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专题突破卷 10 解三角形中三角形的中线和角平分线
问题
题型一：解三角形中三角形的中线问题
1．在 中，AD是 的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上．
(1)用正弦定理证明 ；
(2)若 ，求DE的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理知， ， ，结合条件
可得结论；
（2）由余弦定理可求得 ，进而利用（1）的结论可求 .
【详解】（1）由正弦定理知，在 中， ，
在 中， ，
由 ， ，
所以 ，所以 ；
（2）在 中，由余弦定理可得
，
所以 ，由（1）可得 ，所以 ，
因为 是 边上的中线，所以 ，
所以 .
2．在 中，内角 所对的边分别是 ，且 ， .
(1)求角 ；
(2)若 ，求边 上的角平分线 长；
(3)求边 上的中线 的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）依据余弦定理及已知求出 ，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得 ，利用正弦定理得
，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
又 ，所以 ，
又B∈(0,π)，所以 ；
（2）由 及余弦定理得 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ；
（3）因为E是AC的中点，所以 ，
则 ，
由正弦定理得，
，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即边 上的中线 的取值范围为 .
3．已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 ．
(1)求B的大小；
(2)若 是 的中线，求 的最小值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理和 得到 ，结合 求
出 ；
（2）先求出 ，在 中，由正弦定理得 ，故当 时，
求出最小值.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
又 ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 ，
即 ，
又 ，故 ，
故 ， ，
又 ，故 ；
（2）因为 ， 为 的中线，
所以 ，
又 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
故 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为 .
4．如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分
别为a与b．
(1)求斜边上的高AD与中线AE的长；
(2)用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系．【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）根据 可得答案；
（2）理由基本不等式可得答案．
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ， ，
可得 ， ，
所以 ， ；
；
（2）因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
即 ，
5．已知在三角形 中， ， ， ，且边 ， 上的中线 ，
交于点 .
(1)求 的长；
(2)求 的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用余弦定理，即可求解；
（2）根据（1）的结果，结合重心的性质，利用余弦定理，即可求解.
【详解】（1）在 中，根据余弦定理 ,
即 ，得 ，
所以 的长为 ；
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）在 中， ， ， ，
所以 ，
点 分别是 的中点，
所以 ， ，
， ，
所以
6．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ， 是 的中线，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理得 ，再根据余弦定理有 ，两者联立即
可证明；
（2）首先利用基本不等式和余弦定理得 ，再利用向量中线长定理有
，则可求出 的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得 ，即 ，即 ，
由余弦定理知 和 ，
得 ，即 ，即 ，因为 ，所以 .
（2）因为 ， ，所以 ，
故 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ；
由 是 的中线，得 ，
即得
，
即得 ，故 的最大值为 .
7．在 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ， 的周长为
15，面积为 ．
(1)求 的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是 的角平分线这两个条
件中任选一个，求线段CD的长．
【答案】(1) (2)答案见解析
【分析】（1）由 的面积为 ，求得 ，再由 的周长为 ，得到
，结合余弦定理，求得 ，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解；
（2）若选择①：法1：由 ，结合向量的运算法则，即可求解；
法2：设 ，列出方程组求得 ，结合 ，列出方程，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即可求解；
若选择②，设 ，求得 ，根据 ，列出方程，即可求解；
法2：由 ，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由 的面积为 ，可得 ，解得
，
又由 的周长为 ，可得 ，即 ，
由余弦定理得
，解得 ，
设外接圆半径为R，由正弦定理得 ，所以 ，
所以 的外接圆面积为 ．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知， 及 ，
由 ，可得
，
所以 ，即 ．
法2：不妨设 ，由 及 ，解得 ，
在 和 中，可得 ，
由余弦定理得 ，解得 ．
若选择②，不妨设 ，由 及 ，解得 ，法1：由 ，
可得 ，解得 ．
法2：由张角定理，得 ，
即 ，解得 ，
8．在① ；② ；③向量 与
平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知
内角 的对边分别为 ,且满足______.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形,且 ,求 周长的取值范围；
(3)在（2）条件下,若 边中点为 ,求中线 的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）
【答案】(1)条件选择见解析, (2) (3)
【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即
可求到余弦值，然后求出角度； 选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求
到正切值，最后求出角度.
（2）根据（1）中结果和 ，把 周长转化成 ，然后再求解范围.
（3）根据中线公式和正弦定理，把 转化成三角函数求解即可.
