL等.根据图中的条件选取合理的方法证明三角形全等是关键.
⊥
【针对训练6】 (2014·泸州中考)如图所示,正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且AE BF,垂
足为G,求证AE＝BF.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB＝BC,∠ABC＝∠BCF＝90°,
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
⊥
∵AE BF,垂足为G,
∴∠CBF＋∠AEB＝90°.
∴∠BAE＝∠CBF.
{∠BAE＝∠CBF,
在ΔABE与ΔBCF中, AB＝BC,
∠ABE＝∠BCF,
∴ΔABE≌ΔBCF(ASA),
∴AE＝BF.
专题四 方程思想
【专题分析】
在探究特殊四边形的条件是什么时,常把需要满足的条件作为结论构造方程来解决问题,这不失为一种
解决问题的捷径.如图所示,在RtΔABC中,∠B＝90°,AC＝60 cm,∠A＝60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒
的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点
⊥
到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0
