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第 09 讲 整式的除法
课程标准 学习目标
1．复习单项式乘以单项式的运算，探究单项式除以单项式的运算规
律；
①单项式除单项式
2．复习单项式乘以多项式的运算，探究多项式除以单项式的运算规
②多项式除单项式
律；
③整式的除法
3．能运用单项式除以单项式、多项式除以单项式进行计算并解决问
题．
知识点01 单项式除以单项式
单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的
字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同
它的指数作为商的一个因式.
根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分
别进行考虑.
【即学即练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；(2) ；
(3) .
【即学即练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知 ，求 ， 的值．
【即学即练3】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）仔细阅读下列计算过程：
（________）
（________）
．
①在________上填写恰当的运算根据；
②上述计算是否正确，若错误，请你写出你认为正确的计算．
知识点02 多项式除以单项式
多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商
相加.
即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m
多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号.
多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号.
【即学即练1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）计算：
【即学即练2】（23-24七年级下·山西晋中·期中）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务
先化简，再求值： ，
其中 ．
解：原式＝ …第一步
＝ …第二步
＝ …第三步
＝ …第四步
当 时，原式＝ …第五步
任务：
(1)以上解题过程中，第一步需要依据 和 乘法公式进行运算（用字母表示）；(2)以上步骤第 步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 ；
(3)请写出正确的解答过程．
题型01 单项式除以单项式
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ．
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
题型02 多项式除以单项式例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）计算 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：
2．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
3．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： ．
题型03 含整式除法的整式四则混合运算
例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：
【变式训练】
1．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）计算：
(1)
(2)
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算．
(1) ；
(2) ．
3．（24-25八年级上·北京海淀·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
题型04 整式的混合运算之化简求值
例题：（24-25八年级上·海南·期末）先化简再求值： ，其中
， ．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：
，其中 ， ．
2．（24-25八年级上·青海西宁·期中）先化简，再求值： ，其中
．3．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
题型05 含整式除法的新定义型问题
例题：（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若定义 表示 ， 表示 ，
则运算 的结果 ．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）定义新运算符号 ： ，求 ．
2．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期末）在有理数的原⊕有运算法则中，我们定义新运算“ ”如下：
＝ ，根据这个新规定可知 ＝ ．
题型06 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式
例题：（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，
然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如 ，仿照 计
算如图①所示．
因此 ．
(1)阅读上述材料后，试判断 能否被 整除，并说明理由；
(2)若多项式 能被 整除，求 的值；
(3)有一个长为 ，宽为 的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长
方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为 ，且长方形B的面积比C
的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知
，那么再根据除法是乘法的逆运算可得 ，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多
位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如 ，可仿照 用竖式计算（如
图）：
因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．
请用上述方法计算：
(1) ；
(2) ．
2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读与思考
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅
读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式．
项目实施：
任务一 搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小
依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0
或余式的次数低于除式的次数．
（1）请把 按 的指数从大到小排列：________．
任务二 竖式计算：
如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式 除
以 ，商式为 ，余式为 ．
（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________．
A．数形结合 B．类比 C．方程
任务三 学以致用（3）请计算 的商式与余式．
一、单选题
1．（23-24八年级上·海南三亚·阶段练习）如果一个单项式与 的积为 ，则这个单项式为
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）下列运算中，错误的是( )
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知 那么 、 的取值依次为（ ）
A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1
4．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，
，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在数学课上学习了单项式乘多项式后，小明回家拿出课堂笔记本
复习，发现这样一道题： ，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填
写（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： ．
7．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）一个多项式 与单项式 的积为 ，则
．
8．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式A除以 得商式 ，余式 ，则多项式
A为 ．
9．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一个长方体的长为 ，宽为 ，若这个长方体的体积为
，则它的高为 （用含a，b的代数式表示）．
10．（23-24七年级下·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商
式和余式，例如：通过“列竖式”可求得 的商式为 ，余式为22，如图所示．运用
此方法，那么 的商式为 ，余式为 ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·福建漳州·期中）计算： ．
12．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： ．
13．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)
(2)
(3) ．
14．（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值 ，其中
， ．
15．（24-25八年级上·重庆梁平·期中）先化简，再求值： ，
其中 ．
16．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）先化简，再求值：
(1) ，其中 ， 满足 ；
(2) ，其中 ， ．
17．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮
住了一个多项式．
．
(1)求被手掌遮住的多项式；
(2)当 ， 时，求被手掌遮住的多项式的值．18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务．
先化简，再求值： ，其中 ，
解：原式 第一步
第二步
=12x-8y … 第三步
当 ， 时，原式 … 第四步
任务：
(1)第一步运算用到了乘法公式： （写出1种即可）；
(2)以上步骤从第 步开始出现了错误；
(3)请你写出正确的解答过程．
19．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）数学是研究数量关系和空间形式的科学．对于一些特殊的整式运
算，我们要善于观察并发现规律：（ ）
；
；
；
．
(1)尝试： _________________；
(2)猜想： _________________；
(3)利用以上结论求值：
① ；
②若 ， _________________．
20．（22-23七年级下·江苏·期中）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其
他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如：
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整
除．
例如：
余式为0
能被 整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)多项式 除以多项式 ，所得的商式为________；
(2)已知关于x的二次多项式除以 ，商式是 ，余式是 ，求这个多项式；
(3)已知 能被 整除，则 ________；
(4)如图，有2张A卡片，3张B卡片，1张C卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边
长为 的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