【详解】（1）选①：因为 ，
,即 ，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！， , .
选②： ，
,
，
, , .
选③：向量 与 平行，
,
,
, , .
（2） ,
,
.
为锐角三角形,
，
，
.
周长的取值范围为 .
（3） ，又由中线公式可得 ，
.
即 ，
为锐角三角形，
，
, .
.
9．三角形三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积等于 ， 为 边的中点，当中线 的长最短时，求 边的长.
【答案】(1) (2) .
【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得 ，再结合辅助角公式即可求
解.
（2）先由面积公式 得 ，再在 中，由余弦定理结合基本不等
式即可得中线 的最小值，进而可得 长.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得， .
因为 , ，所以 ，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，即 ，
又B∈(0,π)， ，则 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得：
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
此时 ，
故 .
10．已知 的内角 的对边为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ；
① 为 的中点，求 底边 上中线 长的最小值；
②求内角 的角平分线 长的最大值.
【答案】(1) (2)① ；②
【分析】（1）由题意及正弦定理和余弦定理可得 的值，进而可得角 的正切值；（2）①由中线的向量表示，两边平方，可得中线 的最小值；
②由等面积法可得角平分线 的表达式，再由基本不等式可得 的最大值．
【详解】（1）由正弦定理，得 ，即 ，
故 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以
（2）①由（1）知 ，
因为 的面积为 ，所以 ，解得 ，
由于 ，所以
，
当且仅当 时，等号取得到，所以 ，
故 的最小值为 ；
②因为 为角 的角平分线，所以 ，
由于 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由于 ，
又 ，所以
由于 ，当且仅当 时，等号取得到，
故 ，故 ，
故AD的最大值为 .
题型二：解三角形中三角形的角平分线问题
11．在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ，
.
(1)若 ，求边 上的角平分线 长；
(2)求边 上的中线 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求 ，再依据余弦定理及已知得
，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得 ，利用正弦定理得
，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）因为 ，根据正弦定理有 ，
所以 ，即 ，
，
，
即 ，又 ，
所以 ，因为B∈(0,π)，所以 ，
由 及余弦定理得 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以
（2）因为 是 的中点，所以 ，
则 ，
因为 ， ，由余弦定理有： ，
即 ，所以
由正弦定理得：
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即边 上的中线 的取值范围为 .
12．在四边形 中， ，记 ， ， 的
角平分线与 相交于点 ，且 ， .
(1)求 的大小；
(2)求 的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理化简得到 ，再由 ，
两式相除求得 ，即可求解；
（2）根据题意，利用 ，求得 ，结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，所以 ，因为 ，两式相除得 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
又因为 平分 ，可得 ，
因为 ，且 ， ，
所以 ，
即 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得
，所以 .
13．在 中， ， 为 边上的中线，点 在 边上，设 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)若 为 的角平分线，且点 也在 边上，求 的值；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 为何值时， 最短？
【答案】(1) (2) (3)当 为何值时， 最短
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】（1）由题意可知： ，结合数量积的运算律分析求解；
（2）利用正弦定理可得 ，结合长度关系分析求解；
（3）设 ，利用面积关系和余弦定理可得 ，结
合三角恒等变换以及基本不等式分析求解.
【详解】（1）由题意可知： ，则
，
即 ，
且 ，整理可得 ，即 或 （舍去），
所以 的值为 .
（2）在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
若 为 的角平分线，则 ，即 ，
且 ，则 ，
即 ，可知 ，
则 ，可知 ，
又因为 ，则 ，所以 .（3）由（2）可知： ，则 ，
且 最短，即为 最短，
设 ，则 ， ， ，
可知 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 ，
由（1）可知： ，即 ，
可得 ，即 （负值舍去）
所以当 为何值时， 最短.
14．在 中,内角 所对的边分别是 且 .
(1)求角 ;
(2)若 ,求边 上的角平分线 长;
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(3)求边 上的中线 的取值范围．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出 ,得出 即可.
（2）先选用余弦定理得出 关系式,再将三角形面积进行转化,用等面积法.
,运用面积公式求解即可.
（3）先用中线的向量表达式, ,两边平方,将中线长转化为求 的范围,后将
又转化为三角函数求值域问题,最终求得中线长范围.
