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第 08 讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用
目录
【考点一 平方差公式中项的位置变换】
【考点二 平方差公式中连续相乘应用】
【考点三 乘法公式中简便运算变换】
【考点四 乘法公式中项数的变换】
【考点五 乘法公式中整体代换应用】
【考点六 乘法公式中几何图形的应用】
【考点一 平方差公式中项的位置变换】
例题：（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）运用乘法公式计算 的结果是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 ．
2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ．
3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算：
4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ．
5．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算：
【考点二 平方差公式中连续相乘应用】
例题：（23-24七年级上·全国·专题练习）计算：
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）计算 的结果是 ．
2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ．
4．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ；（2）利用平方差公式进行计算：
（3）计算： = ；并直接写出上面结果的个位数字是 ；
（4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，
任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分）
①计算：
②计算：
5．（24-25八年级上·海南·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不
复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其
余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不
用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问
题．
例题：化简 ．
解：原式
．
(1)填空：______ ；
(2)化简 ；
(3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案．
______；
若 、 均为正整数，则 ______．
【考点三 乘法公式中简便运算变换】
例题：（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算
(1)
(2)
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算
(1) ；
(2) ．2．（23-24七年级下·全国·单元测试）简便计算：
(1)
(2)
3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算
(1) ；
(2) ．
4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算．
(1) ；
(2) ．
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算：
(1) ；
(2) ．
【考点四 乘法公式中项数的变换】
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）计算： ．
2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： ．
3．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ．
5．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： ．
6．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算： ．
7．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ；
8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ．
【考点五 乘法公式中整体代换应用】
例题：（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）已知： ， ，试求：
(1) 的值；
(2) 的值．【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》
时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题：
【基础公式】请写出完全平方公式 ______；
【公式变形】公式可以变形为 ______；
【应用】
（1）已知： 求 的值；
（2）已知： 求 的值．
2．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期中）阅读材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完
全平方式的方法叫做配方法 配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．
例如： ， ， 是 的三种不同形式的配方．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)将 按三种不同的形式配方；
(2)将 配方 至少两种形式 ；
(3)已知 ，求 的值．
3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）图①是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分
成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②直接写出三个代数式 、 、 之间的等量关系______；
(2)请运用（1）中的关系式计算：若 ， ，求 的值；
(3)若 ，求 的值．
4．（23-24七年级下·四川达州·期末）观察以下等式
∶
……
按以上等式的规律，发现
∶① ；②
(1)利用多项式乘以多项式的法则，证明 成立；
∶
(2)已知 ，求 值；
(3)已知 ，求 的值．
5．（23-24八年级上·湖南永州·期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时
为零．
例如： ，我们可以得： ，
所以 ① ．
若 ，求 的值．
②解：因为 ，
所以 （我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）
所以 ，
所以 ，
所以 ．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则 ， ．
(2)已知 ，求 的值．
(3)已知 是长方形的长和宽，且满足 ，求长方形的周长．
【考点六 乘法公式中几何图形的应用】
例题：（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长
为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．
(1)将图1阴影部分的面积记为 ，图2的面积记为 ，若用含a、b的代数式表示 和 ，则 ，
；(2)请你判断 与 之间的大小关系： （填“ ”、“ ”或“ ”）；
(3)利用（2）中的结论，求 的值．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
．
(1) ；
(2) ；若 是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足 ，且 ．
① 求 的值；
② 如图，四边形 是长方形，点E、F、G、H分别在边 上，连接 交于点
P，且 将长方形 分割成四个小长方形，若 ， ， ， ，在①
的条件下，求图中阴影部分的面积．
2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把
图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形．
(1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示）
(2)运用以上等式计算：
(3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100 ，向里依次为
99 ，98 ，…，1 ，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留 ）3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为
的正方形中剪掉一个边长为 的小正方形（ ），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图
1中阴
影部分的面积可表示为： ，图2中阴影部分的面积可表示为： ，因为两个图中的阴影
部分的面积是相同的，所以可得到等式： ．
【结论探究】
图3是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼
成一个大正方形．
（1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于 ， ， 的等式是
______．
（2）若 ， ，求 的值．
【类比迁移】
（3）如图5，点 是线段 上的一点，以 为边向上下两侧作正方形 ，正方形 ，两
正方形的面积分别记为 和 ，若 ，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积．
4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知8张长为 ，宽为 的小长方形纸片，按下图方式不重叠
地放在矩形 内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形 ，左上
角阴影为长方形 ．设六边形 与长方形 面积的差为 ，设 ．(1)用 的代数式表示 ；
(2)当 的长度变化时，如果 始终保持不变，则 应满足的关系是什么？
(3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为 ，宽为 的矩形纸片，再加上 张边长为 的正方形纸
片， 张边长为 的正方形纸片（ 是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠
拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含 的代数式表示）？并求出
此时的 的值．
