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专题突破卷 11 平面向量中等和线的应用
题型一：平面向量共线定理解决平行问题
1．已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ， ，
，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【答案】C
【分析】根据向量 共线则 判断即可.
【详解】对A，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、
、 三点不共线，故A错误；
对B，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三
点不共线，故B错误；对C，因为 ， ，则 ，故 、 、 三
点共线，故C正确；
对D，因为 ， ，不存在
实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，故D错误.
故选：C
2．已知 为不共线向量， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】A
【分析】运用向量的加法运算，求得 ，从而得出结论.
【详解】因为 ，所以 三点共线，
故选：A．
3．已知平面上点 ， ， 满足 ，且 ，点 满足
，动点 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．1或
【答案】A
【分析】由题设三个条件依次得到 ，推得点 的轨迹是以点 为圆心，
为半径的圆，再得点 ， ， 三点共线，通过建系将问题转化成由点 向圆做切
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！线，求原点到该切线的最短距离问题.
【详解】由题意，得
，所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，即 ，所以点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆．
如图，以 为坐标原点，以 的方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系．
易知 ， ，则点 的轨迹方程为 ．
由 ，得点 ， ， 三点共线．
过点 作圆 的切线，设其方程为 ，即 ．
由点 到该切线的距离为 ，可得 ，解得 或
．
由图知，当 时， 最小，切线的方程为 ，
此时 的最小值即为点 到切线的距离，即 ．
故选：A．
4．如图所示，O点在 内部， 分别是 边的中点，且有，则 的面积与 的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知 三点共线，且 ，再由三角形面积公式即可求解.
【详解】由 可得 ，
又因为 分别是 边的中点，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 三点共线，且 ，
所以 到 的距离与 到 的距离之比也为 ，
又 的面积与 的面积都以 为底，
所以 的面积与 的面积的比为 ．
故选：A
5．在 中，点 是边 的中点，且 ，点 满足
（ ），则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】B
【分析】由向量共线定理知，点 在线段 上，设 ，则
，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为 （ ），
所以 ，又 ，
所以点 在线段 上，所以 .
设 （ ），所以
，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故选：B.
6．已知平面向量a，b不共线， ， ，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】D
【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解.
【详解】对A， 与 不共线，A错误；
对B， 则 与 不共线，B错误；
对于C， 则 与 不共线，C错误；
对于D， ，即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.
故选：D.
7．已知 是双曲线 上不同的三点，且 ，直线
AC，BC的斜率分别为 ， （ ），若 的最小值为1，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据向量共线可知 两点关于原点对称，分别设出 三点的坐标，利用点
差法点差法表示出 和 ，根据基本不等式求得取最小值时满足 ，计算即可求得离
心率.
【详解】根据题意，由 可得原点 是 的中点，所以 两点关于原点
对称；
不妨设 ，因为 ，所以 ，
易知 ，又因为A、B，C都在双曲线 上，
所以 ，两式相减可得 ，即 ，
所以 ，由基本不等式可知 ，当且仅当 时等
号成立；
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，即 ，可得 ，即离心率 .
故选：A.
8．已知P是△ABC所在平面内的一点，若 ，其中λ∈R，则点P一定在（
）
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.
【详解】∵ ，
∴ ，则 ，则
∴
∴P点在AC边所在直线上．
故选：A．
9．已知直线 与圆 ： 相交于不同两点 ， ，点 为线段 的中点，若平面
上一动点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，判断得点 在线段 外，从而得 是直角三角形，进而表示出
，可得 ，由 ，可得 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ， ， 三点共线，且点 在线段 外，因为点 为线段 的中点，
所以 ，即 是直角三角形，
所以 ，由数量积的定义可得：
，
因为 ，所以 ，即 ，
故选:C.
10．已知点O，A，B是同一平面内不同的三个点，且 ，若 ，
的最小值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，进而
，设 ，点 关于 对称的点为 ，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！与 交于点 ， 与 交于点 ，故当点 位于 位置时， 取得
最小值 ，再结合余弦定理求解即可.
