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第 10 讲 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题
目录
【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】
【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】
【考点五 完全平方式中的字母参数问题】
【考点六 整式的运算中的新定义型问题】
【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】
例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题考查单项式的乘法，根据 求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
，
∵ ， ，
∴解得： ， ，
，
故选：B．
∴
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】根据单项式乘单项式法则可得 ，即可求出m、n的值．
本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不
变，作为积的因式．【详解】 ，
，
， ，
．
故选：C．
2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题考查单项式的乘法，根据 求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
，
∵ ， ，
∴解得： ， ，
，
故选：B．
∴
3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式 与 的积为 ，那么 （ ）
A．11 B．5 C．1 D．
【答案】C
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】根据单项式乘单项式法则可得 ，求出m、n的值，然后代入 中计算求解
即可．
本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不
变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键．
【详解】 ，
，
， ，
．
故选：C．
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）若 ，则 的值为 ．
【答案】 /【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值、代入消元法
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到
，据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解： ，
∵ ，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
故答案为： ．
5．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项．
(1)求 的值，
(2)先化简，再求值： ．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出 ，再由同类项的定义得
到 ，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解： ，
与 的积与 是同类项，
∵ 与 是同类项，
∴ ，
∴ ；
∴
（2）解：，
当 时，原式 ．
【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】
例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项
式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解： ，
，
，
故选： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若 ，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出 的结果即可
得到答案．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
∴
2．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知 ，当x为任意数时该等式都
成立，则 的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
【答案】B
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为 ，根据当x
为任意数时该等式都成立，可得 ，然后代入，即可求解．
【详解】解： ，
，
∴，当x为任意数时该等式都成立，
∵ ，
∴
∴
故选：B
3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若 对任意 都成立，则 ．
【答案】1
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的
法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可．
【详解】解： ，
，
，
原式子对任意 都成立，
， ，
解得： ， ，
．
故答案为：1．
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若 的乘积中不含 项和 项，则
．
【答案】16
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式展开并合并同类项，根据题意求得m，n的值后代入 中计算
即可．
【详解】解：
，
乘积中不含 项和 项，
∵ ， ，
∴， ，
∴
则 ，
故答案为：16．
【变式训练】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知 的计算结果中不含 项，则 的值为
．
【答案】
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多
项式合并后，该项的系数为0．先计算 的结果，不含 的项，则合并后含 的
项的系数为0．
【详解】解：
已知 的计算结果中不含 的项，
∵
∴
故答案为： ．
∴
2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若 的积中不含 项和 项．求：
(1)p、q的值；
(2)代数式 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【知识点】幂的混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解
题的关键是正确求出p、q的值．
（1）利用条件中积不含 项和 项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解；
（2）先化简，再利用第（1）问中的结果，代入求值．
【详解】（1）解：原式 ，
，
的积中不含 项和 项，
∵， ，
∴ ， ；
∴
（2） ，
，
，
，
， ，
∵
原式
∴3．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项．
(1)求 的值，
(2)先化简，再求值： ．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出 ，再由同类项的定义得
到 ，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解： ，
与 的积与 是同类项，
∵ 与 是同类项，
∴ ，
∴ ；
∴
（2）解：
，
当 时，原式 ．
4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 的积中不含 与 项．(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)12
【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算．
（1）将 展开，根据结果不含 与 项，即含 与 项的系数为0进行求解即可；
（2）将（1）所求值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
的积中不含 与 项，
，
；
（2）解： ， ，
∵
∴．
5．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）若 的积中不含x项与 项．
(1)求p，q的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、负整数指数幂
【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，负整数指数幂的含义，积的乘方运算的含义，掌握运算法则是
解本题的关键；
（1）先计算多项式的乘法，再合并同类项，再根据积中不含x项与 项，建立方程求解即可；
（2）先计算积的乘方，再把 ， 代入计算即可．
【详解】（1）解：
．
积中不含 项与 项，
∵ ， ，
∴
解得 ， ．
