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专题突破卷 10 解三角形中三角形的中线和角平分线
问题
题型一：解三角形中三角形的中线问题
1．在 中，AD是 的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上．
(1)用正弦定理证明 ；
(2)若 ，求DE的长．
2．在 中，内角 所对的边分别是 ，且 ， .
(1)求角 ；
(2)若 ，求边 上的角平分线 长；
(3)求边 上的中线 的取值范围.
3．已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 ．
(1)求B的大小；
(2)若 是 的中线，求 的最小值．
4．如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分别为a与b．
(1)求斜边上的高AD与中线AE的长；
(2)用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系．
5．已知在三角形 中， ， ， ，且边 ， 上的中线 ，
交于点 .
(1)求 的长；
(2)求 的值.
6．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ， 是 的中线，求 的最大值．
7．在 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ， 的周长为
15，面积为 ．
(1)求 的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是 的角平分线这两个条
件中任选一个，求线段CD的长．
8．在① ；② ；③向量 与
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知
内角 的对边分别为 ,且满足______.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形,且 ,求 周长的取值范围；
(3)在（2）条件下,若 边中点为 ,求中线 的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）
9．三角形三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积等于 ， 为 边的中点，当中线 的长最短时，求 边的长.
10．已知 的内角 的对边为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ；
① 为 的中点，求 底边 上中线 长的最小值；
②求内角 的角平分线 长的最大值.
题型二：解三角形中三角形的角平分线问题
11．在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ，
.
(1)若 ，求边 上的角平分线 长；
(2)求边 上的中线 的取值范围.12．在四边形 中， ，记 ， ， 的
角平分线与 相交于点 ，且 ， .
(1)求 的大小；
(2)求 的值.
13．在 中， ， 为 边上的中线，点 在 边上，设 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)若 为 的角平分线，且点 也在 边上，求 的值；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 为何值时， 最短？
14．在 中,内角 所对的边分别是 且 .
(1)求角 ;
(2)若 ,求边 上的角平分线 长;
(3)求边 上的中线 的取值范围．
15．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________，在①
；② ；③ ，这三个条件中任选一个，
补充在上面的横线上，并解答下列问题：
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求角A的大小；
(2)若AD是 的角平分线，且 ， ，求线段AD的长；
(3)若 ，判断 的形状.
16．在 ， 为 边上的中线，点 在 边上，设 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)若 为 的角平分线，且点 在 边上，求 的值；
(3)在(2)的条件下，若 ，求 最小值？
17．在 中，内角 的对边分别为 ，若 的角平分线 交 于
点D．
(1)若 ，求 的长度；
(2)若 为锐角三角形，且 的角平分线 交 于点E，且与
交于点O，求 周长的取值范围．
18．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为 ， 为
的角平分线，且交 于点D， .
(1)若 ，求 的周长；(2)若 ，求 的值.
19．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ， ， 的角平分线交BC于点D，求 的长．
20．如图， 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
.
(1)求角B的大小；
(2)若 ， .
（i）求 的值；
（ii）求 的角平分线 的长.
1．在 中， ， ， ， 为 的中点， 的角平分线 交
于点 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求 的长；
(2)求 的面积.
2．在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解答．
① ；② ；③ ；
已知 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D为 边上的一点，______．
(1)求角C；
(2)若 为角平分线，且 ，求 最小值．
3．如图，在 中， ， 是角 的角平分线，且 面积为1.
(1)求 的面积；
(2)设 ，①求 的取值范围；②当 的长度最短时，求 的值.
4．如图，在 ABC中，已知 ， ， ，BC边上的中线AM与
△
的角平分线 相交于点P．
(1) 的余弦值．
(2)求四边形 的面积.
5．已知在△ 中， ， 的角平分线与 相交于点 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求△ 面积的最小值．6．在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为 的扇形铝板（足够大），现在需要
将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件 ．
(1)小宋的师傅拿出了一个工件样品 ，其中 ，求 的值；
(2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且 ，并要求小宋加
工的工件 的 边经过点D，则
①用角B表示工件 的面积S；
②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．
7．在① ；② ,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)判断△ABC的形状；
(2)在（1）的条件下，若 ，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.
8．在① ；② ；③ ，这
三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在 中，角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 的中线 长度的最小值.
9．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期及单调减区间；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， 边上的中线
，求 的最大值．
10．已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ，若 为 上一点，且
满足____________，求 的面积 .
请从① ；② 为 的中线，且 ；③ 为 的角平分线，
且 .这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别
解答，按第一个解答计分）