【详解】解：设
所以 ，
设 ，点 关于 对称的点为 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，
则当点 位于 位置时， 取得最小值 ，
在 中， ，
所以由余弦定理得： ，解得： ，
所以 ，
所以
故选：D
题型二：平面向量共线定理的推论
11．已知非零平面向量 ， ，那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】在向量 非零向量的情况下，
若 ，即 ，
即有 ，即 ．
又 ，故 ，
又 ，所以 ，即 方向相反，故 ，
即“ ”是“ ”的必要条件；
若 ，则 共线，但 与 的方向可能相同也可能相反，
所以由 推不出 ，故充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ ”的必要而不充分条件．
故选：B．
12．已知点 是直线 上相异的三点， 为直线 外一点，且 ，则
的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】化简得 ，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解
出即可.
【详解】 ，即 ，
因为点 是直线 上相异的三点，则点 三点共线，
则 ，解得 .
故选：A.
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13． 是等腰直角三角形，其中 ， 是 所在平面内的一点，若
（ 且 ），则 在 上的投影向量的长度的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．
【详解】设 ， （ 且 ），
则 （ 且 ），
则 在线段 上，如图所示，
当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最大值，最大值为 ；
当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最小值，最大值为 ；
则 在 上的投影向量的长度的取值范围是 ．
故选：B.
14．在 中， ，过点 的直线分别交直线 、 于点 、 ，且
，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据题意以 为基底表示出 ，再根据 三点共线，利用共线定理可
得 ，再由基本不等式即可求得 的最小值为 .
【详解】如下图所示：
因为 ，易知 ，
又 ，所以 ，
易知 三点共线，利用共线定理可得 ，
又 ， ，
所以 ；
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C
15．平行四边形 中， ， ，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C
上且落在四边形 内部任意一点， ，若 ，则角 的范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】当圆 与 的切点在 延长线上时 ，求出临界点时 ，从而得到
的取值范围，即可得解.
【详解】由 ，当 在直线 上时， ，
当圆 与 的切点在 延长线上时，圆 落在四边形 内部部分与直线 没有公
共点，此时 ，
当恰好切于点 时，则 ，又 ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，故 .
故选：B
16．在 中， 是 的中点，直线 分别与 交于点 ，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算法则，利用 表示 ，结合向量三点共线的定理列式运算求
解.
【详解】由 ，得 .
因为 共线，所以 ，解得 .故选：B.
17．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，
在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边 中， ，以三条边为直径
向外作三个半圆， 是三个半圆弧上的一动点，若 ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】过点 作 ，设 ， ，得到 ，
再由 ，求得 ，结合圆的性质，当 与半圆 相切时，
最大，分别求得 的长，即可求解.
【详解】如图所示，过点 作 ，交直线 于点 ，
设 ，可得 .
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
由图可知，当 与半圆 相切时， 最大，
又由 ， ，可得 ，
所以 ，即 最大为 ，所以 的最大值为 .
故选：B.
18．在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若
，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【分析】先根据共线向量基本定理得到 ，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以设 ，故 ，
即 ，
又 ，
故 ，故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为9.
故选：D
19．已知 ， 是两个不共线的向量，命题甲：向量 与 共线；命题乙:
则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用向量共线定理即可判断.
【详解】对于命题甲，可设 ，即 ，
则 ，所以 ；
对于命题乙， 时， ，则有向量 与 共线.
故甲是乙的充要条件.
故选：C.
20．设 ，若向量 ， ，满足 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合向量的基本概念，向量的共线定理，以及向量的数量积的运算法
则，逐项判定，即可求解.
【详解】由向量 ，满足 ， ，且 ， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于A中，若 ，则 ，又 ，
若 均为非零向量，则 ，显然与 矛盾，所以A不正确；
对于B中，若 ，则存在实数 使 ，可得 ，又 ，
若 均为非零向量，则 ，显然与 矛盾，所以B不正确；
对于C中，因为向量 ，满足 ， ，且 ，
则
，所以 ，所以C正确；
对于D中，由 ，
所以 不一定成立，所以D不正确.
故选：C.
题型三：平面向量利用共线定理求参
21．在 中， 是 的中点， 与 相交于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.
【详解】设 ，由 是 的中点，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，且 ，由 与 相交于点 可知，点 在线段 上，也在线段 上，
由三点共线的条件可得 ，解得 ，所以 .
故选：B
22．已知 与 为非零向量， ，若 三点共线，
则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【详解】由题意知， 三点共线，故 ,
且 共线，
故不妨设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
故选：D
23．在 中， 为边 上一点且满足 ，若 为边 上一点，且满足
， ， 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． 的最小值为1 B． 的最大值为
C． 的最大值为12 D． 的最小值为4
【答案】BD
【分析】根据 三点公式求得 ，结合基本不等式判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，
又 ， 为正实数，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C错误，D正确.