（2） ， ，
∵
∴
．
【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为 的小正方形（A类），长为 、宽
为 的长方形（ 类）以及边长为 的大正方形（ 类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
例如图2可以解释的等式为 ．
(1)图3可以解释的等式为 ；
(2)要拼成一个长为 ，宽为 的长方形，那么需用A类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片
张；
(3)用5张 类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设
右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S， ，若S的值与 无关，试探究 与 的数量关系，并
说明理由．
【答案】(1)
(2)5，46，9
(3) ，理由见解析
【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式
的混合运算法则成为解题的关键．
（1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答；
（3）设 ，由图可知 ，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答．
【详解】（1）解：由 ．
故答案为： ．
（2）解： ，
需用A类
∵
卡片5张， 类卡片46张， 类卡片9张．
故答案为：5，46，9．
∴
（3）解： ，理由如下：
设 ，
由题意可得由于S的值与 无关，则 ，即 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割成 部分，除阴影图形
外，其余 部分为形状和大小完全相同的小长方形 ，其中小长方形 的宽为 ．
(1)计算：小长方形 的长 ________，小长方形 的周长 ________；（用含 的代数式表示）；
(2)小明发现阴影图形 与阴影图形 的周长之和与 值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释．
【答案】(1) ，
(2)与 值无关，理由见详解
【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积
【分析】（1）根据图示的分割情况即可求解；
（2）根据图示分别表示出阴影图形 与阴影图形 的长、宽，并计算其周长，由此即可求解；
本题主要考查整式的混合运算与图形周长的关系，掌握整式的混合运算是解题的关键．
【详解】（1）解：根据图示可得，小长方形 的长为 ，
小长方形 的周长为 ，
∴故答案为： ， ．
（2）解：由（1）可知，小长方形 的长为 ，小长方形 的宽为 ，
阴影图形 的长为 ，宽为 ，则阴影图形 的周长为：
∴ ，
阴影图形 的长为 ，宽为 ，则阴影图形 的周长为：
，
阴影图形 与阴影图形 的周长之和为： ，
与 值无关．
∴
∴ 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割为7小块，除阴
影 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 ．(1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含 的代数式表示）；
(2)分别计算阴影 的周长（用含 的代数式表示），并说明阴影 与阴影 的周长差与 的取值无
关；
(3)当 时，比较阴影 面积的大小
【答案】(1)
(2)影A的周长为 ，阴影B的周长为 ，说明见解析
(3)阴影A的面积 阴影B的面积
【知识点】列代数式、整式加减中的无关型问题、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积
【分析】（1）由图可知，每个小长方形的较长边的长等于整个图象的长减去3个小长方形的宽，列出代
数式即可；
（2）先分别表示出阴影A和阴影B的长和宽，根据长方形周长公式得出阴影A和阴影B的周长，最后将
两阴影部分周长相减，若所得结果不含x，则与 的取值无关；
（3）分别求出两块阴影的面积，再用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：从图可知，每个小长方形的较长边的长是 ，
故答案为： ；
（2）解：由图可知：
阴影A的长为： ，宽为： ，
阴影A的周长为： ，
∴阴影B的长为： ，宽为： ，
阴影B的周长为： ，
∴阴影 与阴影 的周长差 ，
阴影 与阴影 的周长差与 的取值无关；
∴
∴（3）解：阴影A的面积为： ，
阴影B的面积为： ，
∴
把 代入得： ，阴影A的面积 阴影B的面积．
【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟
∴
练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与x的取值无关，求a的
值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，
所以含x项的系数为0，即原式 ，所以 ，则 ．
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值；
【能力提升】
(2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形 内，大长方形中
未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 ，左下角的面积为 ，当 的长变化
时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题
意得出关于y的方程是解题的关键．
（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为
，令x系数为0，即可求出m；
（2）设 ，由图可知 ， ，即可得到 关于x的代数式，根据取值
与x无关可得 ．
【详解】（1）解：
，
其值与x的取值无关，
，
解得： ，答：当 时，多项式 的值与x的取值无关；
（2）解：设 ，由图可知 ， ，
，
当 的长变化时， 的值始终保持不变．
取值与x无关，
，
．
4．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式 的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即
原式 ，所以 ，即 ．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知 的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在
大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为 ，左下角
的面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积
【分析】（1）根据含 项的系数为0建立方程，解方程即可得；（2）先根据整式的加减求出 的值，再根据含 项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设 ，先求出 ，从而可得 ，再根据“当 的长变化时， 的值始终保持不
变”可知 的值与 的值无关，由此即可得．
【详解】（1）解：
，
关于 的多项式 的值与 的取值无关，
，
解得 ；
（2）令
，
原式=
，
的值与 无关，
，
解得 ；
（3）解：设 ，
由图可知， ， ，
则
，
当 的长变化时， 的值始终保持不变，
的值与 的值无关，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加
减乘法的运算法则是解题关键．
【考点五 完全平方式中的字母参数问题】
例题：（24-25八年级上·吉林·期末）若式子 是一个完全平方式，则k= ．
【答案】【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍
项即可确定k的值．
【详解】解： ，
，∵
∴解得 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若 是一个完全平方式，则常数k的值为 ．
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可．
【详解】解： 是一个完全平方式，
∵
故答案为： ．
∴
2．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如果 是一个完全平方式，那么 的值是 ．
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完
全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解： 是一个完全平方式，
∵
，
∴
，
故答案是： ．
∴
3．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如果关于 的多项式 是完全平方式，那么 的值
为 ．
【答案】 或 / 或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解
即可．
【详解】解： ，
，
∴解得： 或 ，
