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第 05 讲 单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式
课程标准 学习目标
1．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题；
2．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相
①单项式乘单项式
乘的法则；
②单项式乘多项式
3．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的
③多项式乘多项式
乘法运算；
4．掌握单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则的应用．
知识点01 单项式与单项式相乘
单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.
【即学即练1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
知识点02 单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序.
【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
知识点03 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项
式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两
个
因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab
对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.
【即学即练1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算
(1) ；
(2) ．
【即学即练2】（22-23八年级上·四川绵阳·周测）先化简再求值： ，
其中 ；
题型01 计算单项式乘单项式
例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）计算： ．
【变式训练】
1．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
3．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值： ，其中
．
题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值
例题：（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）若 ，则 的值为 ．
【变式训练】1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若 对任意 都成立，则 ．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论 为何值时，等式 恒成立，
则 ， ．
3．（20-21七年级下·广东深圳·期中）若 恒成立，则 ．
题型03 计算单项式乘多项式
例题：（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）计算:（1） .（2） ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）计算 计算： ．
2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：（1） ．（2）
．
题型04 计算多项式乘多项式
例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2)
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ．
(2)
(3)
题型05 已知多项式乘积不含某项求字母的值
例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若 的乘积中不含 项，求n的值．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 的积中不含 与 项．(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项是
．
(1)求 ， 的值．
(2)先化简再求值 ．
题型06 整式乘法混合运算
例题：（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1)
(2)
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2)
2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
题型07 多项式乘多项式——化简求值
例题：（23-24七年级下·浙江金华·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值 ，其中
， ．
2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
3．（23-24八年级上·北京大兴·期末）先化简，再求值： ，其中 ， ．题型08 (x+p)(x+q)型多项式乘法
例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式：
回答下列问题：
(1)总结公式： _____ ；
(2)已知a，b，m均为整数，若 ，求m的值．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
(1)计算 __________；
根据你发现的规律，猜想 __________；
(2)若 ，求 的值．
2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践
问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法 ”的结果的一般性规律问题：
观察发现：（1）① ；
② ；
③ _________；
④ _________．
规律总结：（2） _________．
应用规律：（3）①若 ，求 的算术平方根；
②若 的结果不含 的项，求 的立方根．
题型09 多项式乘法中的规律性问题
例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：观察下列各式：
；
；
；
……
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得 _______________；
(2)请你利用上面的结论解答下列小题：
①若 ，求 的值．
②计算 的值．（结果用幂表示）
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知
．
(1)根据以上式子计算：
① ；
② ．
(2)请你进行下面的探索：
① ____________；
② ____________；
③ ____________．
2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三
角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之
和，它给出了 （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在
三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中的系数．(1)根据上面的规律不难发现， 的展开式共有____________项，请写出它的展开式
；
(2) 的展开式共有__________项，系数和为___________；
(3)利用上面的规律计算： ；
(4)运用：若今天是星期二，经过 天后是星期___________．
题型10 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积
例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生
取
车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为
米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为 ，宽为 ，物业公司
计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米．
(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
(2)若 ，求出此时绿化的总面积S．
2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为 米、宽
为 米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为
米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．(1)求安装健身器材的区域面积；
(2)若 ， ，求篮球场的面积．
3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南
方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽
米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪．
(1)求该观景区草坪的面积．
(2)当 ， 时，草坪的面积是多少？
题型11 整式运算中的新定义型问题
例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式 ， ， ， （a．b，
c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母
x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：
对于多项式 ， ， ， ，因为
，所以多项式 ， ， ， 是一组黄金多项式，其黄金因子为 ．
(1)小贤发现多项式 ， ， ， 是一组黄金多项式，其列式为
请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．
(2)若多项式 ， ， ， （n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值．
(3)若多项式 （m为有理数） ， ， 是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m
的值．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算： （其中m、n为常
数），如 ．
(1)填空：当 ， 时， __________；
(2)若 ， ，求 的值．
2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运
算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“ ”，对于任意有理数a，b，c，d，规定
，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如： ．请解答下列问题：
(1)填空： ______；
(2)若 的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求 的值，其中 ；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形
内，其中 ，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为 ，右
上角长方形的面积为 ．当 ，求 的值．
一、单选题
1．（24-25八年级上·北京·期中）计算 的结果是（ ）．
A．0 B． C． D．
2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在展开多项式 中，常数项为 ，则a
等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为 、宽为 的大长方形，则需要卡片C的张数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算：
7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 的结果中不含x的一次项，则
8．（2024七年级上·全国·专题练习）一块长方形铁皮的长为 ，宽为 ．在它的四个角上
都
剪去一个边长为 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的内表面积为 ．
9．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号 的意义是： ，则当
时， 的值为 ．
10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，为某年某月的日历（数字隐去）其中 ， ， ， 代表
当日的数字，设 代表的数字为 ，则 ．（用含 的代数式表示）
三、解答题
11．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算：
(1)
(2)
12．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算：
(1) ．
(2) ．
13．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）先化简再求值： ，其中， ．
14．（24-25八年级上·吉林松原·期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在
一个长为 米，宽为 米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道．
(1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积；
(2)若 ， ，求剩余草坪的面积．
15．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）若 的积中不含 与 项．
(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
16．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成
问题：
①
②
③
④
(1)规律探究： (________________)；
(2)知识运用：
① ________________；
②利用上述规律计算： ．
17．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回
的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于
1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左
右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了 （ 为非负
整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：【知识应用】
(1)补充完整 的展开式， ______；
(2) 的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；
(3)今天是星期五，过了 天后是星期几？
18．（2025七年级下·全国·专题练习）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问
题：“已知代数式 的值与 的取值无关，求 的值．”通常的解题方法是：把 看作
字母， 看作系数进行合并同类项， 代数式的值与 的取值无关， 含 的项的系数为0． 原式
， ∵ ∴ ∵
，则 ．
【理解应用】
∴
（1）若关于 的多项式 的值与 的取值无关，求 的值．
（2）已知 ，且 的值与 的取值无关，求 的值．
【能力提升】
（3）将七张如图1所示的小长方形纸片（长为 、宽为 ）按照图2的方式无缝隙、不重叠地放在大长方
形 内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部分的面积为 ，左下角阴影部
分的面积为 ．当 的长度变化时，若 的值始终保持不变，则 之间有怎样的数量关系？