故选：BD
24．已知 中，角 所对的边分别为 ， ， ， ，若
，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】取 和 ，转化为 ，得到 三
点共线，得到 的最小值，即为 中边 上的高，在 中，结合余弦定理和
面积相等，列出方程，即可求解.【详解】在 中，因为 ，
如图所示，取 的中点 ，可得 ，
再延长 到点 ，使得 ，可得 ，
因为 ，
因为 ，所以 三点共线，
所以 的最小值，即为 中边 上的高 ，
在 中，由余弦定理得
，所以 ，
又由 ，
可得 ，即 ，解得 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25．设平面向量 ， ，若 ， 不能组成平面上的一个基底，则
．
√3 1
【答案】 / √3
3 3
【分析】利用基底的定义可得 ，再利用共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】由 ， 不能组成平面上的一个基底，得 ，而 ， ，
因此 ，所以 .
故答案为：
26．如图，函数 的图象经过点A，B，点T在x轴上，若 ，则
点B的纵坐标是 ．
【答案】 /
【分析】设 ，计算出 ， ，再设A(x ,y )，根据中点公式得到
0 0
的坐标，将其代入三角函数解析式并结合二倍角的余弦公式得到 ，解出即
可.
【详解】由题意设 ，则 ， ，
设A(x ,y )， ，因为 ，
0 0所以 为线段 的中点，所以 ， ，
又点 在函数图象上，所以 ，
又 ， ，
所以 即 ，所以 （负舍），
则点B的纵坐标是 .
故答案为： .
27．在 中， ，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设
，则 的最小值是 .
【答案】
【分析】由 ，得到 ，从而有 ，再根据 三点共
线，得到 ，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：因为在 中， ，
所以 ，
又因为 ，则 ，
因为 三点共线，则 ，结合题意知 ，
所以 ，
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为：
28．已知向量 三点共线，则 .
【答案】 /
【分析】由点共线可得 ，再利用两角和的正切公式即可求得结果.
【详解】因为 三点共线，所以 ，
所以 ，
可得
故答案为：
29．已知抛物线y2=2px(p>0)准线为 ，焦点为 ，点 ， 在抛物线上，点 在 上，
满足：⃗AF=λ⃗FB， ，若 ，则实数 .
【答案】
【分析】由题设 共线，作 ，垂足分别为 ，结合抛物线定义及
相似比求参数值即可.
【详解】由题设知： 共线，且 ，如下图，作 ，垂足分别为 ，则 ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 ，即 ，故 .
故答案为：2
30．如图，在 中， ，P为CD上一点，且满足 ，
则m的值为 ．
【答案】
【分析】 改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得
到参数 的方程，解之即可.
【详解】因为 ， 即，
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ,
又
所以 ，解得 .
故答案为： .
1．如图，在 中， 与BE交于点 ，
，则 的值为 ；过点 的直线 分别交 于点
设 ，则 的最小值为 .
【答案】 4
【分析】设 ，将 分别代入，利用共线定理的推论列方
程组求出 ，然后根据 求解可得 ；将 代入
，根据 共线可得 ，然后妙用“1”，利用基本不等式求解
即可.
【详解】设 ，令 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
又 与 分别共线，所以 ，解得 .
因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，即 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 共线，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：4； .
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2．已知平面向量 ， ， ， 满足： ， ， ，
，则 的最大值为 .
【答案】3
【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点 共线，且 ， ，点 的
轨迹是以线段 为直径的圆，故 即可理解为点 到圆上点的距离，即得点 与点
重合时取得最大值.
【详解】
依题意，如图分别作 ，其中 , ,
由 知 ，依题意知点 有两个位置，即点 和点 ，
又 , ，由 知 ,
即点 的轨迹是以线段 为直径的圆.
故 的模长当且仅当点 与点 重合时取得最大，最大值为 .
故答案为：3.