【详解】（1）因为 ,根据正弦定理 ,
即 ,
即 ,又 ,
所以 ,因为B∈(0,π),所以 ．
（2）由 及余弦定理得 ,即 ,
又因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 ．
（3）因为 是 的中点,所以 ,
则 ,
由正弦定理得,即 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
所以 ,即边 上的中线 的取值范围为 ．
15．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________，在①
；② ；③ ，这三个条件中任选一个，
补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求角A的大小；
(2)若AD是 的角平分线，且 ， ，求线段AD的长；
(3)若 ，判断 的形状.
【答案】(1) (2) (3)直角三角形
【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得
，得到 ，即可求解；
选择②：由正弦定理化简得到 ，得到 ，即可求解；
选择③，化简得到 ,即 ，由余弦定理求得
，即可求解；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）设 ，结合 ，列出方程，即可求解；
（3）由余弦定理得 ，再由 ，联立得到 ，进而得到方程
，求得 或 ，进而得到三角形的形状.
【详解】（1）选择①：由 ，可得 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ；
选择②：因为② ，由正弦定理得 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
即 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ；
选择③，由 ，可得 ,
又由正弦定理得 ，再由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
（2）因为AD是 的角平分线，且 ，设 ，
因为 ，可得 ，
即 ，解得 ，即 .
（3）由（1）知 ，由余弦定理得 ，
因为 ，平方得 ，即 ，
代入上式，可得 ，即 ，
将 代入 ，可得 ，解得 或 ，
当 时，可得 ，此时 ，可得 为直角三角形；
当 时，此时 （不成立，舍去）；
综上可得， 为直角三角形.
16．在 ， 为 边上的中线，点 在 边上，设 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)若 为 的角平分线，且点 在 边上，求 的值；
(3)在(2)的条件下，若 ，求 最小值？
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由 ，平方后整理即可.
（2）由角平分线性质可得 ，结合 为 的中点求解即可.
（3）由余弦定理及三角形面积公式可得 ，结合三角恒等变
换及基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可得： ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，即 ，
所以 .
（2）
由角平分线性质定理可得， ，
又因为 为 的中点，
故 ，所以 .
（3）
由题（2）可知 ，由 可得 ，设 ，
，则 （※），
由余弦定理可得： ，
代入（※）式，得： ，
令 ，
则，
当且仅当 时，即 时， 长度最小，此时 .
17．在 中，内角 的对边分别为 ，若 的角平分线 交 于
点D．
(1)若 ，求 的长度；
(2)若 为锐角三角形，且 的角平分线 交 于点E，且与
交于点O，求 周长的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由关系 ，结合面积公式列方程求解；
（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求 ，结合正弦定理利用角 表示
，结合正弦型函数的性质求 的范围，由此可得结论.
【详解】（1）因为 为 的角平分线， ，
所以 ，
因为
所以 ，
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 .
（2）在 中，由正弦定理得， ，
所以 ，
又 ，则 ，
又 ，所以 ，又 ，则 .
在 ，由正弦定理得， ，
所以
，
因为 是锐角三角形，所以 ，于是 ，
则 ，所以 ，
所以 ，从而 ，
所以三角形 周长的取值范围为 .
18．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为 ， 为的角平分线，且交 于点D， .
(1)若 ，求 的周长；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理即得；
（2）设 ，根据三角形面积公式结合条件可得 ，然后利用由正弦定
理即得解.
【详解】（1）设 ， .则
，
即 .
因为 .得 .所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
得 ，所以 的周长为 .
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）设 ， ，由 ，易得 ，
又 ，
所以 ，
解得 ，所以 ，所以 .解得 ，
在 中，由正弦定理，得 ，
即 ，解得 .
19．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ， ， 的角平分线交BC于点D，求 的长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理和 得到 ，由辅助角公式求出
，进而求出A；
（2）先根据向量数量积公式得到 ，由余弦定理变形得到 ，由
和面积公式求出 .
【详解】（1）∵ ，∴由正弦定理得： ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，则有 ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
（2）由 得， ，所以 ，
由（1）知， ，
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
∴ ，
由 得： ，
∴ ．
20．如图， 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
.
(1)求角B的大小；
(2)若 ， .
（i）求 的值；
（ii）求 的角平分线 的长.
【答案】(1) (2)（i） ；（ii） .
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得出 的值，结合角 的取值范围可
求得角 的值；
（2）（i）利用三角形的面积公式求出 的值，利用余弦定理求出 的值，然后利用正弦定
理可求得 的值；
（ii）由 结合三角形的面积公式可求得 的长.