故答案为： 或 ．4．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如果关于 的整式 是某个整式的平方，那么
的值是 ．
【答案】 或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方式，根据 是某个整式的平方，得到
，进行求解即可．
【详解】解： 是某个整式的平方，
∵
，
∴
，
∴ 或 ；
故答案为： 或 ．
∴
5．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式 是某个多项式
的平方，则M为 ．
【答案】 或
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征
判断即可求出M．
【详解】解：① ，
∵ ，
∴
②若 中M是多项式的平方，
则 ；
故答案为： 或 ．
【考点六 整式的运算中的新定义型问题】
例题：（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式 乘以整式 ，得到整式 ，如果整式 的项数正
好比整式 的项数多1，那么我们称整式 是整式 的“相邻增项式”．
(1)如果 ， ，判断 是否是 的“相邻增项式”，并说明理由；
(2)已知 ， 都是关于 的整式且 、 均为不等于0的有理数．①填空：当 时，如果 是 的“相邻增项式”，那么 的值为_____；
②设 ， ，如果关于 的整式 中不含 的二次项，且整式 是整式 的“相邻
增项式”，求 的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)① 或 ；② 的值为
【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式的项、项数或次数、解一
元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则．
（1）根据多项式乘法算出 ，再根据“相邻增项式”的定义判断即可．
（2）①当 时，算出 ，根据 是 的“相邻增项式”，得出
或 ，解答即可．
②根据 ，算出 ，根据关于 的整式 中不含 的二次项，
得出 ，求出 ，从而得出 ，再表示出 ，算出 ，即可求解．
【详解】（1）解：是，理由如下：
根据题意可得： ，
的项数正好比 的项数多1，
是 的“相邻增项式”．
（2）解：①当 时， ，
是 的“相邻增项式”，
∵ 或 ，
∴
解得： 或 ．
②根据题意可得 ，
，
由于关于 的整式 中不含 的二次项，，
∴
，解得： ，
∴ ，
，
∵ ，
∴
，
当 时， 为关于 的二项式，而 为四项式，此时不合题意，舍去；
当 时，则 为关于 的三项式，
又 是 的“相邻增项式”且 ，
，
综上所述， 的值为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料：
在学习多项式乘以多项式时，我们知道 的展开结果是一个多项式，并且最高次项为
，常数项为 ． 那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：
，即一次项为 ．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)求 展开所得多项式中的一次项系数；
(2)已知 展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值．
【答案】(1)
(2)2
【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出相应的算式．
（1）根据题干中提供的方法求出展开所得多项式中的一次项系数即可；
（2）根据提供提供的方法列出关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：一次项系数为 ．
（2）解：由题意，得二次项系数为：
，
解得 ，
即a的值为2．
2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定
．如： ．解答下列问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)化简： ；
(3)若 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)(3) ，理由见解析
【知识点】整式的加减运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关
键．
（1）根据新定义的运算，得出方程求解即可；
（2）根据新定义运算求解计算即可；
（3）根据新定义分别确定m，n，然后作差即可判断．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
解得： ．
（2）
，
．
（3） ．
理由： ，
，
，
．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式： ， ， (a，b，c都是非零常
数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项
式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式 ， ， ，因为
，所以 ， ， 是一组和谐多项式，和谐值为 .
(1)小明发现多项式 ， ， 是一组和谐多项式，求其和谐值；
(2)若多项式 ， ， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项
式是解题的关键．
（1）根据 ，计算求解即可；
（2）由题意知，分当 ， 时；当， 时；当
， 时；分别求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
和谐值为 ；
∴（2）解： 多项式 ， ， (p为非零常数)是一组和谐多项式，
∵
当 ， 时，即
∴
，此时多项式 ， ， (p为非零常数)是一组和谐多项式；
当 ， 时，即
，此时多项式 ， ， (p为非零常数)是一组和谐多项式；
当 ， 时，此时不成
立；
综上所述， 的值为 或 ．
4．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数
式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 （a、b是整
数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为 ，所以5是“完美数”．
(1)若29是“完美数”，将它写成 （a、b是整数）的形式________；
(2)若 可配方成 （m、n为常数），则 ＝________；
(3)已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个
k值，并说明理由；
(4)已知 满足 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
(4)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式的配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关
键．．
（1）把29分为两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；（4）由已知等式表示出y，再代入 中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）29是“完美数”，即
故答案为： ；
（2）解： ，
， ，
，
故答案为： ；
（3）解：当 时，S为“完美数”，理由如下：
，
（4） ，
，
，
，
，
，
的最大值 ．5．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些
问题．我们定义：一个整数能表示成 （ 、 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （ 、 是整数）的形式______；
（2）已知 ，则 ______；
探究问题：
（3）已知 （ 、 是整数， 是常数），要使 为“完美数”，试求出符合条件
的一个 值，并说明理由；
拓展结论：
（4）已知实数 、 满足 ，求 的最值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）当 时， 为“完美数”，理由见解析；（4）6
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）把10拆成两个整数的平方即可；
（2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出 与 的值，代入计算即可得解；
（3）根据 为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出 的值即可；
（4）首先表示出 ，代入 中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】解：（1）已知10是“完美数”，
将它写成 （ 、 是整数）的形式为 ．
故答案为： ；
（2）
∵ ，
∴ ，
∴
， ，
∵ ，解得 ，
∴ ．
故答案为： ；
∴
（3）当 时， 为“完美数”，理由如下：
，
、 是整数，
∵、 也是整数，
∴当 时， 为“完美数”；
∴
（4） ，
∵
，
∴ ，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴当 时， 的值最大，为6．
∴