3．如图所示，已知 满足 ， 为 所在平面内一点.定义点集
.若存在点 ，使得对任意 ，满足恒成立，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】延长 到 满足 ，取 的靠近 的三等分点 ，连接 ，由向
量共线定理得 三点共线，从而 表示 的边 上的高，利用正弦定理求
得 的面积的最大值，从而可得结论．
【详解】延长 到 满足 ，取 的靠近 的三等分点 ，连接 ，如图，
，
所以 三点共线，
又存在点 ，使得对任意 ，满足 恒成立，则 的长表示 到直线
的距离，即 的边 上的高，设 ，
由 得 ， ， 公用，因此 ，
所以 ，
中，设 ，由正弦定理得 ， 记为角 ，
所以 ， ， ，
所以
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
若 不是钝角，则
，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，
设 ，则 ， ，它是减函数，
所以 时， ，
若 是钝角，则
，
设 ，则 ， ，
令 ，则 ，
，
时， ， 递减， 时 ， 递增，
所以 时， ， ，
综上， ，
此时 ．
故答案为：3．4．已知正三角形 的边长为2，点 满足 ，且 ， ，
，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】取 的中点 ，由题意可得 ，从而推得 三点共线，进
而得出 ，即可得出答案.
【详解】取 的中点 ，则 ，
又 ，又因为 ，
故 三点共线，即点 在中线 上运动，
在正三角形 中， ，
又 ， ，则 ，
故 .
故答案为：
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5．在 中， 是 边上一点，且 ， 是 的中点，过点 的直线与
两边分别交于 两点（点 与点 不重合），设 ， ，
则 的最小值为 .
3
【答案】 /
2
【分析】由 ，得 ，再由 是 的中点，结合已知条件可得
，从而由 三点共线，得 ，则 ，
化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，得 .
又 是 的中点， ， ，
所以 .
因为 三点共线，所以 ，即 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ,即 时，等号成立.故答案为：
6．如图，在 中， ， ，CD与BE交于点P， ， ，
，则 的值为 ；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设
， （ ， ），则 的最小值为 .
【答案】 2
【分析】选取向量 为基底，把 用基底表示出来，再求出数量积即可；用
表示出 ，再利用共线向量的推论结合基本不等式求出最小值．
【详解】在 中， ， ，设 ，
则 ，
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由 三点共线，得 ，解得 ，因此 ，
因为 ， ， ，于是
，解得 ；
因为 ， ， ，则有 ，
而 三点共线，因此 ，则
，当且仅当 ，即 取等
号，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为： ；
7．在 中，点 是 的中点，点 在 上，且 ，
，则 .
【答案】
【分析】根据平面向量共线定理的推论求出 ，再根据平面向量基本定理求出 、 ，即
可得解.
【详解】依题意 ，又点 在 上，且 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
即 ，
所以 ，又 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为：
8．已知 ， 与 的夹角为45°，求使向量 与 的夹角是锐角，则
的取值范围 .
【答案】
【分析】由题意，根据向量夹角为锐角，可得其数量积大于零的不等式，且可得向量不共
线，可得不成比例的不等式，可得答案.
【详解】
，
由向量 与 的夹角是锐角， ，解得 或 ；
且向量 与 不共线，则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
9．设 ， 是两个不共线的非零向量，若向量 与 的方向相反，则 .
【答案】
【分析】依题意存在 ，使得 ，根据平面向量基本定理得到方程
组，解得即可.
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】因为向量 与 的方向相反，
所以存在 ，使得 ，
又 ， 是两个不共线的非零向量，
所以 ，解得 或 （舍去）.
故答案为：
10．如图，在 中，点 是边 上一点且 ， 是边 的中点，直线
和直线 交于点 ，若 是 的平分线，则 .
【答案】
【分析】分析可知 与 共线，可知存在 ，使得 ，然
后依据 、 、 三点共线以及 、 、 三点共线可得出 关于 的表达式，
结合平面向量的基本定理可求得 的值.
【详解】记 ， ，以 、 为邻边作平行四边形 ，
因为 ，则平行四边形 为菱形，所以， 平分 ，且 ，
因为 平分 ，则 、 共线，
则存在 ，使得 ，
因为 、 、 三点共线，则 、 共线，则存在 ，
使得 ，即 ，可得 ，
因为 为 的中点，所以， ，
因为 、 、 三点共线，则 、 共线，
所以，存在 ，使得 ，即 ，
所以， ，
因为 、 不共线，则 ，解得 ，
故 ，
又因为 ，所以， ，故 .
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故答案为： .