【详解】（1）解：，
所以， ，可得 ，
又因为 ，故 .
（2）解：（i）因为 ，解得 ，
由余弦定理可得 ，则 ，
由正弦定理可得 ，所以， ；
（ii）因为 ，即
，
因此， .
1．在 中， ， ， ， 为 的中点， 的角平分线 交
于点 .
(1)求 的长；
(2)求 的面积.
【答案】(1) (2)
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】（1）利用余弦定理求出 ，再由 将两边平方，结合数量积的定
义及运算律计算可得；
（2）首先求出 ，再由 且 计算可得.
【详解】（1）∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （舍）或 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴
，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，∵ ，
且 ，
∴ ，
∴ .
2．在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解答．
① ；② ；③ ；
已知 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D为 边上的一点，______．
(1)求角C；
(2)若 为角平分线，且 ，求 最小值．
【答案】(1) (2)4
【分析】（1）若选①根据条件得到 ，结合 取值范围即可
求得 ；若选②，根据三角形内角和定理以及和角公式可得
，再结合 取值范围即可求得 ；若选③，先将切化
弦，然后利用两角和的正弦公式，再结合 取值范围即可求得 ；
（2）结合（1）的结论，利用余弦定理和角平分线的性质可得 ，然后利用基本不
等式中“1”的代换即可求解.
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】（1）选① ，因为 ，
所以 ，则有
，∵ ，∴ ，即 .
选②：因为 ，则 ，
所以 ，
则有
，∵
∴ ，即
选③：
，∵ ，∴
（2）由余弦定理得： ，
由角平分线定理得： ，得
则 ，
当且仅当 时，等号成立.
3．如图，在 中， ， 是角 的角平分线，且 面积为1.(1)求 的面积；
(2)设 ，①求 的取值范围；②当 的长度最短时，求 的值.
【答案】(1) (2)① ；②
【分析】（1）根据角平分线的性质可得 ，进而得到 ，从而求解；
（2）①设 ， ， ，结合三角形的面积公式可得
，进而结合余弦函数的性质求解即可；
②结合①可得 ， ，由余弦定理可得 ，设
，可得 ，进而利用基本不等式可得 时， 的长度最短，
进而结合同角三角函数的关系及 即可求解.
【详解】（1）因为 是角 的角平分线，且
所以 ，即 ，
所以 .
（2）①设 ， ， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ， ， ，
（1）知， ， ，
又 ，
即 ，
整理得 ，
又 ，所以 ，
即 ，
所以 的取值范围为 ；
②由①知， ，即 ，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
又 ，
，
设 ，则 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 ，又 ，
解得 ，
所以 ，
所以当 的长度最短时， .
4．如图，在 ABC中，已知 ， ， ，BC边上的中线AM与
△
的角平分线 相交于点P．
(1) 的余弦值．
(2)求四边形 的面积.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据余弦定理可求出边BC的长度，然后判断出三角形ABC为等腰三角形，
进而可得中线AM的长度，再由余弦定理可求出余弦值，进而根据两角和的余弦公式即可
求解. （2）由三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）在 中，由余弦定理可知： ,即
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 , , 是等腰三角形，故
在 中，由余弦定理可知：
即 ,
在 中，由正弦定理可知：
因为 为锐角，所以
（2）由（1）知： 是 的重心，所以 ,故
所以四边形 的面积为
5．已知在△ 中， ， 的角平分线与 相交于点 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求△ 面积的最小值．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）在△ 中由余弦定理求得 ，再在△ △ 中由正弦定理结合
即可求得结果；
（2）根据△ 的面积为△ △ 的面积之和，求得 ，再结合三角形面积
公式和基本不等式即可求得三角形面积的最小值.
【详解】（1）因为 ， ，利用余弦定理可得： ，故 ，
在 中， ，在 中， ，
两式相除可得 ，又 ，所以 .
