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第 11 讲 整式的乘除单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．下面各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某公司运用 技术，下载一个 的文件大约需要 秒，将数字 用科学记数法表示
为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．计算 的结果为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．已知 ，则“ ”所表示的式子是（ ）
A． B． C． D．
7．已知整式 是一个完全平方式，则符合M的整式有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．观察下列单项式： 按此规律，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
9．已知数m，n满足 ，则 的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．4
10．我们定义：一个整式能表示成 （a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因
为 （x、y是整式），所以M为“完全式”．若
（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．23 B．24 C．25 D．26
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．计算： ．
12．若 ， ，则 的值为 ．
13．若多项式 是完全平方式，则 的值为 ．
14．如果 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系为 ．
15．已知一个多项式除以多项式 所得的商式为 ，余式为 ，这个多项式是 ．
16．将两张边长分别为a和b（ ）的正方形纸片按图①和图②所示的两种方式放置在长方形 内
（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．
设图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ．当 时， ．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．计算：
(1) ；
(2) ．
18．先化简，再求值： ，其中 ， ．
19．如图，某市有一块长为 ，宽为 的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，
中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少 ？并求出当 ， 时的绿化面积．
20．（1）若 ，求m的值；
（2）若n为正整数，且 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．已知下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；…
(1)观察上面的等式，请写出第6个等式与第n个等式；
(2)试判断：任意两个连续偶数的平方差能被_____（填4或8）整除．请证明你的结论．
22．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，
拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知 则 的值为______；
②计算： ；
【拓展】计算： ．
23．[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算： ．
(1)对于有理数x，y，若 是一个完全平方式，则 __________；
(2)对于有理数x，y，若 ．
①求 的值；
②将长方形 和长方形 按照如图方式进行放置，其中点E在边 上，连接 ， ．若
，图中阴影部分的面积为 ，求n的值．
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学科网（北京）股份有限公司五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式 （ ）变形为 的形式，进而解决多项式的最
大值或最小值问题．
例如：① ,
∵ ,
∴ .
∴当 时，多项式 的最小值为 ；
② ,
∵ ,
∴ .
∴当 时，多项式 的最大值为 ．
根据上述材料解决下列问题：
(1)求多项式 的最小值，并求出相应的x的值；
(2)如果多项式 的最小值是 ，那么p的值为________；
(3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x
=________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米．
25．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2
卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论
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学科网（北京）股份有限公司(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形(下面各图形均满足推导各公式的条
件，只需填写对应公式的序号)
公式①； ；
公式②： ；
公式③； ；
公式④： ．
图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ．
(2)如图5，在等腰直角三角形 中， ， 为边 上任意一点(不与端点重合)，过点 作
于点 ，过点 作 交EG的延长线于点 ．记 与 的面积之和为 ，
与 的面积之和为 ．
①若 为边 的中点，则 的值为 ；
②若 不为边 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程，请说明理由．
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