（2）根据题意得△ 的面积等于△ 的面积与 的面积之和，
又 ， ，所以 ，
整理得： 又 ，当且仅当 时取等号，
故 ，则 ，所以 ，
故△ 面积的最小值为 ．
6．在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为 的扇形铝板（足够大），现在需要
将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件 ．
(1)小宋的师傅拿出了一个工件样品 ，其中 ，求 的值；
(2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且 ，并要求小宋加
工的工件 的 边经过点D，则
①用角B表示工件 的面积S；
②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．
【答案】(1) 或 ， (2)① ；② 时，
S取到最小值
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】（1）由题意，得到 ，求得 或 和 或 ，即可求解；
（2）①利用正弦定理，求得 ，结合面积公式，即可求解；
②利用二倍角公式和积化和差公式，得到 ，结合三角函
数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，可得 ，
又因为 ，可得 或 ，所以 或 ，
由 ，可得 或 ，
所以 或 ，
．
（2）解：①在 和 中使用正弦定理，可得
于是 ．
②利用二倍角公式和积化和差公式可得：
，
由题意可得 ，所以 ，当 ，即 时，S取到最小值 ．
7．在① ；② ,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)判断△ABC的形状；
(2)在（1）的条件下，若 ，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.
【答案】(1)选①，等腰三角形；选②，等腰三角形或直角三角形；(2)选①， ；选②，
或 ；
【分析】（1）选①，由正弦定理变形后可得 ；选②，由正弦定理及同角关系变形后，
结合正弦函数性质得三角形为等腰三角形或直角三角形；
（2）选①，由等腰三角形性质求得底边 长，然后由余弦定理求得 ；
选②，三角形为等腰三角形时同选①，三角形为直角三角形时，由 求得 ，然后
求得 ，用勾股定理求得 ．
【详解】（1）选①， ，由正弦定理理 ，即 ，又
是三角形 内角，所以 ，△ABC是等腰三角形；
选②， ，由正弦定理得 ，所以 ，
，又 是锐角三角形内角，所以 或 ，
所以 或 ，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）选①， ，则 ， ， ，
中，由余弦定理得：
， ；
选②， 时同选①得 ，
时， ，则 ， ，所以 ， ，
所以 ．
8．在① ；② ；③ ，这
三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在 中，角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 的中线 长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）若选①，则根据正弦定理，边化角，再利用余弦定理即可求得答案；若选②，
则根据正弦定理，边化角，再利用两角和的正弦公式化简，求得答案；若选③，则根据正
弦定理，边化角，再利用诱导公式结合倍角公式化简，求得答案；
（2）根据 可得 ，利用余弦定理得到
，在三角形 中，由余弦定理求得 ，即可求得答案.
【详解】（1）选择条件①：由 及正弦定理，得： ，
即 ，由余弦定理，得 ,因为 ，所以 ；
选择条件②：由 及正弦定理，
得： ，
即 .
即 .
在 中， ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ,
因为 ，所以 ；
选择条件③：由 及正弦定理，
得： ，
因为 , ，所以 .
在 中， ，则 ，
故 .
因为 ，所以 ，则 ，
故 ；
（2）因为 ，所以 ，
整理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
即 长度的最小值为 .
9．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期及单调减区间；
（2）在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， 边上的中线
，求 的最大值．
【答案】（1）最小正周期为 ；单调减区间为 ；（2）
．
【分析】（1）先运用平方差公式化简，然后再用辅助角公式，就可以求最小正周期及单调
减区间；
（2）先求出 ，再根据向量及基本不等式即可求出最大值.
【详解】（1）函数
所以最小正周期为 ，
当 ， ，解得 ，所以单调减区间为 .
（2）∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，当且仅当 时，取等号．
所以 .
10．已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ，若 为 上一点，且
满足____________，求 的面积 .
请从① ；② 为 的中线，且 ；③ 为 的角平分线，
且 .这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别
解答，按第一个解答计分）
【答案】(1) ， (2)答案见解析
【分析】（1）先对f(x)解析式进行化简，再对正弦型三角函数求单调递增区间即可；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）由题干可知 ， .选①时， 的面积由 计算；选②③时
的面积由 计算.
【详解】（1） ，
由 ，得 ， ，
∴函数f(x)的单调递增区间为 ， ；
（2）由 ，得 ，
又 中 ， ，可知 ；
若选① ：
由 ，可知 ，可化为 ，
又 ，则 ，
又 中 ，故 ，所以 ，
则 ，故 ；
若选②： 为 的中线，且
在 中， ， ，则有 ，
在 中， ，
在 中， ，又 ，
则
则 ，又知 ，故 ；
故 ；
若选③： 为 的角平分线，且 .
由题意知， ，
即 ，整理得
又在 中， ， ，则有 ，
故
解之得， ，故 .
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